Gruppen in der Physik Liegruppen und Liealgebren 1.Teil Vortrag vom Claudia Würz

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1 1 Einleitung Gruppen in der Physik Liegruppen und Liealgebren 1.Teil Vortrag vom Claudia Würz Im folgenden wollen wir uns mit Liegruppen und Liealgebren beschäftigen. Sie sind nicht nur für die Mathematik interessant, sondern finden auch in der Physik Anwendung. Der norwegische Mathematiker Marius Sophus Lie führte die Liegruppen und -Algebren zur Untersuchung von Symmetrien in Differentialgleichungen ein. 2 Die Matrixexponentialabbildung 2.1 Mat(n,K als metrischer Raum Skalarprodukt: X, Y := Re(Spur(XY, X, Y Mat(n,K ist eine positivdefinite symmetrische Bilinearform auf Mat(n,K. Für ǫ R + und X Mat(n,K setzt man B ǫ (X = {Y Mat(n,K; Y X < ǫ}. Eine Teilmenge M von Mat(n,K nennt man offen wenn X M ǫ R + : B ǫ (X M. Sie heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement (in Mat(n,K offen ist. M Gl(n,K ist abgeschlossen in GL(n,K für jede konvergente Folge (X n in Mat(n,K mit X n M für alle n N und lim X n GL(n,K gilt: lim X n M. Desweiteren gilt in Mat(n,K: Sind (X n und (Y n konvergente Folgen in Mat(n,K, die gegen X bzw. Y konvergieren, so konvergiert die Folge (X n Y n gegen XY. Eine Abbildung f : Mat(n,K Mat(n,K heißt stetig, wenn die Urbilder sämtlicher offener Mengen offen sind. GL(n,K ist offen in Mat(n,K. 2.2 Konvergenz und lokale Umkehrbarkeit der Exponentialabbildung Satz 1: Die Reihe 1 k=0 k! Xk ist für jedes X Mat(n,K absolut konvergent. 1

2 Definition 1: Die Abbildung exp : Mat(n,K GL(n,K; X expx := heißt (Matrix- Exponentialabbildung. k=0 1 k! Xk Erläuterung: exp X liegt in GL(n,K, da exp X stets invertierbar ist. Es gilt: (exp X 1 = exp( X Beispiel (1 X t = ( 0 t 0 0 = exp(x t = ( 1 t 0 1 (2 X t = Satz 2: ( 0 -t t 0 ( cos t -sin t = exp(x t = sin t cos t 1. Die Exponentialabbildung ist stetig differenzierbar (d.h Die Exponentialabbildung ist differenzierbar und die Ableitung ist stetig. Die Exponentialabbildung ist analytisch (d.h die Komponenten sind in absolut konvergente Potenzreihen entwickelbar. 2. Es gibt eine offene Umgebung der Nullmatrix, die diffeomorph (eine Abbildung f heißt Diffeomorphismus, wenn f bijektiv, f und f 1 differenzierbar sind auf eine offene Umgebung der Einheitsmatrix abgebildet wird. Da die Exponentialfunktion lokal umkehrbar ist kann man die Umkehrfunktion log von exp definieren: Definition 2: Die Reihe heißt Logarithmusreihe. log X = k01 1 k ( 1k 1 (X E k Bemerkung: Für X E < 1 ist die Logarithmusreihe absolut konvergent und stetig. Es gilt: exp log X = X für X E < 1 log exp X = X für exp X E < 1 2

