Dekohärenz und die Entstehung klassischer Eigenschaften aus der Quantenmechanik

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1 Dekohärenz und die Entstehung klassischer Eigenschaften aus der Quantenmechanik G. Mahler Spezialvorlesung SS Einführung und Übersicht Warum und in welchem Sinn ist Kohärenz»untypisch«? Zur Begründung der Thermostatistik aus der Quantenmechanik Dekohärenz: Dynamik offener Systeme Coarse graining und der Zeitpfeil Quantenthermodynamische Maschinen Nichtgleichgewicht: Zum Problem der Wärmeleitung Fluktuationstheoreme Messprozesse und stochastische Entfaltung Nanomechanik Physik und Information: Maxwells Dämon u. a Quantencomputing versus klassische Rechner Literatur D. Giulini et. al: Decoherence and the appearence of a classical world in quantum theory, Springer J. Gemmer et. al: Quantum Thermodynamics, Springer H. P. Breuer et. al: The theory of open quantum systems, Oxford

2 Dekohärenz: Dynamik offener Systeme Harry Schmidt, 11. Mai 26 1 Einführung Kleines Quantensystem, schwach gekoppelt an eine große Umgebung. Das Gesamtsystem ist anfangs nicht in einem reinen Zustand. Die Umgebung besitzt anfangs schon eine bestimmte Temperatur und fungiert als Wärmebad. Zu untersuchen ist die Dynamik des kleinen Systems. Wir betrachten die Dynamik von quantenmechanischen Systemen, die offen, also an eine sehr viel größere Umgebung gekoppelt sind. System und Umgebung zusammen sollen während der Dynamik zwar als abgeschlossen betrachtet werden, sie stellen jedoch nicht die ganze»welt«dar. Die Umgebung befinde sich zu Beginn der Dynamik schon in einem gemischten Zustand, typischerweise in einem Zustand bestimmter Temperatur, einem kanonischen Zustand. Sie soll also als Wärmebad fungieren (und wird daher im Folgenden»Bad«genannt). 2 Die quantenmechanische Mastergleichung Abgeschlossene Beschreibung der Dynamik des kleinen Systems. Der Hamiltonoperator des Gesamtsystems bestehe aus lokalen Teilen für System und Bad und einer Wechselwirkung, Ĥ = ĤS + ĤB + ˆV. Der Zustand des Gesamtsystems soll zu Beginn separieren, ˆρ() = ˆρ S () ˆρ B (). Die abgeschlossene Zeitentwicklung ist gegeben durch die Liouville-von-Neumann-Gleichung, dˆρ dt = i [ĤS + ĤB + ˆV, ˆρ]. 1

3 Wir wechseln nun in die Wechselwirkungsdarstellung, in der die freie Dynamik von den Operatoren getragen wird. Es gilt ( Û (t) = exp i ) (ĤS + ĤB), ˆρ I (t) = Û (t)ˆρ(t)û(t), ˆVI (t) = Û (t) ˆV Û(t). Die Zeitentwicklung in Wechselwirkungsdarstellung ist gegeben durch dˆρ I (t) dt = i [ ˆV I (t), ˆρ I (t)]. (1) Im Folgenden wird der Index I der Einfachheit halber weggelassen. Wenn man (1) formal integriert erhält man ˆρ(t) = ˆρ() i t ds [ ˆV (s), ˆρ(s)]. Dies kann nun in (1) eingesetzt werden, man erhält eine exakte Integro-Differenzialgleichung für die Dynamik des Zustandes dˆρ dt = i [ ˆV (t), ˆρ()] 1 t ds [ ˆV (t), [ ˆV (s), ˆρ(s)]]. (2) 2 Fortgesetzte Iteration würde nun zur Dyson-Reihe führen. Die Kopplung soll hier aber so schwach sein, dass das Problem in 2. Ordnung Störungstheorie behandelt werden soll. Dazu würde man die Dyson-Reihe nach dem zweiten Glied abbrechen, deshalb kann direkt (2) verwendet werden. Ausspuren des Bades Da nur die Dynamik des Systems von Interesse ist wird nun das Bad ausgespurt, dˆρ S dt = i { Spur B [ ˆV (t), ˆρ()] 1 t ds Spur 2 B {[ ˆV (t), [ ˆV (s), ˆρ(s)]]. (3) Wenn die Diagonale von ˆV in der Basis verschwindet, in der die lokalen Hamiltonoperatoren diagonal sind, verschwindet automatisch der erste Term auf der rechten Seite. Diese Annahme ist schwach, da andernfalls die Diagonale von ˆV zur lokalen Dynamik hinzugenommen werden könnte. 2

