Klassische Elektrodynamik
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- Jobst Heinrich Schmitt
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1 Klassische Elektrodynamik Pascal Peter Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
2 Gliederung 1 Klassische Elektrodynamik Einführung Die maxwellschen Gleichungen Vektornotation 2 Differentialform-Darstellung im dreidimensionalen Ansatz Darstellung der Felder durch Differentialformen Kontraktions-Operator und Lorentz-Kraft Tonti-Diagramm Kugelkoordinaten 3 Raumzeit-Ansatz Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
3 Klassische Elektrodynamik Teilgebiet der Physik: Eigenschaften und Wirkungen elektrischer und magnetischer Felder Entstehung (Induktion, Verschiebungsstrom) Ausbreitung (elektromagnetische Wellen) Wirkung auf Materie (Kräfte) Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
4 Induktion Ein zeitabhängiges Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld. Beispiel: Ein zeitabhängiges magnetisches Feld induziert Spannung U ind an einer Leiterschleife. Dies erzeugt wirbelförmiges elektrisches Feld entlang der Schleife. Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
5 Induktion Ein zeitabhängiges Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld. Beispiel: Ein zeitabhängiges magnetisches Feld induziert Spannung U ind an einer Leiterschleife. Dies erzeugt wirbelförmiges elektrisches Feld entlang der Schleife. Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
6 Verschiebungsstrom Ein zeitabhängiges elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld. Beispiel: Ein elektrisches Feld in einem Kondensator wächst linear mit der Zeit an. Dies erzeugt wirbelförmiges Magnetfeld um das elektrische Feld. Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
7 Verschiebungsstrom Ein zeitabhängiges elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld. Beispiel: Ein elektrisches Feld in einem Kondensator wächst linear mit der Zeit an. Dies erzeugt wirbelförmiges Magnetfeld um das elektrische Feld. Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
8 Die maxwellschen Gleichungen 1865: Beschreibung der zeitlichen Entwicklung elektromagnetischer Felder im Raum durch die Maxwell-Gleichungen. Gekoppeltes System partieller Differentialgleichungen. Zählen zu den wichtigsten Gleichungen der Physik. Abbildung: J.C. Maxwell ( ) Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
9 Vektornotation der Maxwellschen Gleichungen Maxwellsche Gleichungen B t = rot E (Faradaysches Induktionsgesetz) E t = rot B 4πJ (Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz) div B = 0 (Quellenfreiheit des Magnetfelds) div E = 4πρ (Poisson-Gleichung) Lorentz-Kraft F = q( E + v B ) E : Elektrische Feldstärke, B : Magnetische Flussdichte, J: magnetische Polarisation, ρ: Ladungsdichte, F : Lorentz-Kraft, q: elektrische Ladung, v: Geschwindigkeit Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
10 Vektornotation der Maxwellschen Gleichungen Maxwellsche Gleichungen B t = rot E (Faradaysches Induktionsgesetz) E t = rot B 4πJ (Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz) div B = 0 (Quellenfreiheit des Magnetfelds) div E = 4πρ (Poisson-Gleichung) Lorentz-Kraft F = q( E + v B ) E : Elektrische Feldstärke, B : Magnetische Flussdichte, J: magnetische Polarisation, ρ: Ladungsdichte, F : Lorentz-Kraft, q: elektrische Ladung, v: Geschwindigkeit Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
11 Vektornotation der Maxwellschen Gleichungen Maxwellsche Gleichungen B t = rot E (Faradaysches Induktionsgesetz) E t = rot B 4πJ (Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz) div B = 0 (Quellenfreiheit des Magnetfelds) div E = 4πρ (Poisson-Gleichung) Lorentz-Kraft F = q( E + v B ) E : Elektrische Feldstärke, B : Magnetische Flussdichte, J: magnetische Polarisation, ρ: Ladungsdichte, F : Lorentz-Kraft, q: elektrische Ladung, v: Geschwindigkeit Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
