4.4 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung

Transkript

1 44 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HÖHERER ORDNUNG 95 gegeben durch z (t) := e λ t, z 2 (t) := e λ 2t, z 3 (t) := te λ 2t + e λ 2t Mit S := (v, v 2, v 3 ) erhalten wir somit aus y k := Sz k für k =, 2, 3 das Fundamentalsystem 4 4 y (t) :=, y 2 (t) := e t 4, y 3 (t) := e t 4 + t für die gegebene Differentialgleichung (47) Treten bei der obigen Berechnung wieder (konjugiert ) komplexe Lösungen auf (etwa durch komplexe Eigenwerte), so erhält man in Analogie zur Argumentation beim Lemma 49 durch den Übergang auf Real und Imaginärteil wieder zwei reelle Lösungen 44 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung hat die Gestalt y (n) + a n (t)y (n ) + + a (t)y = b(t) (48) mit gewissen stetigen Funktionen a i, b : I R (i =,,, n ), die auf einem Intervall I R definiert sind Speziell für b spricht man von einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung, anderenfalls von einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung Wegen Satz 5 ist (48) äquivalent zu dem linearen Differentialgleichungssystem erster Ordnung y = A(t)y + g(t) (49) mit und y = A(t) := y y 2 y n := y y y (n ), g(t) := b(t) a (t) a (t) a n 2 (t) a n (t) (42) (42)

2 96 KAPITEL 4 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Aus den Sätzen 4 und 44 erhalten wir somit das folgende Existenz und Eindeutigkeitsresultat Satz 423 Seien I R ein gegebenes Intervall und a i, b : I R stetige Funktionen Dann gelten die folgenden Aussagen: (a) Die Menge aller Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung bildet einen Vektorraum der Dimension n (b) Jede Lösung y von (48) hat die Gestalt y = y h + y p, wobei y h eine beliebige Lösung der homogenen Differentialgleichung und y p eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (48) ist (c) Das zugehörige Anfangswertproblem y (n) +a n (t)y (n ) + +a (t)y = b(t), y(t ) = y, y (t ) = y,, y(n ) (t ) = y (n ) hat für beliebig vorgegebene Werte t I und y, y, y(n ) R genau eine (auf ganz I definierte) Lösung Sei als Nächstes Y (t) eine Fundamentalmatrix des zu (48) gehörenden Systems (49) mit y, g, A gemäß (42), (42) Ferner bezeichnen wir mit w(t) := det Y (t) wieder die entsprechende Wronski Matrix Aufgrund der speziellen Gestalt von A(t) in (42) ist SpurA(t) = a n (t) Wegen Satz 48 lautet die Formel von Liouville daher w = a n (t)w Sind y,, y n linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung n-ter Ordnung aus (48), so hat die Fundamentalmatrix Y (t) des zugehörigen Systems (49) erster Ordnung aufgrund des Zusammenhangs aus dem Satz 5 offenbar die Gestalt y y 2 y n y y 2 y n Y (t) = (422) y (n ) y (n ) 2 y n (n ) Man beachte in diesem Zusammenhang, dass die Spalten von Y (t) offenbar genau dann linear unabhängig sind, wenn die Funktionen y,, y n dies sind Speziell für n = 2 halten wir an dieser Stelle noch fest, dass die Wronski Determinante somit die Gestalt w(t) = det Y (t) = y (t)y 2(t) y 2 (t)y (t) (423) hat, die wir später noch mehrfach verwenden werden Entsprechend lassen sich alle anderen Resultate des Abschnitts 4 übertragen, indem man sich das zugehörige System erster Ordnung anschaut Insbesondere lässt sich eine partikuläre Lösung y p wieder durch Variation der Konstanten bestimmen

