Reiner Winter. Analysis. Aufgaben mit Musterlösungen

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1 Reiner Winter Analysis Aufaben mit Musterlösunen. Aufabe: Geeben sei die Funktion ƒ(x) 5 x5 4 x mit x IR +... Untersuchen Sie die Funktion ƒ(x) auf Symmetrie, Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion ƒ(x) in ein unteres Koordinatensystem:.. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von ƒ(x) und der x-achse berenzt wird... Bilden Sie diejenie Stammfunktion F von ƒ, die durch den Koordinatenursprun eht. Welche Eienschaften hat diese Stammfunktion F?.4. Zeichnen Sie den Funktionsraphen von F in ein oberes Koordinatensystem über G f und deuten Sie anhand der Zeichnun das Erebnis von (.) eometrisch.

2 re-wi. Aufabe: Geeben: ƒ a (x) 5 x5 4 x, a IR. Ableitunen: Lösun Aufabe ƒ'(x) x 4 4x ƒ''(x) 4x 8x ƒ'''(x) x 8.. Symmetrie: ƒ( x) 5 ( x) 5 4 ( x) ( 5 x5 4 x ) ƒ(x), d.h.: ƒ ist punktsymmetrisch zu P(, ).. Nullstellen: ƒ(x) 5 x5 4 x x ( 5 x 4 ) x 5 x 4 x x x x ± 4. Extrempunkte: a) Notwendie Bedinun: ƒ'(x) IL f {,58 / /,58} ƒ'(x) x 4 4x x (x 4) x x 4 x x ± IL f' {,, } b) Hinreichende Bedinun: ƒ'(x) ƒ"(x). Einsetzen der Werte von IL f' in die. Ableitun: ƒ ''(x) 4x 8x: ƒ"() keine Aussae mölich. ƒ"( ) 4( ) 8. ( ) 6 < f hat bei x - ein lok Maximum. Ween der Punktsymmetrie: f hat bei x + ein lokales Minimum. c) Funktionswerte berechnen und Punkte aneben: ƒ( ) 4,7 GI f hat bei T(, 4,7) einen lokalen Hochpunkt. Ween Punktsymmetrie ilt: GI f hat bei H(+ / 4,7) einen lokalen Tiefpunktpunkt. 5. Wendepunkte: a) Notwendie Bedinun: ƒ''(x) ƒ''(x) 4x 8x x (4x 8) x 4x 8 x x ± IL f'' {,, } {,4,,,4}. b) Hinreichende Bedinun: ƒ''(x) ƒ"'(x). Einsetzen der Werte von IL f'' in die. Ableitun: ƒ '''(x) x 8: ƒ"'(,4) (,4) 8 6 > f hat bei x,4 eine RL-Wendestelle. ƒ"'() 8 < f hat bei x eine LR-Wendestelle Ween der Punktsymmetrie ilt: f hat bei x,4 eine RL-Wendestelle.

3 re-wi c) Funktionswerte berechnen und Punkte aneben: ƒ(,4),6 GI f hat bei W (,4, 4) einen RL-Wendepunkt. ƒ() GI f hat bei W (,) einen LR-Wendepunkt. Das ist ween ƒ'() zuleich auch ein Sattelpunkt. Ween Punktsymmetrie ilt: GI f hat bei W (,4,,6) einen RL-Wendepunkt. Zeichnun 6 y H 5 4 W Sattelpunkt W 4 x - - W T.. Flächenberechnun. Ween Punktsymmetrie ilt: A. ( 5 x5 4 x )dx. [ x6 x4 ] ( ( )6 ( )4 ) Durch Interation von ƒ(x) erhalten wir: F(x) x6 x4 + c, mit c IR.. Da laut Vor. F() ist, ilt: c. Also ist: F(x) x6 x4. a) Nullstellen von F(x): Da c ist, können die Nullstellen leicht berechnet werden: F (x) x6 x4 x 4 ( x ) x x x x ±. IL F {,6,,,6} b) Extrempunktevon F (x): Die Funktion f(x) ist die Ableitun der Stammfunktion F(x). Da nun aus der Zeichnun von G f folt, daß f(x) F' (x) an der Stelle x einen Vorzeichenwechsel VZW( /+) hat, ilt: F(x) hat bei x,58 ein lokales Minimum. Ebenso: F'(x) hat bei x einen VZW(+/ ) F(x) hat bei x ein lokales Maximum. F'(x) hat bei x,58 einen VZW( /+) F(x) hat bei x,58 ein lokales Minimum. Funktionswerte: F (,58 ) 4, d.h. wir haben die folenden Extrempunkte für F(x): 8 T (,58, 4 8 ), H(, ), T (,58, 4 ) Siehe Zeichnun: 8