12 Differentialform-Darstellung im dreidimensionalen Ansatz Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
13 Darstellung der Felder durch Differentialformen Dreidimensionaler Ansatz: Zeit als Parameter. Interpretation der Lorentzkraft F: 1-Form. Aus F = q( E + v B ) folgt also: E und v B sind 1-Formen. Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
14 Darstellung der Felder durch Differentialformen Dreidimensionaler Ansatz: Zeit als Parameter. Interpretation der Lorentzkraft F: 1-Form. Aus F = q( E + v B ) folgt also: E und v B sind 1-Formen. Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
15 Darstellung der Felder durch Differentialformen Die elektrische Feldstärke wird durch eine 1-Form repräsentiert: E = E x dx + E y dy + E z dz = E dq (1) Hierbei sind E x, E y, E z die kartesischen Komponenten des elektrischen Feldes. Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
16 Darstellung der Felder durch Differentialformen B bezeichnet die Flächendichte des magnetischen Flusses, d.h. B muss über Flächen integrierbar sein. Daher stellen wir B durch eine 2-Form dar: B = B z dxdy + B x dydz + B y dzdx = B θ (2) Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
17 Darstellung der Felder durch Differentialformen B bezeichnet die Flächendichte des magnetischen Flusses, d.h. B muss über Flächen integrierbar sein. Daher stellen wir B durch eine 2-Form dar: B = B z dxdy + B x dydz + B y dzdx = B θ (2) Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
18 Divergenz und Rotation Wie lässt sich rote in der Differentialformnotation darstellen? de = ( E y x E x y )dxdy + ( E z y E y z )dydz + ( E x z E z x )dzdx = (rot E )θ Wie lässt sich divb in der Differentialformnotation darstellen? db = ( B x x + B y y + B z z )dxdydz = div B Θ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
19 Divergenz und Rotation Wie lässt sich rote in der Differentialformnotation darstellen? de = ( E y x E x y )dxdy + ( E z y E y z )dydz + ( E x z E z x )dzdx = (rot E )θ Wie lässt sich divb in der Differentialformnotation darstellen? db = ( B x x + B y y + B z z )dxdydz = div B Θ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
20 Divergenz und Rotation Erinnerung Für ω = a H dx H p L, diml = n gilt per Definition: dω = n i=1 a H x i dx i dx H db = d(b z dxdy + B x dydz + B y dzdx) = B z z dzdxdy + B x x dxdydz + B y y dydzdx = ( B z z + B x x + B y y )dxdydz Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
21 Divergenz und Rotation Erinnerung Für ω = a H dx H p L, diml = n gilt per Definition: dω = n i=1 a H x i dx i dx H db = d(b z dxdy + B x dydz + B y dzdx) = B z z dzdxdy + B x x dxdydz + B y y dydzdx = ( B z z + B x x + B y y )dxdydz Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
22 Divergenz und Rotation Durch Anwendung des Stern-Operators auf E und B erhalten wir: E = E x dydz + E y dzdx + E z dxdy B = B x dx + B y dy + B z dz Also gilt auch: d E = (div E )Θ d B = (rot B )θ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
23 Divergenz und Rotation Durch Anwendung des Stern-Operators auf E und B erhalten wir: E = E x dydz + E y dzdx + E z dxdy B = B x dx + B y dy + B z dz Also gilt auch: d E = (div E )Θ d B = (rot B )θ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
24 Faradaysches Induktionsgesetz Aus B t = rot E erhalten wir mit (rot E )θ = de: B t = de Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
25 Faradaysches Induktionsgesetz Aus B t = rot E erhalten wir mit (rot E )θ = de: B t = de Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
26 Verallgemeinertes Ampèrsches Gesetz Aus E t = rot B 4π J erhalten wir mit d B = (rot B )θ: E = d B 4πJ t mit der 2-Form J = J x dydz + J y dzdx + J z dxdy Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
