Grundlagen der Mathematik I

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1 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt I Abgabe: bis Freitag, den 2. Mai 24, : Uhr Aufgabe : Unter den folgenden sechs Aussagen sind einige nur verschiedene Beschreibungen ein und desselben Sachverhalts. Finden Sie heraus welche das sind, und begründen Sie Ihre Antwort: () {x} M (2) {x} 2M (3) x 2 M (4) {x}\m = ; (5) {x}\m = ; (6) M \{x} = ; (7) {x}\m 6= ; (8) M \{x} 6= ; Aufgabe 2: Seien M,N zwei Mengen, und seien A, A M und B,B N Untermengen. Veranschaulichen Sie die Mengen (A B) \ (A B )und(a \ A ) (B \ B ). Widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel die Behauptung, dass diese beiden Mengen im Allgemeinen (d.h. für jede Wahl der beteiligten Mengen) gleich sind. Zeigen Sie weiter, dass sich (A B) \ (A B ) immer als Vereinigung zweier Mengen der Form C D schreiben lässt. Aufgabe 3: Sei f : X! Y eine Abbildung und A X eine Teilmenge. Untersuchen Sie, ob f (f(a)) etwas mit A zu tun hat. Hinweis: Es mag Sie stören, wenn hier nicht genau gesagt ist, was Sie eigentlich machen sollen. Aber diese Art der Fragestellung ist in der Wissenschaft durchaus praxisnah: man weiß ja in der Regel nicht im Voraus, was herauskommt. Im übrigen werden Sie sicher eine Vermutung zu dieser Aufgabe haben; versuchen Sie diese zu beweisen (dann sind Sie fertig) oder zu widerlegen (was dann Anlass zu einer neuen Vermutung wäre). Aufgabe 4: Seien f : X! Y und g : Y! Z zwei Abbildungen. Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen richtig sind: () Sind f und g injektiv, so ist g f injektiv. (2) Ist g f injektiv, so ist f injektiv. (3) Ist g f injektiv, so ist g injektiv.

2 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt II Abgabe: bis Donnerstag, den 8. Mai 24, 2: Uhr Aufgabe : Leiten Sie eine einfache Beschreibung der Menge X := {x 2 R x 2 + 3x 4 } her und skizzieren Sie X auf der Zahlengeraden. Aufgabe 2: Beweisen Sie die Ungleichung für alle x 2 R mit x> und alle n 2 N. x n+ + x n+ x n + x n Aufgabe 3: Beweisen Sie durch vollständige Induktion die Gleichung nx x i = xm x i=m für alle x 2 R mit x 6= und alle m, n 2 N mit m apple n. Aufgabe 4: Sei M eine Menge. Beweisen Sie, dass Sym M := {f : M! M f bijektiv} mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe ist. x n

3 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt III Abgabe: bis Donnerstag, den 5. Mai 24, 2: Uhr Aufgabe : Sei N eine Menge. Beweisen Sie: (a) Zu jeder nicht-leeren Teilmenge B N gibt es ein f : N! N mit f f = f und f(n) =B. (b) Sei f : N! N mit f f = f. Istf injektiv oder surjektiv, so folgt f =id N. Aufgabe 2: (a) Beweisen Sie, dass für je zwei Zahlen x, y 2 R die umgekehrte Dreiecksungleichung gilt: x y x y. (b) Sei (x n ) n2n eine reelle Zahlenfolge mit lim x n = a. Zeigen Sie, dass dann lim x n = a n! n! gilt. Aufgabe 3: Sei a 2 R fest. Geben Sie eine einfache Charakterisierung der reellen Zahlenfolgen (x n ) n2n mit der folgenden Eigenschaft an: es gibt ein ">undeind 2 N, so dass x n a <"für alle n>dgilt. Aufgabe 4: Beweisen Sie: Sind (x n ) n2n und (z n ) n2n zwei reelle Zahlenfolgen mit demselben Grenzwert a 2 R, undist(y n ) n2n eine weitere Zahlenfolge mit x n apple y n apple z n für alle n 2 N, so ist auch (y n ) n2n konvergent mit lim y n = a. n! Beweisen Sie als Anwendung davon, dass lim nx n! j= n n 2 + j = gilt.

