Proseminar für Quanteninformation und Quantencomputer. Vorbesprechung

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1 Proseminar für Quanteninformation und Quantencomputer Vorbesprechung Antonio Negretti Zentrum für Optische Quantentechnologien The Hamburg Centre for Ultrafast Imaging Universität Hamburg 5. April 2013

2 ÜBERBLICK ÜBER DIE THEMEN Einführung in die Quanteninformationsverarbeitung ( ) Physikalische Implementierung des Quantenrechners III: Kernspinresonanz ( ) Quantenzustände, Dichteoperator und reduzierter Dichteoperator, Schmidt-Zerlegung ( ) Verschränkung: Bell sche Ungleichung und Quantenteleportation ( ) Quantenalgorithmen I: Quanten-Fourier-Transformation und Anwendungen ( ) Quantenalgorithmen II: der Suchalgorithmus von Grover ( ) Physikalische Implementierung des Quantenrechners I: Kalte gefangene Ionen ( ) Quantenkryptografie ( ) Optimale Kontrolle der Quantensysteme und der Krotov-Algorithmus ( ) Quanten-Mastergleichung in der Markov schen Nährung ( ) Kontinuierliche Quantenmessungen und stochastische Schrödingergleichung ( ) Klassische Simulation von Vielteilchen- Quantensystemen: Density matrix renormalization group und/oder Multiconfigurational time-dependent Hartree method for bosons ( ) Physikalische Implementierung des Quantenrechners II: Optischer Resonator ( )

3 ÜBERBLICK ÜBER DIE THEMEN Dichteoperator Partialspur Bell sche Ungleichung Quantenzustände und Interpretation der Quantenmechanik Wichtig für das Verständnis der anderen Themen Quantenmechanik Lineare Algebra Atomphysik Vielteilchensysteme Quantenalgorithmen und Quanteninformation Quanten-Fourier Grover-Algorithmus Quantenkryptographie Teleportation Physikalische Implementierungen Spezielle Themen Ionen in einer Falle Optischer Resonator Kernspinresonanz Quantenkontrolle Mastergleichungen Quantenmessung Simulation von VTQS

4 QUANTENZUSTÄNDE VERSCHRÄNKUNG UND DEREN INTERPRETATION

5 QUANTENZUSTÄNDE UND DICHTEOPERATOREN Reiner Zustand und Dichetoperator : Eigenschaften, Erwartungswert einer Observable, Zeitentwicklung bzw. von Neumann-Gleichung, physikalische Interpretation, usw. Darstellung des Dichteoperators eines Qubits (d.h, die Bloch- Kugel) i ˆ i = r 1 3 0i + r 2 Dichteoperator von zwei oder mehreren Quantensystemen: Wie kann man den Dichteoperator eines Teilsystems ableiten? Schmidt-Zerlegung und Purifikation 3 1i Wahrscheinlichkeit der Quantenmechanik

6 QUANTENZUSTÄNDE UND DICHTEOPERATOREN Reiner Zustand und Dichetoperator : Eigenschaften, Erwartungswert einer Observable, Zeitentwicklung bzw. von Neumann-Gleichung, physikalische Interpretation, usw. i = r 1 3 0i + r 2 Darstellung des Dichteoperators eines Qubits (d.h, die Bloch- Kugel) i ˆ 3 1i Wahrscheinlichkeit der Quantenmechanik Dichteoperator von zwei ˆ = 1 oder mehreren 2 0ih0 + 1 Quantensystemen: Wie kann man den Dichteoperator 2 1ih1 eines Teilsystems ableiten? Klassische Wahrscheinlichkeiten Schmidt-Zerlegung und Purifikation Reine Zustände

7 QUANTENZUSTÄNDE UND DICHTEOPERATOREN i ˆ Reiner Zustand und Dichteoperator : Eigenschaften, Erwartungswert einer Observable, Zeitentwicklung bzw. von Neumann-Gleichung, physikalische Interpretation, usw. Darstellung des Dichteoperators eines Qubit (Bloch-Kugel) es Dichteoperators eines Qubits (d.h, die Bloch-Kugel) Dichteoperator von zwei oder mehreren Quantensystemen: Wie kann man den Dichteoperator eines Teilsystems ableiten? Schmidt-Zerlegung und Purifikation

