Aharonov-Bohm-Effekt. Quantenmechanisches Seminar bei Prof. Dr. Georg Wolschin Projekt von Mathis Brosowsky
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- Alexander Böhler
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1 Aharonov-Bohm-Effekt Quantenmechanisches Seminar bei Prof. Dr. Georg Wolschin Projekt von Mathis Brosowsky
2 Motivation
3 Gliederung I. Definition und Geschichte II. klassisch: geladenes Teilchen im EM Feld III. QM: Erklärung des AB-Effekts a. Allgemeine Werkzeuge b. 2-Wellenfunktionen-Modell c. Adiabatisches Modell und Berry-Phasen IV. Interpretation/Zusammenfassung
4 Gliederung I. Definition und Geschichte II. klassisch: geladenes Teilchen im EM Feld III. QM: Erklärung des AB-Effekts a. Allgemeine Werkzeuge b. 2-Wellenfunktionen-Modell c. Adiabatisches Modell und Berry-Phasen IV. Interpretation/Zusammenfassung
5 I. Definition und Geschichte Was bezeichnet der AB-Effekt? Def.: Beeinflussung der Phase von Elektronen durch ein sich außerhalb des klassischen Einflussbereichs befindenden Magnetfelds sowie ohne jegliches elektrische Feld
6 I. Definition und Geschichte Geschichte theoretische Vorhersage 1949: Pionierarbeit durch Werner Ehrenberg und Raymond E. Siday 1959: Veröffentlichung von David Bohm und Yakir Aharonov D. Bohm experimentelle Nachweise 1960: Robert G. Chambers 1962: Gottfried Möllenstedt 1986: Akira Tonomura mit Supraleitern Y. Aharonov
7 Gliederung I. Definition und Geschichte II. klassisch: geladenes Teilchen im EM Feld III. QM: Erklärung des AB-Effekts a. Allgemeine Werkzeuge b. 2-Wellenfunktionen-Modell c. Adiabatisches Modell und Berry-Phasen IV. Interpretation/Zusammenfassung
8 II. klassisch: geladenes Teilchen im EM Feld Lorentzkraft i Φ 0 Lorentzkraft im Allgemeinen nicht konservativ Problem: Hamiltonoperatorist nicht einfach! "!
9 II. klassisch: geladenes Teilchen im EM Feld Erinnerung: EM Potentiale # Φ # -, -Felder invariant unter der Eichtransformation: # # % #Λ Φ Φ% Φ Λ -, -Felder sind in klassischer E-Dynamik wwfelder, #, Φ sind Hilfsgrößen
10 II. klassisch: geladenes Teilchen im EM Feld Hamiltonfunktion Jetzt: Lösungvon! "! ( ( Start: Lagrange )* )+, )* )+, 0mit *,,- / : kinetische Energie (klar!), 1, /: verallgemeinertes Potential, sodass 3 ( ( )5 )6, )5 )6, mit 3 4 3
11 II. klassisch: geladenes Teilchen im EM Feld Hamiltonfunktion raten /74 #und staunen, dass es Lorentzkraftliefert * 4,4,- Legendre Transformation: *,,-,8,- 8* mit 8 3 )* 1 2; 8# 2 Φ )+,
12 Gliederung I. Definition und Geschichte II. klassisch: geladenes Teilchen im EM Feld III. QM: Erklärung des AB-Effekts a. Allgemeine Werkzeuge b. 2 Wellenfunktionen-Modell c. Adiabatisches Modell und Berry-Phasen IV. Interpretation/Zusammenfassung
13 a. Allgemeine Werkzeuge<< III. QM Erklärung des AB-Effekts Vektorpotential einer sehr langen Spule ausgeschaltet: 0 #0 möglich angeschaltet: 0 < = > außerhalb innerhalb
14 a. Allgemeine Werkzeuge<< III. QM Erklärung des AB-Effekts Vektorpotential einer sehr langen Spule ausgeschaltet: 0 #0 möglich angeschaltet: 0 Satz von Stokes: < = > außerhalb innerhalb? A # A Φ < BC 2 0 das Vektorpotential außerhalb der Spule kann nicht verschwinden!