4 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt IV Abgabe: bis Donnerstag, den 22. Mai 24, 2: Uhr Aufgabe : Zeigen Sie, dass durch: x := und x n+ := +x n 2+x n für n 2 N eine Folge (x n ) n2n positiver Zahlen gegeben wird. Beweisen Sie, dass diese Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. Hinweis: Je nach Lösung, kann es notwendig sein zu zeigen, dass x 2 n + x n für alle n 2 N ist. Aufgabe 2: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz: (a) (b) (c) X n= X n= X n= n + n 2 +3n + 3+( ) n n! n n (d) X n= x n2 für festes x 2 R Aufgabe 3: (a) Zeigen Sie, dass die Reihe P n= n 2 konvergiert. (b) Zeigen Sie, dass die Reihen P n= n d Hinweis: Erinnern Sie sich an Beispiel 2.9. für d>2 konvergieren. Aufgabe 4: Seien A, C R zwei nicht-leere Mengen mit der Eigenschaft: für jedes a 2 A und für jedes c 2 C gilt a apple c. Zeigen Sie, dass eine Zahl b 2 R existiert, so dass für alle a 2 A und alle c 2 C gilt: a apple b apple c.

5 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt V Abgabe: bis Mittwoch, den 28. Mai 24, 2: Uhr Aufgabe : Sei P n= x n eine Reihe reeller Zahlen. (a) Zeigen Sie: Konvergiert P n= x n absolut, dann konvergiert auch P n= (x n) 2 absolut. (b) Finden Sie ein Beispiel, so dass P n= x n konvergiert, aber P n= (x n) 2 nicht. Aufgabe 2: Sei 8 < falls x>, f :[, ]! R, x 7! b xc : falls x =. Bestimmen Sie alle Punkte in denen f stetig ist und alle Punkte in denen f unstetig ist. Aufgabe 3: Sei f :[, )! R eine stetige Funktion, die nur endlich viele Nullstellen hat. Zeigen Sie, dass f dann nach oben oder nach unten beschränkt sein muss. Aufgabe 4: Skizzieren Sie eine stetige Funktion f : R! R, die jede reelle Zahl mindestens zweimal als Wert annimmt. Beweisen Sie, dass es aber keine stetige Funktion f : R! R gibt, die jede reelle Zahl genau zweimal als Wert annimmt.

6 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt VI Abgabe: bis Donnerstag, den 5. Juni 24, 2: Uhr Aufgabe : Seien f : R! R eine monotone Funktion und a 2 R mit lim f(a )=f(a) und lim n! n f(a + n! n )=f(a). Beweisen Sie, dass f dann stetig an der Stelle a ist. Aufgabe 2: Sei I R ein Intervall. Eine Funktion f : I! R heißt stückweise stetig, wennes zu jedem a 2 I ein > gibt, so dass die Einschränkungen f I\(a,a) : I \ (a, a)! R und f I\(a,a+ ) : I \ (a, a + )! R stetig sind und die Grenzwerte lim x% a f(x) 2 R und lim x& a f(x) 2 R, soweit sinnvoll, existieren (sie brauchen aber weder miteinander noch mit f(a) übereinzustimmen). Zeigen Sie, dass jede auf einem kompakten Intervall definierte, stückweise stetige Funktion nur endlich viele Stellen hat, an denen sie unstetig ist. Hinweis: Siehe dazu im Beweis von Satz 8.4 wie man die Kompaktheit eines Intervalls ausnutzen kann. Aufgabe 3: Seien 2 R, c 2 C fest. Was für Teilmengen der Zahlenebene werden durch die folgenden Gleichungen für z 2 C jeweils beschrieben (skizzieren Sie je einen typischen Fall): (a) Re(c z)+ = (b) z 2 +2Re(c z)+ = Aufgabe 4: Sei f die Funktion f : C \ { i}!c \{}, z 7! z i z + i. Zeigen Sie, dass f bijektiv ist und berechnen Sie f. Zeigen Sie außerdem, dass gilt: f z 2 C \{} z = = R.

