Moderne Theoretische Physik 2 Quantenmechanik 2

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1 Moderne Theoretische Physik 2 Quantenmechanik 2 Dozent: Professor Dieter Zeppenfeld Übungsleiter: Dr. S. Gieseke Wintersemester 10/11 Erstellt von Michael Oldenburg 1

2 1. Mathematisches Vorspiel 4 2. Symmetrie und Theorie des Drehimpulses Translation Drehungen Rotation eines Quantenmechanischen Systems Pauli Matrizen (Vorlesung vom ) Rotationsinvarianz Einschub: Darstellungstheorie für Gruppen Drehmatrizen in -Basis Wigner Funktionen Darstellung durch Eulerwinkel Addition von Drehimpulsen Mögliche Werte für m Anzahl der Basiszustände Wiederholung Clebsch-Gordon-Koeffizienten (CGK) j-Symbole von Wigner Bahndrehimpuls und Spin Herleitung der CGK Orts/Spin Basis für Tensoroperatoren Kartesische-Tensoren Matrixelemente von Tensoroperatoren Projektionstheorem 26 3 Störungstheorie Stationäre Störungstheorie Zusammenfassung (entartete Störungstheorie) Linearer Stark Effekt für H-Atom Beispiel: Spin-Bahn-Wechselwirkung Beispiel: Zeeman-Effekt Zeitabhängige Störungen Wechselwirkungsbild (WWB) 39 4 Pfadintegrale 43 5 Vielteilchensysteme: Bosonen und Fermionen Zusammenhang zwischen Statistik und Spin Zwei-Elektron-Systeme 46 6 Relativistische Quantenmechanik Notation QM eines freien Teilchens Dirac-Gleichung Wahrscheinlichkeits-Strom Elektromagnetische Wechselwirkung Nichtrelativistischer Grenzfall Relativistischen Korrekturen Ebene Wellen als Lösungen der freien Dirac Gleichung Spezialfall: Teilchen in Ruhe Lösung für 62 2

3 6.7 Kovarianz der Dirac-Gleichung unabhängige Fermion-Bilineare Anwendung Bedeutung der Ebene-Wellen-Lösung zu allg Der Diracsee u und v Spinoren Vollständigkeit Ladungskonjugation Quantisierung des Strahlungsfeldes Potentiale Spektrum des quantisierten Strahlungsfeldes 77 3

4 1. Mathematisches Vorspiel 2. Symmetrie und Theorie des Drehimpulses 2.1 Translation Translation Postulat: Es gibt einen Operator, der die Translation auf H beschreibt. Gesucht ist nun der Effekt auf eine Wellenfunktion: ( ) r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4

5 Nun muss aber der Operator ( ) unitär sein! ( ) ( ) (Symmetrie) Transformationen von Zuständen werden durch unitäre Operatoren U beschrieben. Lässt die Matrixelemente invariant: System hat eine beliebige Transformation als Symmetrie, wenn diese Transformation mit dem Zeitentwicklungsoperator vertauscht! Vertauscht nun U mit den beiden anderen Operatoren so lässt sich die transformierte SGL so schreiben: Wenn das für alle Zustände gelten soll, so muss: Die Symmetrie lässt also H invariant! Eigenschaften von ( ) i) Unitär ii) Additiv ( ) iii) Inverses iv) Limes ( ) Infinitesimale Translation ( ) i) Unitarität ( )( ) ( ) ii) ist der Generator der Translation! Additivität ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) iii) und iv) wurden vorausgesetzt bei i) und ii)! 5

6 Wirkung von Ortsoperator und : Das gilt für alle Endliche Translationen ( ) ( ) ( ) ( ), ( )- (( ) ), ( )- [ ] [ ] [ ] Betrachte eine Translation um Betrachte N Translationen um in x-richtung in x-richtung ( ) [ ( *] ( * * + Beliebige Translation um ( ) { } Exponentialfunktion von Operatoren definiert als Potenzreihe: * + Nun Benötigt man [ ]. Anschaulich muss folgendes gelten: Es sollte also keinen Unterschied machen, ob man den blauen oder den roten Weg geht! Formal: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ] [ ] 6

7 Aus der anschaulichen Voraussetzung folgt, dass die Generatoren unterschiedlicher Richtungen miteinander kommutieren! [ ] Generator Algebra [ ] [ ] [ ] in Ortsbasis: infinitesimal ( ) ( ) Daraus folgt für den Generator : Gilt für alle QM Systeme Wiederholung zur Translation: ( ) Allgemein: Der Impulsoperator ist der Generator für die Translation! ( ) ( * Anwendung auf eine 1-Dimensionale Wellenfunktion: ( * Das ist eine Taylorreihe von um den Punkt a! Das einzige was noch geklärt werden muss, ist, ob diese Reihe einen unendlichen Konvergenzradius besitzt! 7

8 2.2 Drehungen Wir betrachten Drehungen mit festem Ursprung! ( ist eine orthogonale Matrix mit: Die Drehung um die z-achse um den Winkel wird durch folgende Drehmatrix beschrieben: ( + Gibt es einen Generator für diese Drehung? JA! Gesucht ist also folgender Ausdruck: Für den Generator gilt also (nach Vergleich mit den roten Termen): ( + Nun gilt für die Potenzen von : ( + ( + Analog für die Drehung um die x-achse: ( + ( + Für die y-achse: ( + ( + 8

