Quantentrajektorien: dem Atom beim Zerfall zusehen. Seminar-Vortrag von Sanah Altenburg

Transkript

1 Quantentrajektorien: dem Atom beim Zerfall zusehen Seminar-Vortrag von Sanah Altenburg Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 1

2 Motivation Dem Atom beim Zerfall zusehen Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 2

3 Gliederung Wiederholung Die MCWF-Methode Monte-Carlo-WellenFunktion Äquivalenz zur Master-Gleichung Getriebenes Zwei-Niveau-System Der Algorithmus der MCWF-Methode Zusammenfassung Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 3

4 Wiederholung Die Dichtematrix Diagonalen: Besetzungswahrscheinlichkeiten Nebendiagonalen: Kohärenzen Die Liouville- von Neumann Gleichung Der Zeitentwicklungsoperator: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 4

5 Wiederholung Die Master Gleichung: Kopplung zwischen Bad und System Zustand des Gesamtsystems am Anfang Dynamik wird beschrieben durch die Liouvielle von Neuman Gleichung Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 5

6 Wiederholung Koordinaten Transformation ins WW-Bild Born-Näherung: Schwache Kopplung zwischen Bad und System Markow: Der aktuelle Systemzustand bestimmt die Dynamik Ausspuren des Bades Annahme für die Wechselwirkung: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 6

7 Wiederholung Master-Gleichung im WW-Bild Lamb- Verschiebung Stimulierte Absorbtion und Emission: Terme mit n Spontane Emission Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 7

8 Wiederholung Zurück tranformieren mit Zeitentwicklungsoperatoren Master-Gleichung in Lindblad-Form: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 8

9 Die MCWF-Methode Starte mit der Master-Gleichung in Lindblad-Form Mit dem Relaxation-Term Mit nicht-hermitischen Leiteroperatoren Zeitentwicklung der Dichtematrix unter Energieverlust Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 9

10 Die MCWF-Methode Umschreiben unter Einführung eines nicht hermitischen effektiven Hamiltonian Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 10

11 Die MCWF-Methode Definiere neuen Kommutator Einfachere Darstellung der Master-Gleichung Mit effektivem Hamoltonian Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 11

12 Die MCWF-Methode Betrachte nun Zeitentwicklung einer Wellenfunktion Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 12

13 Die MCWF-Methode Effektiver Hamiltonien ist nicht hermitisch Anschliessende Normierung Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 13

14 Die MCWF-Methode Neue Wellenfunktion Wahrscheinlichkeit, dass Leiter/Sprungoperator zur Anwendung kommt Wahrscheinlichkeit für Quantensprung Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 14

15 Die MCWF-Methode Wahrscheinlichkeit für diese Zeitentwicklung: Wahrscheinlichkeit, dafür dass kein Quantensprung stattfindet: Was passiert, wenn die Wellenfunktion einen Sprung macht? Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 15

16 Die MCWF-Methode Sprungoperaturen sind nicht hermitisch Normierung Wellenfunktion nach dem Sprung: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 16

17 Überblick: Die MCWF-Methode Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 17

18 Zeitentwicklung mit der MCWF-Methode Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 18

19 Die MCWF-Methode Betrachtung einer möglichen Zeitentwicklung der Wellenfunktion eine Quantentrajektorie Es gibt aber viele mögliche Zeitentwicklungen! Mitteln über viele Zeitentwicklungen der Wellenfunktion 3 Schritte: 1. Zeitentwicklung der Wellenfunktion mit dem nicht-hermitischen Hamiltonian 2. Zufällige Quantensprünge mit anschliessender Normierung 3. Mittelung über viele Zeitentwicklungen Bestimmung des Erwartungswertes des Ensembles Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 19

20 Äquivalenz zur Mastergleichung Gemittelte Lösung entspricht Lösung der Mastergleichung? Betrachte gemittelte Dichtematrix Kein Quantensprung Quantensprung Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 20

21 Äquivalenz zur Mastergleichung Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 21

22 Äquivalenz zur Mastergleichung Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 22

23 Äquivalenz zur Mastergleichung Für Observablen gilt: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 23

24 Beispiel: Getriebenes 2-Niveau-System Atom im Laser-Feld ( in RWA) Hamiltonian: Verstimmung: Rabifrequenz: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 24

25 Beispiel: Getriebenes 2-Niveau-System Effektiver Hamiltonian: Sprung-Operatoren: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 25

26 Beispiel: Getriebenes 2-Niveau-System Analytische Lösung: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 26

27 Beispiel: Getriebenes 2-Niveau-System Mittelungen über mehrere Trajektorien: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 27

28 Beispiel: Getriebenes 2-Niveau-System Mittelungen über mehrere Trajektorien: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 28

29 Beispiel: Getriebenes 2-Niveau-System Einzelne Trajektorien: Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 29

30 Verwendeter Algorithmus Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 30

31 Der Algorithmus in Pseudocode For i in [0,Traj]: Psi=[1,0] #starte im angeregten Zustand For t in [0,Zeit]: dt=0.01 #länge der Zeitschritte ZZ=random() #Ziehe ZufallsZahl dp=dt(conjugate(psi)*psi) #Berechene Sprungwskt If dp<zz: #Kein Sprung psidt=u*psi/sqrt(1-dp) psi=psidt Else: #Sprung psi=sqrt(g)*(sigmaminus*psi)/sqrt(dp/dt) wskt=([1,0]*psi)^2 append(l,wskt) #Schreibe Vektor mit wskt b+=l #addiere Vektoren mit wskt auf Mittelung= b/traj Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 31

32 Zum Verfahren Größe der Zeitschritte Je größer,desto weniger Rechenschritten nötig Klein wegen Näherung Ausweg: bessere Näherung wie z.b. braucht mehr Rechenleistung Minimale Größe für Zeitschritte? Markov-Näherung: Die korrelationszeit von System und Reservior ist klein gegen die betrachteten Zeitspannen Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 32

33 Zum Verfahren Anzahl der Simulationsläufe: n N: Anzahl der reinen Zustände Mastergleichung: N² Gleichungen MCWF-Methode: N Gleichungen Lokale Operatoren: wirken auf einzelne Zustände Globale Operatoren: wirken auf mehrere Zustände Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 33

34 Simulierte Realität? Sehen wir wirklich die Katze sterben? Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 34

35 Zusammenfassung Master-Gleichungen Lindblad-Form Die MCWF-Methode Äquivalenz zwischen Master-Gleichungen und MCWF-Methode Anwendung und Umsetzung Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 35

36 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 36

37 Literatur: [1] Plenio, M. B. And Knight, P. L.The quantum-jump approach to dissipative dynamics in quantum optics, Rev. Mod Phys. Vol. 70, No. 1 (1998) [2] Gardiner, C. W. And Zoller, P. Quantum Noise, Springer Verlag 2.Auflage (2000) [3] Ausareitung von Robert Maiwald zum Vortrag Quanten-Trajektorien im Hauptseminar 'Aktuelle Probleme der Quantenmechanik'(2004) [3] Walser, R. And Ritsch, H.,Laser-noise-induced population fluctuations in two-level systems: Complex an real Gaussian driving fields, Physikal Review A, Vol. 45, No. 1 (1992) Seminar Quanten- und nichtlineare Optik Sanah Altenburg 37