V.2 Ähnlichkeitsgesetz

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1 V2 Ähnlichkeitsgesetz Die inkompressible Strömung eines Fluids genügt der Kontinuitätsgleichung vt, r = 0 und der Navier Stokes-Gleichung III34 Um den Einfluss der Eigenschaften des Fluids ρ und η bzw ν auf die Strömung zu bestimmen, ist es günstig, eine dimensionslose Form der Navier Stokes- Gleichung zu betrachten Sei L c bzw v c eine charakteristische Länge bzw Geschwindigkeit für eine gegebene Strömung Damit kann man die physikalischen Größen skalieren, um dimensionslose Größen zu erhalten, die hiernach mit bezeichnet werden: r r, v v, t t, P P P 0 L c v c L c /v c ρvc 2, wobei P 0 irgendeinen charakterischen Wert des Drucks bezeichnet Somit lässt sich die inkompressible Navier Stokes-Gleichung umschreiben als v t, r t + v t, r v t, r = P t, r + η v t, r, V9 ρv c L c mit bzw dem Gradienten bzw Laplace-Operator bezüglich der reduzierten Ortsvariable r Diese Gleichung enthält einen einzigen dimensionslosen Parameter, die Reynolds-Zahl Re ρv cl c η = v cl c ν V10 Diese Zahl bildet ein Maß für die relative Wichtigkeit der Trägheits- und Reibungskräfte auf ein Fluidelement oder einen im Fluid untergetauchten Körper: bei großer bzw kleiner Re sind viskose Effekte vernachlässigbar bzw vorherrschend Die Lösungen für die Felder v, P bei gegebenen Randbedingungen werden durch die unabhängigen Variablen t, r, die Reynolds-Zahl und die Geometrie des Problems entsprechend dimensionslosen Verhältnissen von geometrischen Längen festgelegt: v t, r = ft, r, Re, P t, r = gt, r, Re, V11 mit f bzw g einer vektoriellen bzw skalaren Funktion Dann sind Strömungsgeschwindigkeit und Druck gegeben durch vt, r = v cf vc t, r, Re, P t, r = P 0 + ρv 2 vc t L c L cg, r, Re c L c L c Die letzteren Gleichungen liegen der Modellierung in der Fluiddynamik mithilfe Versuchsmodelle in reduziertem Maßstab zugrunde: Es seien L c, v c bzw L M, v M die charakteristischen Länge und Geschwindigkeit für die Strömung in realer Größe bzw im entsprechenden Versuchsmodell, wobei das gleiche Fluid benutzt wird Für v M /v c = L M /L c ist die Reynolds-Zahl für die Modellströmung gleich der Zahl für die Strömung in realer Größe und beide Strömungen sind ähnlich, dh besitzen die gleichen v und P Bemerkungen: Die Navier Stokes-Gleichung enthält keinen Parameter mit der Dimension entweder einer Länge oder einer Geschwindigkeit Deshalb spiegeln L c und v c die Randbedingungen wider Folglich ist die Reynolds-Zahl ist keine Eigenschaft eines Fluids, sondern eine Eigenschaft einer gegebenen Strömung dieses Fluids Wenn die Strömungsgeschwindigkeit durch die Schwerkraft beeinflusst wird, muss deren Kräftedichte g im rechten Glied der inkompressiblen Navier Stokes-Gleichung III34 berücksichtigt werden Dementsprechend tritt auf der rechten Seite der dimensionslosen Gleichung V9 ein zusätzlicher Term proportional zu 1/Fr 2 auf, mit Fr v c / gl c der Froude-Zahl, die ein Maß für das Verhältnis von Trägheitseffekten zu Schwereeffekten darstellt Dann sind v, P Funktionen von t, r und von den Parametern Re und Fr V Strömungen eines Newtonschen Fluids 47