3 44 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HÖHERER ORDNUNG 97 Wir gehen im Folgenden noch auf die Bestimmung eines Fundamentalsystems für eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y (n) + a n y (n ) + + a y = b(t) für alle t R mit a i R (i =,,, n ) näher ein Da dieser Spezialfall sehr wichtig ist, wollen wir die nachstehenden Ausführungen unabhängig von den Ergebnissen des Abschnitts 43 führen Um eine Lösung des homogenen Problems y (n) (t) + a n y (n ) (t) + + a y(t) = für alle t R (424) zu erhalten, machen wir den Exponentialansatz y(t) := e λt für ein λ C Die Ableitungen dieser Funktion sind gegeben durch y (t) = λe λt, y (t) = λ 2 e λt,, y (n) (t) = λ n e λt Einsetzen der Funktion y(t) = e λt in (424) liefert daher und somit e λt( λ n + a n λ n + + a λ + a ) = p(λ) := λ n + a n λ n + + a λ + a = wegen e λt für alle t R Das gerade definierte Polynom p nennt man das charakteristische Polynom der Differentialgleichung (424) Diese Namensgebung ist deshalb gerechtfertigt, da p offenbar gerade das (im üblichen Sinne) charakteristische Polynom derjenigen Matrix A = A(t) ist, das man bei der Umformulierung unserer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung in ein System erster Ordnung erhält, vergleiche (42) Um eine Lösung der homogenen Differentialgleichung (424) durch den Exponentialansatz y(t) = e λt zu erhalten, benötigen wir also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(λ) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt dieses genau n Nullstellen λ,, λ n C Sind diese alle verschieden, so sind die Abbildungen y (t) := e λ t, y 2 (t) := e λ 2t,, y n (t) := e λnt offenbar linear unabhängig (Beweis als Aufgabe!) und spannen daher den Lösungsraum von (424) auf, bilden also ein Fundamentalsystem, sofern alle λ i reell sind Ist eines der λ i komplex, so ist auch λ i eine Nullstelle, und wir erhalten aus e λ it, e λ it zwei reelle Lösungen durch den Übergang auf Real und Imaginärteil einer dieser beiden komplexen Lösungen Ist eines der λ i hingegen eine mehrfache Nullstelle von p, so sind die zugehörigen Lösungen y i natürlich linear abhängig und können daher kein Fundamentalsystem bilden Hier hilft die folgende Beobachtung: Gilt λ i = λ i+, so sind die beiden Funktionen y i (t) := e λ it, y i+ (t) := te λ it

4 98 KAPITEL 4 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN linear unabhängige Lösungen von (424) Ist sogar λ i = λ i+ = λ i+2, so erhalten wir mit den Abbildungen y i (t) := e λ it, y i+ (t) := te λ it, y i+2 := t 2 e λ it linear unabhängige Lösungen von (424) Ganz allgemein gilt das folgende Resultat Satz 424 Betrachte die homogene lineare Differentialgleichung (424) mit konstanten Koeffizienten Sei p das zugehörige charakteristische Polynom mit den reellen Nullstellen λ,, λ p mit Vielfachheiten n,, n p und den Paaren von konjugiert komplexen Nullstellen µ, µ,, µ q, µ q mit Vielfachheiten m,, m q Dann bildet die Menge der n := n + + n p + 2m + + 2m q Funktionen sowie e λ t, te λ t,, t n e λ t, e λ 2t, te λ 2t,, t n 2 e λ 2t, e λpt, te λpt,, t np e λpt Re(e µ t ), Im(e µ t ), Re(te µ t ), Im(te µ t ),, Re(t m e µ t ), Im(t m e µ t ), Re(e µ 2t ), Im(e µ 2t ), Re(te µ 2t ), Im(te µ 2t ),, Re(t m 2 e µ 2t ), Im(t m 2 e µ 2t ), Re(e µqt ), Im(e µqt ), Re(te µqt ), Im(te µqt ),, Re(t mq e µqt ), Im(t mq e µqt ) ein Fundamentalsystem von (424) Beweis: Wir skizzieren hier einen Beweis des Resultates, der unabhängig von früheren Ergebnissen ist Zunächst folgt aus unseren obigen Betrachtungen sofort, dass die Funktionen y (t) := e λt,, y n (t) := e λnt in der Tat reelle Lösungen von (424) sind, sofern die λ i reell sind Sind alle λ i außerdem voneinander verschieden, so haben wir bereits n Lösungen vorliegen Ist dies nicht der Fall und λ beispielsweise eine doppelte (reelle) Nullstelle von p, so gelten p(λ) = und p (λ) = Ferner verifiziert man durch vollständige Induktion nach k unmittelbar, dass die Ableitungen der Funktion y(t) := te λt gegeben sind durch y (k) (t) := ( tλ k + kλ k ) e λt k =,,, n Einsetzen in die homogene Differentialgleichung liefert daher y (n) (t) + a n y (n ) (t) + + a y (t) + a y(t) = ( tλ n + nλ n ) ( e λt + a n tλ n + (n )λ n 2) ( ) e λt + + a tλ + e λt + a te λt = t ( ) λ n + a n λ n + + a λ + a }{{} e λt + ( ) nλ n + (n )λ n a }{{} e λt =p(λ)= =p (λ)= =,

