Übungen zum Ferienkurs Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015 / 16

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1 Übunen zum Ferienkurs Physik für Elektroinenieure Wintersemester 2015 / 16 Rupert Heider Nr Aufabe 1 : Flieender Pfeil Sie schießen vom Boden aus einen Pfeil in einem Winkel α zur Horizontalen mit einer Geschwindikeit v 0 = 60 m s ab. a) Wie weit und wie hoch fliet der Pfeil, falls Sie ihn unter einem Winkel von α = 30 abschießen? b) Unter welchem Winkel α 1 müssen Sie den Pfeil abschießen, damit seine Reichweite maximal wird? Wie weit fliet er? c) Unter welchem Winkel α 2 müssen Sie den Pfeil abschießen, damit seine vertikale Auftreffeschwindikeit maximal wird? Wie hoch fliet er? Lösun Es ilt die allemeine Beweunsleichun x(t) = x 0 + v x t a xt 2 y(t) = y 0 + v y t a yt 2 mit x 0 = y 0 = 0, v x = v 0 cos(α), v y = v 0 sin(α), a y = und a x = 0 erhält man daraus folende, vereinfachte Beweunsleichunen x(t) = v 0 cos(α)t y(t) = v 0 sin(α)t 1 2 t2 a) Reichweite: Der Pfeil treffe zur Zeit t 1 auf dem Boden auf. Dann ilt y(t 1 ) = 0 ( v 0 sin(α) 1 ) 2 t 1 t 1 = 0 t 1 = 2v 0 sin(α) Setzt man dies nun in x(t) ein, so erhält man die Reichweite x(t 1 ) = 2v2 o sin(α) cos(α) =: x max (α) und damit eribt sich x max (30 ) 318 m 1

2 Höhe: Der Pfeil sei zur Zeit t 2 am höchsten Punkt. Damit ilt dann ẏ(t 2 ) = 0 v 0 sin(α) t 2 = 0 t 2 = v 0 sin(α) Setzt man dies nun in y(t) ein, so erhält man die Höhe y(t 2 ) = v2 0 sin2 (α) v2 0 sin2 (α) 2 = v2 0 sin2 (α) 2 =: y max (α) und damit eribt sich y max (30 ) = 45, 0 m b) Um die Reichweite zu maximieren muss man die Gleichun für x max ableiten: dx max (α) dα = 0 α=α1 2v2 0 ( ) cos 2 (α 1 ) sin 2 (α 1 ) = 0 tan 2 (α 1 ) = 1 α 1 = 45 um so den Winkel für die macimale Reichweite zu erhalten. Setzt man nun α 1 in die Gleichun für x max ein so erhält man eine maximale Reichweite von x max (α 1 ) 367 m c) Die maximale vertikale Auftreffeschwindikeit erhält man natürlich bei einem Abschusswinkel von α 2 = 90 ( da v x = const.). Man erhält damit für die Höhe einen Maximalwert von y max (α 2 ) = 180 m 2

3 Aufabe 2 : Skilift Eine Person (Masse m = 80 k) wird von einem Skilift (Schlepplift) eine 35 steile Skipiste hinaufezoen. Der Reibunskoeffizient zwischen den Skiern und dem Schnee beträt µ = 0, 2. a) Welche Kraft muss der Skilift aufwenden, damit die Person nach dem Einhänen mit einer konstanten Geschwindikeit nach oben ezoen wird? b) Welche Leistun hat der Skilift, wenn er die Person die Skipiste mit einer Geschwindikeit von v = 10 km h hinaufzieht? Lösun a) Damit man nach dem Einhänen mit einer konstanten Geschwindikeit nach oben ezoen wird, darf resultierend keine Kraft wirken. Es wirken einerseits die Kraft des Skilifts F L in Richtun Berspitze, die Reibunskraft F R und die zur Piste parallele Komponente der Gravitationskraft F G hineen in Richtun Tal. Man erhält also F L = F R + F G = µf N + m sin α = µm cos α + m sin α = m (µ cos α + sin α) = 590 N b) Der Lift wendet entlan einer Strecke s die Kraft F L auf und verrichtet damit die Arbeit W = F L s. Es eribt sich also für seine Leistun (1) P = W t = F L s t = F L v = 1639 W Aufabe 3 : Bezussysteme Ein Eisenbahnwaen fährt mit einer Geschwindikeit v 0 Gepäckablae fällt ein Geenstand auf den Boden. = 100 km h. Von einer 2 m hohen a) Nach welcher Zeit trifft er auf dem Boden des Waens auf? b) Welche Bahnform der Fallbeweun sieht ein im Waen sitzender Fahrast? c) Welche Bahnform sieht ein neben dem Gleis stehender Beobachter? Geben Sie sowohl die zeitabhänie Bahnkurve r(t), sowie die ortsabhänie Bahnkurve z(x) an. Lösun a) Es ilt z(t) = h 1 2 t2 3

