Theorie der einfachen Lie-Gruppen

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1 Theorie der einfachen Lie-Gruppen Eine Einführung Notizen zur Vorlesung im Sommersemester Juli

2 2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Lie-Gruppen Endliche kontinuierliche Gruppe Lie-Gruppe Wirkung einer Lie-Gruppe auf eine Mannigfaltigkeit Darstellung von Lie-Gruppen (i Matrixdarstellung (ii Adjungierte Darstellung Reduzible und irreduzible Darstellungen Kurven Lie-Algebren Tangentialraum Vektorfelder Lie-Klammer Lie-Algebra Exponentialabbildung Adjungierte Darstellung Killing-Form Einfache und halbeinfache Lie-Algebren und Gruppen Zusammenfassung Wurzeln und Gewichte Darstellungstheorie der su( Wurzeln und Gewichte: Allgemeine Betrachtungen (i Die Cartan-Unteralgebra (ii Wurzeln (iii Auf- und Absteigeoperatoren (iv Geometrie der Wurzeldiagramme (v Beispiel: su( Einfache Wurzeln Die Cartan-Matrix (i Definition und allgemeine Eigenschaften (ii Konstruktion sämtlicher Wurzeln aus den einfachen Wurzeln (iii Zusammenfassung Dynkin-Diagramme Die Zuordnung Lie-Algebra Diagramm Cartan-Matrix Dynkin-Diagramm (i Cartan-Matrix Dynkin-Diagramm (ii Dynkin-Diagramm Cartan-Matrix Höchstes Gewicht und fundamentale Gewichte Verschiedene Basen des Raums der Gewichte bzw. Wurzeln (i Dynkin-Koeffizienten (ii Wurzel-Raum (iii Dynkin-Koeffizienten der einfachen Wurzeln Fundamentale Darstellungen Konstruktion von Darstellung (i Konstruktion von fundamentalen Darstellungen (ii Die Konstruktion beliebiger Darstellungen (iii Dynkin-Koeffizienten Dimension einer Darstellung

3 INHALTSVERZEICHNIS 3 5 Überblick über die klassischen Gruppen Die SU(N Die SO(N (i Die so(2n (ii Die so(2n Die SP(2n Zusammenfassung Klassifizierung der einfachen Lie-Gruppen 55 7 Untergruppen und Symmetriebrechung Untergruppen und Unteralgebren Verzweigungsregeln und Projektionsmatrizen (i Rezept: Verwenden von Projektionsmatrizen (ii Konstruktion der Projektionsmatrizen Abschließende Bemerkungen A Young-Tableaux 67 A.1 Generelle Eigenschaften (i Tensor-Notation (ii Einführendes Beispiel: Symmetrische und antisymmetrische Tensoren zweiter Stufe (iii Verallgemeinerungen A.2 Standard-Anordnung A.3 Zusammenhang zwischen Dynkin-Labels und Young-Tableaux für die SU(N A.4 Young-Tableaux zur Bestimmung der Dimension irreduzibler Darstellungen der SU(N A.5 Young-Tableaux zur Ausreduktion von Produkten irreduzibler Darstellungen der SU(N A.6 Young-Tableaux zur Bestimmung der Verzweigungs-Regeln (i Beispiel: SU(3 SU(2 U( (ii Verallgemeinerung SU(N + M SU(N SU(M U(

4 4 Einleitung & Literatur Einleitung Dies sind Notizen zur Vorlesung Gruppentheorie, gehalten im Sommersemester 2009 an der T.U. München. Warum Gruppentheorie? Symmetrien spielen eine Schlüsselrolle für das derzeitige Verständnis von fundamentaler Physik. Alle bekannten Grundkräfte (Gravitation, Elektromagnetismus, schwache und starke Kraft können auf jeweils ein Symmetrieprinzip zurückgeführt werden. Die entsprechenden Symmetrieoperationen bilden Gruppen, die mit der Gruppentheorie behandelt werden können. Für die Grundkräfte spielen nur kontinuierliche Gruppen, d.h. Lie-Gruppen, eine Rolle; diese Vorlesung wird sich fast ausschliesslich mit solchen Gruppen beschäftigen. Diskrete Gruppen sind ebenfalls interessant und auch relevant für Physik, es stellt sich jedoch heraus, dass man, wenn man die kontinuierlichen Gruppen verstanden hat, sich relativ leicht in die diskreten Gruppen einarbeiten kann. Beispiel zur Motivation. Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik beschreibt drei der vier bekannten Grundkräfte mit großer Präzision. Es basiert auf der Symmetriegruppe G SM = SU(3 C SU(2 L U(1 Y. Die sog. fundamentalen Fermionen transformieren mit den Quantenzahlen linkshändige Quark-Dubletts q : (3,2 1/6, rechtshändige u-type Quarks u : (3,1 2/3, rechtshändige d-type Quarks d : (3,1 1/3, linkshändige Lepton-Dubletts l : (1,2 1/2, rechtshändige Lepton-Singletts e : (1,1 1. Die erste Beobachtung ist, dass der Teilchencharakter der Fermionen durch die Transformationseigenschaften unter G SM festgelegt ist. Das bedeutet z.b. dass linkshändige Quark-Dubletts als 3-Vektor unter einer SU(3 C Transformation transformiert, q rot q grün q blau q rot q grün q blau = }{{} SU(3 C Matrix q rot q grün q blau Zweitens ist der Materie-Inhalt des Standardmodells etwas merkwürdig. Warum gibt es genau diese Darstellungen, und nicht andere? Um diese Frage zu beantworten, schreiben wir zunächst mal alle Teilchen des Standardmodells als linkshändige Fermionen, linkshändige Quark-Dubletts q : (3,2 1/6, linksshändige Anti-u-type Quarks uc : (3,1 2/3, linkshändige Anti-d-type Quarks dc : (3,1 1/3, linkshändige Lepton-Dubletts l : (1,2 1/2, linksshändige Anti-Lepton-Singletts e : (1,1 1. Man kann sich überlegen, dass G SM in SU(5 passt, G SM SU(5..

5 Einleitung & Literatur 5 Für SU(3 C und SU(2 L ist das relativ einfach zu sehen, eine 3 3 und eine 2 2 Matrix können zu einer 5 5 Matrix zusammengefasst werden, ( Darüber hinaus findet man, dass sich die Standardmodell Materie in zwei SU(5 Multiplets zusammenfassen lässt, d c l } 5, q u c e c 10. Diese Relationen sind gruppentheoretisch korrekt (wie wir in mehr Detail sehen werden, ob sie wirklich relevant für die Natur sind ist eher spekulativ. 1 Darüber hinaus findet man, dass SU(5 nicht nur SU(3 C und SU(2 L beinhaltet, sondern auch Hyperladung. Später werden wir sehen, dass SU(N Rang N 1 hat, so dass SU(3 und SU(2 zusammen Rang 3 besitzen, und Hyperladung den Rang auf 4 = Rang(SU(5 ergänzt. All diese Relationen lassen sich sehr einfach explizit nachrechnen, für Details sei auf die Vorlesung Elementarteilchenphysik 2 von Prof. Ibarra verwiesen. Interessanterweise passt die SU(5 in SO(10, wobei sich der Materie-Gehalt des Standardmodells weiter vereinfacht, 16 = Das explizit zu sehen ist immer noch möglich, aber wird schon etwas umständlicher. Nun ist es so, dass es eine (natürlich spekulative Kette der Vereinheitlichung gibt, G SM SU(5 SO(10 E 6 E 7 E 8. Diese Kette endet bei E 8 ; ein Ziel der Vorlesung ist, diese Aussage besser zu verstehen. Tatsächlich werden wir die Aussage in eine Diagramm-Sprache zu übersetzen wissen,.. Dafür werden wir aber ein wenig arbeiten müssen. 1 Der Grund dafür ist, dass der experimentelle Nachweis erfordern würde, dass man die entsprechenden Eichbosonen sehen müßte. Man erwartet jedoch, dass diese relativ schwer sind. Diese Fragen werden in dieser Vorlesung nicht behandelt.