7 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt VII Abgabe: bis Donnerstag, den 2. Juni 24, 2: Uhr Aufgabe : Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von 7z 3 5z 2 + z z 4 + z 2. Aufgabe 2: Sei E C eine endliche Teilmenge. Beweisen Sie, dass C \ E ein Gebiet ist. Aufgabe 3: Die Konvergenz der Funktionenfolge (f n ) n= mit f n :[, ]! R, x 7! x n ist, wie Sie in Beispiel.2 gesehen haben, nicht gleichmäßig. Zeigen Sie, dass die Konvergenz auf dem Intervall [, ) auch nicht gleichmäßig ist, wohl aber auf jedem Intervall [, b] mit <b<. Aufgabe 4: Sei P j= a j(z sind. Zeigen Sie: Wenn a) j eine Potenzreihe in der alle Koe zienten von null verschieden a j r := lim 2 [, ] j! a j+ existiert, dann ist r der Konvergenzradius dieser Potenzreihe.

8 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt VIII Abgabe: bis Mittwoch, den 8. Juni 24, 2: Uhr Aufgabe : Sei g(z) = P k= b kz k eine Potenzreihe um. Welche der Koe zienten b k muss man kennen, um die Koe zienten der Produktreihe (z sin(z)) k g(z) bis zu Grad 2, d.h. die Koe zienten von,z,...,z 2,zubestimmen? Aufgabe 2: Berechnen Sie für jedes positive n 2 N die n Nullstellen des komplexen Polynoms z n, die sogenannten n-ten Einheitswurzeln. Zeigen Sie, dass diese eine Untergruppe der Kreislinie S = {z 2 C z =} bezüglich der Multiplikation bilden. Zusatz (freiwillig): Man kann zeigen, dass für jedes z 2 S die Menge hzi = {z n n 2 Z} eine Untergruppe bildet. Sei z nun keine Einheitswurzel, also z n 6=fürjedesn6=. Zeigen Sie, dass hzi dicht in S liegt, d.h. zu jedem c 2 S und jedem >exisiterteinw 2hzi mit w c <. Aufgabe 3: Skizzieren Sie die Menge B := {z 2 C z appleund Im(z) Re(z) } und berechnen und skizzieren Sie ihr Urbild exp B unter der Exponentialabbildung. Aufgabe 4: Beweisen oder widerlegen Sie: (a) sin(z) apple für alle z 2 C (b) Die bekannten Nullstellen k der reellen Sinusfunktion sind auch die einzigen Nullstellen der komplexen Sinusfunktion.

9 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt IX Abgabe: bis Donnerstag, den 26. Juni 24, 2: Uhr Hinweis: Für dieses Blatt können Sie die Abbleitungen der Exponential- und trigonometrischen Funktionen benutzen, auch wenn diese zur Zeit der Bearbeitung nicht eingeführt wurden. Aufgabe : Bestimmen Sie für die Funktion f :[, )! R mit f(x) =x 3 p x. alle lokalen Extrema und bestimmen Sie alle Intervalle auf denen f monoton ist. Aufgabe 2: Berechnen Sie folgende Grenzwerte (a) lim x! 3 x 2 x x (b) lim x! sin(x) x (c) lim x! x 3 + x 2 x x 2 (d) lim x! e x Aufgabe 3: e x e x + e x (a) Sei f : R! R definiert durch f() = und f(x) =x 2 cos( x )fürx6=. Zeigen Sie, dass f zwar di erenzierbar in ist, die Ableitung f allerdings nicht stetig in ist. (b) Sei I ein echtes Intervall, f : I! R stetig und f I\{a} für ein a 2 I di erenzierbar. Zeigen Sie, existiert lim x!a f (x), so ist f in a di erenzierbar und f in a stetig. Aufgabe 4: Sei f : R! R di erenzierbar mit f() = und f (x) < 2 für alle x 2 R. Zeigen Sie, dass lim n! f n (x) =fürjedesx2r ist, wobei hier f n = f f... f bedeutet. {z } n mal

10 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt X Abgabe: bis Donnerstag, den 3. Juli 24, 2: Uhr Aufgabe : Schreiben Sie die Potenzreihe X n 2 z n als rationale Funktion. n= Aufgabe 2: Schreiben Sie folgende rationale Funktionen als Potenzreihen um und bestimmen Sie die Konvergenzradien: (a) (b) +2z, 3z (z )(2z + ). Aufgabe 3: Bestimmen Sie (a) (b) (c) Z 9 Z Z 2 e px dx, x log(x + 3) dx, dx e x. Aufgabe 4: Sei f :[a, b]! R, a<b,stetigmit Z b a f(x) 2 dx =. Zeigen Sie, dass f =ist.

