Der Aharonov-Bohm-Effekt

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1 Der Aharonov-Bohm-Effekt Lars Henkelmann Theoretisch-Physikalisches Seminar über Probleme der Quantenmechanik bei Prof. Dr. Wolschin Einführung Der Aharonov-Bohm-Effekt(nach David Bohm und Yakir Aharonov)ist das Phänomen der Beeinflussung geladener Teilchen durch elektromagnetische Potentiale, deren zugehöriges elektromagnetisches Feld im gesamten Raum, der den Teilchen zugänglich ist, verschwindet. Da sich der Einfluss der Potentiale in einer Veränderung der Phase äußert, wird der Effekt meist in Interferenzexperimenten demonstriert. Historisch wurde der Ahahronov-Bohm-Effekt zum ersten mal 1949 in einer Arbeit von Werner Ehrenberg und Raymond E. Siday vorausgesagt, 1959 von Aharonov und Bohm.[1] Erste bestätigende experimentelle Ergebnisse wurden wegen möglicherweise nicht ausreichender Abschirmung in Frage gestellt. Akira Tonomura et al. gelang 1986 die Durchführung eines Experiments, welches eine ausreichende Abschirmung mittels supraleitender Oberflächen erreichte, und den Aharonov-Bohm-Effekt nachweisen konnte.[2] 2 Grundlagen 2.1 Felder vs. Potentiale Die klassische Beschreibung der Elektromagnetischen Wechselwirkung basiert auf dem Elektrischen und dem Magnetischen Feld, welche den Maxwell- Gleichungen genügen: div E = 4πρ (1) div B = 0 (2) rot E = 1 c B t rot B = 4π c j + 1 c E t (3) (4) 1

2 E und B sind dadurch eindeutig bestimmt, aber es ist oft nützlich, stattdessen in den Potentialen A und Φ zu arbeiten. Felder und Potentiale sind verknüpft über die Beziehungen: E = grad Φ 1 A (5) c t B = rot A (6) Wie man leicht sieht, sind E und B invariant unter folgender Art von Transformation: A( r, t) A ( r, t) = A( r, t) + κ( r, t) (7) Φ( r, t) Φ ( r, t) = Φ( r, t) 1 κ ( r, t) (8) c t mit κ( r, t) beliebig. Diese nennt man Eichtransformationen. 2.2 Eichinvarianz in der Quantenmechanik Ein (reiner) Zustand eines quantenmechanischen Systems wird beschrieben nicht durch einen Vektor im Hilbertraum, sondern durch einen Strahl. M.a.W. es sind Systeme, deren Vektoren nur um eine globale Phase verschieden sind, physikalisch gleich. Wie ist die Situation, wenn wir um eine lokale 1 Phase verschiedene Vektoren betrachten? Also, ausgedrückt als Transformation (in Ortsdarstellung), setzen wir an: ψ( r, t) ψ ( r, t) = e iχ( r,t) ψ( r, t) (9) Man kann nun schnell ausrechnen (die Rechnung findet man z.b. in [3] S.182 f.), dass, wenn ψ der freien Schrödingergleichung i 2 ψ( r, t) = ψ( r, t) (10) t 2m genügt, ψ die Gleichung i t ψ ( r, t) = 1 [ ] 2 2m i ( χ( r, t)) ψ χ( r, t) ( r, t) ψ ( r, t) (11) t erfüllt. Dies scheint zunächst zu bedeuten, dass es keine allgemeine lokale Eichtransformation gibt. Vergleicht man aber (11) mit der Schrödingergleichung eines Elektrons im elektromagnetischen Feld: i t ψ ( r, t) = 1 [ 2m i e ] 2 A( r, c t) ψ ( r, t) + eφ( r, t)ψ ( r, t) (12) 1 dh.: von den Raum- und Zeit-Koordinaten abhängige 2