9 Anders als bei Translationen kommutieren die Generatoren der Drehungen nicht miteinander: [ ] [ ] - Die Generatoren der Drehungen erfüllen die Drehimpulsalgebra! - Drehung um beliebige Achse um den Winkel : ( ) ( ) Die Drehmatrizen bilden eine Gruppe: * + Die SO(3) ist eine Gruppe, denn sie besitzt die typischen Eigenschaften einer Gruppe: - abgeschlossen: - Einselement in SO(3), die Einheitsmatrix - Inverses Element: - Gruppenmultiplikation ist assoziativ aber nicht kommutativ. SO(3) ist eine Lie-Gruppe d.h. ( ) sind analytische Funktionen der. Nun wurde gewählt: ( ) Generator der Lie-Gruppe ist: Die Generatoren beschreiben alle Gruppenelemente: ( ) ( ) ( ) Rotation eines Quantenmechanischen Systems Vor der Drehung soll sich das System im Zustand befinden. Betrachte eine Rotation des mit ( ), das System wird rotiert in einen neuen Zustand: mit unitärem, der geschrieben werden kann als: ( ( )) ( * Die Generatoren für infinitesimale Drehungen des Quantenmechanischen Systems: heißen Drehimpulsoperatoren des Systems. Das ist eine allgemeinere Definition als! Nun muss die gleichen Multiplikationsregeln erfüllen, wie die zuvor eingeführten orthogonalen Drehmatrizen. Damit gelten auch die gleichen Kommutatorrelationen für die Komponenten von. 9

10 Hintereinander Ausführungen von Drehungen: Konsistenz verlangt folgende Äquivalenz: Betrachte Baker-Haussdorff: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), - [, -] Für die Drehmatrizen R setzen wir: Für die Drehoperatoren D: Nun betrachten man die Summe, -, für R: ( ) [ ] ( ) ( ) für D: ( ( ) * ( ) ( * [ ] Die Äquivalenz der roten Terme folgt aus der vorausgesetzten Konsistenz zwischen D und R. Aus der Gleichheit folgt: [ ] 10

11 Dieser Kommutator lässt sich auf vielfache Weise realisieren: 1) ( ) 2) Matrizen ( + ( + ( + Beide Beispiele erfüllen die Kommutatorrelation mit 3) Pauli Matrizen:. /. /. / Es gilt: { } [ ] Der Spin-Operator erfüllt die Drehimpulsalgebra!. / ( ) Pauli Matrizen (Vorlesung vom ) ( * ( ) ( ). / ( ) ( * 4 5 ( * ( ). /. / Wir betrachten eine Drehung um 360 :. / ( ) Für Spin ergibt eine Drehung um 720 die Einsabbildung. Mit :. / ( ) :. /. /. / ;. /. /. /. / 11

12 4. / ( )5. /. /. / Behauptung: Jede unitäre Matrix U mit kann geschrieben werden als a und b heißen Cayley-Klein-Parameter.. / Die unitären Matrizen U mit bilden eine Gruppe: 2. / 3 * +. { / ( ) } Die Generatoren für sind, denn. d.h. Identisch für und. [ ] /. Die Generatoralgebra ist: Enge Definition einer Algebra A: - A ist ein Vektorraum über einem Körper - Es gibt ein Produkt Das Produkt ist assoziativ, d.h., ist aber meistens nicht Kommutativ. Die Generatoralgebra ist eine Lie-Algebra mit einem Vektorraum: Das Produkt ist ein Kommutator: [ ] ( ) Dieses ist weder kommutativ noch assoziativ, wegen der Jacobi-Identität: [, -] [, -] [, -] 12

13 2.1.3 Rotationsinvarianz Ein rotationsinvariantes System wird durch einen Hamiltonoperator beschrieben, welcher folgende Relation erfüllt: Bsp.:, mit. Wenn H rotationsinvariant ist / , -, - Daraus folgt, dass der Drehimpuls in solche einem System eine konstante der Bewegung ist,. Es existieren Eigenzustände von H und J, welche gleichzeitig das System beschreiben können. Ein sog. Satz von kommutierenden Operatoren. Eigenzustände von sind gegeben durch: Es existieren 2j+1 Eigenzustände mit. Es werden nun Auf- und Absteigeoperatoren definiert: Der Vorfaktor ist für null. Matrixelemente der : Analog: 13

14 Darstellung als Matrix: (, (, ( ( ) ) ( ( ) ) - Blockdiagonale Form - - Die Allgemeine Konstruktion von Matrizen mit 0 1 in der -Basis:. /. bilden irreduzible Darstellungen der Drehimpulsalgebra bzw. der Lie-Algebra. 14

15 2.1.4 Einschub: Darstellungstheorie für Gruppen Definition Gegeben sei eine Gruppe * + mit einem Produkt: i) ii) Einselement iii) Inverseselement Eine Darstellung r von G ist eine Abbildung auf komplexe Matrizen: i) ii) iii) Reduzible Darstellung Eine Darstellung der Gruppe G heißt reduzibel, wenn es eine unitäre Matrix U gibt, so dass für alle gleichzeitig. ( ) Drehmatrizen in -Basis sind blockdiagonal mit dimensionalen Blöcken. ist blockdiagonal ( ) ist blockdiagonal. / ist blockdiagonal Jeder Block. / ist eine irreduzible Darstellung der SU(2) Wigner Funktionen D-Funktionen = Matrixelemente von. / in Basis ( * Die Wigner-Funktionen beschreiben Drehungen eines beliebigen Systems! Gehe in -Basis 15