4 4 re-wi.4. a) Zeichnun von f(x) und F(x): H x y F(x) x6 x4 - s F( ) F() - ( ( )6 ( ) ) T -5 T ƒ (x) 5 x5 4 x y A A ( 5 x5 4 x )dx [ F(x) ] A x F( ) F() ( ( )6 ( ) b) Interpretation und Erläuterun: Der Flächeninhalt A ( 5 x5 4 x )dx unterhalb der Funktion f(x) entspricht der Strecke s F( ) F() bezülich der Stammfunktion F(x) Der esamte Flächen inhalt A A + A entspricht aus Symmetrieründen dann dem doppelten Wert von A., also A A. 4

5 re-wi 5. Aufabe: Geeben sei die Funktionenschar: ƒ a (x) 5 x5 + a x mit dem Parameter a IR +... Setzen Sie a und untersuchen Sie die Funktion ƒ (x) auf Symmetrie; Nullstellen; Extrempunkte und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion ƒ (x) in das untere Koordinatensystem:.. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche; die vom Graphen von ƒ (x) und der x-achse berenzt wird... Bilden Sie diejenie Stammfunktion F von ƒ ; die durch den Koordinatenursprun eht. Welche Eienschaften hat diese Stammfunktion F?.4. Zeichnen Sie den Funktionsraphen von F in das obere Koordinatensystem und deuten Sie anhand der Zeichnun das folende Interal: ƒ (x) dx eometrisch..5. Bestimmen Sie die Variable a IR + so; daß die Fläche zwischen der x-achse und dem Graphen von ƒ a einen Flächeninhalt von 5 6 FE annimmt.

6 6 re-wi Lösun. Aufabe Geeben: ƒ a (x) 5 x5 + a x ; a IR +. Für a erhalten wir: ƒ (x) 5 x5 + x.. Ableitunen: ƒ '(x) x 4 + x ƒ ''(x) 4x + 6x ƒ '''(x) x Symmetrie: ƒ( x) 5 ( x) 5 + ( x) ( 5 x5 + x ) ƒ(x); d.h.: ƒ ist punktsymmetrisch zu P(; ).. Nullstellen: ƒ(x) 5 x5 + x x ( 5 x + ) x 5 x + x x 5 x x ± 5 IL f { 5; ; 5} { ;4; ; ;4} 4. Extrempunkte: a) Notwendie Bedinun: ƒ'(x) ƒ '(x) x 4 + x x ( x + ) x x + x x ± IL f' { ; ; } { ;7; ; ;7} b) Hinreichende Bedinun: ƒ'(x) ƒ"(x). Einsetzen der Werte von IL f' in die. Ableitun: ƒ ''(x) 4x + 6x: ƒ"() keine Aussae mölich. ƒ"( ;7) 4( ;7) + 6. ( ;7) ;78 > f hat bei x ;7 ein lok Minimum. Ween der Punktsymmetrie: f hat bei x ;7 ein lokales Maximum. c) Funktionswerte berechnen und Punkte aneben: ƒ( ;7) ;8 GI f hat bei T( ;7; ;8) einen lokalen Tiefpunkt. Ween Punktsymmetrie ilt: GI f hat bei H(;7; ;8) einen lokalen Hochpunkt. 5. Wendepunkte: a) Notwendie Bedinun: ƒ''(x) ƒ ''(x) 4x + 6x x ( 4x +6) x 4x + 6 x x ± IL f'' { ; ; } { ;; ; ;}. b) Hinreichende Bedinun: ƒ''(x) ƒ"'(x). Einsetzen der Werte von IL f'' in die. Ableitun: ƒ '''(x) x + 6: ƒ"'( ;) ( ;) + 6 ;86 < f hat bei x ; eine LR-Wendestelle. ƒ"'() 6 > f hat bei x eine RL-Wendestelle Ween der Punktsymmetrie ilt: f hat bei x ; eine LR-Wendestelle. 6