3 so stellt man fest, dass beide Gleichungen die selbe Form haben, wenn man setzt: A( r, t) = c χ( r, e t) (13) Φ( r, t) = χ( r, t) e t (14) Diesen Potentialen entsprechen nach Gl. (5),(6) die Felder E = 0; B = 0 so dass unsere Transformation tatsächlich die Physik (kräftefreies Elektron) unverändert gelassen hat. Die Transformation ψ( r, t) ψ ( r, t) = e i e c κ( r,t) ψ( r, t) (15) A( r, t) A ( r, t) = A( r, t) + κ( r, t) (16) Φ( r, t) Φ ( r, t) = Φ( r, t) 1 κ ( r, t) c t (17) drückt die kombinierten Eichfreiheiten der Quantenmechanik und klassischen Elektrodynamik aus(κ( r, t) ist beliebig). 3 Beschreibung In dem Sinne, wie der Aharonov-Bohm-Effekt in der Einleitung beschrieben wurde, gibt es eine Vielzahl unterschiedlicher Anordnungen und (Gedanken-) Experimente, in welchen er zu Tage tritt. Konkret werden wir zwei Varianten betrachten: den magnetischen und den elektrischen Aharonov-Bohm Effekt. 3.1 Magnetischer Aharonov-Bohm Effekt Hier wird zunächst ein Aufbau betrachtet, wie er in den meisten Lehrbüchern zur Erläuterung des Aharonov-Bohm-Effekts sowie dem originalen Artikel von Aharonov und Bohm [1] beschrieben wird, und der der im experimentellen Nachweis von Tonomura et al. [2] verwendeten Anordnung ähnlich ist - den sog. magnetischen Aharonov-Bohm Effekt. Es handelt sich dabei um eine Kombination eines Doppelspaltexperiments mit einer unendlich langen Zylinderspule, die ein Magnetfeld erzeugt, das auf das Spuleninnere begrenzt ist (siehe Abbildung 1). Dabei ist die Spule abgeschirmt, so dass die Elektronen das Magnetfeld nicht erreichen können, und am Ort der Elektronen ist der Wert von B = 0. (Die folgende Rechnung basiert größtenteils auf der Darstellung in [4]) Bei der Bestimmung der Auswirkungen des Magnetfelds in dieser Anordnung wollen wir uns die Rechnung vereinfachen, indem wir das Vektorpotential A zu Null eichen, und die bekannte Lösung für den Doppelspalt ohne Magnetfeld ausnutzen können. Gemäß (16) wollen wir also ein κ( r) finden, so dass κ( r) = A. 3

4 Abbildung 1: Die zugrundeliegende Geometrie des magnetischen Aharonov- Bohm Effekts Dabei gibt es ein zentrales Detail, welches wir beachten müssen: wir können ein solches κ( r) nicht im gesamten den Elektronen zugänglichen Raumbereich definieren, denn dieser ist nicht einfach zusammenhängend 2, und das bedeutet, dass wir um ein Potential (κ( r)) zu A zu finden, nicht einfach seine Wirbelfreiheit ausnutzen können. Diese Schwierigkeit vermeiden wir, indem wir verschiedene Integrationsgebiete definieren, welche dadurch charakterisiert sind, dass jeweils Spalt 1 bzw. Spalt 2 in Abbildung 1 verschlossen werden. Dann erhalten wir geeignete κ n ( r) durch Integration: κ n ( r) = A( x) d x n {1, 2} (18) γ n( r) Hier bezeichnen γ n ( r) Wege, die in der Elektronenquelle beginnen, bei r enden, und nur durch Spalt n führen. Es wäre i.a. das Integral in (18) vom konkret gewählten Weg abhängig, doch aufgrund der Wirbelfreiheit von A reicht die Kenntnis der Endpunkte, um den Wert zu kennen. Die Lösungen der freien Schrödingergleichung mit (ausschließlich) geöffnetem Spalt 1 bzw. Spalt 2 nennen wir Ψ 1 bzw. Ψ 2. Diese entsprechen den Lösungen ohne Magnetfeld ψ 1 bzw. ψ 2 bis auf einen Phasenfaktor. Nach (15) und (18) gilt: Ψ i ( r) = e i e c κ i( r) ψ i ( r) = e i e c γn( r) A( x) d x ψ n ( r) n {1, 2} (19) 2 d.h. es ist nicht möglich jeden beliebigen geschlossenen Weg stetig zu einem Punkt zu deformieren 4