16 2.1.7 Darstellung durch Eulerwinkel ( * ( * ( * Explizite Form der ( * ( * ( * ( ) ( * ( ) ist reell, da rein imaginär ist. Bsp. :. / ( ). /. /. / ( ( * ( *, ( * ( * Wigner Funktion für :. / ( ( * ( *. / ( *,. / ( * ( * ( *. / 16

17 2.3 Addition von Drehimpulsen Bsp. 1: 2 Teilchen im Zentralpotential i) Energieeigenzustände ( ) Produktzustand Allgemeiner Zustand Generator für Drehungen Bsp. 2: Spin Teilchen (Elektron) : : Generator für Drehungen mit Allgemeiner Fall System kann beschrieben werden durch [ ] [ ] ( ). / ( ). /, - ( ψ ψ * i) Eigenzustände von Der von Das bedeutet: aufgespannte Unterraum ist abgeschlossen unter Drehungen. ( ) ( * ( * ( * ( * ( * ( ) ( ) 17

18 ii) Eigenzustände von und [ ]. und zwei weiteren Drehimpulsoperatoren ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], - [ ] Nur kommutiert mit. Damit haben wir den gesamten Satz von gleichzeitig kommutierender Operatoren. Die Eigenzustände sind: Da i) und ii) das gleiche Beschreiben muss es eine Basistransformation zwischen i) und ii) geben! Diese Basistransformation wird beschrieben durch eine unitäre Transformation U: Die Matrixelemente nennt man Clebsch-Gordon Koeffizienten (CB Koeffizienten). Die Anzahl von Basiszuständen ist. Die Frage ist: Welche möglichen Werte von j sind erlaubt? Mögliche Werte für m, falls. Das ist eine Auswahlregel für die CB Koeffizienten: Das Maximum von, das Minimum von Es gibt vollständige Multiplets mit Eine Auswahlregel für : 18

19 2.3.3 Anzahl der Basiszustände Zu überprüfen ist, ob die obere Tabelle stimmig ist mit den Voraussetzungen an die CB Koeffizienten. Das erfüllt die Voraussetzung an die Anzahl der CB Koeffizienten. Eine alternative Schreibweise für die Summe von Darstellungen ist: Konstruktion der mit Es wird wie im Ein-Teilchen-System ein Absteigeoperator definiert: Das Vorzeichen entspricht der Condon-Shortley-Konvention Bsp.: Da die vollständige Schreibweise für die Zustände recht lang ist führen wir folgende Umschreibung ein: 19

20 höchstes Gewicht hat (höchste Quantenzahl): Anwenden des Absteigeoperators auf diesen Zustand: ( ) ( ) Wiederholung Es gibt zwei Möglichkeiten den Eigenzustand vom Gesamtdrehimpuls darzustellen: 1) Produkt von, mit -Dimensionen 2) Eigenzustand von mit Basiszustände für festes j Daraus ergab sich die Auswahlregel für den Gesamtdrehimpuls: Der Beweis über: a) Anzahl der orthogonalen Zustände für festes b) Das System ist abgeschlossen unter Drehungen alle 2j+1 Zustände sind im Unterraum enthalten Clebsch-Gordon-Koeffizienten (CGK) CGK Eigenschaften der CGK: 1) CGK sind reell wegen Condon-Shortley-Konvention d.h. ist positiv und reell. 2) Auswahlregeln: CGK 0 nur falls 3) Orthogonalität 20

21 4) Rekursionsformel für CGK 5) Es gilt j-Symbole von Wigner ( * Eigenschaften der ( *: 1) Auswahlregeln: und zyklisch! 2) Vertauschung zweier Spalten führt auf einen Faktor: ( * ( * 3) Invariant unter zyklischer Vertauschung der Spalten 4) ( * ( * 2.4 Bahndrehimpuls und Spin Fälle: 2.4.1Herleitung der CGK Höchstes Gewicht: : 21

22 2 3 Allgemein: Orts/Spin Basis für ( ) Zweikomponentiger Spinor: ( * Ortswellenfunktion für Spinoren (Spin-Kugelfunktionen): ( ) ist ein Eigenzustand von Bahndrehimpuls Eigenzustand 22

23 2.5 Tensoroperatoren Vektoroperator definiert durch Transformation unter Drehungen: Die Transformation ist abhängig von den Kommutatoren [ ]. Speziell: Ortsoperator [ ] [ ] ist ein Vektoroperator, wenn [ ]! Bilde Linearkombinationen von : 0 1 (, - [ ]) ( Ebenso: 0 1 [ ] ( + Diese Relationen lassen sich mit und

24 Operato- Definition: Ein irreduzibler sphärischer Tensoroperator vom Rang ist ein Satz von ( ren ) mit 0 1 und 0 1 Alternative Definition: Beispiele: Was ist nun der Kommutator: ( ) Eine Multiplikation mit, - entspricht einer Anwendung des Tensoroperators Kartesische-Tensoren Gegeben sind die Vektoroperatoren Betrachte einen Rang 2 Tensor: nicht reduzibel unter Drehungen. z.b.: trägt Spin 0, d.h. ist skalar: Zerlegung von : [ ] [ ] [ ] [ ] 4 5 Dieses Gebilde hat keine Spur, die 3 im Nenner entspricht der Spur von. Skalar mit ( ) Vektoroperator trägt Spin (5 Kombinationen) 24

25 2.5.2 Matrixelemente von Tensoroperatoren Betrachte zum Beispiel für den Ortsoperator: ( ) ( ) verschwindet außer für: Beweis: Rückblick auf die Rekursionsformel der CGK: Die Rekursionsformeln definieren ein Gleichungssystem: - A hat den Eigenwert (CGK 0) Das ist der einzige Eigenwert. 25