5 44 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HÖHERER ORDNUNG 99 so dass y(t) := te λt in diesem Fall tatsächlich eine Lösung der Differentialgleichung ist Handelt es sich bei λ schließlich um eine komplexe Nullstelle des charakteristischen Polynoms, so erkennt man durch Vergleich von Real und Imaginärteil sehr leicht, dass sowohl der Real als auch der Imaginärteil von e λt reelle Lösungen von (424) sind Auf diese Weise sieht man ein, dass alle n angegebenen Abbildungen die Differentialgleichung (424) lösen Damit bleibt nur noch deren lineare Unabhängigkeit zu zeigen, was wir dem Leser als Aufgabe überlassen wollen Für eine komplexe Nullstelle µ = a + ib des charakteristischen Polynoms p ist e µt = e at( cos(bt) + i sin(bt) ) und daher Wir betrachten einige Beispiele Re(t r e µt ) = t r e at cos(bt), Im(t r e µt ) = t r e at sin(bt) Beispiel 425 (a) Die Differentialgleichung besitzt das charakteristische Polynom y (t) y (t) + y (t) y(t) = p(λ) = λ 3 λ 2 + λ mit den Nullstellen und ±i Wegen Satz 424 bilden die drei Funktionen e t, cos(t), sin(t) somit ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung Jede Lösung ist daher von der Gestalt y(t) = c e t + c 2 cos(t) + c 3 sin(t) mit beliebigen Koeffizienten c, c 2, c 3 R (b) Das charakteristische Polynom der Differentialgleichung ist gegeben durch y (t) 4y (t) + 3y(t) = p(λ) = λ 2 4λ + 3 und besitzt die beiden konjugierten komplexen Nullstellen 2 + 3i und 2 3i Folglich bilden die beiden Funktionen ein Fundamentalsystem e 2t cos(3t), e 2t sin(3t)

6 KAPITEL 4 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (c) Die Differentialgleichung y (t) 8y (t) + 6y(t) = hat das charakteristische Polynom p(λ) = λ 2 + 8λ + 6 mit der doppelten Nullstelle λ = 4 Wir bekommen somit das Fundamentalsystem e 4t, te 4t und daher die allgemeine Lösung y(t) = (c + c 2 t)e 4t unserer Differentialgleichung Wir gehen zum Abschluss dieses Abschnittes noch kurz auf die Methode der Variation der Konstanten für die Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y (n) + a n y (n ) + + a y + a y = b(t) (425) mit a,, a n R und einer stetigen Funktion b : I R ein Seien y,, y n linear unabhängige Lösungen des zugehörigen homogenen Systems, definiere g(t) gemäß (42) und Y (t) wie in (422) Satz 426 ( Variation der Konstanten ) Unter Verwendung der gerade eingeführten Bezeichnungen bestimme man zunächst eine Lösung c(t) = ( c (t),, c n (t) ) von Y (t)c(t) = g(t) und anschließend beliebige Stammfunktionen C (t),, C n (t) von c (t),, c n (t) Dann ist die Abbildung y p (t) := C (t)y (t) + + C n (t)y n (t) eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung (425) Beweis: Aus Y (t)c(t) = g(t) sowie der Definition von Y (t) und g(t) folgt unmittelbar und c i (t)y (k) i (t) = k =,,, n 2 (426) Die Definition von y p liefert daher induktiv c i (t)y (n ) i (t) = b(t) y p (t) = C i (t)y i (t),