6 6 Einleitung & Literatur Ein paar Worte zum Inhalt Die Notizen und die Vorlesung sind in zwei Teile gegliedert. In dem ersten Teil werden die Begriffe der Lie-Gruppe und der Lie-Algebra eingeführt. Hierbei wird von einer (differential- geometrischen Sichtweise bzw. Formulierung Gebrauch gemacht; dies z.t. auch deshalb, weil sich diese Beschreibung für gewisse Bereiche der theoretischen Physik als vorteilhaft erweist (siehe z.b. die ebenfalls im Sommersemster 2009 stattfindende Vorlesung zur Allgemeinen Relativitätstheorie, gehalten von S. Antusch. Im Prinzip muss man das erste Kapitel nicht im Detail verstehen, um den zweiten Teil nachvollziehen zu können. Im zweiten Teil beschränken wir die Betrachtungen auf einfache Lie-Gruppen bzw. Lie-Algebren und klassifizieren diese anhand der zugehörigen Dynkin-Diagramme. Wir präsentieren Regeln, mittels derer sich das System der Wurzeln bzw. der Gewichte ausgehend vom Dynkin-Diagramm bzw. der Dynkin-Koeffizienten des höchsten Gewichts konstruieren lassen. Danksagung Es sei den Herren Christoph Promberger und Yasutaka Takanishi für Korrekturen und Kommentare zu den online-notizen gedankt. Literatur Folgende Literatur wird empfohlen: Begleitend: Robert Cahn [1]. Howard Georgi [3]. Robert Gilmore [4]. Ergänzend: Die Diskussion der Young-Tableaux richtet sich an dem Buch von T.P. Cheng und L.F. Li [2]. Viele nützliche Tabellen gibt es in dem Artikel von R. Slansky [7]. Vertiefend: viele Beweise, die in der Vorlesung nicht präsentiert werden (können, finden sich in dem Buch von M. Hamermesh [5]. Geometrische Begriffe sind in dem Buch von M. Nakahara [6] beschrieben. Die ersten zwei Abschnitte der Vorlesung machen in Teilen Anleihen an die Vorlesung Differentialgeometrie von Prof. K. Buchner.

7 Literatur 7 Literatur [1] R. N. Cahn, Semisimple Lie algebras and their representations, Benjamin/cummings, 1984, 158 P. [2] T. P. Cheng und L. F. Li, Gauge theory of elementary particle physics, Oxford Science Publications, 1984, 536 p. [3] H. Georgi, Lie algebras in particle physics. From isospin to unified theories, Benjamin/cummings, [4] R. Gilmore, Lie groups, lie algebras and some of their applications, John Wiley, 1974, 587 p. [5] M. Hamermesh, Group theory and its application to physical problems, Addison-Wesley, 1962, 509 p. [6] M. Nakahara, Geometry, topology and physics, IOP Publishing, [7] R. Slansky, Group theory for unified model building, Phys. Rept. 79 (1981, [8] R. F. Streater und A. S. Wightman, PCT, spin and statistics, and all that, Redwood City, USA: Addison-Wesley, 1989, 207 p. (Advanced book classics.

8 8 Gruppentheorie 1 Lie-Gruppen 1.1 Endliche kontinuierliche Gruppe Definition 1.1. Eine Menge G mit einer Verknüpfung m heißt Gruppe, falls folgende Axiome erfüllt sind: (i Die Operation m, genannt Multiplikation, erfüllt m : g, h m(g, h = g h G (1.1 für alle g, h G. (ii Assoziativität: g 1 (g 2 g 3 = (g 1 g 2 g 3 (1.2 für alle g 1, g 2, g 3 G. (iii Existenz des neutralen Elements e mit g e = e g = g (1.3 für alle g G. (iv Existenz des inversen Elements, d.h. für alle g G existiert ein g 1 G mit g g 1 = g 1 g = e. (1.4 Im Folgenden sind wir hauptsächlich an kontinuierlichen Gruppen interessiert, bei denen, salopp gesprochen, die Gruppenelemente durch kontinuierliche Parameter charakterisiert werden. Definition 1.2. Eine kontinuierliche Gruppe mit einer endlichen Menge an Parametern heißt endliche kontinuierliche Gruppe. Beispiel 1.1. Betrachte z.b. die Drehungen in der Ebene, ( ( ( ( x x x cosξ sinξ y y = D(ξ = y sinξ cosξ ( x y. (1.5 Die Hintereinanderausführung entspricht der (Matrix-Multiplikation; damit bilden die D(ξ eine Gruppe. Dabei dient ξ als Parameter bzw. als Koordinate. 1.2 Lie-Gruppe Definition 1.3. Eine C r -Lie-Gruppe G ist eine C r -Mannigfaltigkeit, die eine Gruppe mit einer Verknüpfung ist, und wo für alle g, h G die Abbildungen (1 (g, h g h und (2 g g 1 C r -Abbildungen sind.

9 1.2 Lie-Gruppe 9 Z.B. für die Multiplikation m : (g, h m(g, h = g h bedeutet die Differenzierbarkeit definitionsgemäß, dass mit den Kartenabbildungen ϕ i aus (g, h m g h ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 Ê n a b Ê n c Ê n die Abbildung d.h. ϕ 3 m (ϕ 1 1, ϕ 1 2 : Ê2n Ê n (1.6 (a, b c(a, b (1.7 eine C r -Abbildung ist. Analog kann man die zweite Bedingung zurückführen auf die Aussage, dass a(a eine C r Funktion ist, wobei mit der Inversenbildung i : g g 1 : g Ê n a i g 1 ϕ 1 ϕ 2 a Ê n a = ϕ 2 i ϕ 1 1 (a ist. Beispiel 1.2. Betrachte wieder die Drehungen in der Ebene. Die Gruppenmultiplikation kann durch ( D(ξ, D(η D(ξ D(η =: D(ζ (1.8 ζ(ξ, η = ξ + η (1.9 ausgedrückt werden. Die Multiplikation ist hier offensichtlich eine analytische Abbildung. Bemerkung 1.1. (a Eine C ω -Lie-Gruppe 2 heißt einfach nur Lie-Gruppe. (b Oft definiert man eine Lie-Gruppe G als eine Gruppe, bei der g eine Abbildung von einem Parameterraum U Ê n nach G ist und mit g(c = g(a g(b, g(a = g 1 (a sowohl c(a, b eine analytische Funktion von a und b als auch a eine analytische Funktion von a ist. Der Unterschied zu Obigem ist die Beschränkung auf eine globale Parametrisierung. (c Es gilt: Jede endlichdimensionale C 1 -Lie-Gruppe ist eine analytische Lie-Gruppe. Notation. Statt g h schreibt man auch g h; das neutrale Element soll immer e heißen. 2 C ω heißt analytisch.