5 Durch Addition von Ψ 1 und Ψ 2 erhalten wir unsere eigentliche Lösung Ψ: Ψ( r) = Ψ 1 ( r) + Ψ 2 ( r) = e i e c γ 1 ( r) A( x) d x ψ1 ( r) + e i e c γ 2 ( r) A( x) d x ψ2 ( r) (20) Die zusätzliche relative Phase der Summanden ist also (bis auf konstante Vorfaktoren): A( x) d x A( x) d x = A( x) d x = rot A df = Φ B (21) γ 1 ( r) γ 2 ( r) Hierbei ist γ = Γ und Φ B bezeichnet den Magnetischen Fluss. Dieser ist natürlich vollkommen unabhängig vom gewählten Weg γ solange dieser auf den den Elektronen zugänglichen Bereich beschränkt ist, denn nur dort, wo B ungleich 0 ist, gibt es einen Beitrag zum Flussintegral. Damit ergibt sich γ Γ Ψ( r) = ) (ψ 1 ( r)e ie c Φ B + ψ 2 ( r) e ie c γ 2 ( r) A( x) d x (22) Wie verändert sich somit in der Anordnung aus Abbildung 1 das Interferenzbild auf dem Schirm in Abhängigkeit vom Magnetfeld (dem zugehörigen Fluss)? Durch die neue relative Phase kommt in der ursprünglichen Interferenzbedingung: ein zusätzlicher Term hinzu: kρ 1 kρ 2 = 2πn n N (23) ρ i r r Spalt i i {1, 2} (24) kρ 1 + e c Φ B kρ 2 = 2πn n N (25) Es wird also die Position der Minima und Maxima auf dem Schirm abhängig vom magnetischen Fluss verschoben. Ein topologischer Effekt Bei der Berechnung der Phasenverschiebung im vorausgegangen Abschnitt war ein wichtiger Aspekt des Problems die Frage nach einer topologischen Eigenschaft - derjenigen, einfach zusammenhängend zu sein oder nicht - des den Elektronen zugänglichen Raums. Es ergibt sich daher die Frage, ob es möglich ist, den Aharonov-Bohm Effekt vollkommen auf der Grundlage einer solchen Raum-Eigenschaft zu erklären. Diese Möglichkeit existiert tatsächlich. Dazu bedienen wir uns des Konzepts der Berry-Phase, welches im folgenden kurz eingeführt wird(beschreibung der geometrischen Phase und Beispiel nach [6]). Betrachten wir ein System, welches durch eine langsame Veränderung (Manipulation von außen) eines zeitabhängigen, klassischen Parameters R(t) 5

6 adiabatisch 3 entwickelt. Wir können den Hilbertraum zu jedem Zeitpunkt in der momentanen Eigenbasis des Hamiltonoperators darstellen: H( R) n( R) = E n ( R) n( R) (26) Dann kann nach dem adiabatischen Theorem der Zustand zum Zeitpunkt t geschrieben werden als: Ψ(t) = e i t 0 En( R(τ)) dτ e iγn(t) n( R(t)) (27) Die erste Phase entspricht der bekannten Zeitentwicklung und ist für unsere Zwecke ohne Interesse. Die Phase γ n (t) jedoch (Berry-Phase) stellt den passiven Effekt der Bewegung durch den Parameterraum auf das System dar. Da diese Bewegung adiabatisch und langsam erfolgt, sind die direkten Auswirkungen des Bewegt-Werdens auf den Zustand vernachlässigbar (vergleichbar z.b. der Separation der Bewegung des Kerns in der Atomphysik) und die infinitesimalen Verschiebungen des Systems durch den Parameterraum geschehen, ohne aktiv den Zustand zu verändern. Das Auftreten der Berry-Phase ist in diesem Sinne vergleichbar mit der passiven Rotation, die ein Vektor erhält, den man autoparrallel entlang eines geschlossenen Weges auf einer gekrümmten Oberfläche bewegt. So wie die Krümmung der Oberfläche den Vektor um einen bestimmten Winkel dreht, erhält der Zustand einen Phasenfaktor aufgrund der Topologie oder Geometrie des Parameterraums. Setzt man Gl. (27) in die zeitabhängige Schrödingergleichung ein, so erhält man: γ n (t) = i n( R(t)) R n( R(t)) R(t) (28) Insgesamt ergibt sich also für einen geschlossenen Weg C (mit R(0) = R(T )): T γ n (T ) = 0 = i C i n( R(t)) R n( R(t)) R(t) dt n( R) R n( R) d R = γ n (C) (29) Die erhaltene Phase ist rein geometrisch-topologischer Natur, sie beschreibt eine Eigenschaft des Parameterraums. Im Falle des Ahahronov-Bohm-Effekts könnte man für R z.b. einen Raumvektor benutzen, der einen Punkt auf dem Rand einer Box beschreibt, in welcher ein Elektron eingesperrt ist. Führen wir nun die Box langsam durch eine feldfreie Region und um unsere Magnetspule, so gilt: H = H( p e c A, r R) (30) 3 d.h. so langsam, dass in jedem Moment das System bis auf eine Phase in einem Eigenzustand des Hamiltonoperators vorliegt 6