8 QUANTENZUSTÄNDE UND DICHTEOPERATOREN i ˆ Reiner Zustand und Dichteoperator : Eigenschaften, Erwartungswert einer Observable, Zeitentwicklung bzw. von Neumann-Gleichung, physikalische Interpretation, usw. Darstellung des Dichteoperators eines Qubit (Bloch-Kugel) Dichteoperator von zwei oder mehr Quantensystemen: Wie kann man den Dichteoperator eines Teilsystems ableiten? Schmidt-Zerlegung und Purifikation Frage: Was ist der Zustand zweier Quantensysteme A und B? Tensorprodukt A i B i AB i A i B i

9 QUANTENZUSTÄNDE UND DICHTEOPERATOREN i ˆ Reiner Zustand und Dichteoperator : Eigenschaften, Erwartungswert einer Observable, Zeitentwicklung bzw. von Neumann-Gleichung, physikalische Interpretation, usw. Darstellung des Dichteoperators eines Qubit (Bloch-Kugel) Dichteoperator von zwei oder mehr Quantensystemen: Wie kann man den Dichteoperator eines Teilsystems ableiten? Schmidt-Zerlegung und Purifikation

10 VERSCHRÄNKUNG UND TELEPORTATION Was versteht man unter dem Begriff Verschränkung und wie kann man ihn definieren? Ein wichtiges Beispiel: Das Einstein-Podolsky-Rosen Gedankenexperiment mit dem atomaren Spin i = a 1i b 2 i + b 1 i a 2 i p 2 Nicht-Lokalität und Bell sche Ungleichung? = 1i 2i Was ist eine Quantenschaltung und ein Quantengatter? Frage: Überlichtgeschwindigkeit der Informationsübertragung? Erstes Beispiel einer Quantenschaltung: Quantenteleportation

11 VERSCHRÄNKUNG UND TELEPORTATION Was versteht man unter dem Begriff Verschränkung und wie kann man ihn definieren? Ein berühmtes Beispiel: Das Einstein-Podolsky-Rosen Gedankenexperiment mit atomaren Spins Nicht-Lokalität und Bell sche Ungleichung Deutung der Ungleichung und Was ist eine Quantenschaltung und ein Quantengatter? kurze Beschreibung einiger Experimenten Erstes Beispiel einer Quantenschaltung: Quantenteleportation

12 VERSCHRÄNKUNG UND TELEPORTATION Was ist ein Quantenschaltkreis und ein Quantengatter? Erstes Beispiel eines Quantenschaltkreises: Quantenteleportation

13 QUANTENALGORITHMEN

14 QUANTENALGORITHMEN Wozu brauchen wir Algorithmen? Um schwierige Rechungen durchzuführen. Aber was heißt überhaupt schwierig?! Komplexitätsklassen (P, NP,...) Quantenalgorithmen konzentrieren sich auf folgende Fragenstellungen: Suche in einer Datenbank (Grover Algorithums) Erkennung einer globalen Eigenschaft einer Funktion (z.b., Periode, Mittelwert, usw.). Ein Beispiel: Quanten-Fourier-Transformation Zahlentheoretische Probleme, lineare Gleichungssysteme (PRL, 103, ), Ausgleichungsrechnung (PRL, 109, )

15 QUANTENALGORITHMEN I Der Algorithmus für die Quanten-Fourier-Transformation: Was ist das und wofür ist es nützlich? Beschreibung des Algorithmus Leistung und Voraussetzungen Anwendungen: Abschätzung einer Phase Û ui = e i2 ' ui Primzahlfaktorisierung N = p n 1 1 pn m m

16 QUANTENALGORITHMEN II Der Grover-Algorithmus (GA): Was ist das und wofür ist es nützlich? (z.b., unsortierte Datenbank: Suche nach einem Namen in einem Telefonbuch) Beschreibung des Algorithmus (Orakle, Prozedur, Geometrische Auffassung) Leistung und Voraussetzungen Quantensimulation des GA: Finde einen Hamiltonopetaror Ĥ und einen Anfangszustand i, damit der entsprechende Quantenschaltkreis den GA umsetzt.