3 2.3 Rechenregeln Für X, Y Mat(n,K mit [X, Y ] = XY Y X gilt: 1. [X, Y ] = 0, d.h.xy = Y X exp (X + Y = exp X exp Y 2. exp X GL(n,K und (exp X 1 = exp ( X 3. A 1 (exp XA = exp (A 1 XA für A GL(n,K 4. det exp X = exp (SpurX, falls K = R oder C, 2.4 Einparametergruppen Definition 3 Eine Einparametergruppe in G ist ein stetig differenzierbarer Homomorphismus D.h. eine stetige Abbildung mit γ : (R, + (G, GL(n,K. γ(t 1 + t 2 = γ(t 1 γ(t 2 t 1, t 2 R Es gilt dann: γ(0 = 1, γ( t = (γ(t 1 und die Bildmenge {γ(t t R} ist Untergruppe von G. Beispiel (1 α : t exp t ( ( 0-1 (2 β : t exp t 1 0 ( cos t -sin t = sin t cos t (1 ist eine Einparametergruppe in SL(2,R und (2 ist eine Einparametergruppe in SO(2. Der folgende Satz liefert alle Einparametergruppen in GL(n,K. Satz 3: 1. Für jedes X Mat(n, K ist γ X : R GL(n,K, γ X (t := exp (tx eine Einparametergruppe in GL(n,K. γ X ist beliebig oft differenzierbar mit γ (k X (t = γ X(tX k = X k γ X (t, k N, t R 3

4 2. Für jede Einparametergruppe γ in GL(n,K gilt γ = γ X mit X := γ (0. (Eindeutigkeit Korollar Die Zuordnung X γ X ist eine Bijektion von Mat(n,K auf die Menge der Einparametergruppen in GL(n,K. 2.5 Die Gleichung expx expy = exp h(x, Y Wir suchen nun eine Formel um exp X exp Y berechnen zu können wenn XY Y X. Da die Exponentialabbildung lokal umkehrbar ist, gibt es eine offene Umgebung U von 0 in Mat(n,K und eine Abbildung h : U U Mat(n,K so, dass exp X exp Y = exp h(x, Y für alle X, Y U. Mit Hilfe der Campbell-Hausdorff-Formel, die im folgenden Satz erläutert wird, lässt sich das Produkt exp X exp Y berechnen. Satz 4 Für alle X, Y Mat(n, K und hinreichend kleines t R gilt t k exp(tx exp(ty = exp( k! h k(x, Y k=1 = exp(tx + ty t2 [X, Y ] t3 ([X, [X, Y ]] + [Y, [Y, X]] + R(t, mit R(t Mat(n,K,. R(0 = 0, 1 lim t 0 t 3R(t = 0 3 Lineare Gruppen und ihre Lie-Algebren 3.1 Definition, Beispiele Für eine Untergruppe G von GL(n,K setzen wir LG = {X Mat(n,K; exp(tx G t R} Dies kann man als die Menge aller Einparametergruppen γ X in G auffassen. ( 2.4 Satz 3 4

5 Satz 5: Für Untergruppen G und H von GL(n,K gilt L(G H = LG LH G H LG LH Definition 4: Ein Vektorraum L über einem (beliebigen Körper K zusammen mit einer bilinearen Abbildung (1 (X, Y [X, Y ] heißt Lie-Algebra über K, wenn für alle x, y L (a [X, Y ] = [Y, X] Antikommutativität (b [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 Jacobi-Identität Ein Teilraum L einer Lie-Algebra L heißt Teilalgebra von L, wenn [X, Y ] L für alle X, Y L. Eine Lie-Algebra L heißt Abelsch, wenn [X, Y ] = 0 für alle X, Y L 3.2 Die Lie-Algebren der klassischen Gruppen Wir wollen nun LG für die klassischen Gruppen Allgemeine lineare Gruppe: GL(n, K = {A Mat(n, K; A invertierbar} = {A Mat(n,K; deta 0} Spezielle lineare Gruppe: Isometriegruppen: SL(n,K = {A Mat(n, K; deta = 1} Aut(V, H = {A GL(V ; h(av, Aw = h(v, w, v, w V } = {A GL(n,K; A HA = H} wobei (V,h ein Hermitescher oder anti-hermitescher Raum über (K, ist. 5