27 Verallgemeinertes Ampèrsches Gesetz Aus E t = rot B 4π J erhalten wir mit d B = (rot B )θ: E = d B 4πJ t mit der 2-Form J = J x dydz + J y dzdx + J z dxdy Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
28 Quellenfreiheit und Poisson-Gleichung div B = 0 wird mit db = div B Θ zu: db = 0 div E = 4πρ wird mit d E = (div E )Θ zu: d E = 4πρΘ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
29 Quellenfreiheit und Poisson-Gleichung div B = 0 wird mit db = div B Θ zu: db = 0 div E = 4πρ wird mit d E = (div E )Θ zu: d E = 4πρΘ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
30 Kontraktions-Operator und Lorentz-Kraft Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
31 Der Kontraktions-Operator Definition Es seien a 2, a 3,..., a r V beliebige Tangentialvektoren Wir definieren : V Λ r Λ r 1 ; (a, ω) a ω mit (a ω)(a 2, a 3,..., a r ) = ω(a, a 2, a 3,..., a r ) Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
32 Beispiel dxdy = dy x Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
33 Lorentz-Kraft Beweis: = (v x x + v y v B = y + v z z ) (B zdxdy + B x dydz + B y dzdx) = = v x B z dy v x B y dz v y B z dx + v y B x dz v z B x dy + v z B y dx = = (v z B y v y B z )dx + (v x B z v z B x )dy + (v y B x v x B y )dz = = (v B )dq Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
34 Lorentz-Kraft Beweis: = (v x x + v y v B = y + v z z ) (B zdxdy + B x dydz + B y dzdx) = = v x B z dy v x B y dz v y B z dx + v y B x dz v z B x dy + v z B y dx = = (v z B y v y B z )dx + (v x B z v z B x )dy + (v y B x v x B y )dz = = (v B )dq Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
35 Lorentz-Kraft Beweis: = (v x x + v y v B = y + v z z ) (B zdxdy + B x dydz + B y dzdx) = = v x B z dy v x B y dz v y B z dx + v y B x dz v z B x dy + v z B y dx = = (v z B y v y B z )dx + (v x B z v z B x )dy + (v y B x v x B y )dz = = (v B )dq Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
36 Lorentz-Kraft Beweis: = (v x x + v y v B = y + v z z ) (B zdxdy + B x dydz + B y dzdx) = = v x B z dy v x B y dz v y B z dx + v y B x dz v z B x dy + v z B y dx = = (v z B y v y B z )dx + (v x B z v z B x )dy + (v y B x v x B y )dz = = (v B )dq Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
37 Lorentz-Kraft Beweis: = (v x x + v y v B = y + v z z ) (B zdxdy + B x dydz + B y dzdx) = = v x B z dy v x B y dz v y B z dx + v y B x dz v z B x dy + v z B y dx = = (v z B y v y B z )dx + (v x B z v z B x )dy + (v y B x v x B y )dz = = (v B )dq Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
38 Notationen im Vergleich Vektornotation B t E t = rot E = rot B 4π J div B = 0 div E = 4πρ F = q( E + v B ) Differentialform-Notation B t E t = de db = 0 = d B 4πJ d E = 4πρθ F = q(e v B) Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
39 Tonti-Diagramm Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
40 Kugelkoordinaten Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
41 Kugelkoordinaten Einzig der -Operator ist vom Koordinatensystem abhängig Eine Orthonormalbasis in Kugelkoordinaten ist gegeben durch die 1-Formen dr, rdθ, r sin θdφ. Beispiel: Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten Poission-Gleichung: d E = 4πρΘ Hilfsgröße V mit E = dv Äquivalente Schreibweise: d dv = 4πρΘ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
42 Kugelkoordinaten Einzig der -Operator ist vom Koordinatensystem abhängig Eine Orthonormalbasis in Kugelkoordinaten ist gegeben durch die 1-Formen dr, rdθ, r sin θdφ. Beispiel: Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten Poission-Gleichung: d E = 4πρΘ Hilfsgröße V mit E = dv Äquivalente Schreibweise: d dv = 4πρΘ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
43 Kugelkoordinaten Einzig der -Operator ist vom Koordinatensystem abhängig Eine Orthonormalbasis in Kugelkoordinaten ist gegeben durch die 1-Formen dr, rdθ, r sin θdφ. Beispiel: Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten Poission-Gleichung: d E = 4πρΘ Hilfsgröße V mit E = dv Äquivalente Schreibweise: d dv = 4πρΘ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