2 Die oben diskutierte Abhängigkeit einer abhängigen Variable v, P von unabhängigen Variablen t, r und einem dimensionslosen Parameter Re stellt ein einfaches Beispiel für das allgemeine π-theorem von Vaschy Buckingham 15 in der Dimensionsanalyse dar, vgl zb 16, Kapitel 7 V3 Strömungen mit kleiner Reynolds-Zahl In diesem Abschnitt werden Strömungen bei kleiner Reynolds-Zahl Re studiert, entsprechend der Vorherrschaft der viskosen Effekte über die Effekte der Trägheit Solche Strömungen werden auch Stokes- oder schleichende Strömungen genannt V31 Relevanz Bewegungsgleichung Die Strömungen mit kleiner Reynolds-Zahl können sehr unterschiedlicher Natur sein, da diese Zahl drei 17 physikalische Größen zusammenbindet, deren Größenordnung um viele Zehnerpotenzen variieren kann: Bewegung mikroskopischer Objekte; dann spiegelt der kleine Wert der Reynolds-Zahl die kleine Längenskala L c wider Für die Bewegung in Wasser η 10 3 Pa s einer Bakterie der Größe L c 5 µm mit der Geschwindigkeit v c 10 µm s 1 ist Re : wenn die Bakterie ihre Propulsionsbewegung stoppt, wird sie sofort durch die Zähigkeit des Wassers! abgebremst 18 Ähnlicherweise dienen schleichende Strömungen auch der Beschreibung der Bewegung von Reptilien in Sand 18 Dynamik einer Suspension von Teilchen kleiner Größe Bewegung geologisches Materials mit kleiner Geschwindigkeit: die kleine v c und die hohe Scherviskosität kompensieren in diesem Fall den möglich großen Wert von L c Beispielsweise entspricht der Bewegung des Erdmantels 19 L c 100 km, v c 10 5 m s 1, ρ kg m 3 und η Pa s eine Reynolds-Zahl Re Alle diese Beispiele stellen inkompressible Strömungen dar, so dass im Folgenden die Inkompressibilität der Strömung angenommen wird Der Einfachheit halber werden nur stationäre Strömungen betrachtet Physikalisch bedeutet eine kleine Reynolds-Zahl, dass die Effekte der Trägheit venachlässigbar gegenüber denjenigen der Viskosität sind Dementsprechend ist der konvektive Term v v klein gegen den viskosen Term Unter den weiteren Annahmen der Stationarität und Inkompressibilität der Strömung vereinfacht sich dann die Navier Stokes-Gleichung III33 zur Stokes-Gleichung P r = η v r V12 Die Navier Stokes-Gleichung wird also linearisiert Unter Verwendung der Relation a r = a r a r und der Definition der Wirbligkeit lässt sich die Stokes-Gleichung als P r = η ω r V13 V14 17 Die Massendichte erhält bei Fluiden etwa immer die gleiche Größenordnung 18 Eine längere Diskussion der Bewegung einer Bakterie durch einen Nobelpreisträger ist in Ref 17 zu finden 19 Mithilfe der Massendichte, der Scherviskosität und der typischen Schallgeschwindigkeit c s 5000 m s 1 für die Transversalwellen lässt sich eine charakteristische Zeitskala t Mantel = η/ρc 2 s 3000 Jahre bilden Für Bewegungen mit einer Zeitskala t c t Mantel verhält sich der Mantel wie ein Festkörper zb für die Ausbreitung von Wellen nach einem Erdbeben, während der Mantel für Bewegungen mit einer geologischen Skala t c t Mantel als eine Flüssigkeit betrachtet werden kann V Strömungen eines Newtonschen Fluids 48

