Protokoll M1 - Dichtebestimmung

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1 Protokoll M1 - Dichtebestimmun Martin Braunschwei Andreas Bück 1 Aufabenstellun 1. Die Dichte eines Probekörpers (Kuel) ist aus seiner Masse und den eometrischen Abmessunen zu bestimmen. Die Verteilun der Messwerte ist zu analysieren und die Messunsicherheiten sind zu bestimmen. (1) Für die Bestimmun des Durchmessers (Einmalmessun) wird ein Messschieber benutzt. (2) Für die Bestimmun des Durchmessers (Einmalmessun) wird eine Büelmessschraube benutzt. () Zur Bestimmun des Durchmessers mittels Büelmessschraube erfolt eine Mehrfachmessun (50 Messwerte). Es sind der Mittelwert, die Standardabweichun und der Vertrauensbereich ( statistische Wahrscheinlichkeit P = 99,7 %) zu berechnen. (4) Die Masse des Probekörpers ist durch Wäun auf einer Feinwaae zu bestimmen. (5) Die Dichte des Probekörpers ist aus dem Volumen nach 1.1 bzw 1.2 und der Masse m nach 1.4 direkt zu berechnen. Es ist die Messunsicherheit der Dichte zu berechnen, die sich durch lineare Fehlerfortpflanzun aus den systematischen Messabweichunen der experimentell bestimmten Größen eribt. () Die Dichte des Probekörpers ist durch Kombination der Messerebnisse aus 1.2 und 1.4 aller Versuchsruppen an Kueln leicher Dichte (Farbe), aber unterschiedlicher Masse/Größe durch lineare Reression zu bestimmen. Die funktionale Abhänikeit m = f(v ) und die Reressionserade sind raphisch darzustellen. 2 Grundlaen des Versuchs Wie aus der Aufabenstellun entnehmbar, soll die Dichte eines kuelförmien Probekörpers bestimmt werden. Die Dichte ϱ ist definiert als ϱ = m V, k [ϱ] = (1) m = Da das Volumen der Kuel mit den zur Verfüun stehenden Mitteln nicht direkt bestimmt werden kann, sondern nur der Durchmesser der Kuel, ist es notwendi das Volumen V über die eometrischen Abmessunen auszudrücken: Setzt man nun (2) in (1) ein, so erhält man: V = π d, [V ] = m = (2) 1

2 ϱ = m πd () Der Mittelwert x einer Größe x ermittelt sich aus n Messwerten x 1... x n folendermaßen ([2], S. ): x = 1 n n x i (4) Die Standardabweichun lässt sich durch diese Gleichun berechnen (siehe [1], S. 112): s x = 1 n (x i x) n 1 2 (5) Da auch der Mittelwert x streut, ibt es hier eine Abweichun. Diese lässt sich mit s x = s x t () n berechnen, wobei t den soenannten Student-Faktor bezeichnet. Dieser hänt von der zuelassenen Streuunsbreite um den Mittelwert x ab, sowie der Anzahl der vorenommenen Messunen. Um Aufabe 1. zu lösen, ist es notwendi die Größe ϱ durch lineare Reression zu bestimmen. Dabei erhält man die Gleichun einer Geraden, die von den Messwerten den kleinsten Abstand hat. Diese Gerade (Reressionserade) der Abhänikeit y = f(x) kann laut ([5], S. 1 ff.) und ([4], S. 55) über diese Gleichun berechnet werden: y ȳ = r xy s y (x x) (7) s x x bzw. ȳ bezeichnen die Mittelwerte der für die Größen x und y vorhandenen Messwerte und s x bzw s y deren Standardabweichunen. Der Faktor r xy wird als Korrelationskoeffizient bezeichnet und lässt sich mit n r xy = (x i x)(y i ȳ) n (x i x) 2 n (y (8) i ȳ) 2 berechnen (n ist die Anzahl der vorhandenen Messwerte). Eine Größe F, die von n fehlerbehafteten (z. B. durch Messunen ewonnene) Größen abhänt, ist dadurch auch fehlerbehaftet. Nach dem Fehlerfortpflanzunsesetz (siehe [2], S. ) erhält man den Fehler der Größe F = f(v 1,..., v n ) nach folender Gleichun: F = n F v i v i (9) Hierbei ist v i der systematische Fehler der Größe v i. Die Entwicklun des linearen Fehlerfortflanzunsesetzes für dieses Experiments ist unter Messunsicherheiten zu finden. 2

