Berechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik

Transkript

1 Institute of Fluid Dynamics Berechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik Prof. Dr. Leonhard Kleiser c L. Kleiser, ETH Zürich Transition zur Turbulenz in einem drahlbehafteten Freistrahl. S. Müller, ETH Zürich, 2008.

2 I Vorwort Die Vorlesung Berechnungsmethoden der Energie- und Verfahrenstechnik ist eine der fünf Vorlesungen des wählbaren Fokus Energie, Strömungen und Prozesse des 5. und 6. Semesters im Bachelor-Studium in Maschinenbau und Verfahrenstechnik an der ETH Zürich. Sie baut auf den vorgängigen Vorlesungen über Analysis und lineare Algebra, Fluiddynamik und Thermodynamik sowie Numerische Mathematik und Informatik auf. In methodischer Hinsicht ist sie innerhalb des Fokus das Gegenstück zur Vorlesung Experimentelle Methoden für Ingenieuranwendungen. Die Lehrveranstaltungen des Fokus, der von etwa 12 Professuren des Departements getragen wird, bilden eine gemeinsame Grundlage für verschiedene spätere Spezialisierungen auf der Master-Stufe in den Bereichen Fluiddynamik, Energietechnik und Verfahrenstechnik. Ziel der Vorlesung ist es, Grundwissen und praktische Erfahrungen mit der Anwendung der wichtigsten Diskretisierungs- und Lösungsverfahren für Berechnungsaufgaben der Fluiddynamik, Energie- und Verfahrenstechnik zu vermitteln und an einfachen Beispielen auszuprobieren. In den Übungen werden diesem Ziel entsprechende theoretische und praktische (Programmier-)Aufgaben gestellt. Eine aktive Teilnahme an den Übungen ist unerlässlich. Ich bin der festen Überzeugung, dass es für eine sachgerechte Lösung von Berechnungsaufgaben durch den Ingenieur erforderlich ist, zu verstehen, was dahinter steckt, und nicht ausreicht, nur die Bedienung von schönen Benutzeroberflächen fertiger Programmpakete kennenzulernen, die mit ein paar Mausklicks bunte Lösungen fabrizieren. Dieses Skript hat sich entwickelt aus Mitschriften meiner Assistenten zur früheren Vorlesung Einführung in die Numerische Strömungsberechnung (später Grundlagen der Numerischen Fluiddynamik ), die ich seit 1994 an der ETH gehalten habe. Eine erste Version wurde von Carlos Härtel notiert und später von Nikolaus Adams ergänzt. Steffen Stolz und Philipp Schlatter haben im Jahr 2002 eine wesentlich erweiterte Fassung entwickelt. Seither habe ich regelmässig weitere Überarbeitungen und Ergänzungen vorgenommen. Dabei haben mich die Assistenten Jörg Ziefle und Giuseppe Bonfigli unterstützt. Zürich, im Februar 2008 Leonhard Kleiser Nomenklatur Zeit räumliche Koordinaten (kartesisch) Geschwindigkeiten t x, y, z x 1, x 2, x 3 x u, v, w u 1, u 2, u 3 u Wirbelstärke ω 1, ω 2, ω 3 ω = rotu Potential der Geschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Dichte Druck Temperatur Entropie innere Energie Enthalpie φ u = gradφ a a 2 = p T ( ) p = γ p (id. Gas) s=const. s = c v ln p γ e h = e + p/ Totalenergie E = e + u 2 /2 Totalenthalpie H = h + u 2 /2