3 umschreiben, wobei die Inkompressibilität der Strömung benutzt wurde Daraus folgt dann 20 P r = 0 V15 Bildet man die Rotation der Gl V14, so verschwindet die linke Seite, während für den rechten Glied die Gl V13 und die Inkompressibilität zu ω r = 0 V16 führen, dh die Wirbligkeit genügt der Poisson-Gleichung V32 Eigenschaften der Lösungen Aus der Linearität der Stokes-Gleichung folgen verschiedene Eigenschaften deren Lösungen: 21 Einzigartigkeit der Lösung bei gegebenen Randbedingungen Überlagerbarkeit der Lösungen: wenn v 1, v 2 die Gl V12 lösen, dann ist λ 1 v 1 + λ 2 v 2 mit λ 1, λ 2 R ebenfalls eine Lösung, vorausgesetzt die Randbedingungen werden entsprechend geändert Die Reynolds-Zahl der neuen Strömung muss aber klein bleiben! Physikalisch bedeutet die Multiplikation eines Geschwindigkeitsfeld v r mit einer Konstante λ die Änderung des Materienstroms, während die Stromlinien II1b unverändert bleiben Den Lösungen v r und λ v r entspricht das gleiche dimensionlose Geschwindigkeitsfeld v mit unterschiedlichen charakteristischen Geschwindigkeiten v c bzw λv c, die wiederum zu unterschiedlichen Reynolds-Zahlen führen Für diese Lösungen hängt also v Gl V11 und dadurch P, Gl V12 nicht von der Reynolds-Zahl ab, sondern nur von der Variable r : v = v c f r/lc Die Tangentialspannung ist dann aus dimensionalen Gründen η v i / x j ηv c /L c, so dass die induzierte Reibungs-Kraft auf ein Objekt der Größe 22 L c proportional zu ηv c L c ist, wie hiernach auf ein Beispiel illustriert wird vgl Gl V21 V33 Strömung um eine Kugel Eine Kugel mit dem Radius R wird in eine Flüssigkeit Massendichte ρ, Scherviskosität η eingetaucht, die weit von der Kugel mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v strömt Abb V4 Es wird angenommen, dass Re = ρ v R/η klein ist, so dass die Strömung im Bereich der Kugel als schleichend betrachtet werden kann v e ϕ e r ϕ Abbildung V4: Stokes-Strömung um eine Kugel Man sucht für die Strömungsgeschwindigkeit eine Lösung der Form v r = v + u r, mit der Randbedingung u r = 0 für r Im Folgenden wird ein Kugelkoordinatensystem mit dem Ursprungspunkt im Zentrum der Kugel benutzt 20 Trotz ihrer Einfachheit ist Gl V15 in der Praxis nicht die nützlichste, da die Randbedingungen für eine Strömung sich in den meisten Fällen auf die Geschwindigkeit beziehen, nicht auf den Druck 21 Beweise können in Ref 4, Kapitel 823 gefunden werden 22 Wie in Abschnitt V2 bemerkt wurde, sind die charakteristischen Skalen durch die Randbedingungen bestimmt V Strömungen eines Newtonschen Fluids 49

4 Dank der Linearität der Gleichung V16 muss u Lösung von u r = 0 V17a sein, sowie von u r = 0, V17b entsprechend der Inkompressibilität der Strömung Um der letzteren Gleichung automatisch zu genügen, wird u r als die Rotation eines Vektorfeldes V r gesucht Dimensionale Betrachtungen deuten auf die Proportionalität dieses Vektorfeldes mit v hin Man macht also den Ansatz 23 V r = fr v = fr v, mit fr einer Funktion von r = r, dh f hängt nur vom Abstand zur Kugel ab: außer der Richtung von v, die im Ansatz schon berücksichtigt wird, gibt es keine weitere bevorzugte Richtung, so dass f kugelsymmetrisch ist Somit gilt dank der Relation V13 und der Identität fr v = fr v u r = V r = fr v fr v V18 Die Rotation des ersten Terms im rechten Glied ist null, trägt also nicht beim Einsetzen von u r in Gleichung V17a bei: u r = fr v = fr v, so dass fr v = 0 Da fr unabhängig von den Azimutal- und Polarwinkeln ist, hat fr nur eine Komponente entlang der radialen Richtung mit Einheitsvektor e r, und kann somit nicht immer parallel zu v sein Deshalb muss fr selbst