3 Versuchsaufbau Der Durchmesser der Kuel wird mit Hilfe eines Messschiebers (Aufabe 1.1) bzw. einer diitalen Büelmessschraube (Aufabe 1.2, 1.) bestimmt. Die Masse der Kuel wird mit Hilfe einer Feinwaae ermittelt. Abbildun 1: Messschieber Abbildun 2: diitale Büelmessschraube 4 Messerebnisse (1.1) Einzelmessun des Durchmessers der Kuel mit Hilfe eines Messschiebers d = 17, mm mit dem systematischer Fehler: d sys = ±0, 1 mm (1.2) Einzelmessun des Durchmessers der Kuel mit Hilfe einer diitalen Büelmessschraube ˆd = 17, 41 mm mit dem systematischer Fehler: ˆd sys = ±0, 001 mm (1.) Mehrfachmessun mit Büelmessschraube (n = 50) Die Messerebnisse sind in der Tabelle 1 auf Seite 4 darestellt. Berechnun des arithmetischen Mittelwerts, der Standardabweichun und des Vertrauensbereichs 1. Das arithmetische Mittel des Durchmessers d berechnet sich nach (4) aus den Werten von Tabelle (1) und eribt: d = 1 n d i = 17, 5 mm 50

4 Tabelle 1: die 50 mit der Büelmessschraube emessenen Durchmesser der Kuel Messwert Nr. i d i in mm Messwert Nr. i d i in mm 1 17, ,8 2 17, ,7 17, , , , , ,782 17, , , , ,494 17, , , , 5 17, ,945 17, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Daraus eribt sich nach (5) diese Standardabweichun: s d = 1 n (d i 49 d) 2 = 0, 1787 mm. Nach der Gleichun () besitzt der Mittelwert d die Abweichun (der Student-Faktor hat nach ([], S. 518) bei n = 50 und P = 99, 7% den Wert t =, 157): s dzuf =, 157 s d 50 = 0, 0798 mm Damit eribt sich ein Vertrauensbereich von d s dzuf d d + s dzuf (10) Mit den berechneten Werten eribt sich ein Vertrauensbereich von 17, 57 mm d 17, 7 mm 4

5 (1.4) Bestimmun der Masse der Kuel mit Hilfe einer Feinwaae m =, 521 hier beträt der systematische Fehler: m sys = ±1 m (1.5) Berechnun der Dichte 1. Setzt man den Wert von 1.1 in () ein:, 521 ϱ = = 1, 299 π (1, 7 cm) 2. mit dem Wert aus Aufabe 1.2 einesetzt in (): ˆϱ =, 521 = 1, 29 π (1, 741 cm) Bei ϱ und ˆϱ handelt es sich noch nicht um endültie Werte, da hier die Messunsicherheit ϱ noch nicht berücksichtit wurde. Diese Größe wird im Abschnitt Messunsicherheiten berechnet. Damit eribt sich dann für die Dichte (am Beispiel ϱ): ϱ = ( ϱ ± ϱ) (1.) Bestimmun der Reressionseraden und rafische Darstellun von m = f(v ) Tabelle 2: Die Messerebnisse der einzelnen Gruppen mit ebenfalls blauen Kueln, sowie deren Volumen und die quadratischen Abweichunen der Größen m und V von ihrem Mittelwert Nr m in d in cm V in (m m) 2 in 2 (V V ) 2 in cm 1 1,885 1,442 1,572 0,0 0, ,05 1,578 1, ,04 1,1 1,189 0,88 0,8 0,79 4 2,252 1,55 1,888 0,04 0,04 5 2,857 1,4 2,282 0,4 0,4 0,5 0,999 0,52 1,97 1,95 7,521 1,741 2,879 2,15 1,81 Summe 14,99 11,928 5,,88 V wurde nach Gleichun (2) berechnet. Nach (4) und (5) ereben sich folende Mittelwerte m und V bzw. die Standardabweichunen s m und s V : m = 2, 057 V = 1, 704 s m = 0, 99 s V = 0, 804 5

6 Um die Ausleichserade für die Messwerte berechnen zu können, muss der Korrelationskoeffizient r V m bestimmt werden. Dazu muss n (V i V )(m i m) bestimmt werden. Man erhält: n (V i V )(m i m) = 4, 44 Mit diesen Werten und Tabelle 2 lässt sich dann der Korrelationskoeffizient r V m unserer Abhänikeit m = f(v ) berechnen: r V m = 4, 44 = 0, 994, 88 cm 5, 2 Daraus eribt sich folende Gleichun der Reressionseraden m r : m r = r V m s m (V V ) + m = s V Aus Gleichun (1) folt unmittelbar: 0, 994 0, 99 0, 804 (V 1, 704 ) + 2, 057 = 1, 198 (V 1, 704 cm ) + 2, 057 = 1, 198 V + 0, 02 cm m = ϱ V. Bezoen aus unsere Gleichun für die Reressionserade eribt sich, dass der Faktor 1, 198 cm (der Anstie der Geraden) der Dichte des Probekörpers entspricht. ϱ = 1, 198 Der Versatz von 0, 02 eribt sich aus Messunenauikeiten der einzelnen Gruppen. Die raphische Darstellun von m = f(v ) sowie der Reressionserade ist in Abbildun auf Seite 7 zu finden. 5 Messunsicherheiten Die Gleichun (9) anewandt auf die Funktion ϱ = f(d, m) eribt folende Funktion zur Ermittlun der Gesamtmessunsicherheit des Wertes ϱ: ϱ = ϱ m + ϱ m d d Nach dem Einsetzen von () eht diese Gleichun über in: ϱ = m + 18m πd πd 4 d Da ilt: d : d 0 kann diese Gleichun auch so eschrieben werden:

7 Abbildun : Dieses Diaramm zeit die Messwerte der anderen Gruppen mit Kueln aus dem selben Material als m = f(v ) (ekennzeichnet durch ) sowie die Reressionserade m r = f(v ) = 1, 198 cm V + 0, 02 ϱ = 18m m + πd πd 4 d Setzt man die Werte d, ˆd und m aus Aufabe 1.1, 1.2 bzw 1.4 ein, sowie die systematischen Messfehler d sys, ˆd sys und m sys so ereben sich folende Messunsicherheiten: ϱ = = ˆϱ = π d m sys + 18m π d d sys 4 18, 521 0, π (1, 7 cm) (1, 7 cm) 4 0, 01 cm = 0, 04 = π ˆd m sys + 18m π (1, 741 cm) = 0, π ˆd 4 ˆd sys 18, 521 0, , 0001 cm π(1, 741 cm) 4 7

8 Diskussion Mit dieser Versuchsanordnun ist es mölich die Dichte des Probekörpers ziemlich enau zu bestimmen. Die auftretenden Messunsicherheiten beim Messen des Durchmessers sehen wir darin beründet, dass es sich beim Probekörper nicht um eine ideale Kuel handelte. Sie wies Unreelmäßikeiten in der Oberfläche auf, die dadurch zu unterschiedlichen Messwerten führten. Damit sind auch alle Größen, die vom Durchmesser d abhänen (z. B. das Volumen) auch fehlerbehaftet. Der ermittelte Wert für die Masse ist ebenfalls fehlerbehaftet, da bei dem durch Wäun ewonnenen Wert der Auftrieb der Kuel in der Luft vernachlässit wurde. Eine womölich bessere Variante zur Ermittlun der Dichte des Probekörpers ist unserer Meinun nach, die direkte Bestimmun des Volumens über Volumendifferenzmessun in einem mit einer bekannten flüssikeit efüllten Gefäß (z. B. Messzylinder). Damit umeht man die Unvollkommenheit der Kuel. Auf weitere Ausführunen wird an dieser Stelle verzichtet. 7 Zusammenfassun Im Experiment wurden folende Größen ermittelt: (1.1) Die Einmalmessun mit dem Messchieber erab d = (17, ± 0, 1) mm (1.2) Die Einmalmessun mit einer diitalen Büelmessschraube erab für die Kuel diesen Wert: d = (17, 4 ± 0, 001) mm (1.) In dieser Aufabe wurde durch Mehrfachmessun der Durchmesser der Kuel bestimmt. Daraus eribt sich folender Mittelwert: sowie die Standardabweichun d = 17, 5 mm s d = 0, 1787 mm und ein Vertrauensbereich bei P = 99, 7% von: 17, 57 mm d 17, 7 mm (1.4) Die mittels Feinwaae ermittelte Masse beträt: m = (, 521 ± 0, 001) 8

9 (1.5) Die aus den Werten von Aufabe 1.1 und 1.4 berechnete Dichte (mit Messunenauikeit) beträt: ϱ 1 = (1, 299 ± 0, 04) Desweiteren berechnete sich aus den Werten von Aufabe 1.2 und 1.4 diese Dichte: ϱ 2 = (1, 29 ± 0, ) (1.) In dieser Aufabe wurde die Dichte der Kuel durch lineare Reression aus den Messwerten der anderen Gruppen mit ebenfalls blauen Kueln berechnet. Die Reressionserade hatte folende Gleichun: m r = 1, 198 V + 0, 02 cm die Dichte der Kuel konnte daraus ermittelt werden: ϱ = 1, 198 Wie bereits erwähnt, eribt der Versatz von 0, 02 aus Messunenauikeiten. Literatur [1] Günther Mühlbach, Repetitorium der Wahrscheinlichkeitsrechnun und Statistik, Binomi-Verla, 2002, 2. Auflae, S. 112 [2] Helmut Voel, Gerthsen Physik, Spriner Verla, 1997, 19. Auflae, S. [] Heribert Stroppe, Physik für Studenten der Natur- und Inenieurwissenschaften, Fachbuchverla Leipzi, 200, 12. Auflae, S. 518 [4] Lutz Enelmann u. a., Formeln und Tabellen für die Sekundarstufen I und II, paetec Verla, 1998,. Auflae, S. 55 [5] Harry A. Watson Jr., Mathematical Approximation and Documentation, Quality Assessment Directorate, Naval Warfare Assessment Centre, S. 1ff (bes. S. 8), 9