4 2.1 Born-Näherung Gleichung (3) beinhaltet auf der rechten Seite immer noch den Zustand des Gesamtsystems. Um eine abgeschlossene Bewegungsgleichung zu erhalten nehmen wir nun weiterhin an, dass sich der Zustand des Bades während der Dynamik nur sehr wenig ändert, der Zustand des Gesamtsystems soll also für alle Zeiten durch ˆρ(t) ˆρ S (t) ˆρ B (4) gegeben sein. Diese Annahme wird dadurch gerechtfertigt, dass die Kopplung sehr schwach ist. Die Born-Näherung folgt direkt aus der Beschränkung auf die 2. Ordnung in der Zeitentwicklung, dies kann hier jedoch nicht gezeigt werden. Trotzdem ist sie häufig nicht gerechtfertigt. In vielen Fällen spielen die Korrelationen zwischen System und Bad, die hier völlig vernachlässigt werden, eine große Rolle. Mit (4) erhält man aus (3) eine abgeschlossene, aber nicht mehr exakte Integro-Differenzialgleichung, dˆρ S dt = 1 t ds Spur 2 B {[ ˆV (t), [ ˆV (s), ˆρ S (s) ˆρ B ]], (5) die allerdings noch die komplette Vergangenheit des Systems beinhaltet. Sie ist im Allgemeinen schwierig zu lösen. 2.2 Markow-Annahme Nimmt man weiter an, dass nur der aktuelle Systemzustand die Dynamik bestimmt, so erhält man die zeitlokale Gleichung dˆρ S dt = 1 t ds Spur 2 B {[ ˆV (t), [ ˆV (s), ˆρ(t) ˆρ B ]], (6) die allerdings noch nicht»markowsch«ist, siehe Abschnitt Der gedämpfte harmonische Oszillator Ein einzelner harmonischer Oszillator in einem Bad bestehend aus sehr vielen harmonischen Oszillatoren (Bosonenbad). 3

5 Als Anwendung von (6) betrachten wir nun einen einzelnen harmonischen Oszillator (ω, â, â ) in Wechselwirkung mit einer großen Zahl harmonischer Oszillatoren (ω j, ˆb j, ˆb j ). Beispiele für solche Bäder sind das Strahlungsfeld und Phononen. Die Wechselwirkung soll gegeben sein durch ˆV (t) = ( â ˆΓ (t)e iω t + â ˆΓ (t)e iω t ), ˆΓ (t) = j g jˆbj e iω jt. (7a) (7b) Setzt man (7a) in (6) ein erhält man für den Doppelkommutator [ ˆV (t), [ ˆV (s), ˆρ(t) ˆρ B ]] = 2( â â ˆρ S (t) ˆΓ (t) ˆΓ (s)ˆρ B e iω (t+s) + + ââ ˆρ S (t) ˆΓ (t) ˆΓ (s)ˆρ B e iω (t s) â ˆρ S (t)â ˆΓ (t)ˆρ B ˆΓ (s) e iω (t s) + ). Hier sind beispielhaft nur drei der 16 Summanden dargestellt. Sie sind bereits nach Systemoperatoren (â, â, ˆρ S ) und Badoperatoren ( ˆΓ, ˆΓ, ˆρ B ) geordnet. Die Systemoperatoren kann man aus der Teilspur über die Freiheitsgrade des Bades (Spur B { ) sowie aus dem Integral über s herausziehen. Badkorrelationsfunktionen Es ergibt sich dann eine Summe aus 16 Termen der Form ââ ˆρ S (t) t ds Spur B { ˆΓ (t) ˆΓ (s)ˆρ B e iω(t s). {{ ˆΓ (t) ˆΓ (s) Das Integral ist nur noch eine Zahl und somit ein (zeitabhängiger) Koeffizient in der Bewegungsgleichung für ˆρ S (t). Der Erwartungswert ˆΓ (t) ˆΓ (s) heißt Badkorrelationsfunktion. Er gibt die Korrelationen zwischen Umgebungsoperatoren ˆΓ zu verschiedenen Zeiten an. Wenn das Bad wenig»erinnerung«an frühere Zeiten besitzen soll, muss die Korrelationsfunktion schnell mit t s abfallen. Dann ist das System markowsch. 3.1 Berechnung der Koeffizienten Die Überschrift dieses Abschnitts ist etwas übertrieben. Es soll nur einer der Koeffizienten beispielhaft berechnet werden, nämlich I = t ds ˆΓ (t) ˆΓ (s) e iω (t s). (8) 4