15 a. Allgemeine Werkzeuge<< III. QM Erklärung des AB-Effekts Wellenfunktion unter Eichtransformation Schrödingergleichung(SGL): DEF D mit G 21 F 3 # 2 ΦV 4!,- # # % #Λ Φ Φ% Φ Λ #,Φ % # %,Φ% Lösung der transformierten SGL % D % EF D% : D D% Dexp E + F Λ
16 a. Allgemeine Werkzeuge<< III. QM Erklärung des AB-Effekts Stationäre SGL und Eichtransformation falls Λzeitunabhängig ist gilt unter der Transformation auch noch die stationäre SGL MN O MN % M N O M N Energie-Eigenzustände bleiben Energie- Eigenzustände Energie invariant
17 a. Allgemeine Werkzeuge<< III. QM Erklärung des AB-Effekts Anwendung Eichtransformation außerhalb % # % 0,falls einfach zusammenhängend Λ mit # % 6 Λ#Λmit Λ4 # % 6 R Φ #0 Φ0mögliche Wahl, Φ% 0 # % #Λ Φ% Φ Λ =0 =0 Vier Bedingungen
18 a. Allgemeine Werkzeuge<< III. QM Erklärung des AB-Effekts Wellenfunktion unter Eichtransformation # # % #Λ Φ Φ% Φ Λ #,Φ % # %,Φ% Lösung der transformierten SGL: D D% Dexp E + Λ Dexp F E+ F 6 # % 6 R Aharonov- Bohm Relation
19 a. Allgemeine Werkzeuge<< III. QM Erklärung des AB-Effekts Problem: einfach zusammenhängend es reicht die SGL im grau gefärbten Raum mit Randbedingung zu lösen
20 a. Allgemeine Werkzeuge<< III. QM Erklärung des AB-Effekts Problem: einfach zusammenhängend S es reicht die SGL im grau gefärbten Gebiet mit Randbedingung zu lösen leider nicht einfach zusammenhängend
21 << III. QM Erklärung des AB-Effekts b. 2-Wellenfunktion -Lösung 2-Wellenfunktion-Lösung es gilt: D < 4,- D G,< 4,- D 2,< 4,-
22 << III. QM Erklärung des AB-Effekts b. 2-Wellenfunktion -Lösung 2-Wellenfunktion-Lösung D G,< 4,- : Spalt 1 offen, ohne B-Feld
23 << III. QM Erklärung des AB-Effekts b. 2-Wellenfunktion -Lösung 2-Wellenfunktion-Lösung D G,< 4,- : Spalt 1 offen, ohne B-Feld D G,Z 4,- : Spalt 1 offen, mit B-Feld
24 << III. QM Erklärung des AB-Effekts b. 2-Wellenfunktion -Lösung 2-Wellenfunktion-Lösung D G,< 4,- : Spalt 1 offen, ohne B-Feld D 2,< 4,- : Spalt 2 offen, ohne B-Feld D G,Z 4,- : Spalt 1 offen, mit B-Feld
25 << III. QM Erklärung des AB-Effekts b. 2-Wellenfunktion -Lösung 2-Wellenfunktion-Lösung D G,< 4,- : Spalt 1 offen, ohne B-Feld D G,Z 4,- : Spalt 1 offen, mit B-Feld D 2,< 4,- : Spalt 2 offen, ohne B-Feld D 2,Z 4,- : Spalt 2 offen, mit B-Feld
26 << III. QM Erklärung des AB-Effekts b. 2-Wellenfunktion -Lösung 2-Wellenfunktion-Lösung D G,< 4,- : Spalt 1 offen, ohne B-Feld D G,Z 4,- : Spalt 1 offen, mit B-Feld D 2,< 4,- : Spalt 2 offen, ohne B-Feld D 2,Z 4,- : Spalt 2 offen, mit B-Feld D < 4,- D G,< 4,- D 2,< 4,-
27 << III. QM Erklärung des AB-Effekts b. 2-Wellenfunktion -Lösung 2-Wellenfunktion-Lösung D G,< 4,- : Spalt 1 offen, ohne B-Feld D G,Z 4,- : Spalt 1 offen, mit B-Feld D 2,< 4,- : Spalt 2 offen, ohne B-Feld D 2,Z 4,- : Spalt 2 offen, mit B-Feld D < 4,- D G,< 4,- D 2,< 4,- D Z 4,- D G,Z 4,- D 2,Z 4,-
28 << III. QM Erklärung des AB-Effekts b. 2-Wellenfunktion -Lösung Vorrechnen: 2-Wellenfunktion-Lösung D G,Z D G,< =48 E + F # [ D 2,Z D 2,< =48 E + F # \ D Z D G,Z D 2,Z D G,< =48 E + [ ]@ \ # % D 2,< =48 E + F # \ D G,< =48 E + F # % D 2,< =48 E + F # \ D G,< =48 E + F^ D 2,< =48 E + F # \ D Z 2 entspricht Intensität auf Schirm Aharonov-Bohm-Bohm Phase gefunden: + F Φ
29 << III. QM Erklärung des AB-Effekts b. 2-Wellenfunktion -Lösung Zweites Aharonov-Bohm-Experiment ein Elektron, geschlossene Kurve auch Auftreten der Aharonov-Bohm-Phase Experimentell nicht nachweisbar
30 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Adiabatisches Theorem C - z.b.: # - C - _MC - ` O C - _MC - `
31 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Adiabatisches Theorem C - z.b.: # - C - _MC - ` O C - _MC - ` Adiabatisches Theorem sei D- 0N_MC - `und ändere sichnur langsam in der Zeit D-N=48 3 F O C - - < =48 ES O - _MC - ` dynamische Phase mits O - E MC - MC - < - (reell) geometrische Phase
32 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Berry-Phase durchläuft C -,- 0, eine geschlossene Kurve C wird die geometrische Phase bei - als Berry- Phase bezeichnet c S O E MC - MC - < c E MC d M C C < c E CC < E C C E MC d M C C S O e hängt nur von der Form der Kurve ab
33 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Berry-Phasen-Modell 1 2; 8f # 2 "4! C "4 C 6 wähleλ 4 # % d _MC` O C_MC` % _M C` O C_M C` C 4 4-C _M C` 6 d _MC`=48 E + F # % noch keine Lsg!
