Das innere Produkt von zwei Vektoren in V entspricht dem standard Skalarprodukt ihrer Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von V.
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- Maximilian Geier
- vor 6 Jahren
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1 L5.6 Orthogonale und unitäre Matrizen (invertierbare Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen) Reelles inneres Produkt in -Vektorraum [siehe L3.1b]: 'reeller Vektorraum' (i) Symmetrie: (iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation: (ii) Linearität bzgl. Vektoraddition: (iv) Positiv definit: Reelles Skalarprodukt (in Standardraum ) 'wenn, und nur wenn' Erinnerung: Bezug zwischen innerem Produkt und Skalarprodukt Orthonormalbasis Isomorphismus: Inneres Produkt in V liefern dasselbe Inneres Produkt in Das innere Produkt von zwei Vektoren in V entspricht dem standard Skalarprodukt ihrer Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von V. In diesem Sinne:
2 Skalarprodukt (reell) von transformierten Vektoren und explizit: 'transponierte Matrix' Vertauschen von oben unten, um Einsteinsche Summenform zu erhalten (harmlos: Matrix ändert sich nicht, per Definition!) 'Transponieren', d.h. Vertauschen von Reihenindex (links) Spalten-Index (recht); liefert 'transponierte Matrix' Transponierte Matrix Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen Spalten d.h., spiegle in der Diagonale) Explizit: m Reihen, n Spalten n Reihen, m Spalten z.b. m=2,n=3: Eigenschaft: Beweis:
3 Verallgemeinerung für komplexe Vektorräume: komplexes inneres Produkt Komplexes inneres Produkt in -Vektorraum: 'komplexer Vektorraum' [Anwendung: QM!] (i) Symmetrie (bis auf kompl. Konj.): komplexe Konjugation, (iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation: keine Konjugation (ii) Linearität bzgl. Vektoraddition: (iv) Positiv definit: 'wenn, und nur wenn' Anmerkung: Komplexes Skalarprodukt, in Standardraum: Definition: komplexe Konjugation, wichtig, denn sie garantiert Positivität, siehe (3) Positivität: wird üblicherweise weggelassen Beispiel in : Dargestellt Einstein-Summationsnotation:
4 Skalarprodukt (komplex) von transformierten Vektoren und explizit: 'unitäre Matrix' Vertauschen von oben unten (harmlos: Matrix ändert sich nicht, per Definition!) 'Transponieren' und komplex konjugieren liefert 'heresch konjugierte Matrix' Heresch konjugierte Matrix = transponierte Matrix, komplex konjugiert Komplexe Matrix: Def: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen Spalten, d.h., spiegle in der Diagonale) (L5.6d.2) Def: "heresch konjugierte v. A": (transponiere und komplex konjugiere) Falls A [sprich: A-Kreuz, Englisch: A-dagger] z.b. m=2,n=3: Eigenschaft: [vergleiche (L5.6d)] Beweis:
5 Unitäre und orthogonale Matrizen Welche Abbildungen lassen das Skalarprodukt invariant? (für diese sind auch Längen und Relativwinkel invariant) oder [(2) ist Spezialfall von (1); wir betrachten so zunächst (1), spezialisieren bei Bedarf später auf (2)] explizit: Forderung: Skalarprodukt sei invariant: Transposition: Skalarprodukt ist invariant falls (7) ist erfüllt falls: Kompaktversion des Arguments von te L5.6i: Spaltenvektor: Reihenvektor: Matrixmultiplikation 1xn Matrix nx1 Matrix Analog: Forderung (i.5): Für reelle Matrizen liefert (6): [wie (i.6)]
6 Definition: Unitäre bzw. orthogonale Matrizen: ist 'unitär' falls ist 'orthogonal' falls In Komponenten ausgeschrieben, für unitäre Matrix, Gl. (1): Matrixmultiplikation Spalte i v. D, Spalte j v. D Orthogonale Matrix (analog): Fazit: die Spaltenvektoren einer unitären oder orthogonalen Matrix bilden eine orthonormierte Basis. (Analog für Zeilenvektoren.) Beispiele: ist unitär: ist orthogonal:
7 Unitäre bzw. orthogonale Matrizen bilden Gruppen unter Matrixmultiplikation 'Unitäre Gruppe': 'Orthogonale Gruppe': Gruppeneigenschaften (L1c) sind erfüllt: z.b. für unitäre Matrizen: (orthog. analog) (i) Abgeschlossenheit: en und unitär. Dann gilt dasselbe für, denn: (L5r'.5) (i) Assoziativität: gilt für Matrixmultiplikation [siehe (L5o.1)] (ii) Neutrales Element: ist unitär, d (iii) Inverse: und unitär. Dann gilt dasselbe für denn: so erfüllt (f.1). Zusammenfassung: L5.4 Orthogonale und unitäre Matrizen Reelles Skalarprodukt: Komplexes Skalarprodukt: Komplexe Matrix: Transponierte heresch Konjugierte: ist 'orthogonal' falls Reelles Skalarprodukt invariant: ist 'unitär' falls Komplexes Skalarprodukt invariant: Spalten (oder Zeilen-)vektoren einer unitären oder orthogonalen Matrix bilden eine orthonormierte Basis.
L5.6 Symmetrische, hermitesche, orthogonale und unitäre Matrizen (Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen)
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mit "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor"
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Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND
Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen
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, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
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