6 (7b) in (8) eingesetzt ergibt I = t ds j,k g j g k ˆb jˆb k e i(ω jt ω k s) iω (t s). Nun geht von den Summen über die Moden zu Integralen über Frequenzen über, dω π σ(ω dω 2 1) 2π σ(ω 2)... j,k σ(ω) bezeichnet die Modendichte. Man erhält t dω1 dω 2 I = ds 2π 2π σ(ω 1)σ(ω 2 )g (ω 1 )g(ω 2 ) ˆb (ω 1 )ˆb(ω 2 ) e i(ω 1t ω 2 s) iω (t s). Nun soll sich die Umgebung in einem thermischen Zustand befinden. Dann gibt es keine Korrelation zwischen verschiedenen Moden, es gilt ˆb (ω 1 )ˆb(ω 2 ) = 2πN(ω 1 )δ(ω 1 ω 2 ). (9) N(ω) ist die mittlere Besetzung der Mode ω (die mittlere Photonenzahl in dieser Mode). Für einen thermischen Zustand gilt nach Planck N(ω) = 1 e ω/kt 1. Wegen der δ-distribution bricht ein Integral zusammen und man erhält I = = t t ds dτ 3.2 Markow-Näherung dω 2π N(ω)σ(ω)2 g(ω) 2 e i(ω ω)(t s) = dω 2π N(ω)σ(ω)2 g(ω) 2 e i(ω ω)τ. Nimmt man an, dass σ(ω), g(ω) und N(ω) nur langsam veränderlich sind, dann kann man die obere Grenze im Zeitintegral nach verschieben: I dτ Unter Verwendung von dω 2π N(ω)σ2 (ω) g(ω) 2 e i(ω ω )τ. dτ e ixτ = πδ(x) + i PV ( ) 1 x 5

