HTL Steyr Ausflussvorgänge Seite 1 von 10

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1 HTL Steyr Ausflussvoräne Seite 1 von 10 Ausflussvoräne Nietrost Bernhard, bernhard.nietrost@htl-steyr.ac.at Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Differentialleichunen 1. Ordnun, analytische und numerische Lösun, Numerik (Lösen von Gleichunen, Probleme bei der numerischen Lösun) Kurzzusammenfassun Erstellen und Lösen von Differentialleichunen 1.Ordnun mit Trennen der Variablen und Technoloieeinsatz Didaktische Überleunen / Zeitaufwand: [optional] Praxisbezu, leicht verständliche Aufabenstellun, Formulierun von Differntialleichunen, Modellbildun "einfache" Lösun mit Mathcad raphische Darstellun und Interpretation der Erebnisse Grenzen der Numerik bei realen Problemstellunen erkennen Lehrplanbezu (bzw. Geenstand / Abteilun / Jahran): Anewandte Mathematik, 4/5 Jahran, alle Abteilunen, besonders Maschinenbau Mathcad-Version: Mathcad 15 Literaturanaben: [optional; sehr erwünscht] Timischl 4 Anmerkunen bzw. Sonsties: [optional] Ni 013

2 HTL Steyr Ausflussvoräne Seite von 10 Ausfließvoräne bei verschiedenen Gefäßformen In vielen Geenden der Erde, die nur erine Niveauunterschiede aufweisen, wird das Wasser in Hochbehältern elaert um so den erforderlichen Druck für die Verteilun in den Wasserleitunen zu erhalten. Die Form der Hochbehälter variiert (zb.: zylindrisch, keel- oder kuelförmi). Die Entleerun eines solchen Behälters über eine unten aneordnete Öffnun durch die Schwerkraft soll mathematisch modelliert werden. Aus der Physik ist die Ausflusseschwindikeit v = h bekannt, die von der Höhe (vl Bernoulli: Enerieerhaltunssatz für Flüssikeiten) der darüberlieenden Flüssikeitssäule bestimmt wird. Weiters kommt es durch die Reibun beim Ausfließen zu einem verrinerten Querschnitt. (Die Ausflusszahl μ ibt dieverrinerun an. zb μ = 0.6 bedeutet, dass nur 60 % des eometrischen Querschnitts für den Ausfluss zur Verfüun stehen, der Rest eht durch die "Reibun" verloren. In den folenden Rechnunen wird der Einfachheit halber der verrinerte Querschnitt verwendet.) Gesucht ist wie sich die Höhe des Flüssikeitsspieels über der Zeit verändert. 1. Zylindrisches Gefäß verleiche auch Timischl 4 Bsp 4.13/ Abb 4.16 Aus einem zylindrischen Gefäß mit Querschnitt läuft Wasser durch eine unten befindliche Öffnun A (= verrinerter Querschnitt) aus. Bestimmen sie jene DGL, die diesen Voran beschreibt und jene Funktion h(t), welche den Flüssikeitsspieel in Abhänikeit der Zeit anibt. Am Anfan ist das Gefäß bis zu einer Höhe H efüllt. (Von der Ausflussöffnun emessen) Ansatz: Volumen des auseflossenen = Änderun des Wasserspieels Wasser im Zeitraum dt um dh A v dt = dh neatives Vorzeichen muss verwendet werden, da der Flüssikeitsspieel h sinkt. dt und dh sind infinitesimale Größen h dt = dh A Einsetzen der Ausflusseschwindikeit A ht () = dh() t dt Umformen auf DGL 1.O h(t)... esuchte Funktion h0 ( ) = H Anfansbedinun Ni 013

3 HTL Steyr Ausflussvoräne Seite 3 von 10 Lösun mittels Trennen der Variablen A dt = dh Trennen der Variablen h A 1 dt = 1 h dh Interation beider Seiten A t C = h implizite allemeine Ls h C A = t explizite allemeine Ls H = ( C 0) eribt C = H ht () H A = Zahlenwerte: t Anfansbedinun explizite spezielle Lösun r Der zylindrische Wasserturm in der Skizze hat beispielsweise die folenden Abmessunen (in Meter): T r.5 H 10 H T 3.3 Ni 013

4 HTL Steyr Ausflussvoräne Seite 4 von 10 Die Zylinderquerschnittsfläche ( r π) ist m², das Volumen im Zylinder (V Z T) beträt V Z m³. 0.1 π Als Ausflussquerschnitt wird ein Rohr mit d 0.1 m Durchmesser anenommen (A ). 4 Weiters ist die Erdbeschleuniun 9.81 m/s². h Z () t H A t Definition der Lösun der Differentialleichun in MCD als Funktion mit den eebenen Zahlenwerten. Berechnun der Auslaufzeit eines bis zum Boden reichenden Zylinders der Höhe H. t Zes h Z ( tt) = 0 auflösen tt Berechnun der Auslaufzeit des abebildeten Zylinders der Höhe T. (nur ein Wert der Lösun ist sinnvoll!) t Zteil h Z ( tt) = H T auflösen tt Lösun mit Lösunsblock in Mathcad Vorabe h Zn A ht () Gdlösen t t Zteil0 d = dt ht () h0 ( ) = H Da die analytische Lösun zur Verfüun steht kann der Endpunkt für das numerische Verfahren einfach einesetzt werden. Sonst ist eine Bestimmun über Probieren notwendi. Größere Werte als t Zes für den Endpunkt der numerischen Lösun werden mit Fehlermeldun quittiert. ("Wert muss reell sein. Sein Imainärteil muss Null sein.") Ni 013