7 Durch eine Eichtransformation erhalten wir unsere Lösungen in Gegenwart von A aus der Lösung Ψ( r R) für das Elektron ohne Vektorpotential: n( R) = e ie c κ Ψ( r R) (31) κ = r R A( x) d x (32) (Das Integral in Gl.(32) verläuft entlang eines Weges im Inneren der Box) Diese Lösung setzen wir dann in (29) ein, und finden: { } γ n (C) = i dr d 3 rψ ( r R) ie A( C c R) + R Ψ( r R) = e A( R) c dr e = c Φ B (33) C Also gerade die bereits bekannte Ahahronov-Bohm-Phase. 3.2 Elektrischer Aharonov-Bohm-Effekt Der elektrische Aharonov-Bohm Effekt ist ein weiteres von Aharonov und Bohm beschriebene Gedankenexperiment (es wurde bis heute aufgrund der Schwierigkeit der technischen Umsetzung noch nicht im Experiment überprüft). Hierbei wird ein kohärenter Elektronenstrahl in zwei Teilstrahle geteilt(siehe Abbildung 2), wobei das Elektron in jedem der beiden Strahle je eine metallene Röhre durchläuft, und dann werden beide Strahle zur Interferenz gebracht. Der Elektronenstrahl ist in zeitlich separierte Wellenpakete geteilt. In dem Moment, in dem die Wellenpakete ausreichend tief in das Röhreninnere vorgedrungen sind, wird ein zeitabhängiges, räumlich konstantes Potential im Inneren der Röhren aufgebaut, und wieder zu null eingestellt, bevor die Elektronen die Röhren verlassen.(dabei haben die Potentiale in den beiden Röhren unterschiedliche Werte) Somit ist dafür gesorgt, dass am Ort des Elektrons nie ein von Null verschiedenes Elektrisches oder Magnetisches Feld vorliegt(die Rechnung stammt aus [1]). Schaltet man in dem einem Elektron zugänglichen Raumgebiet ein räumlich konstantes und zeitlich variables elektrisches Potential ein, so verändert dies den Hamiltonoperator H 0 H 0 + V (t) = H V (t) = eφ(t) (34) Um uns das Finden einer Lösung einfach zu machen, eichen wir eine Lösung zum alten Hamiltonoperator H 0 so um, dass der umgeeichte Hamiltonoperator gerade H entspricht. War Ψ 0 eine Lösung der Schrödingergleichung mit H 0, so ist nun Ψ = Ψ 0 e iχ(t) χ(t) = 7 t t 0 V (τ) dτ (35)

8 Abbildung 2: Die zugrundeliegende Geometrie des elektrischen Aharonov- Bohm Effekts eine Lösung zur Schrödingergleichung mit H. Zur Lösung der Schrödingergleichung im oben beschriebenen Szenario nutzen wir nun dieses Ergebnis und erhalten so einzelne Lösungen Ψ i = Ψ 0 iχ i e i Lösung: für die jeweiligen Teilstrahlen. Diese addieren wir, und finden als Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = Ψ 0 1e iχ 1 + Ψ 0 2e iχ 2 (36) Es ist also die zusätzliche relative Phase der beiden Teilstrahlen χ 1 χ 2 = e t1 t 0 (Φ 1 Φ 2 ) dt (37) (wobei t = t 1 t 0 den Zeitraum beschreibt, in welchem der Elektronenstrahl den Potentialen ausgesetzt ist) und dementsprechend verändert sich das Interferenzmuster. Man kann nun das Integral in (37) zu einem geschlossenen Raumzeitintegral entlang der Elektronenpfade erweitern. Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem der Untersuchung des magnetischen Aharonov-Bohm Experiments, so erkennt man, dass sich die relativen Phasen zu folgendem Wegintegral durch die Raumzeit verallgemeinern lassen: e c 4 Interpretation γ ( cφ dt A ) d x = e c γ A µ dx µ (38) Der Aharonov-Bohm Effekt ist ein rein quantenmechanisches Phänomen, es existiert kein klassisches Analogon. Klassisch sind die Felder ausreichend, wo E = B = 0 sind ändert auch die eventuelle Präsenz von Potentialen 8