17 QUANTENKRIPTOGRAFIE Worin liegt der Vorteil im Vergleich zur klassischen Kommunikation? Irreversibilität der Quantenmessung (Postulat der Quantenmechanik) und Rolle der Verschränkung Das BB84-Protokoll Experimentelle Implementierung des Protokolls mit Photonen

18 PHYSIKALISCHE IMPLEMENTIERUNGEN EINES QUANTENRECHNERS

19 DIE DIVINCENZO KRITERIEN Frage: Welche Voraussetzungen muss ein skalierbarer und fehlertoleranter Quantenrechner erfüllen? [D. P. Divincenzo, Fortschr. Phys. 48, 711 (2000)]

20 DIE DIVINCENZO KRITERIEN Frage: Welche Voraussetzungen muss ein skalierbarer und fehlertoleranter Quantenrechner erfüllen? [D. P. Divincenzo, Fortschr. Phys. 48, 711 (2000)] 1. Er besteht aus einem skalierbaren System gut charakterisierter Qubits 2. Alle Qubits können in einen wohldefinierten Anfangszustand gebracht werden 3. Ein universelles Set elementarer Quantengatter kann ausgeführt werden 4. Einzelne Qubits (zumindest eines) können ausgelesen (gemessen) werden 5. Die relevante Dekohärenzzeit ist viel länger als die Zeit, die benötigt wird, ein elementares Quantengatter zu realisieren, sodass mit geeignetem fehlerkorrigiertem Code die Fehlerrate pro Gatter unter der Schwelle für fehlertolerantes Quantenrechnen liegt

21 DIE DIVINCENZO KRITERIEN Frage: Welche Voraussetzungen muss ein skalierbarer und fehlertoleranter Quantenrechner erfüllen? [D. P. Divincenzo, Fortschr. Phys. 48, 711 (2000)] 1. Er besteht aus einem skalierbaren System gut charakterisierter Qubits 2. Alle Qubits können in einen wohldefinierten Anfangszustand gebracht werden 3. Ein universelles Set elementarer Quantengatter kann ausgeführt werden 4. Einzelne Qubits (zumindest eines) können ausgelesen (gemessen) werden 5. Die relevante Dekohärenzzeit ist viel länger als die Zeit, die benötigt wird, ein elementares Quantengatter zu realisieren, sodass mit geeignetem fehlerkorrigiertem Code die Fehlerrate pro Gatter unter der Schwelle für fehlertolerantes Quantenrechnen liegt N.B.: Die Schwelle für fehlertolerantes Rechnen liegt je nach verwendetem Code und verwendeter Geometrie des Quantenregisters bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit von pro Gatter.

22 IMPLEMENTIERUNGEN EINES QUANTENRECHNERS I Gefangene Ionen in einer Paul-Falle Was sind die Qubits? Wie werden einzelne Operationen und Quantengatter umgesetzt? Messung des Zustandes (Auslesung) Implementierung im Labor Nachteile (Relaxation der Phononen, Präparation des Zustandes der Ionen,...)

23 IMPLEMENTIERUNGEN EINES QUANTENRECHNERS II Optischer Resonator Was sind die Qubits? Wie werden einzelne Operationen und Quantengatter umgesetzt? Messung des Zustandes (Auslesung) Implementierung im Labor Nachteile (Atom-Photon Kopplung, Photonverluste,...)

24 IMPLEMENTIERUNGEN EINES QUANTENRECHNERS III Kernspinresonanz (Manipulation des Kernspins mit RF Wellen) Was sind die Qubits? Wie werden einzelne Operationen und Quantengatter umgesetzt? Messung des Zustandes (Auslesung) Implementierung im Labor Nachteile (Skalierbarkeit, Präparation des Zustands,...) Weitere Informationen unter der Webseite:

25 SPEZIELLE THEMEN

26 Formulierung des Kontrollproblems

27 Formulierung des Kontrollproblems Steuerungshamiltonoperator: Ĥ c [~u(t)] Steuerungsparameter Ĥ(t) =Ĥs + Ĥc[~u(t)] Hamiltonoperator des Systems

28 Formulierung des Kontrollproblems Steuerungshamiltonoperator: Ĥ c [~u(t)] Steuerungsparameter Ĥ(t) =Ĥs + Ĥc[~u(t)] Hamiltonoperator des Systems Ziel: Finde die optimale Zeitmodulation der Steurungsparameter, sodass 0 i 0 i! ~u (T )i ~u (T )i G i die Kostenfunktion J = J[~u(T ), ~u (T )i] minimal ist.