7 re-wi 7 c) Funktionswerte berechnen und Punkte aneben: ƒ( ;) ;8 GI f hat bei W ( ;; ;8) einen LR-Wendepunkt. ƒ() GI f hat bei W (;) einen RL-Wendepunkt. Das ist ween ƒ'() zuleich auch ein Sattelpunkt. Ween Punktsymmetrie ilt: GI f hat bei W (;; ;8) einen LR-Wendepunkt. Zeichnun H Sattelpunkt W W W T.. Flächenberechnun. Ween Punktsymmetrie ilt: A. 5 ( 5 x5 + x )dx. [ x6 + 4 x4 ] ( ( 5) ( 5) 4 ). Durch Interation von ƒ (x) erhalten wir: F (x) x6 + 4 x4 + c; mit c IR.. Da laut Vor. F () ist; ilt: c. Also ist: F (x) x6 + 4 x4. a) Nullstellen von F (x): Da c ist; können die Nullstellen leicht berechnet werden: F (x) x6 + 4 x4 x 4 ( x + 4 ) x x + 4 x x ± b) Extrempunktevon F (x): 5 ±. IL F { ;74; ; ;74} Die Funktion f (x) ist die Ableitun der Stammfunktion F (x). Da nun aus der Zeichnun von (.) folt; daß f (x) F' (x) an der Stelle x 5 einen Vorzeichenwechsel VZW(+/ ) hat; ilt: F (x) hat bei x 5 ein lokales Maximum. Ebenso: F' (x) hat bei x einen VZW( /+) F (x) hat bei x ein lokales Minimum. F' (x) hat bei x + 5 einen VZW(+/ ) F (x) hat bei x 5 ein lokales Maximum. Funktionswerte: F ( 5) 5 ; d.h. wir haben die Punkte: H ( 5 ; 5 ) ; T(; ); H ( 5 ; 5 ). Siehe Zeichnun:

8 8 re-wi.4. a) Zeichnun von f (x) und F (x): H H F (x) x6 + 4 x4 s F () F () ( ) T 6 ƒ (x) 5 x5 + x A f (x)dx [F (x) ] F () F () ( ) 6 b) Interpretation und Erläuterun: Der Flächeninhalt A f (x)dx unterhalb der Funktion f (x) entspricht der Strecke s F () F () bezülich der Stammfunktion F (x) 8

9 re-wi 9.5. Zunächst bestimmen wir allemein für a IR + die Nullstellen von ƒ a (x): ƒ a (x) 5 x5 + a x x ( 5 x + a ) x 5 x + a x x 5 a x x ± 5 a IL f { 5 a; ; 5 a}. Da ƒ a (x) punktsymmetrisch zum Ursprun ist und die Fläche zwischen x-achse und Graph im Intervall [; 5a] laut (.) oberhalb der x-achse liet; ilt für die Gesamtfläche A: A. 5 a ( 5 x5 + a x )dx und laut Aufabenstellun soll: A 5 sein. Also folt: 6 5. [ 6 x6 + a 5 a 4 x4 ] ( ( 5 a) 6 + a. 4 ( 5 a)4 ). (. 5 a 6 + a. 4. 5a 4 ). ( 5 6 a a6 ).5 6 a6 5 6 a6 Also folt schließlich die Gleichun: a6 a 6 a a. Da laut Voraussetzun aber a IR + ist; folt als Lösun: a. Erebnis: Für a hat die Fläche zwischen der x-achse und dem Graphen von ƒ a einen Flächeninhalt von 5 6 FE.