7 44 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HÖHERER ORDNUNG y p(t) = C i(t) y }{{} i (t) + =c i (t) C i (t)y i(t) = c i (t)y i (t) + }{{} = nach (426) C i (t)y i(t) = C i (t)y i(t), y (n ) p (t) = y (n) p (t) = C i (t)y (n ) i (t), C i (t)y (n) i (t) + b(t) Setzt man y p (t) nun in die Differentialgleichung ein, verwendet die Linearität dieser Differentialgleichung sowie die obigen Formeln, so ergibt sich in der Tat, dass y p (t) der Differentialgleichung genügt Wir illustrieren das obige Resultat an einem Beispiel Beispiel 427 Betrachte das Anfangswertproblem Offenbar sind y + 4y = e 4t, y() =, y () = y (t), y 2 (t) := e 4t zwei linear unabhängige Lösungen des zugehörigen homogenen Systems Gemäß Satz 426 bestimmen wir dann zunächst Lösungen c (t), c 2 (t) des Systems ( ) ( ) ( ) e 4t c (t) 4e 4t = c 2 (t) e 4t Offenbar erhalten wir c (t) 4 e 4t und c 2 (t) Als Stammfunktionen können wir 4 daher C (t) := 6 e 4t und C 2 (t) := t wählen Damit ergibt sich als partikuläre Lösung 4 y p (t) = 6 e 4t 4 te 4t Die allgemeine Lösung des inhomogenen Problems ist somit gegeben durch y(t) = α y (t) + α 2 y 2 (t) + y p (t) = α + α 2 e 4t 6 e 4t 4 te 4t mit noch freien Parametern α, α 2 R Anpassung dieser Parameter an die beiden Anfangsbedingungen liefert α = 5, α 6 2 = Die gesuchte Lösung ist also gegeben durch 4 y(t) = e 4t 6 e 4t 4 te 4t, wie man durch unmittelbares Nachrechnen auch sofort verifiziert

8 2 KAPITEL 4 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 45 Lineare Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten Bislang haben wir gesehen, dass lineare Differentialgleichungen, seien es nun Systeme oder solche von höherer Ordnung, im Allgemeinen keine geschlossen angebbare Lösung besitzen, sofern die Koeffizienten nicht konstant sind Handelt es sich bei den Koeffizienten allerdings nicht nur um stetige, sondern sogar um analytische Funktionen, so lassen sich die Lösungen ebenfalls in Potenzreihen entwickeln Für den Spezialfall einer Differentialgleichung zweiter Ordnung formulieren wir das Resultat in dem folgenden Satz Satz 428 Gegeben sei die Differentialgleichung zweiter Ordnung y + p(t)y + q(t)y = (427) mit Funktionen p, q, die beide in eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt t entwickelbar sind und einen Konvergenzradius r > besitzen Dann ist jede Lösung der Differentialgleichung (427) ebenfalls in eine Potenzreihe um t entwickelbar und hat mindestens den Konvergenzradius r Der Satz 428 gilt sinngemäß auch für Differentialgleichungen höherer Ordnung sowie für Differentialgleichungssysteme Auf einen Beweis verzichten wir an dieser Stelle (siehe beispielsweise [3]), da die nachfolgenden Beispiele implizit den Beweis enthalten: Er besteht von seiner Grundidee her aus einem zunächst formalen Rechnen mit Potenzreihen und dem anschließenden Nachweis, dass die als Lösungskandidat erhaltene Potenzreihe tatsächlich den gewünschten Konvergenzradius besitzt und der Differentialgleichung genügt Wir illustrieren diese Vorgehensweise an zwei Beispielen, wobei wir in allen Rechenschritten implizit davon ausgehen, dass die auftretenden Potenzreihen einen positiven Konvergenzradius besitzen und damit die einzelnen Rechnungen tatsächlich gerechtfertigt sind Beispiel 429 ( Airysche Differentialgleichung ) Wir betrachten die Differentialgleichung y ty = und machen einen Lösungsansatz in Form einer Potenzreihe y(t) := c k t k k= mit Entwicklungspunkt t = und gewissen Koeffizienten c k R Formales Ableiten liefert y (t) = (k + )c k+ t k und y (t) = k= (k + )(k + 2)c k+2 t k k=