26 Beweis: Rekursionsformel in ( 1, 2)-Ebene Startpunkt Verboten, CGK=0 Eigenvektorporblem ist für eindeutig lösbar Wigner-Eckert-Theorem 3 Schreibweise für ist unabhängig von! heißt reduzierte Matrixschreibweise. Auswahlregel : Bsp.: Ortsoperator (Dipolübergänge) trägt a) b) Kein Übergang durch Dipolübergang Projektionstheorem Für Vektoroperatoren. Sei ein Vektoroperator. Dann gilt 26

27 Mit Beweis: Betrachte { } ist Skalar, d.h. hat hängt nicht von m ab und auch nicht von. ist also beliebig. Wähle um zu berechnen: Wigner-Eckert-Theorem Matrixelement von 27

28 3 Störungstheorie Wir betrachten ein Allgemeines Problem mit dem Spektrum: Wir betrachten die Zeitentwicklung von mit 4 5 das ist nicht immer analytisch lösbar. Also wird eine Approximation durchgeführt, welche lösbar ist: mit Störung V, welche möglichst klein sein sollte. Es gibt zwei Arten von Störungstheorien: - Stationäre Störungstheorie mit einem zeitunabhängigen V. Zu bestimmen ist - Zeitabhängige Störungstheorie, zu bestimmen ist die Zeitentwicklung Übergangsraten: Zerfälle, Streuung, 3.1 Stationäre Störungstheorie Wiederholung: nicht entarteter Fall ist nicht entartet. Zu finden ist nun das Spektrum von Für soll das Problem analytisch lösbar sein, für entspricht keiner Näherung. Es wird eine Potenzreihenentwicklung in durchgeführt: Lösung mit Beispiel: Quadratischer Stark-Effekt Was passiert mit einem Wasserstoffähnlichem Atom im äußeren -Feld. Keine Entartung für 1s- Zustand des H-Atom. 28

29 Das -Feld führt zu einem Energieshift im Spektrum des Wasserstoffatoms: Mit die Energiezustände sind: Zu bestimmen sind also die Matrixelemente des Ortsoperators in z-richtung. Auswahlregel, i) Parität von : { ii) Projektionstheorem: ( ) Mit Entarteter Fall: Kein Problem falls, wir betrachten : 29

30 Um zu bestimmen benutzt man geeignete linear Kombinationen im Unterraum der entarteten Zustände! sei g-fach entartet! >? Diagonalisiere V in D: Projektor auf D Komplement Es gilt:, -, - Gesucht: Eigenvektor. / Projektion auf D, mit. / Projektion mit Wegen und klein ist, invertierbar: Einsetzen in Projektion: ( * 30

31 ( * Entwicklung: In Ordnung : ( ) Das ist eine Eigenwertgleichung für Matrix ( + Eigenwert von. Wähle als Eigenvektor von. Wiederholung: Lösung zu Für sei g-fach entartet. 1) 2). / Wir entwickeln die Eigenzustände zur Ordnung :. /. / Entwicklung in der Energiebasis : 8 ist -Matrix 31

32 Untersuchung der Höheren Terme in Berechnung von : Aus. / folgt: ( + ( ) Offensichtlich ist das wieder ein Problem der Störungstheorie: Annahme: Spektrum von nicht entartet. Die Lösung ist aus der nicht entarteten Störungstheorie: hat Eigenvektor Das lässt sich weiter vereinfachen. Ganz allgemein gilt ( ). / Zusammenfassung (entartete Störungstheorie) 1) Bestimme entarteten Unterraum D von zu dem Eigenwert 2 3 Konstruiere eine Matrix 32

33 2) Diagonalisiere 3) Energiekorrekturen erster Ordnung Eigenwerte von, die Eigenvektoren sind die richtigen Basiszustände von D 4) Nicht entartete Störungstheorie liefert uns die Energiekorrekturen höherer Ordnung (oder Iteration) Linearer Stark Effekt für H-Atom sind -fach entartet. n=2: 2s, 2p haben Es gilt (, Eigenzustände von : Eigenwert ( ) Zu berechnen: Mit linearer Shift mit linearer Stark Effekt Niveauverschiebung für wie im -Zustand ist quadratisch, kein Problem mit der Entartung Wegen, -, -, -, - 33

34 m immer noch gute Quantenzahlen klassifiziert die eigentlich entarteten immer noch, -Auswahlregel gilt noch die -Zustände mischen nicht, d.h. für diese Anwendung kein Problem mit Entartung quadratischer Stark Effekt Beispiel: Spin-Bahn-Wechselwirkung Wasserstoffähnliches Atom, mit einem Valenzelektron außerhalb einer vollbesetzten inneren Schale Die inneren Elektronen befinden sich aber bei kleinen r. Entartung des Wasserstoffatoms aufgehoben,, da (höhere l-zustände erfahren mehr Abstoßung durch die inneren Elektronen) Valenzelektron erfährt -Feld: -Feld der sich bewegenden Ladung in ihrem Ruhesystem: Magnetisches Moment des Elektrons Das führt auf einen neuen Wechselwirkungsterm im Hamilton Operator: ( ) 6 7 Korrekter Term Faktor : Thomas Präzession des Elektrons, folgt später aus der Dirac-Gleichung. hat entartete Eigenzustände, welche folgendermaßen gewählt werden können als: a) Eigenzustand von b) Eigenzustand von ( ) zu Eigenwerten 34