10 re-wi. Aufabe Geeben seien zwei quadratische Funktionen: ƒ(x) x + 8 und (x) x +.. Berechnen Sie die Nullstellen der beiden Funktionen und zeichnen Sie die beiden Parabeln in ein Koordinatensystem... Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den beiden Graphen GI f und GI berenzt wird... Betrachten Sie die Differenzfunktion d(x) ƒ(x) (x) und bilden Sie dazu diejenie Stammfunktion, die durch den Koordinatenursprun eht. Zeichnen Sie den Funktionsraphen in das obere Koordinatensystem..4. Deuten Sie anhand der Zeichnun das Erebnis aus Aufabe...5. Die beiden Funktionen ƒ und sind Spezialfälle den beiden Funktionsscharen: ƒ a (x) a x + a und a (x) a x + a wenn man für a einsetzt. Bestimmen Sie allemein für ein beliebies a IR + \ {} die beiden Scheitelpunkte und die Nullstellen der beiden parabelförmien Funktionsscharen..6. Bestimmen Sie die Variable a ], [ so, daß die Fläche zwischen den beiden Graphen einen maximalen Inhalt annimmt.

11 re-wi.. Lösun. Aufabe ƒ(x) x + 8 : ( ) x 4 x x (x) x +. ( ) x 4 x x Beide Parabeln haben die leichen Nullstellen. Der Scheitelpunkt von ƒ liet bei (/8) und der von bei (/). Die Zeichnun lautet demnach: ƒ A.. Für die Fläche A zwischen ƒ und ilt: A (f(x) (x))dx (ween Symmetrie!). Nun ilt: ƒ(x) (x) ( x + 8) ( x + ) x x x + 6 Also A... ( x + 6)dx. [ x + 6x ]. [( 4 + ) ] 6 Wir bilden die Differenzfunktion d(x) ƒ(x) (x), die wir oben bei der Flächenberechnun ja schon bestimmt haben: d(x) x + 6. Es ist eine quadratische Funktion: d A* Die Fläche A zwischen ƒ(x) und (x) ist enau so roß wie die Fläche A* unterhalb der Differenzfunktion d(x), denn es ilt ja: A (f(x) (x))dx. d(x)dx A*

12 re-wi Wir bilden nun zu dieser Differenzfunktion d(x) x + 6 die Stammfunktion D(x), das ist diejenie Funktion, deren Ableitun wieder d(x) ist, d.h. es muß D'(x) d(x) elten. Wir ewinnen die Stammfunktion durch die Interationsformeln: D(x) x + 6x + C. Die Konstante C ist leich Null, weil nach Voraussetzun die Stammfunktion D(x) ja durch den Koordinatenursprun ehen soll. Es ilt also: D(x) x + 6x. a) Wir berechnen die Nullstellen von D(x): D(x) x + 6x x. ( x + 6) x x + 6 x x x x x IL {,, } b) Wir berechnen die Extrema von D(x): Da D'(x) d(x) ilt, sind die Extremstellen von D(x) leich den Stellen, die bei d(x) einen Vorzeichenwechsel haben. Also ilt: D(x) hat bei x ein lokales Maximum und bei x ein lokales Minimum. Da D() und D( ) ( ) + 6. ( ) 8 ist, so haben wir die folenden Extrempunkte von D(x): Hochpunkt H(/8) und Tiefpunkt T( / 8). H(/8) D(x) T( / 8) d(x) + +

13 re-wi.4. Interpretation der Stammfunktion D(x): D() 8 D(x) s Die Strecke s: s D() D( ) 8 ( 8) 6 d(x)dx D(-) 8 A d(x) Der Flächenninhalt A: A d(x)dx D() D( ) 8 ( 8) 6

14 4 re-wi.5 ƒ a (x) a x + a und a (x) a x + a mit der Bedinun: a ] /[ Da < a < ilt, so ist stets a < a, d.h., der Graph von a (x) liet oberhalb des Graphen von ƒ a (x): A a (x) a +a f a (x) Beide Funktionenscharen schneiden sich auf der x Achse an den Stellen a und + a. Die allemeine Formel für den Flächeninhalt A zwischen ƒ a und a beträt: a A [ a (x) f a (x)]dx (Ween Achsensymmetrie) a [ ( a x + a) ( a x + a )]dx a ( a x + a + a x a )dx [ a [( a x a x + ax + a a x ] + aa + a a a a) ()] ( a + a + a4 a 4 ) ( a + a + a 4 a 4 ) ( a a 4 ) a 4 (a a 4 ) Damit haben wir eine allemeine Formel für den Flächeninhalt A in Abhänikeit vom Parameter a efunden. Wir schreiben daher auch A(a), um diese Abhänikeit der Fläche A von der Variablen a auszudrücken. Es ilt also: A(a) 4 (a a 4 ) für alle Werte von a ]/[. Wir wollen nun für einie konkrete Werte von a die dazuehörien Flächen raphisch veranschaulichen: 4