6 bestimmen. Satz 6: Für G = GL(n, K, SL(n, K und Aut(V, h ist LG eine Lie-Algebra über R, genauer: eine Teilalgebra der reellen Lie-Algebra Mat(n,K ; es gilt (algl(n,k = gl(n,k = Mat(n,K (blsl(n, K = sl(n, K = {X Mat(n, K; SpurX = 0} für K=R,C (claut(v, h = {X End K V ; h(xv, w + h(v, Xw = 0 für alle v, w V } Beweis: Aut(V, h = {A GL(n,K; A HA = H} H: Matrix von h bezüglich einer beliebigen Basis von V. Zu zeigen ist nun LAut(V, h = {X Mat(n,K; X H + HX = 0}. Wegen der Stetigkeit von X X gilt für alle X Mat(n,K (exp tx = exp(tx Differentiation der Abbildung γ(t = (exp(tx H exp(tx, t R ergibt γ(t = (exp tx (X H + HX(exp tx γ(0 = X H + HX Für X LG gilt γ(t = H t R γ (t = 0 t R. D.h. 0 = γ(0 = X H + HX. Ist umgekehrt X H + HX = 0, dann gilt γ (t = 0 t R. γ ist konstant mit γ(0 = H folgt γ(t = H t R. q.e.d. Wir wollen nun LAut(V, h bestimmen. Dazu berechnet man zuerst X H + HX = 0, indem man für H ( Ep 0 D pq =, 0 q < p 0 -E q einsetzt und erhält: ( ( R T Ep 0 Y Z 0 E q ( Ep E q ( R Y T Z ( R = + R T + Y Y T Z Z ( R + R T + Y Y T Z Z = ( R = R, T = Y, Y = T, Z = Z 6

7 Setzt man nun für die Involutionen X X t und X X t ein, so erhält man für die Isometriegruppen folgende Liealgebren: G ( R T t O(p,q,O(p,q { T Z LG ; R t = R, Z t = Z} O(n,C;SO(n,C ( t R T U(p,q;K { T Z {X Mat(n, C; X t = X} ; R t = R, Z t = Z} SU(p,q;C {X LU(p, q, C; SpurX = 0} 3.3 Lineare Gruppen Definition 6: Eine abgeschlossenen Untergruppe G von GL(n,K heißt lineare Gruppe. Satz 9: Die klassischen Gruppen sind lineare Gruppen. 3.4 Die Lie-Algebren linearer Gruppen In 3.1 haben wir für eine Untergruppe G von GL(n,K LG = {X Mat(n,K; exp(tx G t R} gesetzt. Da dies für beliebige Untergruppen G von GL(n,K gilt, gilt dies auch für die linearen Gruppen. Im folgenden wollen wir zeigen, dass LG eine Lie-Algebra für jede lineare Gruppe G ist. Satz 11: Für jede lineare Gruppe G ist LG eine Lie-Algebra über R. Um dieses Satz beweisen zu können benötigen wir das folgende Lemma: Lemma: 7

8 Für alle X, Y Mat(n, K gilt (a exp(x + Y = lim n [exp( 1 n X exp(1 n Y ]n (Trotter Produkt Formel (b exp([x, Y ] = lim n [exp( 1 n X exp(1 n Y exp(1 n X 1 ] n2 (Kommutator Formel Beweis: Wir wollen nun zeigen, dass LG = {X Mat(n,K; exp(tx G t R} für jede lineare Gruppe eine Lie-Algebra über R ist. Wir wissen bereits, dass Mat(n,K ein Vektorraum ist. Desweiteren gilt: Für jede Untergruppe G von GL(n,K ist mit X auch αx, α R in LG enthalten. Mit dem Lemma gilt nun: [exp( t n X exp( t n Y ]n G [exp( t n X exp( t n Y exp( t n X 1 exp( t n Y 1 ] n2 G für alle n N, t R, X, Y LG. Da G in GL(n,K abgeschlossen ist ( da G lineare Gruppe sind die Grenzwerte exp(t(x+y und exp(t 2 [X, Y ] für n in G ( siehe Definition der Abgeschlossenheit 2.1. LG ist ein Vektorraum. Die Antikommutativität und die Jacobi-Identität ergeben sich durch einfaches nachrechnen. LG ist Liealgebra. Definition 7: LG heißt Lie-Algebra von G. 3.5 Die Exponentialabbildung einer linearen Gruppe Definition 5: Die Abbildung exp G : LG G heißt Exponentialabbildung der Gruppe G Wir wissen (2.2 Satz 2.2, dass exp eine offene Umgebung U von 0 diffeomorph auf eine offene Umgebung V von E in Mat(n,K abbildet. Wenn man dies verallgemeinert, so ergibt sich: Satz 12: Ist G eine lineare Gruppe, so gibt es eine offene Umgebung von 0 in LG, die durch exp G diffeomorph auf eine offene Umgebung von E in G abgebildet wird. (Gilt auch für die klassischen Gruppen, da diese zu den linearen Gruppen zählen. 8