9 nichts am Systemverhalten. Die Einführung der Potentiale A und Φ ist ein eleganter Weg, Rechnungen zu vereinfachen, aber mehr auch nicht. In der Quantenmechanik sind Potentiale die zentralen Größen, und wie man am Aharonov-Bohm Effekt erkennen kann, haben nun auch dort, wo E = B = 0 sind, die Potentiale messbaren Einfluss auf das Systemverhalten. Aber es bleibt, auch wenn die Potentiale nun fundamentaler sind, die Eichinvarianz gewahrt. Die beim magnetischen Ahahronov-Bohm Effekt beobachtete Phasendifferenz ist eine Funktion des magnetischen Flusses, und dieser ist eine eichinvariante Observable, da Φ B = rot A df = B df A Die zentrale Rolle der Potentiale in der Quantenmechanik ist indes nicht überraschend, da diese durch ihre Konstruktion auf Grundlage des Hamilton- Lagrange-Formalismus deren Eigenschaft, auf der Ebene von Potentialen bzw. eichbaren Größen zu arbeiten, erbt. In diesem Kontext sind Versuche interessant, den Ahahronov-Bohm Effekt ohne die Benutzung der Potentialfelder zu beschreiben (wie z.b. geschehen in [5]). Bei dem zitierten Ansatz bewirkt das elektrische Feld (bzw. das durch seine Bewegung erzeugte magnetische Feld) des Elektrons eine Verschiebung der Quellen derjenigen Felder, welche am Ort des Elektrons null sind, was zu einer Phasenverschiebung des entsprechenden Zustands führt. Da allerdings während der Versuchsdurchführung Elektron und Versuchsaufbau als verschränkter Zustand vorliegen, findet sich der selbe Phasenfaktor auch beim Elektron. In diesem Sinne wäre also der Aharonov-Bohm Effekt primär ein Beispiel für Verschränkung, und für die Frage, ob Felder oder Potentiale die physikalisch grundlegenderen Größen darstellen, irrelevant. Allerdings ist obige Aussage nur in wenigen speziellen, vereinfachten Beispielen durch semiklassische Rechnungen begründet, und in der Allgemeinheit, in der sich der Aharonov-Bohm Effekt bei der Beschreibung durch Potentiale finden lässt, eine bloße Vermutung. Insbesondere das Experiment von Tonomura et al.[2] lässt sich so nicht erklären, denn durch die supraleitende Abschirmung werden nicht nur die Elektronen vom Feld innerhalb der Abschirmung, sondern ebenso auch die Quellen des inneren Feldes von äußeren Feldern abgeschirmt. Die ursprüngliche Interpretation durch Aharonov und Bohm behält also ihre Gültigkeit. Die Potentiale besitzen eine physikalische Bedeutung, sie sind nicht bloß Rechenhilfen. Oder in ihren eigenen Worten: It would therefore seem natural at this point to propose that, in quantum mechanics, the fundamental physical entities are the potentials, while the fields are derived from them by differentiations. [1] A 9

10 Dank Ich danke Georg Wolschin für die Möglichkeit, den hier zusammengefassten Vortrag zu halten, und Sebastian Wetzel für Anregungen, konstruktive Kritik, hilfreiche Vorschläge und die freundliche Bereitstellung seines Laptops. Literatur [1] Aharonov, Y.; Bohm, D. (1959). Physical Review 115: [2] Tonomura, A; Osakabe, N; Matsuda, T.; Kawasaki, T.; Endo,J. ; Phys. Rev. Lett. vol. 56, pp (1986). [3] Rollnik, H.(2003) Quantentheorie 1 Grundlagen Wellenmechanik Axiomatik 2. Aufl. Springer S [4] Schwabl, F. (2007) Quantenmechanik eine Einführung 7. Aufl. Springer S [5] Vaidman, L. (2012) Physical Review A 86 (4): [6] Berry M. V.; (1980) Eur. J. Phys. l