Methoden zum Lösen von Rekursionsgleichungen

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1 Rekursionsgleichungen... Slide 1 Methoden zum Lösen von Rekursionsgleichungen Bisher wurde Expandieren der Rekursion + Raten der Gesetzmäßigkeit benutzt, um einfache Rekursionsgleichungen zu lösen. Zum Beispiel: 1. Rekursionsgleichung B 1 = 1 und B n = 1+B n/2 hat die Lösung B n = 1+logn. 2. Rekursionsgleichung C 1 = 0 und C n = 2C n/2 +n hat die Lösung C n = nlogn. Ziel dieses Abschnittes ist es, weitere Techniken zum Lösen von Rekursionsgleichungen zur Verfügung zu stellen.

2 Rekursionsgleichungen... Slide 2 Lineare Rekursionsgleichungen k-ter Ordnung Eine Rekursionsgleichung der Form mit den Anfangsbedingungen x n = a 1 x n 1 + +a k x n k +b k x 0 = b 0,...,x k 1 = b k 1 heißt lineare Rekursionsgleichung k-ter Ordnung. Wir nennen die Rekursionsgleichung im Falle b k = 0 homogen und im Falle b k 0 inhomogen.

3 Rekursionsgleichungen... Slide 3 Homogene Lineare Rekursionsgleichungen 1-ter Ordnung Expandieren der Rekursion liefert die folgende Lösung: x n = ax n 1 und x 0 = b 0 x n = ax n 1 = a 2 x n 2 = = a n x 0 = a n b 0. Beispiel: Die Rekursion zur Weizenkornlegende lautet x n = 2x n 1, x 0 = 1. Sie hat die Lösung x n = 2 n. Gemäß der Weizenkornlegende befinden sich auf dem Feld i des Schachbrettes (mit den Feldern 0,1,...,63) demnach 2 i Weizenkörner. Insgesamt also: 63 i=0 2 i = =

4 Rekursionsgleichungen... Slide 4 Inhomogene Lineare Rekursionsgleichungen 1-ter Ordnung Expandieren der Rekursion x n = ax n 1 +b 1 und x 0 = b 0 liefert die folgende Lösung: x n = ax n 1 +b 1 = a(ax n 2 +b 1 )+b 1 = a 2 x n 2 +(a+1)b 1 = a 2 (ax n 3 +b 1 )+(a+1)b 1 = a 3 x n 3 +(a 2 +a+1)b 1 = a n x 0 +(a n 1 +a n 2 + +a+1)b 1 b 0 +nb 1, falls a = 1 = a n b 0 + an 1 a 1 b 1, falls a 1

5 Rekursionsgleichungen... Slide 5 Beispiel: Sparen mit Zins und Zinseszins Am Anfang eines Monats: 250 EUR auf s Bankkonto. Am Ende eines Monats: 0,5% Verzinsung. Frage: Nach wieviel Jahren ist eine Million angespart? Für den nach n Monaten angesparten Betrag x n gilt x 0 = 0 und ( x n = ) (x n ) = 1.005x n Diese inhomogene lineare Rekursionsgleichung 1-ter Ordnung hat die Lösung x n = n = (1.005 n 1). Dieser Betrag überschreitet 1 Million erst ab n = 610 Monaten, also ab 50 Jahren und 10 Monaten.

6 Rekursionsgleichungen... Slide 6 Homogene lineare Rekursionsgleichungen 2-ter Ordnung In der Rekursion x n = a 1 x n 1 +a 2 x n 2 und x 1 = b 1,x 0 = b 0 seien a 1,a 2 nicht beide gleich Null. Es seien α,β mit α β die Lösungen der Gleichung t 2 a 1 t a 2 = 0 und A = Dann gilt: b 1 βb 0 α β, falls α β b 1 αb 0 α, falls α = β x n = Im Spezialfall b 0 = 0,α β ergibt sich:, B = Aα n Bβ n, falls α β (An+B)α n, falls α = β b 1 αb 0 α β, falls α β b 0, falls α = β.. A = B = b 1 α β, x n = b 1 α β (αn β n ).