10 10 Gruppentheorie 1.3 Wirkung einer Lie-Gruppe auf eine Mannigfaltigkeit Definition 1.4. Sei G eine Lie-Gruppe und M eine Mannigfaltigkeit. Die Wirkung von G auf M ist eine differenzierbare Abbildung σ : G M M, die Folgendes erfüllt: 1. σ(e, p = p für alle p M. 2. σ ( g 1, σ(g 2, p = σ(g 1 g 2, p. Notation. Anstatt σ(g, p schreibt man oft auch kurz g p. Definition 1.5. Sei G = GL(n, Ê, d.h. die Gruppe der invertierbaren reellwertigen n n Matrizen und M = Ê n. Die Wirkung von GL(n, Ê auf Ê n ist definiert als σ(g, p = g p g GL(n, Ê, p Ê n. (1.10 Die Wirkung von Untergruppen der GL(n, Ê ist genauso definiert. Diese können unter Umständen auch auf Untermannigfaltigkeiten des Ê n wirken. Beispiel 1.3. Es wirkt die O(n auf die (n 1-Sphäre Ë n 1 (r mit Radius r, σ : O(n Ë n 1 (r Ë n 1 (r. ( Darstellung von Lie-Gruppen Definition 1.6. Ein Lie-Gruppen-Homomorphismus zwischen zwei Lie-Gruppen G und H ist eine analytische Abbildung f : G H mit f(g 1 g 2 = f(g 1 f(g 2 g 1, g 2 G. (1.12 (i Matrixdarstellung Definition 1.7. Sei n Æ. H bezeichne die Gruppe GL(n, Ê bzw. GL(n,. Ein Lie-Gruppen- Homomorphismus f : G H heißt n-dimensionale Darstellung der Lie-Gruppe G über dem Darstellungsraum Ê n bzw. n. Die Multiplikation in H ist dabei die Hintereinanderausführung; sie entspricht also der Matrixmultiplikation. Man spricht in diesem Zusammenhang davon, dass die Lie-Gruppe G auf den Darstellungsraum M = Ê n bzw. M = n wirkt. Seien also {y i } n i=1 die Koordinaten von p M. Dann lässt sich die Wirkung g G auf p, p g G σ(g, p, (1.13 in offensichtlicher Weise auswerten, σ(g, p = g 11 g 1n g n1 g nn (ii Adjungierte Darstellung y 1. y n. (1.14 Um die adjungierte Darstellung zu konstruieren, fassen wir die Lie-Gruppe G als Transformationsgruppe auf, die auf sich selbst wirkt, d.h. M = G. Definition 1.8. Der Homomorphismus der adjungierten Darstellung wird erklärt über folgende Wirkung der Lie-Gruppe G auf sich selbst: AD h : g σ AD (h, g = h g h 1. (1.15 Diese Abbildung lässt das Einselement fest.

11 1.5 Reduzible und irreduzible Darstellungen Reduzible und irreduzible Darstellungen Definition 1.9. Sei f : G GL(n, Ê bzw. GL(n, eine Darstellung der Lie-Gruppe G. Man nennt einen Untervektorraum V Ê n bzw. n invariant, falls für alle g G gilt, dass x V f(g x V. (1.16 Definition Eine Darstellung f : G GL(n, Ê bzw. GL(n, heißt irreduzibel, wenn {0} und Ê n bzw. n die einzigen invarianten Unterräume sind. Andernfalls heißt f reduzibel. Ein invarianter Unterraum V heißt irreduzibel, wenn er außer {0} und V keinen invarianten Unterraum besitzt. Die Darstellung f heißt vollständig reduzibel, falls sie entweder irreduzibel ist oder wenn der Ê n bzw. n die direkte Summe irreduzibler Unterräume ist. Wir werden uns jetzt überlegen, dass bei einer vollständig reduziblen Darstellung f sich die Darstellungsmatrizen f(g in Block-Diagonalform schreiben lassen, 0. f(g = (1.17 Diese Form, d.h. die Blöcke der 0en, ergeben sich für alle Gruppenelemente. Für irreduzible Darstellungen gibt es keine Blockstruktur. Das bedeutet, dass man im Wesentlichen irreduzible Darstellungen verstehen muss; die reduziblen ergeben sich dann als Matrizen in Block-Diagonalform, wobei die einzelnen Blöcke irreduziblen Darstellungen entsprechen. Um das zu sehen, benötigen wir das sog. Schur sche Lemma. Satz 1.1. Schur sches Lemma Teil I. Seien f : G GL(n, Ê bzw. GL(n, und h : G GL(n, Ê bzw. GL(n, zwei irreduzible Darstellungen der Lie-Gruppe G. Gibt es eine lineare Abbildung P : Ê n Ê m mit P f(g = h(g P g G, (1.18 so gilt entweder Bild P = {0} oder Kern P = {0}. Definition Zwei Darstellungen, für die (1.18 mit BildP {0} gilt, heißen äquivalent. Beweis. Sei r der Rang von P. (1.18 impliziert, dass BildP ein invarianter Unterraum des Ê m ist. Nun ist h irreduzibel, somit gibt es zwei Fälle. Entweder ist BildP = {0} oder r = m mit n m. Wir nehmen nun an, dass BildP {0} und außerdem KernP {0}; die Strategie ist es, einen Widerspruch zu identifizieren. Betrachte nun ein x KernP mit x 0. Dafür gilt (h(g P x = h(g0 = 0. (1.19 Andererseits ist f irreduzibel, d.h. KernP ist kein invarianter Unterraum. (KernP = Ê n ist ebenfalls nicht möglich, da dann BildP = {0} gelten würde. Somit gibt es g G und x KernP so dass f(gx KernP. Damit ist ( P f(g x 0, was im Widerspruch zu (1.18 und (1.19 ist. Bemerkung 1.2. Aus den Relationen r = m und n m folgt mit KernP = {0}, dass m = n gilt für äquivalente Darstellungen. P hat dann vollen Rang und man hat f(g = P 1 h(g P, (1.20 d.h. die äquivalenten Darstellungen gehen durch eine Ähnlichkeitstransformation mit einem invertierbaren P auseinander hervor.

12 12 Gruppentheorie Satz 1.2. Schur sches Lemma Teil II Eine endlichdimensionale Darstellung f : G GL(n, Ê bzw. GL(n, ist genau dann irreduzibel, wenn nur die Vielfachen λ ½ der Einheitsmatrix ½ (λ mit allen Matrizen f(g vertauschen, A f(g = f(g A g A = λ ½. (1.21 Beweis. Wir beschränken uns hier auf den Beweis der Aussage: Falls f irreduzibel ist und A mit f(g vertauscht, so ist A proportional zu ½. Sei U der Raum der Eigenvektoren von A zum Eigenwert κ und sei u U. Dann gilt A f(gu = f(g Au = f(gκu = κ ( f(gu, d.h. f(gu U. Somit ist U ein invarianter Unterraum. Da f irreduzibel ist, ist U = Ê n bzw. n. Damit gilt A = κ ½. Damit können wir jetzt verstehen, dass für reduzible Darstellungen die Darstellungsmatrizen block-diagonal (siehe (1.17 sind und für irreduzible nicht. Offensichtlich vertauscht für blockdiagonale Matrizen nicht nur die Einheitsmatrix mit den Darstellungsmatrizen, sondern auch diag(λ 1,... λ 1, λ 2,... λ 2,..., wobei die Anzahl der gleichen λs der jeweiligen Dimension des Blocks entspricht. Grob gesprochen setzen sich reduzible Darstellungen aus Blöcke irreduzibler Darstellungen zusammen. Insbesondere sieht man, dass es relativ einfach sein wird, reduzible Darstellungen zu diskutieren, wenn die irreduziblen erst einmal verstanden sind. 1.6 Kurven Definition Eine C r -Kurve k auf einer Lie-Gruppe G ist eine Abbildung k : Ê ]t, t + [ G, (1.22 wo für jede Karte (U i, ϕ i die Abbildung ϕ i k vom Typ C r ist. Beispiel 1.4. Die Gruppe der Drehungen im Dreidimensionalen kann durch drei Winkel θ, ϕ und ψ parametrisiert werden, z.b. über wobei D(φ, ψ, ϑ = R x (φ R y (ψ R z (ϑ, (1.23 R x (φ = R y (ψ = R z (ϑ = cosφ sin φ 0 sinφ cosφ cosψ 0 sinψ sinψ 0 cosψ cosϑ sin ϑ 0 sinϑ cosϑ ,,. Eine Kurve bildet dann z.b. die Abbildung: wobei k : t D(0, 0, t = R z (t. (1.24 Ein Produkt zweier Kurven kann erklärt werden über K (k 1, k 2 k 1 k 2, (1.25 (k 1 k 2 (t = { k1 (2t, 0 t 1 2, k 1 (1 k 2 (2t 1, 1 2 t 1, (1.26

13 1.6 Kurven 13 k 1 e k 1 k 2 e k 2 = e Abbildung 1.1: Multiplikation von Kurven. und k 2 (0 = e. Anschaulich bedeutet das, dass man die Kurven aneinandersetzt (siehe Abbildung 1.1. Fazit Lie-Gruppen sind Mannigfaltigkeiten mit Gruppenstruktur. Diese sind (fast automatisch analytische Mannigfaltigkeiten.