4 und beim Auftreffen auf dem Boden 0 =! z(t 0 ) = h 1 2 t2 0 2h t 0 = = 0, 64 s b) Fahrast und Geenstand befinden sich beide im Bezussystem des Eisenbahnwaens. der Fahrast sieht einen "freien Fall". c) Für die Bahnkurve des Geenstandes ilt x(t) v 0 t r(t) = y(t) = z(t) 0 h 2 1 t2 und daraus folt Elimination von t liefert x(t) = v 0 t z(t) = h 1 2 t2 z(x) = h 1 2 x2 v 2 0 Die Bedinun z(x) = 0 liefert das Auftreffen am Boden bei 2hv 2 0 x = = 17, 7 m Die Bahnkurve entspricht also einem horizontalen Wurf mit Starthöhe 2 m und einem 17, 7 m entfernten Auftreffen am Boden. Aufabe 4 : Corioliskraft Ein Zu der Masse 100 t fährt durch München (48 nördliche Breite) mit einer Geschwindikeit von 200 km h enau nach Norden. a) Wie roß ist die Corioliskraft? b) In welche Richtun zeit diese Kraft? c) Welchen Kurvenradius müsste der Zu fahren, damit eine leichroße Zentrifualkraft wirkt? 4

5 Lösun a) Die Corioliskraft ist allemein definiert als FC = 2m ( v ω) Für die Winkeleschwindikeit ω der Erde ilt ω = 2π T = 7, s Im Falle des sich mit v nach Norden beweenden Zues am Breitenrad φ eribt sich ein Betra der Corioliskraft von FC = 2m v ω sin φ = 600 N b) Die Kraft zeit nach Osten (siehe Skizze, die Corioliskraft zeit in die Bildebene hinein) c) In einem raumfesten Bezussystem wirkt die Corioliskraft auf die östliche Schiene und drückt diese nach Osten. Die Zentrifualkraft bei der Fahrt durch eine Kurve mit Radius r ist F Z = m v2 r d.h. der Kurvenradius, den der Zu fahren müsste, um dieselbe Kraft auf die Schienen auszuüben wie F C, wäre r = mv2 = 513 km F C und die Wirkun der Corioliskraft auf die Schienen kann somit vernachlässit werden. Aufabe 5 : Sprunschanze Eine Masse M leitet ohne zu rollen im Schwerefeld der Erde ( = 9, 81 m s 2 ) aus der Ruhelae reibunsfrei eine schiefe Ebene mit dem Neiunswinkel α = 30 hinab, wird umelenkt und sprint zur Zeit t = 0 unter dem Winkel α von einer Sprunschanze. Sie landet schließlich bei d = 120 m (Abstand Sprunschanze - Auftreffpunkt). Das Ende der Schanze befindet sich h 2 = 10 m über dem Boden. Der Tiefpunkt (kurz vor der Schanze) ist h 1 = 2 m unterhalb des Endes der Schanze. 5

6 a) Berechnen Sie die kinetische Enerie der Masse am Schanzentisch in Abhänikeit von der Höhe h des Startpunkts S. b) Beschreiben Sie die Beweunen in x- und y-richtun der Masse ab dem Zeitpunkt des Verlassen des Schanzentisches als Funktion der Zeit t. c) Von welcher Höhe h muss die Masse M starten, damit sie bei d = 120 m auftrifft? d) An welchem Punkt/welchen Punkten der esamten Bahn ist die Geschwindikeitskomponente in x-richtun am rößten? (keine Rechnun!) Lösun a) Hier verwenden wir die Enerieerhaltun: E pot,start = E pot,schanze + E kin,schanze E kin,schanze = 1 2 mv2 S = m (h h 2) v S = 2 (h h 2 ) b) Es ilt die allemeine Beweunsleichun x(t) = x 0 + v x t a xt 2 y(t) = y 0 + v y t a yt 2 mit x 0 = 0, y 0 = h 2, v x = v S cos(α), v y = v S sin(α), a y = und a x = 0 erhält man daraus folende, vereinfachte Beweunsleichunen x(t) = v S cos(α)t y(t) = v S sin(α)t 1 2 t2 + h 2 c) Die Masse M soll bei d = 120 m auf dem Boden aufkommen. Damit elten also folende Bedinunen: y(t)! = 0 x(t)! = d Setzt man diese in die vereinfachten Beweunsleichunen aus b) ein, so folt t = d v S cos(α) 0 = v S sin(α) t + h t2 = d tan(α) + h d 2 v 2 S cos2 (α) 6