15 Zu.5: Überblick über die Fläche A(a) für a ]/[ zwischen ƒ a (x) a x + a und a (x) a x + a a, a, a, a,4 a,5 f f f f f f a,6 a,7 f f a,8 f a,9 f a,99 6

16 6 re-wi.6. Bestimmun des Maximums der Fläche A(a) Die Frae ist jetzt, für welche Werte a ]/[ der Flächeninhalt A(a) 4 (a a 4 ) am rößten ist. Dazu setzen wir a x und betrachten die Hilfsfunktion: h(x) 4 (x x 4 ). Sie ordnet jedem x ( a) den Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionen f a und a zu. Dort, wo die Hilfsfunktion h ihr Maximum hat, ist der Flächeninhalt am rößten. Also müssen wir nun die lokalen Maxima der Funktion h(x) im Intervall ]/[ berechnen:. Notwendie Bedinun: h' (x) h' (x) 4 (x 4x ) x 4x x ( x ) x x x x x x x x x x x x x + da aber x a ]/[ ist, ilt nur: IL {+ }. Hinreichende Bedinun: h' (x) h'' (x) [ h'' (x) 4 ( x ) ] h'' ( ) 4 ( ( ) ) 4 ( 6) 6 <, d.h. h(x) hat bei x,7 ein lokales Maximum. Der y-wert lautet: h( ) 4 (( ) ( ) 4 ) 4 ( 4 ) Also lautet der lokale Hochpunkt: H( / ), Flächeninhalt A(a) H( / ) Parameter a Damit ist die Aufabe elöst. Der Flächeninhalt A(a) 4 (a a 4 ) ist innerhalb des Intervalls ]/[ für x,7 am rößten. Er beträt dann A( ). 6

17 re-wi 7 4. Aufabe Geeben sei die quadratische Parabel: ƒ(x) 4x x. 4.. Berechnen Sie die Nullstellen und den Scheitelpunkt von ƒ und zeichnen Sie GI f in ein unteres Koordinatensystem. 4.. Bilden Sie die Stammfunktion F von ƒ, welche die y-achse bei y schneidet. Zeichnen Sie aufrund von GI f den Graphen der Stammfunktion F in ein oberes Koordinatensystem. 4.. Berechnen Sie die Differenz F( ) F() und interpretieren dieses Erebnis eometrisch anhand der beiden einezeichneten Funktionsraphen GI f und GI F Geeben sie die Funktion ƒ(x) x und ein Parameter a aus dem Intervall a [/]. Dann entstehen nach der folenden Konstruktion zwei Flächen A und A : ƒ(x) x a A A a a) Setzen Sie a und berechnen Sie die beiden Flächeninhalte A und A. b) Bestimmen Sie allemein für a [/] die Flächeninhalte A (a) und A (a) in Abhänikeit von a. c) Bilden Sie die Summe A(a) A (a) + A (a) und untersuchen Sie, für welches a [/] die Summe A(a) am am kleinsten ist. Tip: Sie können die Aufabe vereinfachen, wenn Sie die Erebnisse von (.) bis (.) benutzen.

18 8 re-wi Lösun 4. Aufabe F(x) 4 x x + F( ) F() [ 4 ( ) ( ) + ] [ ] [ ] [ ] s F( ) F() 4 Da F( ) < F() ist, ilt: F( ) F() <! Flächeninhalt A entspricht der Streckenläne s ƒ(x) 4x x f(x) dx [ 4 x x] 4 ( ) ( ) 6 4 A Es ilt also: f(x) dx F( ) F(). Das Erebnis ist neativ, weil die entsprechende Fläche A unterhalb der x- 8