14 14 Gruppentheorie 2 Lie-Algebren 2.1 Tangentialraum Definition 2.1. Sei k eine Kurve mit k(0 = g G und f : G Ê eine beliebige C 1 -Funktion. Ein Tangentialvektor X an G in g G ist eine Abbildung, die f den Wert X[f] = d ( f k(t (2.1 dt t=0 zuordnet. Die Zahl d dt (f k(t t=0 heißt Richtungsableitung von f in Richtung dk(0 dt an der Stelle g. d Bemerkung 2.1. (a Die Richtungsableitung, d.h. die Zahl dt (f k(t t=0, ist unabhängig von der Wahl der Karte. (b In einer gegebenen Karte (U, ϕ berechnet man die Richtungsableitung über d ( f k(t dt t=0 = d(f ϕ 1 ϕ(k(0 d ( ϕ ( k(t t=0. (2.2 dt Definition 2.2. Seien X, Y Tangentialvektoren in g G. Mit (X + Y [f] := X[f] + Y [f] f C 1 (G Ê, (ax[f] := a X[f] f C 1 (G Ê, a Ê bildet die Menge der Tangentialvektoren einen Vektorraum, den Tangentialraum T g G. Definition 2.3. Für eine Karte (U, ϕ und eine fest vorgegebene Basis {b j } n j=1 des Ên heißen alle Kurven der Form k j : t ϕ 1 (a + t b j (2.3 mit einem a ϕ(u Koordinatenlinien. Für g = ϕ 1 (a bilden die Tangentialvektoren zu k j für 1 j n eine Basis des T g G, die sog. natürliche Basis. Beispiel 2.1. Betrachte wieder die Drehungen im Raum, dann ist k : t D(0, 0, t = R z (t (2.4 Koordinatenlinie bzgl. der Karte ϕ : D(φ, ψ, ϑ (φ, ψ, ϑ Ê 3. (2.5 Der zu k gehörige Tangentialvektor wirkt auf f folgendermaßen: d ( f k(t dt t=0 = d(f ϕ 1 ϕ(d(0,0,0 d dt ( f ϕ 1 f ϕ 1 =,, φ ψ = f ϕ 1 (0, 0, 0, ϑ ( ϕ ( D(0, 0, t t=0 f ϕ 1 ϑ (0,0,0 d.h. er ordnet also f den Wert f ϕ 1 ϑ (0, 0, 0 zu. Bemerkung 2.2. (a Sei F eine Abbildung F : G G. Dann gilt X[f F] = df(gx[f], (2.6 wo df das Differential von F und X T g G ist.

15 2.2 Vektorfelder 15 (b Seien x j die Koordinaten des Ê n bzgl. der Basis {b j } n j=1. Den zur Koordinatenlinie k j gehörigen Basisvektor X kj bezeichnet man dann oft mit x, denn die Anwendung auf f j liefert X kj [f] = f ϕ 1 x j (a. (2.7 (c Ein beliebiger Tangentialvektor X ist als Linearkombination der Basisvektoren darstellbar, X = n X j X kj j=1 = X j x j. (2.8 Oft identifiziert man dann den Tangentialvektor mit seinen Komponenten, X Identifizierung = (X 1,... X n. (2.9 (d Die Komponenten X i des Tangentialvektors geben die lineare Approximation an die Kurve im Koordinatenraum wieder, d.h. ( ϕ k(t i = ( ϕ k(0 i + Xi t + O(t 2 = ( ϕ(g i + Xi t + O(t 2. (2.10 Konvention. Im Folgenden soll immer eine Karte (U, ϕ betrachtet werden, in der U das Einheitselement e enthält und und in der o.e. ϕ(e = 0 Ê n gilt. 2.2 Vektorfelder Definition 2.4. Ein Vektorfeld ist eine Abbildung, die jedem g G einen Tangentialvektor X T g G zuordnet. Konvention. Bezüglich der Karte (U, ϕ, die e enthält, kann man X schreiben als X = X i (x 1,... x n x i. (2.11 Dabei sollen die X i : Ê n Ê mindestens C 2 sein. 2.3 Lie-Klammer Definition 2.5. Seien X und Y Vektorfelder. Als Lie-Klammer bezeichnet man [X, Y ] mit [X, Y ] [f] = X [ Y [f] ] Y [ X[f] ]. (2.12 Satz 2.1. Sei f C 2 (G, Ê. Die Lie-Klammer [X, Y ][ ] zweier Vektorfelder X und Y ist für solche f auch ein Vektorfeld. Beweis. Sei X = X i (x x i und Y = Y j (x x j. (2.13 Für den Beweis werden nur Vektorfelder an e, d.h. nur X T e G, betrachtet; man kann jedoch beliege andere Punkte ansehen. Dann ist mit F := f ϕ 1 [X, Y ] [f] = X i (x ( x i Y j (x F (x ( x x=0 j Y j (x x j X i (x F (x x x=0 i = X i (0 Y j F (0 xi x j (0 Y j (0 Xi F (0 xj x i (0 + X i (0Y j 2 F (0 x i x j (0 Y j (0X i 2 F (0 x j x i(0 = (X i (0 Y j x i (0 Y i (0 Xj x i (0 }{{} =:Z j(0 x j F(0

16 wegen der Symmetrie der zweiten Ableitung. 2.4 Lie-Algebra Definition 2.6. Sei h G. Durch L h g = h g für g G (2.14 definiert man die Linkstranslation L h. Definition 2.7. Ein Vektorfeld X auf G heißt linksinvariant, falls X(h g = dl h X(g h, g G. (2.15 Bemerkung 2.3. Man sollte (2.6 nicht mit (2.15 verwechseln. Oben wurde das Objekt, auf das der Tangentialvektor X wirkt, einer Transformation unterworfen, hier geschieht dies mit dem Punkt g, an dem das Vektorfeld X auszuwerten ist. In der Notation setzen wir zur Unterscheidung auch das Objekt, auf das X wirkt, in eckige Klammern [ ], und den Punkt, an dem das Vektorfeld auszuwerten ist, in runde (. Definition 2.8. Die Lie-Algebra g einer Lie-Gruppe G ist der Vektorraum aller linksinvarianten Vektorfelder mit der Lie-Klammer als Multiplikation. Bemerkung 2.4. (a Die Multiplikation in der Algebra wurde so gewählt, da die Lie-Klammer zweier Vektorfelder wieder ein Vektorfeld ist. (b Linksinvariante Vektorfelder erfüllen X(g = dl g X(e. (2.16 Dies impliziert, dass [dl g X(e, dl g Y (e] = dl g [X(e, Y (e]. (2.17 Daher ist die Lie-Algebra isomorph zu T e G. Dies erlaubt es uns, die linksinvarianten Vektorfelder X(g mit X ausgewertet an der Stelle e, d.h. X(e, zu identifizieren. (c Die Basiselemente der Lie-Algebra bzw. von T e G heißen Generatoren. In der Physik erhalten sie meist noch einen Faktor i. Beispiel 2.2. Die gebräuchlichen Lie-Gruppen haben die in Tabelle 2.1 aufgelisteten Lie- Algebren. Tabelle 2.1: Einige Matrix-Lie-Gruppen und die zugehörigen Lie-Algebren. Physiker definieren die Generatoren mit einem zusätzlichen Faktor i. Lie-Gruppe Definition Lie-Algebra Mathematiker Physiker GL(n, Ê reelle n n-matrizen reelle n n-matrizen imaginäre mit Determinante 0 n n-matrizen SL(n, Ê reelle n n-matrizen reelle n n-matrizen imaginäre n n- mit Determinante 1 mit Spur 0 Matrizen mit Spur 0 O(n reelle n n-matrizen reelle antisymmetrische imaginäre A mit A T A = e n n-matrizen antisymmetrische n n-matrizen Fortsetzung auf der nächsten Seite...