11 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt XI Abgabe: bis Donnerstag, den. Juli 24, 2: Uhr Aufgabe : Sei f :[,b]! [,d] eine stetig di erenzierbare, streng monoton wachsende Funktion mit f() = und f(b) =d. Zeigen Sie, dass Z b f(x)dx + Z d f (y)dy = bd. Aufgabe 2: Welche der folgenden Teilmengen T des Vektorraums V sind Untervektorräume: (a) T := {f 2 V f() = f() = } V := C [, ] (b) T := {f 2 V f() f() = } V := C [, ] (c) T := {( x 2 ) 2 V x 3 + x x 2 2 =} V := R2 (d) T := {( z 2 ) 2 V z 3 + z z2 2 =} V := C2 Aufgabe 3: Sei V ein Vektorraum und T,T 2 V zwei Untervektorräume. Untersuchen Sie, wann T [ T 2 V ein Untervektorraum ist. Aufgabe 4: Stellen Sie die sechs reellen Vektorräume C k (R), C k (, ], C k (, ) mit k =, und die zugehörigen linearen Abbildungen f 7! f (,], f 7! f (,), f 7! f in einem kommutativen Diagramm dar. Bestimmen Sie Kern und Bild von all diesen Abbildungen. Griechische Buchstaben helfen mit, Bezeichnungen und Formeln übersichtlich zu halten: A Alpha I Iota P Rho B Beta K apple Kappa Sigma Gamma Lambda T Tau Delta M µ My Y v Ypsilon E Epsilon N Ny Phi Z Zeta Xi X Chi H Eta O o Omikron Psi # Theta Pi! Omega Als Großbuchstaben werden in der Regel nur diejenigen benutzt, die nicht mit lateinischen verwechselt werden können; Omikron und Ypsilon vermeidet man meist ganz. Wenn Sie die kleinen Buchstaben mit der Hand schreiben, achten Sie auf die richtige Lage zur Grundlinie, vor allem:

12 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt XII Abgabe: bis Donnerstag, den 7. Juli 24, 2: Uhr Aufgabe : Seien V und W zwei K-Vektorräume (nicht unbedingt endlicher Dimension). Sei pr : V W! V die Projektion auf den ersten Faktor und U V W ein Unterraum des kartesischen Produkts. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:. Die Einschränkung pr U ist ein Isomorphismus von Vektorräumen. 2. U und {} W sind komplementäre Teilräume von V W. 3. U ist der Graph einer linearen Abbildung f : V! W. Aufgabe 2: Sei P k R[X] der Raum der reellen Polynome vom Grad höchstens k. Bestimmen Sie die Matrizen von folgenden linearen Abbildungen bezüglich der Basis (,X,...,X k ) von P k : (a) P k! P k, f 7! f (b) P k! P k+, (c) P k! P k, f(x) 7! f(x + ) P k j= a jx j 7! P k a j j= j + Xj+ (Stammfunktion) Aufgabe 3: Beweisen Sie die folgenden Beziehungen zwischen den Elementarmatrizen (gleichen Formats): (a) p kl d k p kl = d l (b) p lm u kl p lm = u km für alle paarweise verschiedenen k, l, m (c) u kl u kmµ = u kmµ u kl für l 6= k 6= m Aufgabe 4: Sei f : U! V gegeben durch die Matrix B C a A 2 bezüglich der Basen u =(u,u 2 ) von U und v =(v,v 2,v 3 ) von V. Sei w =(w,w 2,w 3 )eine weitere Basis von V mit v =2w +3w 2 + w 3 v 2 = w + w 3 v 3 = 2w 2 wc 3 Berechnen Sie die Matrix b von f bezüglich der Basen u und w.