9 45 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT ANALYTISCHEN KOEFFIZIENTEN3 Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhalten wir (k + )(k + 2)c k+2 t k k= was sich äquivalent schreiben lässt als also 2c 2 + 2c 2 + c k t k+ =, k= (k + )(k + 2)c k+2 t k k= c k t k =, k= [ ] (k + )(k + 2)ck+2 c k t k = k= Mit dem Identitätssatz für Potenzreihen erhalten wir hieraus durch Koeffizientenvergleich das unendliche Gleichungssystem 2c 2 =, (k + )(k + 2)c k+2 c k = k =, 2, Die beiden ersten Koeffizienten c, c bleiben unbestimmt und ergeben sich aus zugehörigen Anfangswerten Ansonsten erhalten wir aus c 2 = sofort Ferner ergibt sich und ganz allgemein c 5 = c 8 = c = = c 3k = k =, 2, c 3 = c 2 3, c 6 = c = c = c !, c 9 = c = c ! 8 9 = c ! c 3k = c (3k ) 3 k k! k =, 2, Analog bekommt man c 3k+ = c 4 7 (3k + ) 3 k k! k =, 2, Als allgemeine Lösung der Airyschen Differentialgleichung erhält man somit ) t y(t) = c ( 3k (3k ) 3 k k! k=

10 4 KAPITEL 4 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN c (t + k= ) t 3k+ 4 7 (3k + ) 3 k k! mit noch freien Konstanten c, c R Um die obigen Rechnungen zu rechtfertigen, hat man sich lediglich davon zu überzeugen, dass diese Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius r > hat und der Differentialgleichung genügt Dies kann mit Standardmethoden geschehen und soll hier nicht ausgeführt werden Man erhält r = + Wir betrachten noch ein zweites Beispiel, das in den Anwendungen häufiger auftritt als das vorige Problem Beispiel 43 ( Hermitesche Differentialgleichung ) Wir betrachten hier die von einen Parameter λ R abhängige Differentialgleichung Mit dem Ansatz erhalten wir k= y 2ty + λy = y(t) := k= c k t k (k + )(k + 2)c k+2 t k 2 (k + )c k+ t k+ + λ c k t k = k= k= 2c 2 + (k + )(k + 2)c k+2 t k 2 kc k t k + λc + λ c k t k = (2c 2 + λc ) + k= k= k= [ ] (k + )(k + 2)ck+2 2kc k + λc k t k = k= Hierbei sind c, c R wieder frei wählbar (bzw an geeignete Anfangsbedingungen anzupassen), während sich die übrigen c k dann rekursiv bestimmen lassen aus der Formel c k+2 = 2k λ (k + )(k + 2) c k k =,, (428) Die zugehörige Potenzreihe konvergiert für alle t R Für c = erhält man eine ungerade Lösung, für c = eine gerade Lösung Tatsächlich erhält man in Spezialfällen die so genannten Hermite Polynome als Lösungen der hier betrachteten Differentialgleichung Sei nämlich c =, c = sowie λ = 4n für ein n N Aufgrund der obigen Ausführungen handelt es sich bei der Lösung y(t) somit um eine gerade Potenzreihe, so dass wir y(t) = c 2k t 2k k=

11 45 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT ANALYTISCHEN KOEFFIZIENTEN5 haben Wegen λ = 4n und (428) sind hierbei aber nur endlich viele Summanden von Null verschieden, und wir erhalten ein Polynom vom Grad 2n, das wir mit H 2n bezeichnen Ist hingegen c =, c = und λ = 4n+2 für ein n N, so erhalten wir eine ungerade Potenzreihe y(t) = c 2k+ t 2k+, k= bei der im Hinblick auf (428) wieder nur endlich viele Summanden nicht verschwinden, so dass wir insgesamt ein Polynom vom Grad 2n + erhalten, das wir mit H 2n+ bezeichnen Die so erhaltenen Polynome H, H, H 2, heißen Hermite Polynome Ihre ersten Vertreter sind gegeben durch H (t) =, H (t) = t, H 2 (t) = 2t 2, H 3 (t) = t 2 3 t3, H 4 (t) = 4t t4 Die Graphen dieser Polynome sind in der Abbildung 4 wiedergegeben Es sei in diesem Zusammenhang noch erwähnt, dass die Hermite Polynome in der Literatur oft mit einem anderen Faktor versehen werden, so dass der Koeffizient vor der höchstens Potenz von H n von der Gestalt 2 n ist Abbildung 4: Die Hermite Polynome H, H 2, H 3 und H 4