9 Parametrisierung Es sei G eine lineare Gruppe und T 1,...T d eine (R- Basis von LG. Dann gibt es eine offene Umgebung von (0,...0 in R d, die durch (t 1,..., t d exp(t 1 T t d T d diffeomorph auf eine offene Umgebung von E in G abgebildet wird. 3.6 Die von exp G (LG erzeugte Untergruppe von G: Zusammenhang Bemerkung: Die Exponentialabbildung ist nicht surjektiv. Wir zeigen dies an einem klassischen Beispiel: Beispiel ( -1 a A = SL(2,C mit a Wir zeigen nun, dass A nicht im Bild von sl(2,c liegt. Angenommen X sl(2,c a C x : exp X = A. Für X sl(2,c gilt: SpurX = 0 = Eigenwerte von X c, -c sind Eigenwerte von X e c, e c sind Eigenwerte von A Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms ( -1-t a = ( 1 t t ergibt sich e c = 1, also c 0. Damit hat X zwei verschiedene Eigenwerte und ist daher diagonalisierbar. ( c 0 T GL(2,C : T 1 XT = 0 -c ( -1 0 T 1 AT = exp(t 1 XT = 0-1 A = E Dies ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung a 0. Satz 13: Für eine lineare Gruppe G ist die von exp(lg erzeugte Untergruppe G 0 := {exp(x 1... exp(x k ; X 1,...X k LG, k N} 9

10 ein zusammenhängender, offener und abgeschlossener Normalteiler in G mit LG 0 = LG. Satz 14: Die Zusammenhangskomponenten einer linearen Gruppe stimmen mit den Nebenklassen AG 0 A G überein; insbesondere ist G 0 = G die Einskomponente von G. Satz 15: exp G ist surjektiv für G=U(n,SU(n,SO(n und Sp(2n. Bemerkung: Es gibt Liegruppen, die nicht zu den linearen Gruppen gehören. Garrett Birhoff zeigte 1936 dass G 3 = G 3 /N mit G 3 Gruppe der Matrizen M(x, y, z = 1 x z 0 1 y und N Gruppe der Matrizen M(0, 0, n = 1 0 n eine Liegruppe ist, die keine lineare Gruppe ist. Definition: Sei G eine Gruppe und gleichzeitig eine analytische K-Mannigfaltigkeit. Dann heißt G eine K-Liegruppe, wenn µ : G G G Gruppenmultiplikation und ι : G G Gruppeninversion K-analytisch. 4 Zusammenfassung Probleme für die Liegruppen können gelöst werden, indem man sie auf die zugehörige Liealgebra überträgt und dort mit Mitteln der Algebra behandelt. Das Ergebnis kann anschließend wieder in die Gruppe zurückübersetzt werden. 10

11 5 Anmerkung (1 Eine *-Hermitesche Form auf einem K-Vektorraum V ist eine Abbildung h : V V K mit (HF1 h(x, y + z = h(x, y + h(x, z, h(x, αy = αh(x, y (HF2 h(x, y = h(y, x für alle x, y, z V und α K. Das Paar (V,h hießt dann Hermitescher Raum über (K,*. Im Fall = id heißt h symmetrische Bilinearform. Mit (HF2 folgt aus (HF1 für alle x, y, z V und α K. (HF1 h(x + y, z = h(x, z + h(y, z h(αx, y = α h(y, x Eine Sesquilinearform auf einem C-Vektorraum V ist eine Abbildung h : V V C, für die (HF1 und (HF1 gilt mit =. 11