17 2.4 Lie-Algebra 17 Lie-Gruppen & Lie-Algebren - Fortsetzung Lie-Gruppe Definition Lie-Algebra Mathematiker Physiker SO(n reelle n n-matrizen reelle antisymmetrische imaginäre A mit A T A = e und n n-matrizen antisymmetrische deta = 1 n n-matrizen U(n komplexe n n-matrizen antihermitesche hermitesche A mit A A = e n n-matrizen n n-matrizen SU(n komplexe n n-matrizen antihermitesche hermitesche A mit A A = e n n-matrizen n n-matrizen und deta = 1 mit Spur 0 mit Spur 0 Begründung: Um die Lie-Algebra zu bestimmen, muß man T e G bestimmen. Betrachte also Kurven K(t = ϕ ( k(t im Koordinatenraum, die durch ½ = ϕ(e verlaufen. In K(t = ½ + B t + O(t 2 (2.18 entspricht B der Koordinatendarstellung eines Tangentialvektors. Z.B. bei der O(n fordert man, dass K(tK T (t = ½. (2.19 Das bedeutet für B, dass (½ + B t +... (½ + B t +... T = ½ + B t + B T t + O(t 2! = ½ B T = B, (2.20 d.h. B muß antisymmetrisch sein. Die Lie-Algebra der O(n besteht also aus den antisymmetrischen n n-matrizen. Die Lie-Algebren der anderen Lie-Gruppen erhält man aus analogen Überlegungen. Bemerkung 2.5. Physiker-Konvention Wie man an Tabelle 2.1 erkennt, ist die Konvention der Physiker, die Generatoren mit einem Faktor i zu verzieren, gerade so gewählt, dass die Lie-Algebra der unitären Matrizen aus den hermiteschen (und nicht den antihermiteschen Matrizen besteht. Definition 2.9. Sei G eine Lie-Gruppe und {t i } eine Basis ihrer Lie-Algebra g. Dann heißen die Zahlen f k ij mit [t i, t j ] = f k ij t k (2.21 Strukturkonstanten der Lie-Algebra g. Notation. In der Physiker-Konvention erhalten die Strukturkonstanten einen zusätzlichen Faktor i, d.h. (2.21 liest sich [ t i, t j ] = i fk ij t k (2.22 mit t k = i t k und f ij k = fk ij. Wir werden die Schlange im Folgenden weglassen.

18 18 Gruppentheorie Bemerkung 2.6. Die Strukturkonstanten erfüllen f k ij = f k ji (Antisymmetrie, (2.23 f m ij f l mk + f m ki f l mi + f m jk f l mi = 0 (Jacobi-Identität. (2.24 Beispiel 2.3. Die Lie-Algebra der Drehgruppe, die durch die SO(3 dargestellt werden kann, besteht aus den antisymmetrischen (imaginären 3 3-Matrizen. Eine Basis der Lie-Algebra ist beispielsweise: T x = (i T y = (i T z = (i ,,. Es ergeben sich die Strukturkonstanten: f k ij = ε ijk (komponentenweise. (2.25 Zu einer gegebenen Lie-Gruppe kann man sich mittels (2.21 die Strukturkonstanten bestimmen, d.h. man kommt von der Gruppe zur Lie-Algebra. Aber gibt es auch den umgekehrten Weg? Tatsächlich charakterisieren die Strukturkonstanten die Lie-Gruppe in folgendem Sinn: Satz 2.2. Dritter Lie scher Fundamentalsatz Zu beliebigen n 3 Zahlen fij k, die (2.23 und (2.24 erfüllen, existiert eine Lie-Gruppe G, deren Strukturkonstanten fij k sind. Bis auf Lie-Gruppen-Isomorphien gibt es genau eine zusammenhängende und einfach zusammenhängende Lie-Gruppe mit dieser Eigenschaft. Beweis. Siehe [4, S. 108 ff.]. Bemerkung 2.7. Die SU(2 hat die gleichen Strukturkonstanten wie die SO(3, mit [ σi 2, σ ] j 2 = i f k ij σ k 2 (2.26 f k ik = ε ijk (komponentenweise. (2.27 Dabei bezeichnen die σ i die üblichen Pauli-Matrizen, ( ( i σ 1 =, σ =, σ i 0 3 = ( (2.28 Die Gruppen sind dennoch nicht identisch, bei der SO(3 liefert eine Drehung um 360 = 2π die Identität, bei der SU(2 erst die Drehung um 4π. 2.5 Exponentialabbildung Es geht darum, einen Weg von der Lie-Algebra g (zurück zur zugehörigen Lie-Gruppe G zu finden.

19 2.5 Exponentialabbildung 19 Definition Eine Kurve y : Ê G heißt ein-parametrige Untergruppe von G, falls y der Bedingung genügt. y(ty(s = y(t + s (2.29 Zu einer gegebenen ein-parametrigen Untergruppe y findet man ein Vektorfeld X, so dass d dt f( y(t = X ( y(t [f] (2.30 für alle f C 1( G, Ê gilt. Man kann weiter zeigen, dass diese X linksinvariant sind und es zu jedem linksinvarianten X eine eindeutig bestimmte ein-parametrige Untergruppe y gibt, so dass (2.30 gilt [6]. Man spricht dabei von der durch X erzeugten einparametrigen Untergruppe y. Definition Sei G eine Lie-Gruppe und g ihre Lie-Algebra. Dann ist die Exponentialabbildung exp : g G durch exp(x := y(1 (2.31 definiert, wo y die von X erzeugte einparametrige Untergruppe ist. Bemerkung 2.8. Man kann die Exponentialabbildung auch erklären durch die übliche Potenzreihe. Dazu muß man jedoch von der Lie-Algebra g auf ihre Einhüllende übergehen, wo alle Produkte der Generatoren von g als neue Generatoren erklärt sind. Eigenschaften der Exponentialabbildung: 1. exp(0 = e. 2. exp ( (a + bx = exp(a X exp(b X für alle a, b Ê. 3. Die Abbildung exp : g G ist ein analytischer Diffeomorphismus, d.h. eine analytische injektive Abbildung von einer Umgebung von 0 g auf eine Umgebung von e G. Beispiel 2.4. Betrachte die SO(2. Als Generator wählt man Es gilt: T = ( = X(e. (2.32 dy dt (t = X ( y(t = X ( L y(t e = dl y(t X(e = y(t T. (2.33 Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die Exponentialmatrix (T t n y(t = y(0 exp(t t = e n! n=0. (2.34 In diesem Fall rechnet man nach, dass ( cost sin t y(t =. (2.35 sint cost