13 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt XIII keine Abgabe Aufgabe : Seien V ein K-Vektorraum und f : V! V eine lineare Abbildung von endlichem Rang. Für die n-fache Komposition f f f werde kurz f n geschrieben. Beweisen Sie: Es gilt rk f 2 apple rk f immer; ist aber rk f 2 =rkf, so folgt rk f n =rkf für alle n>. Aufgabe 2: Seien K ein Körper und p, n, r natürliche Zahlen. Beweisen Sie: Zu jeder Matrix a 2 Mat(p n, K) vom Rang r gibt es eine Matrix s 2 Mat(p r, K) und eine Matrix z 2 Mat(r n, K) mita = s z. Aufgabe 3: Für festes 2 R sei S = Lin(v,v 2 ) R 4 und T = Lin(w,w 2,w 3 ) R 4 mit 2 v = B 4A, v 2 = B A, w 3 = B A, w 5 2 = B A, w 3 = B 2A. 3 2 Bestimmen Sie alle 2 R, fürdies T ist. Aufgabe 4: Aus beliebig vorgegebenen Vektoren a,...,a n 2 K p kann man nach dem Basisergänzungssatz immer eine Basis für Lin(a,...,a n ) auswählen. Begründen Sie das folgende Verfahren dafür und illustrieren Sie es mit einem angemessenen Beispiel: Werden a,...,a n als Spalten zu einer p n-matrix a zusammengefasst und wird diese durch Zeilenumformungen in Zeilenstufenform gebracht mit Stufenindizes j <...<j r,soist(a j,...,a jr ) eine Basis von Lin(a,...,a n ).

14 Sommersemester 24 - Aufgabenblatt XIV keine Abgabe Aufgabe : Seien K ein Körper, n 2 N und 2 K. Sei 8. a =..... >< = a ij mit a i,j = i,j=,...,n B C A i = j i+=j. sonst Begründen Sie, warum a invertierbar ist und berechnen Sie a. Aufgabe 2: Seien K ein Körper und a 2 Mat(p n, K) eine Matrix vom Rang r. Beweisen Sie: Es gibt eine r r-teilmatrix a von a mit det a 6=, aber für jede s s-teilmatrix a von a mit s>rgilt det a =. (Eine Teilmatrix von a ist eine Matrix, die man aus a durch Wegstreichen von Zeilen und/oder Spalten herstellen kann.) Aufgabe 3: Berechnen Sie die Determinante 2 3 d =detb 3 2 2A 3 2 auf zwei verschiedenen Arten: nach dem Gaußschen Algorithmus und durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte Ihrer Wahl. Aufgabe 4: Seien K ein Körper und A 2 Mat((r + s) (r + s),k) eine Matrix der Form! A = a, wobei a 2 Mat(r r, K), c2 Mat(s r, K), d2 Mat(s s, K) c d und für die Nullmatrix in Mat(r s, K) steht. Zeigen Sie, dass dann det A =deta det d gilt. Hinweis: Eine Möglichkeit wäre den Beweis des Multiplikationssatzes 22. zu imitieren.

15 TU Kaiserslautern Dr. Klaus Wirthmüller Sommersemester Juni 24 Zwischenklausur Bearbeitungszeit: 9 Minuten Seien f,g: X! Y zwei Abbildungen mit der Eigenschaft Beweisen Sie, dass f = g ist. f T g T für jede Teilmenge T Y. 2 Beweisen Sie, dass die Zahlenfolge (x n ) n= mit konvergiert. x n = nx j= n + j 3 Bestimmen Sie alle reellen x>, für die die Reihe konvergiert. X n= x n + 4 Seien f,g: R! R zwei stetige Funktionen mit f Q = g Q. Beweisen Sie, dass f = g ist. 5 Sei f:(, )! R eine stetige Funktion; es gelte lim x& f(x) =. Beweisen Sie, dass dann folgt. lim f(x) = oder lim f(x) = x& x& 6 Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl ( + i)3 ( i) 5.