12 6 KAPITEL 4 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 46 Die Laplace Transformation Die Methode der Laplace Transformation erlaubt die Umwandlung eines Anfangswertproblems für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten in algebraische Gleichungen Sie erfreut sich insbesondere bei Physikern und Ingenieuren einer großen Beliebtheit und soll aus diesem Grunde hier kurz skizziert werden Mehr zu diesem Thema findet man beispielsweise in [8] Sei f : [, ) R eine gegebene Funktion Dann heißt F (s) := e st f(t)dt die Laplace Transformation von f, wobei stillschweigend (zumindest zunächst) vorausgesetzt wird, dass die Funktion f sich hinreichend gutartig verhält, damit das rechts stehende uneigentliche Integral existiert Für die Laplace Transformierte von f benutzt man auch die Notationen F = Lf, F (s) = L{f(t)}(s) oder f F Wir bezeichnen die Laplace Transformierte im Folgenden meist mit dem jeweiligen Großbuchstaben Ein hinreichendes Kriterium für die Existenz der Laplace Transformierten wird in dem folgenden Resultat angegeben Man beachte in diesem Zusammenhang übrigens, dass wir f als reellwertig gewählt haben und das Argument s ebenfalls als reelle Zahl nehmen, dass man f aber auch als komplexwertige Funktion zulassen könnte und s ebenfalls aus C sein dürfte Satz 43 Sei f auf jedem Intervall der Form [, T ] mit T > (Riemann ) integrierbar und zusätzlich exponentiell beschränkt, also f(t) Ke at t [, ) mit gewissen Konstanten K, a Dann existiert die Laplace Transformierte F von f für alle s > a Beweis: Nach Voraussetzung gilt für jedes s R die Abschätzung e st f(t) = e st f(t) Ke st e at = Ke (a s)t t [, ) Für alle s R mit s > a ist a s somit negativ und das uneigentliche Integral e (a s)t dt daher offenbar konvergent Mit dem Majorantenkriterium für (absolut konvergente) uneigentliche Integrale folgt daher die Behauptung Wir erwähnen noch eine einfache Konsequenz dieses Resultates

13 46 DIE LAPLACE TRANSFORMATION 7 Korollar 432 Existiert die Laplace Transformierte F (s ) von f in einem Punkt s R, so existiert F (s) auch für jedes s s Beweis: Aus der Identität e st f(t) = e (s s )t e s t f(t) t [, ) ergibt sich für alle s s sofort e st f(t) = e (s s )t e s t f(t) e s t f(t) }{{} und daher die Behauptung Das Infimum aller reellen Werte s, für die F (s) existiert, wird als Konvergenzabszisse von f bezeichnet und mit σ f notiert Wegen Korollar 432 ist F (s) dann für alle s > σ f wohldefiniert Wir berechnen im nächsten Beispiel die Laplace Transformation für einige elementare Funktionen f Beispiel 433 (a) Für die konstante Funktion f ist T [ F (s) = lim e st dt = lim ] T T T s e st ( ) = lim T s e st = s s, sofern s > gilt Für s hingegen divergiert das uneigentliche Integral Als Konvergenzabszisse erhalten wir daher σ f = (b) Für f(t) = e at erhält man (mit einer analogen Rechnung wie in Teil (a)) als Laplace Transformierte F (s) = e (a s)t dt = s a, sofern s > a gilt Anderenfalls divergiert das uneigentliche Integral wieder, so dass wir σ f = a erhalten (c) Die Laplace Transformation ist ein linearer Operator, dh, es gilt L(αf + βg) = αl(f) + βl(g) und α, β R, sofern die einzelnen Laplace Transformierten existieren Unter Verwendung des letzten Beispiels folgt daher beispielsweise L ( cosh(at) ) ( ) e at + e at = L = 2 2 L(eat ) + 2 L(e at ) = 2 s a + 2 s + a = s s 2 a 2 für s > max{a, a} = a