20 20 Gruppentheorie 2.6 Adjungierte Darstellung Ausgehend von der adjungierten Darstellung einer Lie-Gruppe (vgl. S. 10 konstruieren wir eine Abbildung zwischen T g G und T ADh gg durch das Differential dad h. Die Einschränkung auf g = e bezeichnen wir mit Ad h, Ad h : T e G T e G, Ad h = dad h TeG. (2.36 Mit der Identifizierung g T e G erhalten wir so die adjungierte Abbildung Ad : G g g. Mit Hilfe der Exponentialabbildung sehen wir, dass die adjungierte Abbildung formal die selbe Gestalt hat wie AD. Sei X ein Vektorfeld in Matrixdarstellung, dann gilt Ad h X = d dt [AD h exp(t X] t=0 = d dt [ exp(t h X h 1 ] t=0 = h X h 1. (2.37 An Gleichung (1.15 erkennt man, dass AD = σ AD (h, g als Abbildung von zwei Argumenten angesehen werden kann; das Differential bzgl. des zweiten Arguments g definiert Ad. Nun kann man weiter das Differential der Abbildung h Ad h betrachten. Definition Die Abbildung ad := dad(e (2.38 bezeichnet das Differential der Abbildung h Ad h und wird adjungierte Darstellung der Lie-Algebra g genannt. Satz 2.3. Für X, Y g gilt ad(xy = [X, Y ]. (2.39 Als Motivation betrachte h = e + ε X + O(ε 2. Dann gilt h 1 = e ε X + O(ε 2 und ( ( h Y h 1 = e + ε X + O(ε 2 y e ε X + O(ε 2 = Y + ε [X, Y ] + O(ε 2. (2.40 Bemerkung 2.9. Es gilt die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel, exp(a exp(b = exp ( A + B [A, B] (2.41 Betrachte nun zwei Elemente der Lie-Gruppe g = exp(t X und h = exp(t Y. Für kleine t erhalten wir h g h 1 = exp(t Y exp(t X exp( t Y = exp ( t (X + Y t [Y, X] +... exp( t Y = exp ( t X t [Y, X] 1 2t [X + Y, Y ] +... = exp (X + t [Y, X] Damit kann man (2.39 ebenfalls motivieren. Bemerkung Man rechnet explizit nach, dass [ad(x, ad(y ] W = [X, [Y, W]] [Y, [X, W]] = [X, [Y, W]] + [Y, [W, X]] (2.24 = [W, [X, Y ]] = [[X, Y ], W] = [Z, W] = ad(zw (2.42 mit Z = [X, Y ], d.h. ad bildet eine Darstellung der Lie-Algebra.

21 2.7 Killing-Form Killing-Form Definition Sei D eine Darstellung der Lie-Algebra g, d.h. jedem X g wird eine Matrix D(X zugeordnet. Das Skalarprodukt zweier Elemente der Lie-Algebra ist erklärt über (X, Y D(g := 1 k D TrD(XD(Y, (2.43 wo k D eine darstellungsabhängige Normierungskonstante bezeichnet. Es sollte nun möglich sein, das Skalarprodukt zweier Elemente Y und Z der Lie-Algebra alleine durch die Kenntnis der Komponenten in Y = n y i t i und Z = i=1 n z j t j, j=1 wo die X i die Basiselemente bezeichnen, zu bestimmen. Wir suchen also eine Metrik g ij mit (Y, Z D(g = y i g ij z j. (2.44 Dies führt wegen (Y, Z D(g = 1 k D TrD(Y D(Z = n i,j=1 y i z j 1 k D TrD(t i D(t j auf folgende Definition Die Killing-Form einer Darstellung D(g der der Lie-Algebra g ist gegeben durch g ij = 1 k D TrD(t i D(t j. (2.45 Bemerkung (a Es ist zu beachten, dass g ij kein gewöhnliches Skalarprodukt liefert. Es ist nämlich (X, X D(g nicht positiv definit, insbesondere wenn man zur Lie-Algebra mit komplexen Koeffizienten übergeht ( Bemerkung 3.2, S. 25. Deshalb spricht man besser von der Killing-Form [1]. (b Da die Basen äquivalenter Darstellungen durch Ähnlichkeitstransformationen auseinander hervorgehen, und da die Spur invariant ist gegenüber solchen Transformationen, ist das Skalarprodukt bis auf k D unabhängig von der Basis der Darstellung bzw. k D kann so gewählt werden, dass das Skalarprodukt unabhängig von der Darstellung dieselben Werte liefert. (c Wir ermitteln für festes m die Wirkung von ad(t k ad(t l auf t m in der adjungierten Darstellung, (ad(t k ad(t l t m = ad(t k [t l, t m ] = [t k, [t l, t m ]] = [t k, i f n lm t n ] = i flm n [t k, t n ] = fkn s fn lm t s t s. }{{} (2.46 =:(M (kl s m Insbesondere liefert die Spur der Matrix (M (kl s m die Beziehung zwischen der Killing-Form und den Strukturkonstanten, g kl = (t k, t l ad(g = Tr(ad(t k ad(t l = f s knf n ls. (2.47

22 22 Gruppentheorie (d Wegen finden wir (ad(zx, Y ad(g + (X, ad(zy ad(g = ([Z, X], Y ad(g + (X, [Z, Y ] ad(g = 0 (Ad(gX, Y ad(g = (X, Ad(gY ad(g (2.48 für beliebige g G. (e Es gilt: Ist g kl positiv definit, so ist g kompakt. In diesem Fall kann man g kl auch als Metrik auffassen. (f Die Zahlen f ijk = f l ij g lk sind stets total antisymmetrisch in den Indizes. (g Im Folgenden sei (, := (, ad(g. ( Einfache und halbeinfache Lie-Algebren und Gruppen Definition Sei g eine Algebra mit Multiplikation [, ] und h g ebenfalls eine Algebra bzgl. [, ], d.h. h 1, h 2 h [h 1, h 2 ] h. (2.50 Dann ist h eine Unteralgebra von g. Definition Eine Unteralgebra j g einer Algbebra g heißt Ideal, falls die Multiplikation mit Elementen von j in g wieder nach j führt, d.h. [j, x] j x g falls j j. (2.51 Definition Enthält eine Lie-Algebra kein Ideal, so heißt sie einfach. Enthält sie kein abelsches Ideal, so heißt sie halbeinfach. Bemerkung Gruppe. (a Eine (halb-einfache Lie-Algebra generiert eine (halb-einfache Lie- (b Eine halbeinfache Lie-Algebra ist die direkte Summe einfacher Lie-Algebren. Daher werden wir uns im Folgenden nur mit einfachen Lie-Algebren beschäftigen. Die Killing-Form liefert ein Entscheidungskriterium, ob eine gegebene Lie-Algebra g halbeinfach ist oder nicht: Satz 2.4. Ist die Killing-Form g kl nichtsingulär, so ist g halbeinfach. Beweis. Wir nehmen an, g kl sei nichtsingulär und g besitze ein abelsches Ideal b. Sei {b 1,... b m } eine Basis von b. Wähle eine Basis {y m+1,... y n } von g/b, d.h. wir legen die Basis von g so an, dass die Basisvektoren von g gegeben sind durch { bk, 1 k m, X k = y k, m + 1 k n. Um die Killing-Form zu berechnen, betrachten wir f s ki f i 1j X s (2.46 = [X k, [b 1, X j ]]. Falls j m, verschwindet die rechte Seite, denn das Ideal ist abelsch und der innere Kommutator liefert 0. Wegen der linearen Unabhängigkeit der X k müssen dann die Koeffizienten auf der linken Seite verschwinden.

23 2.9 Zusammenfassung 23 Falls k m, verschwindet der äußere Kommutator, denn der innere Kommutator liegt in b. Gilt j, k > m, so ist die rechte Seite eine Linearkombination der b l, d.h. die Koeffizienten auf der linken Seite müssen verschwinden für s > m. Damit folgt aber g k1 = s=j f s kif i 1j = 0, und g kl ist singulär. 2.9 Zusammenfassung Fazit Ausgehend von (der Matrixdarstellung einer Lie-Gruppe G kann man sich relativ einfach die zugehörige Lie-Algebra g bestimmen. Diese jedoch ist charakteristisch für die Lie-Gruppe, d.h. bis auf die globale Struktur gibt es zu einer vorgegebenen Lie-Algebra nur eine Lie-Gruppe: einfach zusammenhängende Lie-Gruppe G mehrfach zusammenhängende Lie-Gruppen G/D 1 exp G/D i G/D r Lie-Algebra g