35 weil ( ) Wahl b) ist günstiger, da Eigenzustand ist! ( ) niedrigste Energiestruktur 6 7 ( * Was ist? : ( * ( * : ( * ( * Der Term in der eckigen Klammer:, - { spaltet auf in Dublett von Linien Bekanntes Beispiel: Natrium D-Linien Na Z=11, Grundzustand 35

36 Die -Kopplung ist nicht die einzige Korrektur in. Es gibt noch Relativistische Effekte: 4 5 Diese Korrektur besitzt keine Spin-Abhängigkeit, d.h. es ist die gleiche Korrektur für verschiedene Spinzustände Beispiel: Zeeman-Effekt H-Atom im äußeren Magnetfeld (bzw. Alkali-Atom, H-ähnliches Atom). ( ) ( ) minimale Kopplung, folgt aus der Lagrange-Funktion. (Herleitung des Hamiltonoperators des Elektromagnetischen Felds) Konstantes -Feld: Wähle mit (Coloumb-Eichung): 4 5 Untersuchen wir nun die Kommutatorrelationen zwischen und : ( ), -, - ( ) 4 5 ( + 36

37 Damit folgt für den Hamiltonoperator: Mit folgenden Substitutionen: Wegen der kleinen Auswirkung sind nur und relevant! Der vollständige Hamiltonoperator ist symmetrisch unter Drehungen um die z-achse, d.h. dass mit H kommutiert und deswegen eine Erhaltungsgröße ist! simultane Eigenzustände m ist eine gute Quantenzahl. Betrachte folgende Kommutatorrelationen der relevanten Terme: [ ] [ ] [ ] [ ] Analog für! und entsprechen guten Quantenzahlen. Mögliche Basen für Rechnung: 37

38 Grenzfälle Bemerkung zur Notation: 1) dominiert hier wählt man die -Basis Entartung aufgehoben (nicht-entartete Störungstheorie) Eigenzustand ist ( ). / ( * Paschen-Back Grenzfall: ist klein. Term ist diagonal in, Basis Entartung von teilweise aufgehoben und sind entartet. Verschiedene m-eigenwerte mischen nicht nicht-entartete Störungstheorie für festes m. 38

39 3.2 Zeitabhängige Störungen Systeme mit Hamiltonoperator Lösung zu sollen bekannt sein: ist zeitabhängig kein stationärer Zustand! Gesucht sind sog. Übergangs-Wahrscheinlichkeiten. Zur Zeit : : Eigenzustand von Gesucht ( * Die Wahrscheinlichkeit den Zustand zu messen ist:. Die Zeitentwicklung von durch. nur Wechselwirkungsbild (WWB) Zustände zur Zeit : Ket im Schrödinger-Bild Definiere Zustand im WWB (Interaction=I): ( * Observablen im WWB: ( * ( * ( * ( * ( * Für : ( ( * * ( * ( * 39

40 ( * ( * ( * Schrödinger-artige Gleichung mit ( * ( * Heisenberg-artige Gleichung mit Im Folgenden: soll bekannt sein! Problem gelöst, wenn auch bekannt. ( * ( * ( * ( + ( hinreichend einfach und nur endlich viele Zustände DGL. evtl. exakt lösbar. System gekoppelter Bsp.: 2-Zustandssystem mit harmonischem Potential ( * 4 5 verknüpft und Übergänge möglich. Hier exakt lösbar z.b. mit. 40

41 [ Oszillation mit Frequenz ] Praktisches Beispiel: Spin System im externen -Feld ( ) zeitabhängige Störung, Feld rotiert in xy-ebene (typischerweise Radiofrequenz).. / ( ) ( * Falls das Problem nicht exakt lösbar ist wendet man die zeitabhängige Störungsrechnung an! Dyson-Reihe Störungsreihe für die Koeffizientenfkt. gibt die Ordnung im WW-Potential, die mitberücksichtigt wird. per Störungsrechnung. Zeitevolutionsoperator im WW-Bild Einsetzen in DGL für Zustand im WW-Bild: 41

42 Logische Anfangswertbedingung. Das führt auf eine Integralgleichung: Diese Integralgleichung ist vorteilhaft, da klein ist Lösung per Iteration und Abschneiden Das ist die Dyson-Reihe, Dyson war ein Pionier der QED 8 9 Jetzt zurück zur Übergangsamplitude Übergangswahrscheinlichkeit Initial State bei ( * ( * ( * ( * 42

43 Jetzt Einsetzen der Dyson-Reihe für den Zeitentwicklungsoperator: ( * ( * ( *. / 4. /5 4 Pfadintegrale Alternative Formulierung der QM parallel zur Matrizenmechanik und Wellenmechanik. Bsp.: 1-dim System Impulsoperator, Ortsoperator,, - Ortsbasis Schrödingerbild: 4 5 Definition: 4 5 Wellenfunktion: K= Propagator =Zeitentwicklungsoperator in Ortsbasis Feynman: 8 ( ) 9 43

44 Annahme: ( ). / Normierung: ( * ( ) 4 5 ( 4 5 [ ( + ]. / Für Propagator: > 6 7? 8 ( )9 Sei ( ) > 4 5? 44

45 5 Vielteilchensysteme: Bosonen und Fermionen Bose-Einstein-Statistik: Fermi-Dirac-Statistik: Beweis: 5.2 Zusammenhang zwischen Statistik und Spin Teilchen mit Spin 0,1,2 sind Bosonen. Teilchen mit Spin sind Fermionen. Innerhalb der relativistischen Quantenfeldtheorie ist diese Zuweisung unumgänglich. Des Weiteren gibt es keine Para-Statistik, d.h. höhere irred. Darstellungen der. 45