14 8 KAPITEL 4 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN (d) Die Heavyside Funktion ist definiert durch {, falls t <, H(t) :=, falls t Sei nun f(t) := H(t a) = {, falls t < a,, falls t a für ein gegebenes a R Als zugehörige Laplace Transformation ergibt sich dann L ( H(t a) ) = a e st dt = e as s für s >, wie man mit einer ähnlichen Rechnung wie in (a) bestätigt (e) Für die Rechteckfunktion {, falls t [a, b), f(t) := H(t a) H(t b) =, sonst ( a < b) ergibt sich aus der Linearität der Laplace Transformation mit Teil (d) unmittelbar für jedes s > F (s) = L ( H(t a) ) L ( H(t b) ) = e as e bs s (f) Für die Rechteckschwingung f(t) := H(t) 2H(t a) + 2H(t 2a) 2H(t 3a) ± (a > ) erhält man für jedes s > als Laplace Transformierte F (s) = ( 2e as + 2e 2as 2e 3as ± ) s ( ) = 2 ( ) k e aks s k= ( ) = ( 2 e as )k s k= = ( ) 2 s + e as = e sa s + e sa = as tanh s 2

15 46 DIE LAPLACE TRANSFORMATION 9 a 2a 3a 4a t Abbildung 42: Die Rechteckschwingung aus dem Beispiel 433 (f) Wir fassen als Nächstes einige (neben der Linearität) der elementaren Eigenschaften der Laplace Transformation in dem folgenden Resultat zusammen Satz 434 Sei F = Lf die Laplace Transformierte einer hinreichend gutartigen Abbildung f Dann gelten: (a) Es ist L { f (k) (t) } (s) = s k F (s) s k f() s k 2 f () f (k ) (), speziell also Lf = sf (s) f() und Lf = s 2 F (s) sf() f () (b) Es ist L { f(at) } (s) = a F ( s a) für jedes a > (c) Es ist L{e at f(t)}(s) = F (s a) für jedes a R (d) Es ist L { f(t a)h(t a) } (s) = e as F (s) für jedes a >, wobei H die Heavyside Funktion bezeichnet Beweis: Aus den hier angegebenen Beweisen wird sich insbesondere ergeben, was unter einer gutartigen Funktion f zu verstehen ist (a) Für ein beliebiges T > gilt nach der Regel der partiellen Integration zunächst T e st f (t)dt = e st f(t) Für hinreichend gutartiges f gilt deshalb T T + s e st f(t)dt L ( f (t) ) (s) = e st f (t)dt

16 KAPITEL 4 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN T = lim e st f (t)dt T = lim T e st f(t) T T + s lim e st f(t)dt T = f() + sl(f) Dies beweist die Aussage (a) für k = Allgemein lässt sich (a) durch Induktion nach k zeigen, was hier im Einzelnen nicht durchgeführt werden soll (b) Mittels Substitution x := at erhält man und damit die Aussage (b) L { f(at) } (s) = = lim T = lim T e st f(at)dt T a at e st f(at)dt e (s/a)x f(x)dx e (s/a)x f(x)dx = a = a L{ (f(t) }( s) a (c) Aus der Definition der Laplace Transformierten erhält man sofort L { e at f(t) } (s) = was gerade die Behauptung (c) ist e st e at f(t)dt = e (s a)t f(t)dt = L { f(t) } (s a), (d) Aus den Definitionen der Heavyside Funktion und der Laplace Transformierten ergibt sich mittels der Substitution x := t a L { f(t a)h(t a) } (s) = = = a e st f(t a)h(t a)dt e st f(t a)dt e s(x+a) f(x)dx = e sa e sx f(x)dx = e sa L { f(x) } (s),

