MATHEMATIK III-PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN, D-CHEM Herbstsemester 2012 Lektion 20 September 2012

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1 MATHEMATIK III-PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN, D-CHEM Herbstsemester 2012 Lektion 20 September 2012 Dieser Kurs ist eine Einführung von linearen partiellen Differentialgleichungen. Das Hauptziel ist es, eine Kenntnisse der klassischen Methoden zu geben um partielle Differentialgleichungen ( kurzum: PDG) zu lösen. Ich möchte zuerst einige Informationen zu geben. Die folgende Voraussetzungen sind wichtig: 1. eine Grundkenntnisse von Funktionen mit mehreren Variablen (insbesondere mit zwei oder drei Variablen), Riemann-Integral, partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Jacobian. 2. Numerische Folgen und Reihen. 3. Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen. Diesbezüglich empfehle ich euch die folgende Analysisbücher: 1. Renèe Sperb: Analysis II 2. Meike Akveld & Renèe Sperb: Analysis I. Ein verläufige Programm 1. Kurze Wiederholung von gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen. 2. Was ist eine partielle Differentialgleichung? 3. Elementare Lösungsmethoden: die eindimensionale Wellengleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Laplace-Gleichung, Fourier-Reihen, die Fourier- Transformation, die Laplace-Transformation. 1

2 Notiationen i) Ein multindexα=(α 1,...,α n ) ist ein n-tupel, wobei jede Komponentα i eine nichtnegative ganze Zahl ist. Die Ordnung vonαist α =α α n. ii) Gegeben seienαund u:ω IR n IR, dann definieren wir D α u(x)= iii) Sei k eine nichtnegative ganze Zahl, dann Besondere Fälle Wenn k=0, dann D 0 u=u. α u(x) α 1 x1 α n xn. D k u(x) :={D α u(x) : α =k}. Wenn k=1, dann betrachten wir Du als ein Vektor: Du=(u x1,, u xn )=Gradient. Wenn k=2, dann betrachten wir D 2 u als eine Matrix u x1 x 1 u x1 x n D 2 u=..... u xn x 1 u xn x n Wir bezeichnen mit die Laplacian von u. u=u x11 + u x u xnn, iv) Ist f eine Funktion von einer Variable t, so bezeichnen wir mit ihre Ableitung nach t. f (t), f (t), 2 d f dt (t)

3 v) Ist f eine Funktion von den Variablen (x 1,..., x n ), so bezeichnen wir mit f x i (x) oder f xi (x) ihre partielle Ableitung nach die i-ten Variable x i. vi) Wenn u=u(x, y), x IR n, y IR m, dann bezeichnen wir mit D x u=(u x1,, u xn ), und D y u=(u y1,, u ym ) bzw die Gradienten nach die Vektoren x und y. vii) Wenn die Dimension von dem Definitionsbereich zwei oder drei ist, dann bezeichnen wir bzw x=(x, y) und x=(x, y, z). 1 Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen: Einleitung 1.1 Grundbegriffe Unter einer Differentialgleichung verstehen wir eine Beziehung zwischen einer Funktion und einigen ihrer Ableitungen. Z.B. sind y = y y 2 + y 2 = 2 y +ω 2 y=0 u t = u xx Gleichungen. Die höchste auftretende Ableitungsordnung heisst Ordnung der Differentialgleichung. Wenn nur Ableitungen nach einer einzigen unabhängigen Variablen auftreten, dann heisst die Differentialgleichung gewöhnlich, anderfalls partiell. Unter einer Lösung einer Differentialgleichung verstehen wir eine (hinreichende oft differenzierbare) Funktion, welche die Differentialgleichung in einem gewissen Gebiet der unabhängigen Variablen identisch erfüllt. Allgemein hat eine gewöhniliche Differentialgleichung n-ter Ordnung die Gestalt F(x, y, y,...,y (n) )=0 (1) 3