7 Setzt man nun den in a) efundenen Ausdruck für v ein, so erhält man die esuchte Höhe h: 0 = d tan(α) + h 2 1 d 2 4 (h h 2 ) cos 2 (α) d tan α + h 2 = 1 d 2 4 (h h 2 ) cos 2 (α) (h h 2 ) = 1 d 2 4 (d tan α + h 2 ) cos 2 (α) h = 1 d 2 4 (d tan α + h 2 ) cos 2 (α) + h 2 70, 54 m d) Die Geschwindikeit in x-richtun ist am Umkehrpunkt der Sprunschanze am rößten, da dort die esamte kinetische Enerie in x-richtun zeit. Aufabe 6 : Gewehrschuss in Block Zur Messun der Geschwindikeit einer Gewehrkuel mit Masse m 1 = 5 wird diese horizontal in einen ruhenden Holzklotz der Masse m 2 = 20 k eschossen, welcher an einem Pendelstab der Läne l = 1 m hänt. Der maximale Auslenkunswinkel des Holzklotzes mit darin steckender Kuel wird zu Θ = 1, 2 bestimmt. Die Masse des Pendelstabs ist zu vernachlässien. a) Bestimmen Sie die Geschwindikeit v 1 der Gewehrkuel. b) Welche Geschwindikeit hat der Holzklotz unmittelbar nach dem Stoß? c) Wieviel kinetische Anfansenerie der Kuel wird in nicht-kinetische Enerie (Wärme) umewandelt? 7

8 Lösun a) Es handelt sich um einen vollständi inelastischen Stoß. Nach dem Stoß ilt Enerieerhaltun (für kleine Auslenkunen) E kin,max = 1 2 (m 1 + m 2 ) v 2 2 = E pot,max = (m 1 + m 2 ) l (1 cos θ) Mit der Impulserhaltun m 1 v 1 = (m 1 + m 2 ) v 2 folt 1 2 (m m m 2 ) v2 1 (m 1 + m 2 ) 2 = (m 1 + m 2 ) l (1 cos θ) m 2 1 v2 1 = 2l (1 cos θ) 2 (m 1 + m 2 ) v 1 = (m 1 + m 2 ) m 1 2l (1 cos θ) = 262, 5 m s b) Die Geschwindikeit v 2 nach dem Stoß erhält man nun, indem man die Geschwindikeit v 1 aus Teilaufabe a) in die Impulserhaltun einsetzt: v 2 = m 1v 1 m 1 + m 2 = 0, 066 m s c) Die kinetische Anfansenerie der Kuel, die in Wärme umewandelt wird, erhält man wie folt: E th = E kin = E kin,vorher E kin,nachher = 1 2 m 1v (m 1 + m 2 ) v 2 2 = 172, 2 J Aufabe 7 : Stoß Ein Waen der Masse M stößt mit einer Geschwindikeit v elastisch een eine an einem Seil der Läne l ruhi hänende Kuel der Masse m (siehe Skizze). a) Mit welcher Geschwindikeit v fährt der Waen weiter? b) Es sei M = 2 m, l = 1 m und v = 1 m s. Berechnen Sie die maximale Auslenkun φ der Kuel. c) Wie roß muss v mindestens ewählt werden, damit die Kuel eine komplette Kreisbeweun beschreibt? Lösun a) Situation vor dem Stoß: E = 1 2 Mv2 p = Mv 8

9 Situation nach dem Stoß: E = 1 2 Mv mv2 K p = Mv + mv K wobei v k die Geschwindikeit der Kuel unmittelbar nach dem Stoß bezeichnet. Es ilt Enerie- und Impulserhaltun, also E = E und p = p. Mit Hilfe der Impulserhaltun lässt sich aus der Enerieerhaltun die Geschwindikeit v K eliminieren: 1 2 Mv2 = 1 2 Mv ( M 2 m ( v v )) 2 m Nach Umformen erhält man eine quadratische Gleichun für v v 2 2vM m + M v + v 2 M m M + m = 0 v 1/2 = v M ± m m + M Die Lösun v = v passt offensichtlich nicht auf das beschriebene Problem, es bleibt also v = v M m m + M b) Für die maximale potentielle Enerie der Kuel ilt (falls die Kuel ausschlät und dann wieder zurückschwint) E pot = E 1 2 Mv 2 = 1 2 Mv2 (1 = 2mM2 v 2 (M + m) 2 ( ) ) M m 2 M + m Außerdem ist E pot = m h = ml (1 cos(ϕ)). Es folt 2mM 2 v 2 = ml (1 cos(ϕ)) 2 (M + m) 2M 2 v 2 (m + M) 2 = 1 cos (ϕ) l cos (ϕ) = 1 2M2 v 2 (m + M) 2 l 9

10 Einsetzen der Werte eribt dann cos (ϕ) 0, 909 ϕ 24, 6 c) Für eine komplette Kreisbeweun muss das Seil zu jeder Zeit espannt sein, es muss also auch am obersten Punkt (h = 2l) die Fliehkraft mindestens so roß wie die Gravitationskraft sein. Im Grenzfall ilt (mit ω = v 0 l ) dann m l Desweiteren ilt (Enerieerhaltun) F Z = F G ) 2 = m l v 0 = l ( v0 Mv 2 = 2mh + mv Mv 2 = 4ml + ml + Mv 2 ( M m M + m Durch Auflösen nach v erhält man die minimal nötie Geschwindikeit: v = M + m 5l 2M = 3 m 5l 5, 25 4 s ) 2 10