29 KOSTENFUNKTION: BEISPIELE Präparation eines bestimmten Zustands: Güte der Überlagerung J =1 h G ~u (T )i 2 Präparation eines unbekannten Zustands eines Hamiltonoperators: Finale Energie J = E f (T )=h ~u (T ) Ĥ ~u(t )i Eine Eigenschaft einer Menge von Zuständen: Maß der Verschränkung Sichtbarkeit (z.b., Interferenzmuster eines Interferometers)

30 OPTIMALE KONTROLLE Optimalitätsbedingungen Lagrange Formulierung: Vowärts- und Rückwärtspropagation Beispiele von lösbaren Kontrollproblemen Eine iterative Methode: Der Krotov-Algorithmus

31 OFFENE QUANTENSYSTEME Schrödingergleichung beschreibt nur die Dynamik geschlossener Quantensysteme ) Reiner Zustand vs. Dichteoperator Jedes Quantensystem ist im Kontakt mit der Umgebung ) Das System ist nicht isoliert! Quantensystem Umgebung (z.b. das elektromagnetische Feld)

32 BEISPIEL: ATOM IN EINEM RESONATOR Laser beam System Modulator Intensity Phase Controller

33 BEISPIEL: ATOM IN EINEM RESONATOR Laser beam System Modulator Intensity Phase Controller Frage: Wie können wir die Dynamik offener QS beschreiben?

34 OFFENE QUANTENSYSTEME Quantensystem Umgebung (z.b. das elektromagnetische Feld) ˆ S H = H S H U ˆ U ) Ĥ = ĤS Î + Î ĤU + ĤWw

35 OFFENE QUANTENSYSTEME Quantensystem Umgebung (z.b. das elektromagnetische Feld) ˆ S H = H S H U ˆ U ˆ 0 =ˆ S ˆ U Anfangsbedingung ˆ S (t) =Tr U {ˆ (t)} =Tr U {Û(t)(ˆ S ˆ U )Û (t)} Zeitentwicklungsoperator (d.h., von Neumann-Gleichung)

36 OFFENE QUANTENSYSTEME Quantensystem Umgebung (z.b. das elektromagnetische Feld) Born-Markov-Nährung: Schwache Kopplung zwischen System und Umgebung Gedächtnislose Umgebung: d.h. Zustandsänderung zur Zeit t hängt nur vom Systemzustand zur Zeit t ab U S (Physikalisch: Relaxationszeiten ) ) t ˆ S (t) =i[ˆ S (t), Ĥ]+1 2 X [Ôk ˆ S (t), Ô k ]+[Ôk, ˆ S (t)ô k ] k

37 OFFENE QUANTENSYSTEME UND QUANTENMESSUNG Laser beam System Detector Modulator Intensity Phase Controller Das äußere em Feld ist mit dem Atom verschränkt! Eine (schwache) Messung des Feldes induziert einen kleinen Kollaps der atomaren Wellefunktion. Das Resultat der Messung ist zufällig, sodass der Kollaps auch zufällig ist!

38 DAS STERN-GERLACH- EXPERIMENT ~F =(~µ r) ~ B ~µ / ~ S Magnetisches Moment des Atoms

39 DAS STERN-GERLACH- EXPERIMENT ~F =(~µ r) ~ B ~µ / ~ S Frage: Was messen wir tatsächlich? Magnetisches Moment des Atoms

40 DAS STERN-GERLACH- EXPERIMENT Anfangszustand: (t = 0)i = 1 p 2 ( "i + #i) 0(z)i Zustand des Atoms nach dem Durchlaufen durch den Magnet: (t)i = 1 p 2 ( "i +(z)i + #i (z)i) hz ±(z)i = (z ± d)

41 DAS STERN-GERLACH- EXPERIMENT (t = 0)i = 1 p 2 ( "i + #i) 0(z)i (t)i = 1 p 2 ( "i +(z)i + #i (z)i) Schwache Messung des Spins bzw. kleiner B-Feld- Gradient hz ±(z)i = (z ± d) Starke Messung des Spins bzw. großer B-Feld- Gradient

42 WAS SOLLTE VON OFFENEN QUANTENSYSTEMEN PRÄSENTIERT WERDEN? Herleitung der Markov schen Mastergleichung in Lindbland- Form (notwendige Voraussetzungen, Vorgehen, Interpretation, Beispiel(e),...) Herleitung der stochastichen Schrödingergleichung (notwendige Voraussetzungen, Vorgehen, Interpretation, Beispiel(e), Itô calculus,...)