4 (implizite Form) oder (explizite Form). y (n) = f (x, y,...,y (n 1) ) (2) 1.2 Einige Anwendungen von Differentialgleichungen Mit Hilfe von Differentialgleichungen kann man viele Vorgänge aus Physik, Wirtschaft, Biologie, Chemie und anderen Bereichen modellieren. Wir geben einige Beispiele. 1. Wachstum einer Population. Sei P(t) die Grösse einer Population zur Zeit t. Für kleine Zeitinkremente t wird dann gelten P(t+ t) P(t)=αP(t) t mit einer reellen Zahlα. Für t 0entsteht daraus die Differentialgleichung P (t)=αp(t). (3) Ist die Grösse der Population zur Zeit t=0 bekannt, etwa P 0, so haben wir zusätzlich die Anfangsbedingung P(0)=P 0 (4) (3)-(4) stellen ein Anfangswertproblem für eine explizite Differentialgleichung 1. Ordnung dar. Sie besitzt die Lösung P(t)=P 0 e αt. 2. Fall eines Massenpunktes. Sei x(t) die Position eines Massenpunktes der Masse m über dem Erdboden zur Zeit t. Zur Zeit t = 0 sei x(0) = x 0, und ẋ(0)=v 0. (a) Der Massenpunkt befinde sich in kleiner Höhe über dem Erdboden so dass die Erdbeschleuningung g an der Oberfläsche massgebend ist. Der Luftwiderstand werde vernachlässigt. Dann ist x (t)= g. 4

5 Die Lösung dieser Differentialgleichung ist x(t)= 1 2 t2 g+c 2 t+c 1, mit Konstanten c 1, c 2. Wegen der Anfangsbedingungen ist c 1 = x 0 und c 2 = v 0, also x(t)= x 0 + v 0 t+ 1 2 t2 g. Dies ist das bekannte Gesetz des freien Falls. (b) Wir berücksichtigen nun den Luftwiderstand. Diese is proportional zur Geschwindigkeit ẋ. Wir haben x (t)= g αx, α>0. Diese Differentialgleichung hat fürα 0als Lösung x(t)= g α t+c 1+ c 2 e αt. Die Konstanten c 1, c 2 bestimmen sich aus den Anfangsbedingungen. Man erhḧalt x(t)= x 0 g α t+( g α 2+v 0 α )(1 e αt ). 1.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung Solche Differentialgleichungen haben die From y = a(x)y+ s(x). (5) Für s=0 heisst (5) homogen, anderfalls inhomogen. Wir wollen a, s als stetig veraussetzen. Satz 1.1 Sei A(x)= a(t)dt eine Stammfunktion von a(t). Dann ist y(t)=ce A(t) für jede Konstante c eine Lösung von (5) für s = 0. Umgekehrt ist jede Lösung von (5) für s=0 von dieser Form. Folgerung: Die Anfangswertaufgabe y = a(x)y, y(x 0 )=y 0. (6) 5

6 besitzt die eindeutig bestimmte Lösung x x y(x)=y 0 e a(t)dt 0. Wir betrachten nun die inhomogene Gleichung (5). Ist y p irgendeine Lösung von (5) und y eine weitere, so y y p ist Lösung der homogen Gleichung und nach Satz 1.1 ist daher y=y p + ce A. Um die allgemeine Lösung von (5) zu finden, müssen wir nur eine partikuläre Lösung y p finden. Für diese machen wir den Ansatz y p (x)=c(x)e A(x). Man nennt dies: Variation der Konstanten. Setzen wir diese y p in (5) ein, so entsteht c e A + ace A = ace A + s oder Damit haben wir c = se A. Satz 1.2 Sei c eine Stammfunktion von se A. Dann ist y=ce A für jede Konstante c IR eine Lösung von (5). Umgekehrt ist jede Lösung von (5) von dieser Form. Beispiel 1.1 y = (sin(x))y+sin(x), y(0)=0. Allgemeine Lösung der homogen Gleichung: y=ce cos(x). Variation de Konstanten: y p = c(x)e cos(x) c e cos(x) + c sin(x)e cos(x) = c sin(x)e cos(x) + sin(x) c = sin(x)e cos(x) y p = 1 6