44 Kugelkoordinaten Erinnerung Laplace-Operator: d df = ( f )dxdydz In Kugelkoordinaten: [ d df = r (r 2 sin θ f r ) + f (sin θ θ θ ) + φ ( 1 ] f sin θ φ ) drdθdφ Also lässt sich die Poisson-Gleichung d dv = 4πρΘ in Kugelkoordinaten schreiben als: [ r (r 2 sin θ V r ) + V (sin θ θ θ ) + φ ( 1 sin θ ] V φ ) drdθdφ = 4πρdrdθdφ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
45 Kugelkoordinaten Erinnerung Laplace-Operator: d df = ( f )dxdydz In Kugelkoordinaten: [ d df = r (r 2 sin θ f r ) + f (sin θ θ θ ) + φ ( 1 ] f sin θ φ ) drdθdφ Also lässt sich die Poisson-Gleichung d dv = 4πρΘ in Kugelkoordinaten schreiben als: [ r (r 2 sin θ V r ) + V (sin θ θ θ ) + φ ( 1 sin θ ] V φ ) drdθdφ = 4πρdrdθdφ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
46 Differentialform-Darstellung im Raumzeit-Ansatz Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
47 Raumzeit-Ansatz Raumzeit-Ansatz: Vierdimensionaler Raum statt Zeit als Parameter Hybrid-Notation: d bezeichnet die vierdimensionale äußere Ableitung d 3 bezeichnet die dreidimensionale äußere Ableitung dq = (dx, dy, dz), θ = (dxdy, dydz, dzdx), Θ = dxdydz wie bisher Für ein Skalar f gilt dann: df = f f dq + q t dt Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
48 Raumzeit-Ansatz Raumzeit-Ansatz: Vierdimensionaler Raum statt Zeit als Parameter Hybrid-Notation: d bezeichnet die vierdimensionale äußere Ableitung d 3 bezeichnet die dreidimensionale äußere Ableitung dq = (dx, dy, dz), θ = (dxdy, dydz, dzdx), Θ = dxdydz wie bisher Für ein Skalar f gilt dann: df = f f dq + q t dt Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
49 Raumzeit-Ansatz Raumzeit-Ansatz: Vierdimensionaler Raum statt Zeit als Parameter Hybrid-Notation: d bezeichnet die vierdimensionale äußere Ableitung d 3 bezeichnet die dreidimensionale äußere Ableitung dq = (dx, dy, dz), θ = (dxdy, dydz, dzdx), Θ = dxdydz wie bisher Für ein Skalar f gilt dann: df = f f dq + q t dt Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
50 Homogene Gleichungen Die homogenen Gleichungen d 3 B = 0 und B t zusammenfassen zu: = d 3 E lassen sich d 3 B θ + B t dtθ + dtd 3 E dq = 0 Diese Gleichung lässt sich vereinfachen zu: d( B θ + E dqdt) = 0 Mit F := B θ + E dqdt können wir dafür schreiben: df = 0 Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
51 Homogene Gleichungen Die homogenen Gleichungen d 3 B = 0 und B t zusammenfassen zu: = d 3 E lassen sich d 3 B θ + B t dtθ + dtd 3 E dq = 0 Diese Gleichung lässt sich vereinfachen zu: d( B θ + E dqdt) = 0 Mit F := B θ + E dqdt können wir dafür schreiben: df = 0 Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
52 Homogene Gleichungen Die homogenen Gleichungen d 3 B = 0 und B t zusammenfassen zu: = d 3 E lassen sich d 3 B θ + B t dtθ + dtd 3 E dq = 0 Diese Gleichung lässt sich vereinfachen zu: d( B θ + E dqdt) = 0 Mit F := B θ + E dqdt können wir dafür schreiben: df = 0 Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
53 Beweis der Vereinfachung Behauptung: d B θ = d 3 B θ + B t dtθ d B θ = d(b z dxdy + B x dydz + B y dzdx) = B z z dzdxdy + B z t dtdxdy+ + B x x dxdydz + B x t dtdydz + B y y dydzdx + B y t dtdzdx = = ( B x x + B y y + B z z )dxdydz+( B x t + B y t + B z t )dt(dxdy+dydz+dzdx) = = d 3 B θ + B t dtθ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
54 Beweis der Vereinfachung Behauptung: d B θ = d 3 B θ + B t dtθ d B θ = d(b z dxdy + B x dydz + B y dzdx) = B z z dzdxdy + B z t dtdxdy+ + B x x dxdydz + B x t dtdydz + B y y dydzdx + B y t dtdzdx = = ( B x x + B y y + B z z )dxdydz+( B x t + B y t + B z t )dt(dxdy+dydz+dzdx) = = d 3 B θ + B t dtθ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