46 5.3 Zwei-Elektron-Systeme Zwei Elektronen können nicht den gleichen Zustand besetzen Offensichtlich müssen die zwei Elektronen in zwei verschiedenen Zuständen sein, damit die Physik konsistent bleibt (Pauli-Prinzip). Basis-Zustand: Annahme: [ ] ( ) ( ) Eigenzustände: } { Unter Permutation von ( ) ( ) ( ) ( ) Die Vorzeichen der Ortswellenfunktion ergeben sich aus der Fermi-Dirac-Statistik. Bsp.: ( ) ( ) Mit

47 Folgen Lösungen für ( ) ( ) mit Lösungen die Fermi-Dirac-Statistik erfüllen: ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) + für Singulet, und für Triplet. Wahrscheinlichkeit Teilchen 1 bei in und Teilchen 2 bei in zu finden. ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))} a) Klassische Situation für A und B ohne Überlapp (also Austauschdichte null ist) b) Effekt der Statistik nur für starken Überlapp von A und B Beispiel He-Atom, Kern mit Z=2 und 2 Elektronen: ( ) Eigenzustände von sind Produkte von Wasserstoff -Zuständen für Z=2 ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) Energie-Shift: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Für Rechnung: Skizze des Spektrums von He. 47

48 Ohne Kopplung tritt trotzdem Spin-Aufspaltung auf. 6 Relativistische Quantenmechanik 6.1 Notation Vierer-Vektoren: Invariante Länge (unter Lorentz-Trafo): ( ) Einsteinsche Summenkonvention: für jedes Paar von einem oberen und einem unteren Index. Metrischer Tensor: (, ( ) Vierer-Impuls: 2 [ ] ( * ( ) Die Länge des Vierer-Impulses ist also konstant! 48

49 Vierer-Potential: ( * Die Lorentz-Transformation ist gegeben durch: Damit folgt für das Vierer-Potential: Vierer-Strom (in Elektrodynamik): ( ) Skalarprodukt für Ableitung nach ( * Ist ein kovarianter Vektor. Der untere Index erklärt sich durch: Entsprechend: ( * d Alembert Operator: 6.2 QM eines freien Teilchens ( * ( * Schrödinger-Gleichung für NR freies Teilchen: 49

50 50

51 Relativistischer Fall: i) ( ) dieser Versuch scheitert am nicht-lokalen Operator ii) Das ist die Klein-Gordon-Gleichung: 4 5 (. / * Anwendbar auf skalare Teilchen (Spin 0), wie Lösung der K-G-Gleichung durch ebene Wellen: 4 5 ( * 4 5 ( * ( * 4 5 KG: 4 5 Scheint alles konsistent zu sein! Die möglichen Werte für E sind: - Lösungen mit negativer Energie - Energiespektrum nach unten nicht beschränkt Wahrscheinlichkeitserhaltung: Kontinuitäts-Gleichung: 4 5 Gibt es einen erhaltenen Vierer-Strom für Lösungen der KG-Gleichung? (. / * (. / * ( ( ), 51

52 Kandidat für Wahrscheinlichkeits Strom in Schrödinger-Gleichung: Anwendung auf stationäre Lösung:. / ( ) Auch hier sind negative Energien erlaubt, aber was ist die Interpretation von negativen Wahrscheinlichkeitsdichten? Interpretation: Zustände mit E>0 entspricht einem und mit E<0 einem Das ist das Anti-Teilchen vom. } ist EM-Strom. Elektronen: Spin Wellenfunktion hat Komponenten ( + Daraus ergibt sich die Möglichkeit eine Matrix-Struktur für den Hamiltonoperator zu finden und mit diesem neuen Operator lässt sich eine Gleichung formulieren, welche der Schrödinger Gleichung sehr ähnelt: 6.3 Dirac-Gleichung Ansatz: mit ( + und Wahrscheinlichkeitsdichte 52

53 Auf Grund der Symmetrie zwischen Raum und Zeit folgt aus der ersten Ableitung nach der Zeit eine erste Ableitung nach dem Ort. Damit ergibt sich für den Hamiltonoperator: Ansatz für ( ) Für ein freies Teilchen soll die Ebene Welle eine Lösung sein: ( * mit Einsetzen in den oberen Ansatz: [ ] ( ) ( ) Zu bestimmen sind nun und. Der Term in der Klammer wird quadriert: : ; 53

54 Koeffizienten-Vergleich: -Term: -Term: * + -Term: : { } { } : { } 1) damit reelle Eigenwerte herauskommen muss hermitesch sein hermitesch 2) Eigenwerte von sind 3) 4 5 Die Anzahl der Eigenwerte +1 muss der Anzahl der Eigenwerte -1 entsprechen. Die Dimension der Matrizen muss gerade sein. Für N=2 gibt es 3 Pauli-Matrizen als Kandidaten, das ist eine zu wenig, weil die Pauli-Matrizen nur 2 dimensionale Systeme beschreiben, also werden vier benötigt. N=4 funktioniert. N=4: Dirac Basis: diagonal: : ;. / hermitesch +: * +. /. /. / ( * { } 54