verschwinden Außerdem prüft man komponentenweise die Identität fr = fr nach, so dass die obige Gleichung sich als fr = Konstante umschreiben lässt Die Konstante muss Null sein, da es sich um die vierten Ableitungen von fr handelt, während die Geschwindigkeit u r, die nur von den zweiten Ableitungen abhängt Gl V18, bei r verschwindet Es gilt also fr = 0 In Kugelkoordinaten lautet der Laplace-Operator = 2 r ll + 1 r r r 2, mit l einer ganzen Zahl, die vom Winkelanteil abhängt Wegen der Kugelsymmetrie des Problems für f soll hier l = 0 genommen werden Macht man den Ansatz fr = C/r α, so wird fr = 0 nur für α = 0 or 1 erfüllt; mit Gl V18 und der Bedingung u r 0 für r ist nur α = 1 möglich Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung ist dann durch fr = d2 fr dr r dfr dr fr = A + B r + C 2 r = C r V19a V19b 23 Mit dem anscheinend einfacheren Ansatz u r = fr v wäre u r immer senkrecht auf v, so dass v r bei der Kugeloberfläche nicht verschwinden könnte V Strömungen eines Newtonschen Fluids 50

5 gegeben, wobei die zwei ersten Terme im rechten Glied die allgemeine Lösung der assoziierten homogenen Differentialgleichung darstellen, während der dritte Term eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist Gleichungen V18 und V19 führen zum Geschwindigkeitsfeld u r = B r r 3 + C 2 r r = B v 3 e r v er r 3 C 2 v C r v = B v 3 r 3 + C v C 2 r r v v + r Die Randbedingungen für die Strömungsgeschwindigkeit v r = v + u r bei der Kugeloberfläche lauten v r =R = 0, dh 1 B R 3 C 3B v + 2R R 3 C er v er = 0 2R Dies gilt für jeden e r vorausgesetzt B = R3 6B und C = 4 R 2 = 3R, was führt zu 2 v r = v 3R v + R 3 v 4r 4r 3 3 V20 Das Einsetzen dieser Strömungsgeschwindigkeit in die Stokes-Gleichung V12 liefert den Druck P r = 3 2 ηr e r v r 2 + Konstante Somit erhält man die mechanische Spannung III29 in einem Punkt der Oberfläche der Kugel Nach Integration ergibt sich die durch die Strömung geübte Kraft auf die Kugel F = 6πRη v V21 Dieses Resultat wird als Stokes-Gesetz bekannt Bemerkungen: Das Geschwindigkeitsfeld für die Potentialströmung eines idealen Fluids um eine Kugel mit dem Radius R ist 24 v r = v + R3 2r 3 v 3 e r v er Die zugehörige Abnahme der Geschwindigkeit ist viel steiler als für eine Stokes-Strömung V20, entsprechend dem Transport von Impuls durch die Viskosität in der Letzteren Die Näherung einer durch die Stokes-Gleichung beschriebenen Strömung mit kleiner Reynolds- Zahl gilt nur in der Nähe der Kugel Im Limes η 0, dh eines idealen Fluids, verschwindet die Kraft auf die Kugel V21: dies stellt ein Beispiel vom d Alembertschen Paradoxon dar Der Proportionalitätsfaktor zwischen Geschwindigkeit und Kraft wird als Beweglichkeit bzw Mobilität µ bezeichnet Laut Gl V21 gilt für eine Kugel in einer Stokes-Strömung µ = 1/6πRη In seinem berühmten Artikel über die Brownsche Bewegung 19 hat Einstein diese Beweglichkeit mit dem Diffusionskoeffizienten D suspendierter Kugeln in einer ruhenden Flüssigkeit verknüpft: D = µk B T = k BT 6πRη Perrin konnte diese Formel Stokes Einstein-Gleichung experimentell bestätigen und dadurch die Avogadro-Konstante bestimmen und die diskontinuierliche Struktur der Materie nachweisen Dies wird zb in Landau Lifschitz Problem 2 gezeigt V Strömungen eines Newtonschen Fluids 51