Protokoll E 3 - Wheatstonesche Messbrücke

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1 Protokoll E 3 - Wheatstonesche Messbrücke Martin Braunschweig Andreas Bück 1 Aufgabenstellung 1. Der ohmsche Widerstand einer Widerstandskombination ist in einer Wheatstoneschen Brückenschaltung mit Gleichstrom zu messen. 2. Der Widerstand ist aus den bekannten Einzelwiderständen zu berechnen und mit dem Messergebnis von 1.1 zu vergleichen. 3. Die Kapazitäten zweier Kondensatoren sind einzeln sowie in Reihen- und Parallelschaltung in einer Wechselstrombrücke in Wheatstone-Schaltung zu messen. 4. Die Induktivität einer Spule ist mit der Wechselstrombrücke zu bestimmen. 5. Der Widerstand der Kombination, die Kapazitäten beider Kondensatoren und die Induktivität der Spule sind mit Hilfe einer technischen Kleinmessbrücke nach Wheatstone zu überprüfen. 2 Grundlagen des Versuchs Ziel des Versuches ist es Widerstände, Kapazitäten bzw. Induktivitäten experimentell mit Hilfe einer Wheatstoneschen Messbrücke zu bestimmen. Die Wheatstonesche Brückenschaltung besteht aus einem Vergleichswiderstand Z n und dem zu messenden Widerstand Z x. Zu denen wird ein Präzisionswendelpotentiometer (eine veränderbare Widerstandskombination ) bestehend aus den Widerständen R 1 und R 2 derart parallel geschaltet, dass sich folgende Gleichung ergibt: R 1 = Z x = x R 2 Z n l x ϕ 3 = ϕ 4 (1) Dabei ist x der Ablesewert des Potentiometers (= R 1 ), l die Gesamtlänge der Ableseskala des Potentiometers und l x ist R 2. Die Schaltung sollte bei x = l/2 abgeglichen sein, weil dort die relative Messunsicherheit am geringsten ist. 38

2 Abbildung 1: Wheatstonesche Messbrücke (allgemein) Abbildung 2: Wheatstonesche Messbrücke (Versuchsanordnung) Die in Abb. 2 dargestellte Messbrückenschaltung nach Wheatstone ermöglicht es Z x aus dem Verhältnis der Widerstände R1/R2 und einem Vergleichsobjekt Z n zu ermitteln. Z x und Z n sind jeweils ohmsche Widerstände, Induktivitäten oder Kapazitäten. Zur ohmschen Widerstandsmessung wird die Versuchsanordnung mit Gleichstrom, ansonsten mit Wechselstrom betrieben. R 1 und R 2 sind Teil des Präzisionswendelpotentiometers, an dem man deren Verhältnis beliebig regeln kann. Das sich im Zweig CD bendende Oszilloskop gibt die Spannung U CD an. Bei abgeglichener Brücke ist diese Null, d.h.: R 1 R 2 = Z x Z n Es gilt: U AC = U AD daraus folgt : R 1 I 1 = Z x I 3 ebenso gilt: U CB = U DB und R 2 I 2 = Z n I 4 Die Abgleichbedingung bei Kapazitäten ist: C n C x = R 1 R 2 (2) und die Bedingung fr Induktivitäten ist: 39

3 L x L n = R 1 R 2 (3) Eine Besonderheit besteht bei der Messung an Induktivitäten. Es ist zu beachten, dass L x und L n die Wirkwiderstände R x und R n besitzen. Zum Abgleich der Brücke muss das Verhältnis der Wirkwiderstände gleich dem Verhältnis der Induktivitäten sein. Deshalb wird zur Messung der Induktivitäten ein veränderbarer Widerstand zu einer der beiden Spulen in Reihe geschaltet, damit ist: R x R n = Z x Z n = R 1 R 2 (4) Fr die Widerstandskombination (Widerstandswürfel) gelten folgende Zusammenhänge: die 12 Kantenwiderstände sind alle gleich (R = 390Ω) Vereinfachungen bei der Widerstandsberechnung sind durch auftretende Potentialgleichheit zwischen bestimmten Eckpunkten des Würfels bei der jeweiligen Schaltung möglich Abbildung 3: Widerstandswürfel Abbildung 4: Gesamtkantenwiderstand des Würfels 40

4 Abbildung 5: Flächenwiderstand des Würfels Abbildung 6: Raumdiagonalenwiderstand des Würfels Eine Gröÿe F, die von n fehlerbehafteten (z. B. durch Messungen gewonnene) Gröÿen abhängt, ist dadurch auch fehlerbehaftet. Nach dem Fehlerfortpanzungsgesetz (siehe [4], S. 6) erhält man den Fehler der Gröÿe F = f(v 1,..., v n ) nach folgender Gleichung: F = n i=1 F v i v i (5) Hierbei ist v i der systematische Fehler der Gröÿe v i. Die Entwicklung des linearen Fehlerfortanzungsgesetzes für dieses Experiments ist unter Messunsicherheiten zu nden. 41