19 re-wi 9 5. Aufabe. Geeben sei die Funktion: f(x) x x, x D f.. Führen Sie eine vollständie Funktionsuntersuchun durch, indem Sie Definitionsbereich, Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte bestimmen.. Zeichnen Sie den Graphen G f in ein Koordinatensystem ( E cm ).. Bestimmen Sie den Grenzwert: lim ƒ'( h) mit h > und interpretieren Sie das h Erebnis eometrisch..4 Zeien Sie, dass f an der Stelle x nicht differenzierbar ist... Lösun I. Definitionsbereich: D f {x R x } ] ; ] II. Nullstellen: f(x) x x x x x x III. Ableitunen: ƒ'(x) 4 x x + x x ( ) ƒ''(x) 4 x( x ) x x x (8 x) x 8 x 5 x x ( ) (8x 5x x Achtun: Dƒ ' D f \ { } ] ; [ ) x x (8 x) x ( x) + (8x 5x ) ( x) ( 8 x) ( x) + x (8x 5x ) 4x 6x + x ( x) + 8x 5x 5x 48x + ( x) Auch hier ilt: Dƒ '' D f \ { } ] ; [

20 re-wi IV. Extrempunkte: a) Notwendie Bedinun ƒ'(x ) 8 x 5 x 8x 5 x x (8 5 x) x x 8 5 x,6 b) Hinereichende Bedinun: VZW von ƒ': ( da der Nenner x > ) braucht man nur den Zähler zu betrachten: z( ) < ; z() > ; z(,8),8 <, das heißt: f hat bei x einen VZW( /+) und bei x 8,6 einen VZW(+/ ), also hat f bei x 5 ein lokales Minimum und bei x 8 5,6 ein Lokales Maximum. c) y-werte: f() T(/) lokaler Tiefpunkt ; f( 8 ),4 H (,6 /,4) lokaler Hochpunkt. 5 V. Wendepunkte: a) Notwendie Bedinun ƒ'' (x ) 5x 48x + 5 x 48x + : 5 ( x) x,x +, x,6 ±,, x,95 x,55. Da,55 D f so ilt nur x,95 b) Hinreichende Bedinun: VZW von ƒ'': ( da der Nenner ( x) > ) braucht man nur den Zähler zu betrachten: z() > ; ƒ'' () < ; das heißt, f ist vor,95 linksekrümmt und nach,95 rechtsekrümmt. Also ilt: f hat bei x,95 eine LR-Wendestelle. c) y-wert: f(,95),84 LR-W(,95/,84)... Zeichnun: y H W - N T x

21 re-wi.. Wir bilden zuerst: ƒ'( h) 8( h ) 5( h ) ( h) 6 8h + h 5h 4 Da nun lim h ( h ) und lim h (5 h h h + h 5 h h. 6 8h 5( 4 4h + h ) h h 4 + h 5h h ) ilt; und ferner lim 4 ( h ) h ist, ilt schließlich: lim ƒ'( h) (d.h. der Term ist bestimmt diverent een ) h Geometrische Interpretation: - y N T W H h und h ; d.h. x h x Die Steiunen der Tanenten von f(x) werden für h (h > ) immer kleiner und nähern sich der Geraden: G {P(x/y) x }, die zur y-achse parallel verläuft. Diese Gerade ist selbst aber keine Tanente von f(x); denn eine Tanente hat stets die Form einer linearen Funktion t(x) mx + b mit einer konkreten Steiun m R. Demnach hat f(x) an der (definierten) Stelle x D f keine Tanente, ist dort also nicht differenzierbar Nachweis, daß f an der Stelle x nicht (auch nicht einseiti!) differenzierbar ist. Dazu betrachten wir den Differenzenquotienten: Wir haben für h > die Punkte: Q( h/f( h)) und P(/), y dann betrachten wir den linksseitien Grenzwert: l-lim f ( h) h h ( ) l- lim h ( h) ( h) h W H Q( h/f(-h)) l-lim h (8 8h + h ) h h l- lim ( h 8 h 8 h + h h.) - N T P(/) x Da nun l- lim h ( 8 h ) und l- lim ( h h h ) ilt; und ferner l- lim h ( 8 ) ist, so heißt dies, dass f an der Stelle h x nicht differenzierbar ist, dort also keine Tanente mit einer reellen Steiun m R besitzt.