7 erhält man bei Vernachlässigung der kleinen Korrektur durch das Hauptwertintegral I = γ 2 N(ω ), γ = σ 2 (ω ) g(ω ) Einschub: Born-Markowsche Mastergleichung Die Näherung aus Abschnitt 3.2 kann auch schon an (6) vorgenommen werden: ersetze s durch t s und integriere bis : dˆρ S dt = 1 2 ds Spur B {[ ˆV (t), [ ˆV (t s), ˆρ(t) ˆρ B ]]. 3.4 Bewegungsgleichung des gedämpften HO Die weiteren Koeffizienten sollen nicht mehr berechnet werden, hier nur noch der Hinweis, dass bei einem thermischen Bad ˆΓ (t) ˆΓ (s) = ˆΓ (t) ˆΓ (s) = gilt. Dadurch entfallen einige Terme. Die Bewegungsgleichung für den gedämpften Oszillator lautet (N = N(ω )) dˆρ S dt = γ 2 (N +1)( 2âˆρ S â â âˆρ S ˆρ S â â ) + γ 2 N( 2â ˆρ S â ââ ˆρ S ˆρ S ââ ). (1) 4 Einschub: Lindblad-Mastergleichung Allgemeine Form der Born-Markowschen Mastergleichung. Gleichung (1) ist eine spezielle Form der allgemeinsten Born-Markowschen Mastergleichung, der Lindblad-Mastergleichung (hier in Schrödinger-Darstellung): dˆρ dt = L (ˆρ), L (ˆρ) = i [Ĥ, ˆρ] + k γ k ( k ˆρ k 1 2 kâk ˆρ 1 2 ˆρ kâk ). L heißt Lindblad-Operator oder Lindblad-Superoperator. Jede Born-Markowsche Mastergleichung kann in Lindbladform geschrieben werden, allerdings existiert nicht zu jeder beliebigen Lindbladgleichung auch ein physikalisches System. 6

8 5 Dynamik des gedämpften HO Folgerungen aus der Bewegungsgleichung (1) 5.1 Amplitude und Photonenzahl Aus der Mastergleichung (1) lassen sich Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte verschiedener Operatoren ableiten. Für die Amplitude erhält man einen exponentiellen Zerfall, d â dt { = Spur â dˆρ S dt = γ 2 â. Auch für die mittlere Photonenzahl ergibt sich ein exponentieller Zusammenhang, jedoch mit einem von Null verschiedenen asymptotischen Wert, d â â = γ â â + γn, dt ˆn t = ˆn e γt + N(1 e γt ). Die mittlere Photonenzahl im Oszillator strebt also gegen die mittlere Zahl der Photonen im Bad (zur gegebenen Energie). Der Oszillator»thermalisiert«. 5.2 Bewegung eines kohärenten Zustandes Die folgenden Betrachtungen beziehen sich wieder auf das Schrödingerbild. Ein kohärenter Zustand α = e α 2 /2 α n n, n! n= â α = α α, α, ist ein»quasiklassischer«zustand des quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Die Erwartungswerte von Ort und Impuls sind periodisch in der Zeit, das Unschärfeprodukt minimal. Es gilt α â â α = α 2, α α 2 = e α α 2. Man kann jeden Zustand durch kohärente Zustände darstellen, ˆρ S (t) = d 2 α P (α, α, t) α α. 7

9 Abbildung 1: Entwicklung der Verteilung P (α, α, t) im gedämpften harmonischen Oszillator, α = α 1 + iα 2. Der Ausgangszustand ist ein kohärenter Zustand mit α = 1. [1] Ist ˆρ S selbst ein kohärenter Zustand, so ist P (α, α ) δ-förmig. Entwickelt sich dieser Zustand frei, so beschreibt P (α, α ) einen Kreis um den Ursprung in der {Re(α), Im(α)-Ebene. Abbildung 1 zeigt die Bewegung eines anfänglich kohärenten Zustands im gedämpften harmonischen Oszillator. Die Verteilung wird mit der Zeit breiter und strebt spiralförmig auf den Ursprung zu, asymptotisch wird ein thermischer Zustand erreicht. 5.3 Überlagerung zweier kohärenter Zustände Die Überlagerung zweier kohärenter Zustände, die sich nur wenig überlappen ( α α 2 1), wird häufig als»schrödinger-katzenzustand«bezeichnet, da sie eine Überlagerung von sehr verschiedenen quasiklassischen Zuständen darstellt. Wir präparieren nun den harmonischen Oszillator in genau einer solchen Überlagerung, ψ S () = ( α + β )/ 2, ˆρ S () = ( α α + β β + α β + β α )/2. 8