7 Rekursionsgleichungen... Slide 7 Anwendung: Fibonacci-Zahlen Die Fibonacci-Folge ist gegeben durch die folgende homogene lineare Rekursionsgleichung 2-ter Ordnung: F n = F n 1 +F n 2 und F 1 = 1,F 0 = 0. Die Gleichung t 2 t 1 = 0 t 2 t+ 1 4 = ( t 1 2 ) 2 = 5 4 t = 1 2 ± 5 2 hat die Lösungen α = (1+ 5)/2 und β = (1 5)/2. Es folgt und somit F n = 1 5 ( A = B = 1 α β = ) n ( 1 ) n 5. 2

8 Rekursionsgleichungen... Slide 8 Beispiel: Kombinatorik auf Wörtern Für die Anzahl x n der Wörter aus {a,b} n ohne zwei aufeinander folgende a s gilt nach der Summenregel x n = x n 1 +x n 2 und x 1 = 2,x 0 = 1. Hierbei repräsentiert x n 1 die auf b und x n 2 die auf ba endenden Wörter der gewünschten Form. Vergleich mit F n liefert die Lösung x n = F n+2.

9 Rekursionsgleichungen... Slide 9 Rekursionsgleichungen vom Typ Divide&Conquer Folgende Rekursionsgleichung modelliert den Zeitaufwand einer rekursiven Prozedur bei Aufteilung eines Problems der Größe n in a Teilprobleme der Größe n/c: T(n) = at(n/c)+bn und T(1) = b. Term bn repräsentiert die Anzahl der Rechenschritte zum Aufteilen des Problems in Teilprobleme und zum Zusammenfügen der Teillösungen zu einer Gesamtlösung (Annahme eines linearen Overhead ). Term at(n/c) repräsentiert die Anzahl der Rechenschritte zum Lösen der Teilprobleme. Die Rekursionsgleichung hat die Lösung θ(n), falls a < c, T(n) = θ(nlogn), falls a = c, θ(n log c a ), falls a > c.

10 Rekursionsgleichungen... Slide 10 Beweis durch Expandieren der Rekursion Wir setzen der Einfachheit halber n = c k voraus. Mit r = a/c ergibt sich: T(n) = at(n/c)+bn = a(at(n/c 2 )+bn/c)+bn = a 2 T(n/c 2 )+(r +1)bn = a 2 (at(n/c 3 )+bn/c 2 )+(r+1)bn = a 3 T(n/c 3 )+(r 2 +r +1)bn = a k T n/c k +(r k 1 + +r +1)bn = bn k r i, wobei a k T n/c k = a k T 1 = a k b = (a/c) k bn = bnr k ausgenutzt wurde. Für a = c ergibt sich wegen r = 1 die Lösung (k+1)bn = θ(nlogn). Für a < c ergibt sich wegen r < 1 die Lösung T(n) = θ(n), da i 0 ri = 1/(1 r) (geometrische Reihe). Für a > c ergibt sich die Lösung T(n) = bn rk+1 1 r 1 i=0 = θ(nr k ) = θ(a k ) = θ(a log c n ) = θ(n log c a ).

11 Rekursionsgleichungen... Slide 11 Anwendungsbeispiele Die Laufzeit der rekursiven Prozedur MERGESORT läßt sich abschätzen durch die Rekursionsgleichung Somit gilt T(n) = θ(nlogn). T(n) = 2T(n/2)+bn und T(1) = b. Bei der Multiplikation großer Zahlen benötigten wir beim naiven Verfahren 4 Aufrufe auf Zahlen der halben Bitlänge, wohingegen ein raffinierteres Verfahren nur 3 solche Aufrufe benötigte. Dies führte im ersten Fall auf die Rekursion T 1 (n) = 4T 1 (n/2) + bn mit Lösung T 1 (n) = θ(n log4 ) = θ(n 2 ) und im zweiten Fall auf die Rekursion T 2 (n) = 3T(n/2) + bn mit Lösung T 2 (n) = θ(n log3 ) = θ(n ).

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