34 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Berry-Phasen-Modell A) Spule ausgeschaltet Zu Beginn befindet sich Elektron in dem Energieeigenzustand D- 0)N MN D(-)N=48 3 ħ O C - < - =48 ES O (-) _M(C - )`
35 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Berry-Phasen-Modell A) Spule ausgeschaltet Zu Beginn befindet sich Elektron in dem Energieeigenzustand D- 0)N MN D( )N=48 3 ħ c O C - < - =48 ES O (e) _M(C )`
36 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Berry-Phasen-Modell A) Spule ausgeschaltet Zu Beginn befindet sich Elektron in dem Energieeigenzustand D- 0)N MN D( )N=48 3 ħ c O C - < - =48 ES O (e) _M(C )` B) Spule angeschaltet Zu Beginn: M N MN=48 E + ħ 6 # % d _D%( )`=48 3 ħ c O C - < - =48 ES Ó (e) _M (C )`
37 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Berry-Phasen-Modell A) Spule ausgeschaltet Zu Beginn befindet sich Elektron in dem Energieeigenzustand D- 0)N MN D( )N=48 3 ħ c O C - < - =48 ES O (e) _M(C )` B) Spule angeschaltet Zu Beginn: M N MN=48 E + ħ 6 # % d g _D%( )`=48 3 ħ c O C - < - =48 ES Ó (e) _M (C )` g
38 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Phasenänderung Berry-Phase ausgeschalteter Spule angeschalteter Spule gs O (e) gs Ó (e) S O e E? M C d M C C S Ó e E? M C d M C C Unterschied: Δs S Ó e S O (e)
39 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts AB-Phase aus Berry-Modell mit M N MN=48 E + F 6 # % d d M N=48 E + F 6 # % d d MNE + F # % M N M C d M C E + F # % M C d M C S Ó e + F # % CS O e Δs S Ó e S O e = + F Φ
40 c. Adiabatisches Modell/Berry-Phasen << III. QM Erklärung des AB-Effekts Was bedeutet die AB-Phase hier? Elektron wird in gleichen Energiezustand präpariert nach adiabatischen Umlauf im gleichen Energiezustand, nur Phasenänderung überraschend: unterschiedliche Phasenänderung
41 Gliederung I. Definition und Geschichte II. klassisch: geladenes Teilchen im EM Feld III. QM: Erklärung des AB-Effekts a. Allgemeine Werkzeuge b. 2-Wellenfunktionen-Modell c. Adiabatisches Modell und Berry-Phasen IV. Interpretation/Zusammenfassung
42 IV. Interpretation und Zusammenfassung Fazit klassisch: -,-Felder fundamental (Maxwell Gl.), #-, Φ-Potentiale nur Hilfsgrößen QM: -EM Potentiale haben fundamentale Bedeutung! -AB-Phase nur von eichinvarianter Größe abhängig! experimentell eindeutig nachgewiesen
43 This means that insofar as the potentials are richer in properties than the fields, there is no way to reveal this additional richness. Y. Aharonovund D. Bohm austhe Physical Review 115, S.485, Artikel: Significance of Electromagnetic Potentials in Quantum Theory, 1959
44 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
45 Bilder: Quellen omatric_phase/en/ 1_(vertical).pnghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Solenoid-1_(vertical).png Inhalt: W. Ehrenberg und R. E. Siday, The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics, Proceedings of Physical Society, 1949 Y. Aharonovund D. Bohm, SignificanceofElectromagnetic Potentials in Quantum Theory, The PhysicalReview 115, S.485, 1959 A. Tonomuraet al., Observation ofaharonov-bohm EffectbyElectronHolography, PhysicalReview Letters 48, S.1443, 1982 J. Hamilton, Aharonov-Bohm and other Cyclic Phenomena, Springer, 1997 F. Schwabl, Quantenmechanik, S , Springer, 2007 A. Návrat, Geometric phasein quantumtheory, Diplomarbetider Masaryk Universität, 2006, Prof. Dr. T. Brandes, Elektrodynamik, Vorlesungsskript der TU Berlin, 2012/13,
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