17 46 DIE LAPLACE TRANSFORMATION so dass auch Teil (d) bewiesen ist Wir kommen nun zur Frage der Umkehrung der Laplace Transformation: Ist f durch die Beziehung F = Lf eindeutig bestimmt? Dies ist aufgrund des nachstehenden Resultates in der Tat der Fall, so dass wir statt F = Lf auch f = L (F ) mit der inversen Laplace Transformation L schreiben können Satz 435 (Eindeutigkeit der Laplace Transformation) Seien f und g stetige Funktionen mit L(f)(s) = L(g)(s) für alle s R mit s > σ für ein σ R Dann gilt f g Beweis: Betrachte die Differenzfunktion h := f g und setze H := L(h) Aus der Linearität der Laplace Transformation folgt nach Voraussetzung dann H(s) = für alle s R mit s > σ Speziell gilt somit H(σ + n) = für alle n N Per Definition der Laplace Transformation bedeutet dies e (σ+n)t h(t)dt = n N Mittels der Substitution τ := e t folgt mit ϕ(τ) := e σt h(t) (wobei t = log τ gilt) daher Somit gilt τ n ϕ(τ)dτ = n N p(τ)ϕ(τ)dτ = für alle Polynome p Nun ist ϕ eine stetige Funktion auf dem kompakten Intervall [, ] Daher existiert einerseits eine Konstante M > mit ϕ(τ) M τ [, ], und andererseits lässt sich ϕ beliebig gut durch ein Polynom approximieren Zu gegebenem ε > existiert also ein zugehöriges Polynom q mit ϕ(τ) q(τ) ε τ [, ] Insgesamt erhalten wir damit ϕ(τ) 2 dτ = ϕ(τ) [ ϕ(τ) q(τ) ] dτ + q(τ)ϕ(τ)dτ }{{} =

18 2 KAPITEL 4 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ϕ(τ) ϕ(τ) q(τ) dτ }{{}}{{} M ε M ε Da ε > hierbei beliebig klein sein konnte, folgt sofort ϕ(τ) 2 dτ = Die Stetigkeit von ϕ impliziert daher ϕ(τ) = für alle τ [, ] Aus der Definition von ϕ erhalten wir somit h und daher f g Die Laplace Transformation Lf lässt sich stets durch geeignete numerische Methoden bestimmen In vielen Fällen ist sie sogar explizit bekannt In der Tabelle 4 fassen wir einige Laplace Transformierte mitsamt ihren Konvergenzabszissen zusammen Wir kehren nun zurück zu unserem eigentlichen Thema, der Lösung von Differentialgleichungen Wir betrachten hierzu das Anfangswertproblem y + a y + a y = f(t) (t ), y() = y, y () = y mit gewissen Konstanten a, a R sowie einer stetigen Funktion f : [, ) R Mit den Laplace Transformationen Y = Ly, F = Lf erhält man aus der Differentialgleichung unter Verwendung der obigen Sätze unmittelbar also L(y ) + a L(y ) + a L(y) = L(f) s 2 Y sy() y () + a ( sy y() ) + a Y = F s 2 Y sy y + a (sy y ) + a Y = F, Y (s) = (s + a )y + y + F (s) s 2 + a s + a Durch Anwendung der inversen Laplace Transformation bekommt man nun y Wir illustrieren diese Vorgehensweise an zwei einfachen Beispielen Beispiel 436 Betrachte das Anfangswertproblem y 6y + 9y =, y() =, y () = Durch Laplace Transformation entsteht hieraus s 2 Y s 6(sY ) + 9Y = und damit s 6 Y (s) = s 2 6s + 9 = s 6 (s 3) = s 2 (s 3) 6 2 (s 3) 2 Durch Rücktransformation (vergleiche die Tabelle 4) erhält man die Lösung y(t) = ( + 3t)e 3t 6te 3t = ( 3t)e 3t der gegebenen Differentialgleichung

19 46 DIE LAPLACE TRANSFORMATION 3 f(t) für t F (s) für s > σ f σ f s e at s a s cosh(at) s 2 a 2 sinh(at) cos(at) sin(at) e bt cos(at) e bt sin(at) a a a s 2 a 2 a s s 2 + a 2 a s 2 + a 2 s b (s b) 2 + a 2 b a (s b) 2 + a 2 b t n n! s n+ t n e at n! a (s a) n+ {, t a e sa H a (t) =, t < a s Tabelle 4: Tabelle mit einigen Laplace Transformationen