3 II III Vektor der Erhaltungsgrössen Vektoren der konvektiven Flüsse (in x 1, x 2, x 3 ) Vektoren der diffusiven (molekularen) Flüsse (in x 1, x 2, x 3 ) Wärmestrom Äussere Volumenkräfte Tensor der molekularen Spannungen (s. Gleichungen Kap. 2) Konstanten und Koeffizienten Isentropenexponent Wärmeleitfähigkeit U = (, u, v, w, E) T F, G, H F d, G d, H d q i = κ T x i q = κ T f x, f y, f z f 1, f 2, f 3 f τ ij dynamische Zähigkeit µ kinematische Zähigkeit ν = µ τ γ p γ = const. id. Gas: γ = c p /c v spezifische Wärme bei konstantem Volumen c v = 1 γ 1 R spezifische Wärme bei konstantem Druck Gaskonstante κ c p = γ γ 1 R R = c p c v Kennzahlen Reynoldszahl Machzahl Froudezahl Fr Prandtlzahl Pr = c p µ κ Operatoren Ableitung Nabla j = x j Re Ma = ( x, y, z ) T Gradient gradφ = φ = ( x φ, y φ, z φ) T y u z z u y Rotation rotu = u = z u x x u z x u y y u x Divergenz divu = u = x u + y u + z u Laplace-Operator = = 2 x j x j = j j Betrag eines Vektors a = a a2 2 + a2 3 Substantielle Ableitung im Geschwindigkeitsfeld u Mathematische Symbole D Dt = t + u j x j O() Landausches Ordnungssymbol a(x) = O(x p ), x x 0 bedeutet: Es gibt eine Konstante K, so dass a(x) x K für x p x Februar 2010

4 V Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Vorbemerkungen Numerische Fluiddynamik Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen Navier-Stokes-Gleichungen und Euler-Gleichungen Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung Diffusionsgleichung und Grenzschichtgleichungen Advektionsgleichung und Wellengleichung Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen Elliptische partielle Differentialgleichungen Parabolische partielle Differentialgleichungen Hyperbolische partielle Differentialgleichungen Diskretisierungsverfahren Finite-Differenzen-Verfahren Gitter Definition Standard-Verfahren Matrix-Darstellung der numerischen Ableitung Kompakte Finite-Differenzen-Verfahren Modifizierte Wellenzahl Finite-Differenzen-Verfahren für nicht-äquidistante Gitter Finite-Volumen-Methode Methode der gewichteten Residuen: Spektralverfahren Grundprinzip Wahl der Gewichtsfunktionen Wahl der Ansatzfunktionen Pseudospektrale Auswertung nichtlinearer Terme Finite-Elemente-Methode Eigenschaften und Analyse von Diskretisierungsverfahren

5 Inhaltsverzeichnis VI VII Inhaltsverzeichnis Konsistenz und Konvergenz Stabilitätsbegriffe Methoden zur Stabilitätsanalyse Grundtypen von Lösungsverfahren Hyperbolische Gleichungen Wichtige Diskretisierungsschemata Analyse von Verfahren für lineare Gleichungen Nichtlineare Gleichungen und unstetige Lösungen Elliptische Gleichungen Iterative Verfahren Konvergenzbeschleunigung Parabolische Gleichungen A.3.1 Kontinuierliche Fourier-Reihen A.3.2 Diskrete Fourier-Reihen A.4 Thomas-Algorithmus zur Lösung eines tridiagonalen Gleichungssystems B Finite-Differenzen-Schemata 161 B.1 Finite-Differenzen-Verfahren zur Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen B.2 FD-Schemata zur Diskretisierung von Ableitungsoperatoren B.3 FD-Schemata zur Diskretisierung der Advektionsgleichung C Literaturverzeichnis Berechnung inkompressibler Strömungen Grundgleichungen in primitiven Variablen Druckprojektion Lösungsmethoden in primitiven Variablen Volldiskretisierte Gleichungen Einflussmatrix-Methode Zwischenschritt-Methode Druckkorrektur-Methoden Methode der künstlichen Kompressibilität Alternative Formulierungen der Bewegungsgleichung Wirbelstärke-Vektorpotential-Formulierung Wirbelstärke-Geschwindigkeits-Formulierung Turbulente Strömungen Direkte Numerische Simulation Reynolds-gemittelte Gleichungen und Turbulenzmodelle Wirbelzähigkeitsmodelle (eddy-viscosity models) Reynoldsspannungs-Modelle (Second-Order Closures) Grobstruktur-Simulation (Large-Eddy Simulation) A Mathematische Grundlagen 151 A.1 Vektor-Normen und Matrix-Normen A.2 Normen für Funktionen und Gitterfunktionen A.3 Fourier-Reihen Februar 2010