55 Lösung:. / ( * Damit lautet die Dirac-Gleichung: ( * Alternative ist die kovariante Form:. / Kovariante Form der Dirac-Gleichung, mit: * Wahrscheinlichkeits-Strom Adjungierte Dirac-Gleichung: Differenz: ( ) ( + ( + ist positiv definite Wahrscheinlichkeitsdichte. Die Kovariante Form des W-Stroms: ( ) ( ) 55

56 Wobei der Pauli adjungierte Spinor ist. 6.5 Elektromagnetische Wechselwirkung Externe Felder: ( * Minimale Substitution: ( * Komponenten der kovarianten Ableitung : ( * ( * Ersetze in freier Dirac-Gleichung: ( * oder. / Beschreiben WW eines Elektrons der Ladung e mit dem elektromagnetischen Feld. Zu beachten ist, dass ein vier-komponentiger Spinor ist!!! Notation: ( ) 56

57 ( * [( * (,] ( * Nichtrelativistischer Grenzfall Ansatz: ( ) 4 5 ( ( ) ( ) * 4 5 ( * ( ( ) ( ) * Einsetzen in die Dirac-Gleichung: ( *. / ( *. /. / mit Aus der Gleichung für folgt: Also ist um ca. zwei Größenordnungen kleiner als. Im relativistischen Fall werden beide Größen ungefähr gleich groß. Einsetzen von : ( ) Berechnung von ( ) ( ) [ ] { } Weil der Epsilon-Tensor antisymmetrisch ist: 57

58 ( ) [ ] [ ] [ ]. / ( ) ( ) Nun wieder alles einsetzen in die Gleichung für : ( ) Pauli-Gleichung Schwaches homogenes B-Feld: ( ) ( ) Magnetisches Moment des Elektrons: ( ) für geladenes Dirac-Fermion Relativistischen Korrekturen Energieeigenzustände:. / ( ) ( *. / ( ) Dirac-Gleichung ist äuivalent zu, ohne jeglichen Approximationen: ( *, -, - 58

59 Einsetzen in ( ) ( ( ) ( )+ Spezialfall: sphärisch Symmetrisch. ( ) ( ) : ; Interpretation: - relativistischer Beitrag zur kinetischen Energie ( ) Korrekte Spin-Bahn-Kopplung inklusive Thomas Präzessionsfaktor 1/2 Dirac-Gleichung Pauli Gleichung incl. Relativistische Korrekturen 4 5 ( ) Der letzte Term ist nicht hermitesch, es entstehen Probleme in der Wahrscheinlichkeitsdeutung etc. 59

60 Problem: Wahrscheinlichkeit Dichte ist: 4 5 Übergang zu: 4 5 Das ist die sog. Foldy-Wouthysen Transformation (Details: Bjorken-Drell: relativ. QM). Ersetze durch: NR: 6 7, -, -, - ( ) Hamilton Operator für Pauli-Gleichung mit relativistischen Korrekturen: Mit Darwin-Term: 60

61 Korrekturen zum Wasserstoff-Spektrum : ; Aufspaltung von aber gleiche Energie für 6.6 Ebene Wellen als Lösungen der freien Dirac Gleichung. / Ebene Welle als Ansatz: ( *. / Spezialfall: Teilchen in Ruhe ( * (, 61

62 Es existieren vier Lösungen zu zwei Eigenwerten: (, (, (, (, Lösungen mit negativer Energie Existenz von Positronen Lösung für i) Matrixgleichung lösen ii) Lorentz Transformation von IS (Teilchen in Ruhe) in IS ( ) Lorentz Transformation: Bsp.: Boost in z-richtung. / 62

63 LT erhält relativ. Länge Def. Eigenschaften einer LT Oder Infinitisimale LT ist reelle antisymmetrische 4x4-Matrix. Damit haben wir 6 reelle freie Parameter. 6 Generatoren: 6.7 Kovarianz der Dirac-Gleichung Inertialsystem IS IS. /. / Zu zeigen: es gibt zu jeder LT eine lineare Abbildung der Spinoren: * + bilden Darstellung der Lorentzgruppe ( ). / : ; Ist äquivalent zur Dirac-Gleichung in IS wenn 63

64 Betrachten infinitesimale Transformationen: Mit -Matritzen Einsetzen in die obere Formel: ( * ( * Lösung ist [ ] Beweis: [ ] [ ] sind Generatoren für Spinordarstellung der Lorentz-Gruppe: [ ] { } Frage: Ist mit ein Vierer-Vektor? 64

65 Transformation von ( ) { } ( [ ]* [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] ( * LT von Damit wurde gezeigt, dass sich der Quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsstrom wie ein Vierervektor verhält! Kontinuitätsgleichung: Den Wahrscheinlichkeitsstrom nennt man ein Bilinear: z.b. ist ein skalares Feld Allgemeiner Fall: Gute Basis der : Die Basis besteht aus 16 Matritzen. 65

66 unabhängige Fermion-Bilineare Bequeme Basis:, - < = Transformiert sich wie Tensor. Was ist mit den Termen? Verwende z.b. * +, -, - Pseudo-/Axial- wegen Pritätstransformation (spezielle Lorentztrafo). ( ) ( ) (, Transformation von Spinoren brauchen Matrix P Bei Spinoren: 66

67 Ist ungerade unter P Anwendung Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung. z.b. -Zerfall. Sind die beiden Ströme Lorentz-Skalare? Parität -Zerfall ist sehr ähnlich, jedoch andere Koeffizienten für Nukleonen Bedeutung der 4 5 ( *, - (, -, - * : ; mit. / allgemeiner und sind EZ von zu und sind EZ von zu 67

