Symmetrie Eine Einführung. Proseminarvortrag von Annkathrin Krämmer am

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1 Symmetrie Eine Einführung Proseminarvortrag von Annkathrin Krämmer am.0.0

2 p(a,b,c,d)=abc+abd+acd+bcd

3 Gliederung ) Definition Symmetrie ) Symmetriegruppe ) Symmetrie von Graphen anhand des Petersengraph 4) Polynome und Symmetrie ) Andere Symmetrien

4 Symmetrisch ist ein Gebilde genau dann, wenn man es irgendwie verändern kann und im Ergebnis genau das Gleiche erhält, womit man begonnen hat (Hermann Weyl, 9) => Grundzutaten: Objekt & Transformation (Selbstabbildung) Vektoren & Abbildungsvorschrift (Matrizen)

5 Objekt Beispiel Quadrat Abbildungsvorschriften Q= x y x y {(, ) R, } S S R R = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 S 4 S 4 R R = 0 0 = 0 0 = 0 0 = 0 Symmetriegruppe des Quadrats

6 Gruppe Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer Abbildung p : G G G, a,b aib, so dass folgende Axiome gelten : ( ) Neutrales Element : e G : a G : eia = a Inverses Element: a G a G: a a=e Assoziativität : a, b, c G : ( aib) ic = ai( bic) z.z.: Die vollständige Menge der Symmetrien S eines Objekts O bildet immer eine Gruppe. Hier: G = {f: O O f bijektive Selbstabbildung} p = Hintereinanderausführung von Funktionen i

7 Selbe Symmetriegruppe wie Quadrat x x x x {(,),(,),(, ),(, )} Aufgabe: Gegeben sei eine Punktemenge. Wie konstruiere ich daraus ein Objekt, das bezüglich der Symmetriegruppe des Quadrats symmetrisch ist?

8 Symmetrie von Graphen Petersengraph V =0 E =

9 Symmetrie von Graphen ( ) ( ) Isomorphismus von Graphen G = V, E, G = V, E ist eine Bijektion f: V V mit v,w V :{v, w} E {f (v), f(w)} E a d b c x w Eine Symmetrie eines Graphen G ist ein Isomorphismus zwischen G und sich selbst,d.h. eine ( ) Bijektion s : V V Permutation der Knoten mit v,w V :{v, w} E {s(v), s(w)} E y z 0 m: ( )( 4)( 0)(8 9)

10 Symmetriegruppe des Petersengraphen Spiegelung an Vertikalen: m: ( )( 4)( 0)(8 9) 0 m Rotation im Uhrzeigersinn: r: ( 4 )( 8 9) 0 r rm=mr 4 0 rm Kombinationen: {,r,r²,r³,r 4,m,mr,mr²,mr³,mr 4 }

11 Vertauschen aller innerer und äußerer Knoten: f: ( )( 8 9)( 0 4 ) Vertauschen mancher innerer und äußerer Knoten: x: (4 8)( )(9 0) Erhält Symmetriegruppe mit 0 Elementen x rm f

12 Polynome und Symmetrie p(a,b,c,d)=ab+ac+ad+bc+bd+cd Objekt: Polynom Abbildung: Element der S 4 Symmetriegruppe: gesamte S 4 p(a,b)=a³+b³ Satz: Jedes symmetrische Polynom in zwei Variablen lässt sich als Funktion der elementarsymmetrischen Polynome s 0 =, s =a+b und s =ab schreiben. Satz gilt allgemein für Polynom in n Variablen mit s s = x... x 0 =, i n n= s 0 = s =a n= s 0 = s =a+b s =ab i k k k... k n n= s 0 = s =a+b+c s =ab+ac+bc s =abc i i n=4 s 0 = s =a+b+c+d s =ab+ac+ad+bc+bd+cd s =abc+abd+acd+bcd s 4 =abcd

13 Andere Symmetrien Sprache Palindrom: Otto, Anna, Lagerregal Ambigramm:

14 Andere Symmetrien Sprache Palindrom: Otto, Anna, Lagerregal Ambigramm Musikalisches Stilmittel J. Haydn: Symphonie Nr. 4 in G-Dur

15 Andere Symmetrien Sprache Palindrom: Otto, Anna, Lagerregal Ambigramm Musikalisches Stilmittel J. Haydn: Symphonie Nr. 4 in G-Dur J.S. Bach: Contrapunctus

16 Physik Noether-Theorem: Andere Symmetrien jeder Symmetrie kann eine Erhaltungsgröße zugeordnet werden Bsp: Translationsinvarianz -> Impuls erhalten Zeitinvarianz -> Energie erhalten Rotationsinvariant -> Drehimpuls erhalten Symmetrien spielen in unserer Welt eine sehr große Rolle!!!

17 Quellen Reiss,Kristina, Richter-Gebert, Jürgen: Mathematische Etüden Kemper, Gregor: Lineare Algebra, Vorlesungsskript WS 0 Knörrer, Horst: Geometrie, Braunschweig 99 Willimzig, David: Polynome, (Stand:.0.0) The Freelance Mind: Symmetry groups of the Petersen graph and its higher-order analogues, (Stand:.0.0) MatheVital, aph (Stand:.0.0) Wikipedia: Petersengraph, (Stand:.0.0) Wikipedia: Symmetric graph, (Stand:.0.0) Fließbach, Torsten: Mechanik, München 00

18 Bilder &tbm=isch&tbnid=eme4-deuqgfwzm:&imgrefurl= l= px=9&vpy=04&dur=0&hovh=0&hovw=&tx=94&ty=&page= &tbnh=&tbnw=&start=&ndsp=8&ved=t:49,r:,s:0,i: _Haydn.png