24 24 Gruppentheorie 3 Wurzeln und Gewichte In diesem Abschnitt diskutieren wir zunächst die Lie-Algebra su(2. Die Begriffsbildungen, die wir hierbei vornehmen, lassen sich auf alle anderen einfachen Lie-Algebren übertragen. 3.1 Darstellungstheorie der su(2 Bemerkung 3.1. Die Gruppe SU(2 als auch die SO(3 besitzen die selbe Lie-Algebra, die wir mit su(2 bezeichnen wollen. Wir verwenden die Physiker-Konvention, in der die Generatoren J i hermitesch sind, d.h. J i = J i. Die Lie-Algebra su(2 wird erzeugt durch die drei Generatoren {J i } 3 i=1, die der Relation (3.1 [J i, J k ] = i l ε ikl J l (3.2 genügen. Wir wählen den Darstellungsraum so, dass J 3 diagonal ist. Sei weiterhin j der (möglicherweise entartete höchste Eigenwert von J 3, d.h. J 3 j, α = j j, α. (3.3 Dabei kennzeichnet α die verschiedenen entarteten Eigenvektoren, und wir fordern die Normierung und j, α j, β = δ αβ. (3.4 Nun definieren wir die Auf- und Absteigeoperatoren J ± durch J ± := 1 2 (J 1 ± i J 2 = J. (3.5 Durch Nachrechnen erhalten wir für diese die Relationen [J 3, J ± ] = ±J ± (3.6a [J +, J ] = J 3. (3.6b Fassen wir den Kommutator als Wirkung des Elements J 3 auf die Lie-Algebra in der adjungierten Darstellung auf, ad(j 3 [J i ] = [J 3, J i ] = i j ε 3ij J j, so finden wir ad(j 3 J 1 J 2 = 0 i 0 i 0 0 J 1 J 2 = (ad(j 3 j i J j. J J 3 Hierbei assoziieren wir mit jedem Generator einen Basis-Zustand des Darstellungsraumes, J i J i ; weiterhin bezeichnen wir (ad (J 3 i j als die Darstellungsmatrix von J 3 in der adjungierten Darstellung. Diese Darstellungsmatrix muß diagonalisiert werden, falls wir die Relation (3.6a konstruieren wollen. Dies führt auf die Gleichung λ 3 + λ = 0 λ 1 = 0, λ 2/3 = ±i. Die gesuchten Eigenvektoren zu λ 2/3 sind natürlich J ± = 1 2 ( J 1 ± i J 2. Durch den Übergang zu J ± haben wir J 3 diagonalisiert. Andererseits haben wir auch eine, eigentlich nicht zulässige, Operation durchgeführt.

25 3.1 Darstellungstheorie der su(2 25 Bemerkung 3.2. Durch diese Definition sind wir von der ursprünglichen Lie-Algebra zur komplexen Erweiterung der Lie-Algebra, d.h. der Lie-Algebra mit komplexen Koeffizienten übergegangen. Die hier verwendeten Generatoren sind nicht mehr hermitesch, und die von ihnen erzeugte Lie-Gruppe ist nicht mehr kompakt. Es stellt sich jedoch heraus, dass die Vorteile der Diagonalisierung überwiegen. Sei nun weiter m, γ ein normierter Eigenvektor zu J 3 mit Eigenwert m, d.h. Dann gilt J 3 m, γ = m m, γ, mit m, γ m, γ = 1. (3.7 J 3 J ± m, γ = (m ± 1J ± m, γ, (3.8 der Vektor J ± m, γ ist also entweder 0 oder Eigenvektor zu J 3 mit Eigenwert m±1. Insbesondere gilt J + j, α = 0, (3.9 da j nach Voraussetzung den höchsten Eigenwert von J 3 bezeichnet, und J j, α = N j (α j 1, α (3.10 mit dem Normierungsfaktor N j. Diesen können wir ermitteln, indem wir die Orthogonalität der j, α für verschiedene α ausnutzen, N j (β N j (α j 1, β j 1, α = j, β J + J j, α Wir wählen N j reell, N j (α = j. Insbesondere finden wir mit J j k, α = N j k j k 1, α, J + j k 1, α = N j k j k, α für N j k die Rekursion = j, β [J +, J ] j, α = j δ αβ. (3.11 N 2 j k = j k, α J + J j k, α = j k, α [J +, J ] + J J + j k, α D.h. wir können = N 2 j k+1 + j k. N m = 1 2 (j + m(j m + 1 (3.12 wählen. Damit gilt J m, α = N m m 1, α, (3.13a J + m 1, α = N m m, α. (3.13b Diese Iteration funktioniert solange N 2 m > 0 gilt. Für m = j gilt N m = 0 und die Iteration bricht ab. Zu festem α finden wir also 2j+1 Eigenvektoren zu J 3 mit den Eigenwerten m = j, j 1, j. Insbesondere gilt: Damit j in ganzzahligen Schritten von j erreicht werden kann, muß j halboder ganzzahlig sein. D.h. die endlichdimensionalen Darstellungen der su(2 sind charakterisiert durch halb- oder ganzzahlig gannzzahlige j. Terminologie: Die Eigenwerte von J 3 heißen Gewichte, j nennt man das höchste Gewicht und die J ± bezeichnet man als Auf- bzw. Absteigeoperatoren.

26 26 Gruppentheorie 3.2 Wurzeln und Gewichte: Allgemeine Betrachtungen Es geht darum, die Konstruktion von J 3 und J ± auf beliebige einfache Lie-Algebren zu verallgemeinern. Dazu betrachten wir die Generatoren X a einer einfachen kompakten Lie-Algebra g in einer nichttrivialen Darstellung D mit hermiteschen Generatoren und in der adjungierten Darstellung. Wir unterscheiden hier zwischen den fett gesetzten abstrakten Operatoren X k, die die Algebra erfüllen, Darstellungsmatrizen X k und den Basiselementen der adjungierten Darstellung X k. (i Die Cartan-Unteralgebra Wir wählen Linearkombinationen H i der X a H i = a C ia X a, i = 1,...r (3.14 mit C ia Ê, so dass diese untereinander kommutieren [H i, H j ] = 0 i, j (3.15 und die Normierung 1 k D Tr(H i H j = (H i, H j = δ ij (3.16 gilt. 3 Dabei muß die Wahl der H i so erfolgen, dass r möglichst groß wird. Definition 3.1. Ein Element H g heißt regulär, falls es so wenig Eigenwerte 0 wie möglich besitzt. Bemerkung 3.3. In der Praxis wählt man ein reguläres H 1 und sucht sich dazu möglichst viele weitere H i, so dass (3.15 erfüllt ist. Die Zahl r der so konstruierten H i hängt nicht von der Wahl von H 1 ab, solange dieses regulär war [1]. Definition 3.2. Die von den H i aufgespannte Unteralgebra h von g heißt Cartan-Unteralgebra und die Zahl r Rang der Lie-Algebra g bzw. der Lie-Gruppe G. Weiterhin können wir die H i in einer beliebigen Darstellung diagonalisieren, d.h. wir betrachten in einer Darstellung D die mit den Operatoren H i assoziierten Matrizen H i. Da diese nach Voraussetzung untereinander kommutieren, können wir sie simultan diagonalisieren. Wir begeben uns also in eine Basis, in der H i ω, λ = ω i ω, λ (3.17 gilt. Dafür ist aber Voraussetzung, dass sich die Darstellungsmatrizen der H i in der adjungierten Darstellung diagonalisieren lassen. Dies erfordert i.a., dass wir zur komplexen Erweiterung der Lie- Algebra, d.h. der Lie-Algebra mit komplexen Koeffizienten übergehen (vgl. auch Bemerkung 3.2. Beispiel 3.1. Die komplexe Erweiterung der su(n ist die gl(n, [4]. Die ω := (ω 1,... ω r heißen Gewichtsvektoren und λ bezeichnet einen Satz an zusätzlichen Quantenzahlen. Bemerkung 3.4. (a In einer irreduziblen Darstellung kann es mehrere Eigenvektoren zum selben Gewichtsvektor ω geben. (b Die H i sind unabhängig von der Darstellung, d.h. die H i einer Darstellung bilden auch in einer anderen Darstellung die Cartan-Unteralgebra. 3 Beachte: Diese Konvention folgt [3], ist aber unterschiedlich von [1].