16 TU Kaiserslautern Dr. Klaus Wirthmüller Sommersemester August 24 Abschlussklausur Bearbeitungszeit: 5 Minuten Entscheiden Sie, ob die durch f(x) =x log( + x 2 ) definierte Funktion R ist.) f! R bijektiv ist. (Beachten Sie, dass wie immer der natürliche Logarithmus gemeint 2 Sei X R eine beliebige Menge von reellen Zahlen. Beweisen Sie, dass die Menge aller unteren Schranken von X ein abgeschlossenes Intervall ist. 3 Beweisen Sie, dass die Konvergenz der Exponentialreihe X n= x n n! nicht auf R gleichmäßig ist. 4 Sei X R und f: X! R eine stetige Funktion, dagegen g: R! R eine ganz beliebige Funktion. Beweisen Sie: Hat g an der Stelle b ein lokales Minimum und ist a 2 X ein Punkt mit f(a) =b, so hat die Komposition g f an der Stelle a ein lokales Minimum. 5 Sei f: R! R eine zweimal di erenzierbare Funktion. Beweisen Sie: wenn es drei reelle Zahlen a<b<c mit f(a) =f(b) =f(c) gibt, dann hat f eine Nullstelle. X 6 Bestimmen Sie alle z 2 C, fürdiediereihe (n +sinn)(z i) n konvergiert. 7 Berechnen Sie Z Stammfunktion des Integranden bestimmen. n= x cos(3x) dx. Aus Ihrer Lösung muss das Verfahren hervorgehen, mit dem Sie eine

17 8 Sei K ein Körper, n 2 N und a 2 Mat(n n, K) eine Matrix mit rk a>n/2. Beweisen Sie, dass a 2 6= ist. 9 Die lineare Abbildung f: V! W zwischen reellen Vektorräumen sei bezüglich der Basen v =(v,v 2,v 3 ) von V und w =(w,w 2 ) von W durch die Matrix 8 a = >: 2 9 >; 2 Mat(2 3, R) gegeben. Nun sei u =(u,u 2,u 3 ) eine weitere Basis von V,mit Berechnen Sie die Matrix von f bezüglich u und w. v = u +u 2 3u 3 v 2 = 3u 2u 2 +7u 3 v 3 = 4u +3u 2 9u 3. Sei K ein Körper. Für n 2 N und 2 K werde die Matrix a = 2 Mat(2n 2n, K) >: >; betrachtet (leere Plätze gelten wie immer als ). Berechnen Sie det a.

18 TU Kaiserslautern Dr. Klaus Wirthmüller Sommersemester Oktober 24 Nachklausur Bearbeitungszeit: 5 Minuten Seien X, Y R nicht-leere Mengen nicht-negativer Zahlen mit inf X =. Beweisen Sie, dass auch die Menge XY = xy x 2 X, y 2 Y das Infimum hat. 2 Untersuchen Sie die Reihe p X n 2 arctan n 2n 2 + log n n= auf Konvergenz. 3 Bestimmen Sie alle Lösungen z 2 C der Gleichung e z + e z =. 4 Sei f: R! R eine di erenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion f beschränkt ist. Beweisen Sie, dass f gleichmäßig stetig ist. 5 Die Funktion f:[, )! R sei an der Stelle stetig und auf dem o enen Intervall (, ) streng monoton wachsend. Beweisen Sie, dass f streng monoton ist. 6 Bestimmen Sie die Wertemenge sowie Lage und Art aller lokalen Extrema der durch gegebenen Funktion f:[, )! R. f(x) = p x e x Z 7 Berechnen Sie das unbestimmte Integral dx ( x) p auf dem Intervall (, ). x

19 8 In R 3 werden die Vektoren v = >: >;, v 2 = >: >;, v 3 = >: >; und w = >: betrachtet. Berechnen Sie eine lineare Abbildung f: R 3! R 3 mit der Eigenschaft f(v i )=w i für i =, 2, >;, w 2 = >: >;, w 3 = >: 9 2 >; 2 9 Seien V und W endlichdimensionale Vektorräume und f: V! W eine injektive lineare Abbildung. Beweisen Sie: Es gibt eine lineare Abbildung g: W! V mit g f =id V. Sei n 2 N ungerade und a 2 Mat(n n, R) eine Matrix mit a + a t =. Beweisen Sie, dass det a =ist.