5 3 Versuchsaufbau Abbildung 7: schematischer Versuchsaufbau Dabei sind Z x der zu messender Widerstand, Z n der Vergleichswiderstand, R 1, R 2 die Einzelteile des Präzisionswendelpotentiometers, A...D die Knotenpunkte, i 1...i 4 die Zweigströme und OS Oszilloskop 4 Messergebnisse Tabelle 1: Aufgabe 1.1 & Aufgabe 1.2 Z N in Ω x l - x Z x R ber in Ω Würfelkante 200 5,3 4,7 225,53 227,5 Flächendiagonale 300 4,94 5,06 292,88 292,5 Raumdiagonale 300 5,18 4,82 322,4 325,0 Tabelle 2: Aufgabe 1.3 C N in µf x l - x C x in µf Einzelmessung von 1 1,5 4,11 5,89 2,15 Einzelmessung von 2 3,3 4,51 5,49 4,02 Parallelschaltung 1 und 2 6,8 3,92 6,08 10,55 Reihenschaltung 1 und 2 6,8 7,87 2,13 1,84 42

6 Tabelle 3: Aufgabe 1.4 L N in mh R in Ω x l - x L x f=430hz 2,86 0,1 5,31 4,69 3,23 f=1500hz 2,86 0,1 5,42 4,58 3,38 Tabelle 4: Aufgabe 1.5 (Kleinmessbrücke) Ohmscher Widerstand Induktivität Kapazitäten Ablesewert berechneter Wert Vergleichswert Würfelkante 224 Ω 224 Ω 200 Ω Flächendiagonale 295 Ω 295 Ω 300 Ω Raumdiagonale 325 Ω 325 Ω 300 Ω 3,6 3,43 mh 2,86 mh C 1 2,12 2,12 µf 1,5 µf C 2 1,26 7,86 µf 3,3 µf C 1 C 2 1,88 10,85 µf 6,8 µf C 1 C ,04 µf 6,8 µf 5 Messunsicherheiten Die Gröÿe Z x wurde mit Z x = Z n x l x berechnet. Mit dem linearen Fehlerfortpanzungsgesetz ergibt sich Z x = Z x Z n Z n + Z x x x (6) Für die einzelnen Fehler ergeben sich folgende Gleichungen: Z n = x l x Z n + Z l n (l x) x (7) L x = Ablesewert 3 L n + L n 3 Ablesewert (8) C x = 3 Ablesewert C n + 3C n Ablesewert Ablesewert (9) Alle bekannten Bauteile weisen eine systematische Messunsicherheit von ±5 %. Die Kleinmessbrücke hat einen Fehler von ±1, 5 %. 43

7 6 Diskussion Man kann bemerken, dass die gemessenen Werte keine groben Abweichungen zu denen mit der technischen Messbrücke ermittelten Werten aufweisen. dies deutet zumindest darauf hin, dass keine groben Fehler beim Versuch gemacht wurden. Um die Messwerte noch genauer zu machen, sollte man die Genauigkeit der Widerstandsnormalen und die des Präzisionswendelpotentiometers verbessern, da diese die Fehlergrenzen deutlich reduzieren wrden. 7 Zusammenfassung Aufgabe 1.1: Aufgabe 1.2: Aufgabe 1.3 Aufgabe 1.4 Aufgabe 1.5: R W K = (225, 53 ± 11, 28) Ω R F D = (292, 88 ± 14, 65) Ω R RD = (322, 40 ± 16, 12) Ω R bw K R bf D R brd = 227, 50 Ω = 292, 50 Ω = 325, 00 Ω C 1 = (2, 15 ± 0, 11) µf C 2 = (4, 02 ± 0, 20) µf C 1 C 2 = (10, 55 ± 0, 53) µf C 1 C 2 = (1, 84 ± 0, 09) µf L x = (3, 38 ± 0, 17) mh R W K = (224, 00 ± 3, 36) Ω R F D = (295, 00 ± 4, 43) Ω R RD = (325, 00 ± 4, 88) Ω L x = (3, 43 ± 0, 05) mh C 1 = (2, 12 ± 0, 03) µf C 2 = (7, 86 ± 0, 12) µf C 1 C 2 = (10, 85 ± 0, 16) µf C 1 C 2 = (2, 04 ± 0, 03) µf 44

8 Literatur [1] Wilhelm Walcher, u.a, Praktikum der Physik, Teubner Verlag, 2003, 8. Auage [2] Lutz Engelmann u. a., Formeln und Tabellen fr die Sekundarstufen I und II, paetec Verlag, 1998, 6. Auage [3] Günther Mhlbach, Repetitorium der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Binomi-Verlag, 2002, 2. Auage, S. 112 [4] Helmut Vogel, Gerthsen Physik, Springer Verlag, 1997, 19. Auage, S. 6 [5] Harry A. Watson Jr., Mathematical Approximation and Documentation, Quality Assessment Directorate, Naval Warfare Assessment Centre, S. 31 (bes. S. 38), [6] Hinweise zum Physik-Praktikum, Messunsicherheiten 45