27 3.2 Wurzeln und Gewichte: Allgemeine Betrachtungen 27 Betrachten wir nun die adjungierte Darstellung, in der die Lie-Algebra auf sich selbst wirkt. Hier können wir insbesondere als Basis des Darstellungsraums die den Darstellungsmatrizen X k zugeordneten Vektoren { X k } n k=1 wählen, d.h. X k X l = [X k, X l ], (3.18 wo X k die Darstellungsmatrix des k-ten Generators bezeichnet. die Struk- Bemerkung 3.5. Wir können mit X k die Matrix fkl m assoziieren, wo k fest ist und fm kl turkonstanten bezeichnen, denn X k X l = [X k, X l ] = f m kl X m = f m kl X m. Dann haben wegen H i H j = [H i, H j ] = 0 = 2 H i H j H i H j = 0 die Zustände H i Gewicht 0. (ii Wurzeln Die Frage ist nun, welche Wahl der Basis der adjungierten Darstellung von g \ h besonders zweckdienlich ist. Für die Cartan-Unteralgebra h selbst haben wir ja die H i als Generatoren zur Verfügung. Um die Frage zu beantworten, betrachten wir den Raum der Zustände E α g \h. Da die H i kommutieren, lassen sich diese so wählen, dass H i E α = α i E α (3.19 gilt. Weiterhin assoziieren wir in der adjungierten Darstellung mit jedem Zustand E α ein Element der der Lie-Algebra E α g. Dies impliziert insbesondere in einer beliebigen Darstellung die folgende Relation [H i, E α ] = α i E α. (3.20 Die Eigenwerte α i heißen Wurzeln und die α = (α 1,...α r Wurzelvektoren. Die Schreibweise E α suggeriert bereits, dass die E α durch die Wurzelvektoren α eindeutig charakterisiert sind. Tatsächlich gilt: Satz 3.1. Zu jedem Wurzelvektor α 0 existiert genau ein E α. Beweis. Wir betrachten in der adjungierten Darstellung die E α und finden 0 = H i ( E α E α [ H i, E α E α] = 0. Das bedeutet aber, dass E α E α ein Element der Cartan-Unteralgebra ist, E α E α = i β i H i, die E α sind außerhalb der Cartan-Unteralgebra eindeutig. Bemerkung 3.6. Da die H i hermitesch sind, sind die α i reell. Damit sind aber die E α wegen ] [ ] α i E α = [H i, E α ] = (H i E α E α H i = [E α, H i = H i, E α notwendigerweise nicht hermitesch und es gilt weiter E α = E α. (3.21 Diese Relation ist die Verallgemeinerung zu (3.5, J ± = J.

28 28 Gruppentheorie Bemerkung 3.7. Es bezeichne h die Cartan-Unteralgebra. Diese bildet offensichtlich einen r- dimensionalen Vektorraum. Mittels der Killing-Form können wir dazu einen Dualraum h konstruieren, indem wir die Wirkung von η h auf h h folgendermaßen erklären, η(h = (h η, h (3.22 mit einem (eindeutig bestimmten h η h. Wie immer im Endlichdimensionalen sind h (als Vektorraum aufgefasst und h isomorph. Insbesondere können wir jedem Wurzelvektor α eine Linearform α h über die Vorschrift α(h i := α i (3.23 zuordnen. In diesem Sinn ist der Raum der Wurzeln der zur Cartan-Unteralgebra (als Vektorraum aufgefaßt duale Raum. Somit können wir jeder Wurzel α ein Element h α der Cartan-Unteralgebra zuordnen. Wir fordern, im Unterschied zu [1], dafür aber in Übereinstimmung mit [3], die Normierungsbedingung (3.16, (H i, H i = δ ij. 4 Wir können ansetzen h α = i α i H i mit irgendwelchen Koeffizienten α i. Dann ist α i = j α j (H i, H j ; wegen (3.16 gilt also α i = α i. (iii Auf- und Absteigeoperatoren Wir haben uns eine geeignete Wahl der Basiselemente der Lie-Algebra g erarbeitet. Indem wir (3.17 und (3.20 kombinieren, finden wir in einer beliebigen Darstellung H i E α ω, λ = (ω i + α i E α ω, λ, (3.24 d.h. E α ω, λ ist entweder 0 oder Eigenvektor zum Gewicht ω + α, E ±α ω, λ = N ±α,ω ω ± α, λ. (3.25 Der Vektor E α E α der adjungierten Darstellung hat Gewicht 0, denn man rechnet nach H i (E α E α = [H i, [E α, E α ]] = [E α, [H i, E α ]] [E α, [E α, H i ]] = [E α, α i E α ] [E α, α i E α ] = 0. (3.26 Damit muß er eine Linearkombination der H i sein, E α E α = i β i H i. (3.27 Lemma 3.2. Das Killing-Skalarprodukt zweier verschiedener Wurzeln verschwindet, d.h. (E α, E β = 0 für α β. (3.28 Beweis. Betrachte die Wirkung der Wurzeln auf ein Element X in der adjungierten Darstellung, [E α, [E β, X]]. Nun gibt es zwei Fälle: 4 Dank an C. Promberger für den Hinweis auf einen Fehler in einer früheren Version dieser Notizen.

29 3.2 Wurzeln und Gewichte: Allgemeine Betrachtungen X ist aus der Cartan-Unteralgebra, X h. Die Doppel-Lie-Klammer ist entweder Null oder proportional zu E α+β und weist damit keinen Anteil in Richtung X auf. 2. X ist eine Wurzel, etwa X = E γ. Die Doppel-Lie-Klammer ist entweder Null oder proportional zu E α+β+γ und damit wiederum nicht proportional zu X, solange α + β 0. In beiden Fällen verschwindet die Spur über das Produkt der Darstellungsmatrizen E α und E β. Damit bleibt die Freiheit der Normierung der Skalarprodukte (E α, E α. Diese wird so gewählt, dass in der adjungierten Darstellung E α E β := (E α, E β = 1 k Tr(E α E β = δ α, β (3.29 gilt, wo k = k ad die entsprechende Normierungskonstante bezeichnet. Die so konstruierten und normierten E α bzw. E α werden Ab- bzw. Aufsteigeoperatoren genannt und bilden die Verallgemeinerung von J ±. Übung 3.1. Zeige, dass in dieser Normierung für die Koeffizienten in (3.27 β i = α i (3.30 gilt. βi = Hi Eα E α = 1 k Tr(H i [Eα, E α] = 1 k Tr(H i Eα E α Hi E α Eα = 1 k Tr (E α Hi Eα E α Eα Hi = 1 k Tr(E α [Hi, Eα] = Eα Hi Eα = αi. Dies bedeutet insbesondere in einer beliebigen Darstellung Wir rechnen nach: [E α, E α ] = i α i H i. (3.31 Für ein festes α können wir durch Reskalierung mit α = i α2 i Operatoren E ± := 1 α E ±α und E 3 := 1 α 2 α i H i (3.32 konstruieren, die die selben Vertauschungsrelationen wie J ± und J 3 erfüllen, i [E 3, E ± ] = ±E ± und [E +, E ] = E 3. (3.33 Damit gibt es in der Darstellung D einen Satz an Eigenvektoren der H i, ω + p α, λ, ω + (p 1α, λ... ω q α, λ, wobei p und q festgelegt sind durch E α ω + p α, λ = 0 = E α ω q α, λ. (3.34 Diese { ω + n α, λ } p n=q bilden eine irreduzible Darstellung von su(2. Die Eigenwerte von E 3 sind wegen ω + n α, λ E 3 ω + n α, λ = 1 α 2 α i ω + n α, λ H i ω + n α, λ (unter der Annahme der Normierung der ω + n α, λ durch (ω + n α α α 2 = ω α α 2 + n i