68 Jetzt boost in Bezugssystem mit Geschwindigkeit. Dazu ( * : ;, - Verbindung von und. / Spezialfall 4 5 : ; Vergleiche. /. / allgemeiner Fall

69 6.9 Ebene-Wellen-Lösung zu allg.. / Lösung mit. / ( ) in Ruhe (, (, (, (, Besser für Teilchenwellenfunktionen immer d.h.: ( *. / Lsg. pos. Energie:. / ( ) Lsg. neg. Energie:. / ( ) i=3,4 ( ) ( ) Jetzt ( ) durch boost von entlang der -Richtung: Ungesrichenes System =Ruhesystem der Teilchen Gestrichenes Systme=Teilchen bewegt sihc in -Richtung boost in ( )-Richtung um Teilchen in Bewegung zu setzten. ( ) ( * Dieses ( ) ist der Spinor, der Elektronen mit - Impuls - Spin im Ruhesystem in -Richtung beschreibt ( * ( ). / 69

70 ( *. /. / ( ) ( *. / 4 5 ( ( ) ) 70

71 6.10 Der Diracsee E c ν c ν c c p besetzt Grundzustand ist unbesetzt. alle besetzt Pauli-Prinzip verbietet Übergänge von zu. Ein Elektron entspricht dann einem Zustand mit, Ladung und Spin. Das entstehende Loch entspricht einem fehlenden Elektron mit. Mittels der Erhaltungssätze kann man dem Loch folgende Eigenschaften zuweisen: Energierhöhung um: Ladung: ( ) Spin: Positron mit positiver Ladung, Lösung der Dirac-Gleichung: ( ) Pos. Energie: ( * ( ) Neg. Energie: 71

72 ( * ( ) Die ( ) erfüllen: 6.11 u und v Spinoren Ruhesystem des ( ) ( ) ( ) ( ) Boos im IS in dem: ( ) ( * ( * Für : ( ) ( ) ( ) ( ) Normierung der ( ) ( ) ( ) (, 6.12 Vollständigkeit Jeder Spinor kann als Linearkombination von geschrieben werden 4 5 ( ) Beweis: Angewendet auf u,v Spinoren, geben beide Matrizen gleiche Ergebnis 72

73 Andererseits Analog für v Spinoren: 4 5 Denn und 4 5 ist Projektor auf Zustände mit positiver Energie ist Projektor auf Zustände mit negativer Energie Bew. z.z.: 6.13 Ladungskonjugation Dirac Gleichung sollte auch für Positronen als Teilchen und Elektronen als Antiteilchen existieren (mit Spinor, C=Charge-conjugation) : ; Ges.: Beziehung zur Dirac-Gleichung für [ ] Transformation mit Matrix C [( ) ] 73

74 Gesucht C mit: Dann ist: Die Matrix tut s! 74

75 7. Quantisierung des Strahlungsfeldes 7.1 Potentiale Eichfreiheit für. Aus den Maxwell-Gleichung folgt: 4 5 ( * Des Weiteren folgt aus den Maxwell-Gleichungen: ( * Es wird die Coulomb-Eichung verwendet. ( ) ( ) Zunächst wird der freie Fall betrachtet, also Ladungsfreiheit: Das ist die Klein-Gordon-Gleichung, welche für masselose Teilchen gilt, was beim Photon der Fall ist! Die Lösungen sind ebene Wellen: ( ). ( )/ Aus der Eichbedingung folgt: Das Ziel ist es nun den Hamilton-Operator finden. 75

76 Als Ansatz versuchen wir den Hamilton-Operator durch die Energie des Strahlungsfeldes zu definieren: ( * Bei ebenen Wellen müssen wir aufpassen, da das Integral divergiert. Wir wählen also einen endlichen Kasten mit periodischen Randbedingungen! Forderung: usw. Lösungen sind: ( * ( * ( ) ( ) ( ( ) ( )* Wähle ( ) so, dass ein rechtshändiges Orthonormalsystem bilden. ( ) ( ) ( ) ( ) darstellbar als Fourierreihe: ( ) 0 ( ). ( )/ ( ). ( )/1 ( ) Der Faktor steht da, damit die ( ) dimensionslos sind. Nun fasst man die obere Gleichung noch ein wenig zusammen. ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] Im endlichen Kasten ( ). Es folgt eine Normierungsbedingung: ( ) ( ) 76

77 Nun setzen wir das ins ein: [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] ( ). ( )/ ( ( )*. ( ) ( ) ( ) ( )/ Einsetzen in : 2. ( ) ( )/. ( ) ( )/. ( ) ( )/. ( ) ( )/ 3. ( ) ( ) ( ) ( )/. / Vergleicht man das mit dem Harmonischen Oszillator: ( * Die gefundene Summe entspricht der Aufsummierung der Hamilton-Operatoren verschiedener harmonischer Oszillatoren! Das ist nicht weiter verwunderlich, weil ähnliche Form besitzt, wie 7.2 Spektrum des quantisierten Strahlungsfeldes Für jede Mode 1 Photon E= ω k 2 Photonen E=2 ω k N Photonen E=n(k,r) ω k 77

78 Wie beim harmonischen Oszillator sind die Energieabstände äquidistant. Quantisierungsbedingung als Auf- und Absteigeoperatoren, damit gilt für den Kommutator: [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] Es gibt noch ein kleines Problem. Grundzustand: : ( ) ; ( ) Hat eine Energie: Diese Summe divergiert! Dieses Problem löst man indem man definiert: Messer Energie relativ zum Grundzustand Renormierung. 78