10 Der Zerfall der Diagonalelemente wurde im letzten Abschnitt untersucht, hier soll nun die Dynamik der Kohärenzterme α β betrachtet werden. Die Rechnung lässt sich in [2] nachlesen. Man erhält (λ = γn) α β t = α β 1 e λt αe λt/2 βe λt/2, ˆρ S (t) = 1 γ γ 1 e λt γe λt/2 γ e λt/2. 2 γ,γ =α,β Man sieht, dass die Überlagerung um so schneller dephasiert wird, je weiter die kohärenten Zustände voneinander entfernt sind. Eine Überlagerung»klassisch verschiedener«oszillatorzustände zerfällt sehr schnell in ein Gemisch. 5.4 Beobachtung des Zerfalls eines Schrödinger-Katzenzustands Abbildung 2 steigt stark schematisch den Aufbau eines Experimentes, bei dem die Dekohärenz der Überlagerung mesoskopisch verschiedener Zustände beobachtet wurde [3]. Q ist eine Quelle für Rydbergatome in einer Überlagerung zweier Zustände g und e, also ψ A,Q = ( g + e )/ 2. Die Cavity C ist zu Beginn in einem kohärenten Zustand α präpariert. Beim Durchgang der Atome durch die Cavity verändert sich die Phase des kohärenten Zustandes abhängig vom Zustand des Atoms. Aufgrund des Überlagerungszustandes der Atome kommt es dadurch zu einer Verschränkung von Cavityzustand und Atom: 1 2 ( e + g ) α 1 2 ( e, αe iφ + g, αe iφ ). Die Phase φ kann eingestellt werden. Ist φ groß stellt das eine Überlagerung mesoskopisch verschiedener Zustände dar, eine Schrödingerkatze. PSfrag replacements Q C Abbildung 2: Schematischer Aufbau des Experiments. 9

11 Abbildung 3: Zweiatom-Korrelationssignal für kleines φ (gestrichelte Linie) und großes φ (durchgezogene Linie). Die Linien sind die theoretische Ergebnisse. [3] Mit einem zweiten Atom, das nach einer Zeit τ durch die Cavity läuft, und einer anschließenden Korrelationsmessung an beiden Atomen kann die Kohärenz des Zustandes getestet werden. Abbildung 3 zeigt das Korrelationssignal in Abhängigkeit von der Zeitdifferenz τ zwischen dem Durchgang beider Atome. Man sieht, dass das Signal für den Fall deutlich verschiedener kohärenter Zustände stärker abfällt als für stark überlappende Zustände. Literatur [1] Breuer, Petruccione: The Theory of Open Quantum Systems (Oxford, 22) [2] Walls, Milburn, Phys. Rev. A 31, 243 (1985) [3] Brune et. al, Phys. Rev. Lett. 77, 4887 (1996) 1

12 Merksätze Die Dynamik eines schwach an ein Bad gekoppelten Quantensystems wird häufig durch die Born-Markowsche Mastergleichung dˆρ dt = 1 2 ausreichend gut beschrieben. ds Spur B {[ ˆV (t), [ ˆV (t s), ˆρ(t) ˆρ B ]]. Der Zustand des Bades wird dabei als nahezu stationär angenommen. Die Eigenschaften des Bades gehen in diese Gleichung in Form von Korrelationsfunktionen ein: ˆΓ (t) ˆΓ (s) Diese hängen häufig (bei stationärer Umgebung) nur von t s ab. Das betrachtete System wird durch die Einwirkung des Bades im allgemeinen thermalisiert (Energieaustausch mit der Umgebung führt zu einer thermischen Energieverteilung) und dephasiert (Kohärenzterme verschwinden, Dekohärenz). Überlagerungen mesoskopisch (makroskopisch) verschiedener Zustände werden im Allgemeinen sehr schnell dekohäriert und gehen in ein Gemisch dieser Zustände über. Die allgemeinste Form einer Mastergleichung lautet dˆρ dt = i [Ĥ, ˆρ] + k (Lindblad-Form). γ k ( k ˆρ k 1 2 kâk ˆρ 1 2 ˆρ kâk ) 11