7 Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung: Einarbeitung der Anfangsbedingung: y(x)= 1+ce cos(x). y(x)= 1+e 1 cos(x). 1.4 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten die Differentialgleichung y (x)+ay (x)+by(x)=0 (7) für eine reelwertige Funktion y=y(x),mit Konstanten a, b IR. Definition 1.1 Das Polynom p(λ)=λ 2 + aλ+b heisst charakteristisches Polynom der Differentialgleichung (7). Wir haben den folgenden Satz. Satz 1.3 Der Lösungsraum W ={y: IR IR ist 2-mal differenzierbar und löst (7)} ist ein 2-dimensionaler Vektorraum. Definition 1.2 Ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (7) ist eine Basis{ϕ 1,ϕ 2 } des Vektoraumes W. Satz 1.4 (i) Wenn das charakteristische Polynom zwei verschiedene reelle Nullstellenλ 1 λ 2 hat, dann ist die Menge{e λ 1t, e λ 2t } ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (7). (ii) Wenn das charakteristische Polynom eine reelle Nullstelleλ 1 mit Vielfachheit 2, so ist die Menge{e λ 1t, te λ 1t } ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (7). 7

8 (iii) Wenn das charakteristische Polynom zwei complexe Nullstellenµ 1,µ 1 hat, dann ist die Menge{Re(e µ 1t ), Im(e µ 2t )} ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung (7). 1.5 Inhomogene Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten die Differentialgleichung y (x)+ay (x)+by(x)= f (t) (8) für eine reelwertige Funktion y=y(x),mit Konstanten a, b IR, und f : IR IR. Ansätze für spezielle rechte Seiten (1) Ist in der inhomogenen Differentialgleichung (8)die rechte Seite von der Gestalt f (t)=r(t)e γt, für ein Polynom r(t) undγ IR so wählen wir y(t)=t m q(t)e γt. Dabei ist q(t) ein Polynom in t mit deg(q) deg(r) und m bezeichnet die Vielfachheit der Nullstelle γ des charakteristischen Polynom p(λ). Ist γ keine Nullstelle von p(λ), so wählen wir m=0. Übung 1.1 Lösen Sie die Differentialgleichungen y (x) 6y (x)+9y(x)=te 3t. (9) (2) Ist in der inhomogenen Differentialgleichung (8) die rechte Seite von der Gestalt f (t)=(r 1 (t) cos(αt)+r 2 (t) sin(αt))e βt, für Polynome r 1 (t), r 2 (t) undα,β IR, so wählen wir y(t)=t m (q 1 (t) cos(αt)+q 2 (t) sin(αt))e βt. Dabei sind q 1 (t), q 2 (t) Polynome in t mit deg(q 1 ), deg(q 2 ) max(deg(r 1 ), deg(r 2 )) und m bezeichnet die Vielfachheit der Nullstelle β + iα des charakteristischen Polynom p(λ). Istβ+iα keine Nullstelle von p(λ), so wählen wir m=0. Übung 1.2 Lösen Sie die Differentialgleichungen y (x) 6y (x)+9y(x)=cos(2t)e 3t. (10) 8

9 Literatur [AU] W. Arendt, K. Urban:Partielle Differentialgleichungen, Spektrum Vergal, [B] Ch. Blatter, Skript : Komplexe Analysis, Fourier- und Laplace- Transformation und Analysis blatter/. [D] F. Da Lio, Skript : Mathematik III. [F] G. Felder, Skript : Analysis III [H] N. Hungerbühler, Einführung in partielle Differentialgleichungen (fü Ingenieure, Chemiker und Naturwissenschaftler), vdf Hochschulverlag, [K] E. Kreyszig Advanced Engineering Analysis, Wiley