55 Beweis der Vereinfachung Behauptung: d B θ = d 3 B θ + B t dtθ d B θ = d(b z dxdy + B x dydz + B y dzdx) = B z z dzdxdy + B z t dtdxdy+ + B x x dxdydz + B x t dtdydz + B y y dydzdx + B y t dtdzdx = = ( B x x + B y y + B z z )dxdydz+( B x t + B y t + B z t )dt(dxdy+dydz+dzdx) = = d 3 B θ + B t dtθ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
56 Beweis der Vereinfachung Behauptung: d B θ = d 3 B θ + B t dtθ d B θ = d(b z dxdy + B x dydz + B y dzdx) = B z z dzdxdy + B z t dtdxdy+ + B x x dxdydz + B x t dtdydz + B y y dydzdx + B y t dtdzdx = = ( B x x + B y y + B z z )dxdydz+( B x t + B y t + B z t )dt(dxdy+dydz+dzdx) = = d 3 B θ + B t dtθ Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
57 Beweis der Vereinfachung Behauptung: d E dqdt = dtd 3 E dq d E dqdt = d(e x dxdt + E y dydt + E z dzdt) = E x y dydxdt + E x z dzdxdt+ + E y x dxdydt + E y z dzdydt + E z x dxdzdt + E z y dydzdt = = ( E y x E x y )dxdydt + ( E z y E y z )dydzdt + ( E x z E z x )dzdxdt = = d 3 E dqdt = dtd3 E dq Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
58 Beweis der Vereinfachung Behauptung: d E dqdt = dtd 3 E dq d E dqdt = d(e x dxdt + E y dydt + E z dzdt) = E x y dydxdt + E x z dzdxdt+ + E y x dxdydt + E y z dzdydt + E z x dxdzdt + E z y dydzdt = = ( E y x E x y )dxdydt + ( E z y E y z )dydzdt + ( E x z E z x )dzdxdt = = d 3 E dqdt = dtd3 E dq Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
59 Beweis der Vereinfachung Behauptung: d E dqdt = dtd 3 E dq d E dqdt = d(e x dxdt + E y dydt + E z dzdt) = E x y dydxdt + E x z dzdxdt+ + E y x dxdydt + E y z dzdydt + E z x dxdzdt + E z y dydzdt = = ( E y x E x y )dxdydt + ( E z y E y z )dydzdt + ( E x z E z x )dzdxdt = = d 3 E dqdt = dtd3 E dq Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
60 Inhomogene Gleichungen Die inhomogenen Gleichungen d 3 E = 4πρΘ und = d 3 B 4πJ lassen sich analog zusammenfassen zu: E t und vereinfachen zu: d 3 E θ+ E t dtθ + dtd 3 B dq= 4πJdt+4πρΘ d( E θ B dqdt) = 4π(ρΘ Jdt) Da F = E θ B dqdt können wir dafür schreiben: d F = 4πj mit der Ladungs-3-Form j := ρθ Jdt Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
61 Inhomogene Gleichungen Die inhomogenen Gleichungen d 3 E = 4πρΘ und = d 3 B 4πJ lassen sich analog zusammenfassen zu: E t und vereinfachen zu: d 3 E θ+ E t dtθ + dtd 3 B dq= 4πJdt+4πρΘ d( E θ B dqdt) = 4π(ρΘ Jdt) Da F = E θ B dqdt können wir dafür schreiben: d F = 4πj mit der Ladungs-3-Form j := ρθ Jdt Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
62 Inhomogene Gleichungen Die inhomogenen Gleichungen d 3 E = 4πρΘ und = d 3 B 4πJ lassen sich analog zusammenfassen zu: E t und vereinfachen zu: d 3 E θ+ E t dtθ + dtd 3 B dq= 4πJdt+4πρΘ d( E θ B dqdt) = 4π(ρΘ Jdt) Da F = E θ B dqdt können wir dafür schreiben: d F = 4πj mit der Ladungs-3-Form j := ρθ Jdt Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
63 Inhomogene Gleichungen Erinnerung Im 4-dim. VR mit Orthonormalbasis dx 1, dx 2, dx 3, dt mit zyklischer Ordnung (i,j,k) gilt: dx i dt = dx j dx k dx j dx k = dx i dt F = ( B θ + E dqdt) = = (B z dxdy + B x dydz + B y dzdx + E x dxdt + E y dydt + E z dzdt) = = B z dzdt B x dxdt B y dydt +E x dzdy +E y dxdz +E z dxdy = E θ B dqdt Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
64 Inhomogene Gleichungen Erinnerung Im 4-dim. VR mit Orthonormalbasis dx 1, dx 2, dx 3, dt mit zyklischer Ordnung (i,j,k) gilt: dx i dt = dx j dx k dx j dx k = dx i dt F = ( B θ + E dqdt) = = (B z dxdy + B x dydz + B y dzdx + E x dxdt + E y dydt + E z dzdt) = = B z dzdt B x dxdt B y dydt +E x dzdy +E y dxdz +E z dxdy = E θ B dqdt Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
65 Maxwell-Gleichungen im Raumzeit-Ansatz Die Maxwellschen Gleichungen für den Raumzeitansatz sind also: df = 0 d F = 4πj Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
66 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik / 35
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