5 HTL Steyr Ausflussvoräne Seite 5 von 10 Darstellun der Erebnisse tt 0 10 floor t Zteil0 t t Zes0 1 t Zteil0 Ausfluss aus zyl. Gefäß 10 h Z () t h Zn ( tt) HT ttt Die raphische Geenüberstellun der numerischen (Blau) und der analytischen Lösun (Rot dünn) zeit keine Unterschiede! Die numerische Lösun (dicke blaue Linie) beschreibt das Auslaufen aus dem im Bild darestellten Behälter bis zur Höhe H-T, der weitere Verlauf würde für einen bis zum Boden reichenden Zylinder elten. In t Zteil sec wird der im Bild darestellte Behälter nur durch die Schwerkraft eleert. Die Nullstelle der analytischen Lösun ist nur ein Berührpunkt. Dies kann bei numerischen Lösunsverfahren zu Problemen führen zum Beispiel wenn die Lösun ausquadriert verwendet wird. A A A H t = H H t t (siehe unten) Die Berechnun der Nullstelle aus der numerischen Lösun ist nicht mölich, da diese nur maximal bis zum Scheitel der Parabel durcheführt werden kann. Dieser Maximalwert wird durch Probieren bestimmt (Siehe Lösun mit Lösunsblock). Die binomische Formel ist lösbar! H A t n auflösen t n Die ausquadrierte binomische Formel erzeut bereits eine komplexe Lösun, wobei der Realteil stimmt! H H A t n A t n auflösen t n Eine erinfüie Verschiebun nach unten erzeut wieder eine reelle (fast) korrekte Lösun! H 10 1 H A t n A t n auflösen t n Ni 013

6 HTL Steyr Ausflussvoräne Seite 6 von 10. Ausfluss aus einem keelien Gefäß (Ausfluss bei Spitze) leichen Volumens. T r H A ( h H T) Δt = ( h) Δh Im Verleich zum Zylinder ist der Querschnitt nun eine Funktion der Höhe. Bei der Ausflusseschwindikeit muss (unter der Wurzel) die erhöhte Lae berücksichtit werden. ( h) = ( k h) π Ähnliche Dreiecke ereben den Zusammenhan zwischen Radius und Höhe: r = k h (wobei k = tan( α) dem halben Spitzenwinkel des Keels entspricht.) A ( h H T) Δt = ( k h) π Δh Nullpunkt des Koordinatensystems ist die Spitze des Keels A ( h H T) ( k h) π dh = h0 ( ) = T dt Somit eribt sich die Differentialleichun und der Anfanswert. A h π k dt = dh Trennen der Variablen und die entstehenden Interale h H T Eine analytische Lösun ist in diesem Fall auch mit MCD bereits deutlich aufwändier! Daher wird nur eine numerische Lösun durcheführt! Ni 013

7 HTL Steyr Ausflussvoräne Seite 7 von 10 Zahlenwerte: Der keelie Wasserturm in der Skizze hat beispielsweise die folenden Abmessunen (in Meter): r 4. H 10 T 3.5 r π T Das Keelvolumen (V K ) beträt V K m³. (Unefähr leich dem obien Zylinder) 3 Der (halbe) Öffnunswinkel des Keels (k r ) ist atan( k) Grad T 0.1 π Als Ausflussquerschnitt wird wieder ein Rohr mit d 0.1 m Durchmesser anenommen (A ). 4 Weiters ist die Erdbeschleuniun 9.81 m/s². Lösun mit Lösunsblock in Mathcad Vorabe A ( ht () H T) ( k h() t ) π d = dt ht () h0 ( ) = T h Kn Gdlösen( t 616.6) Der Endpunkt der numerischen Lösun muss kleiner als die zum Ausfließen benötite Zeit sein. Sonst liefert dlösen eine Fehlermeldun!! ("Wert muss reell sein. Sein Imainärteil muss Null sein.") Dieser Wert ist durch Probieren zu bestimmen. Darstellun der Erebnisse tt Keel h Kn ( tt) 1 d k 800 tt Das Erebnis scheint eine Wurzelfunktion zu sein. Die Nullstelle ist durch Probieren zu bestimmen. Praktisch ist dies ohne Belan, da der Keel an der Spitze seinen Ausfluss hat und ween des Abflussanschlusses nicht bis zur Spitze zu rechnen ist ( d k wenier). Aufrund der Steilheit der Lösun ist der Unterschied im Erebnis erin. (Siehe rot strichlierte Markierunen) Ni 013

8 HTL Steyr Ausflussvoräne Seite 8 von 10. Ausfluss aus einer Kuel leichen Volumens. r H A ( h H r) Δt = ( h) Δh Im Verleich zum Zylinder ist der Querschnitt nun ebenfalls eine Funktion der Höhe. Bei der Ausflusseschwindikeit muss (unter der Wurzel) die erhöhte Lae berücksichtit werden. π ( h) = r h Der waarechte Querschnitt der Kuel in der Höhe h wird durch den Satz von Pythaoras beschrieben. A ( h H r) π Δt = r h Δh Einsetzen in die Gleichun. Nullpunkt des Koordinatensystems ist der Mittelpunkt der Kuel. A ( h H r) r h π dh = h0 ( ) = r dt Somit eribt sich die Differentialleichun und der Anfanswert. Zahlenwerte: Der kuelie Wasserturm im Bild hat beispielsweise die folenden Abmessunen (im Meter): 4 Eine Kuel mit r.5 m hat ein Volumen (V S 3 r3 π) von V S m³ (Dies entspricht unefähr auch den anderen Volmina.) Als Höhe werden H 10 m anenommen. Ni 013

9 HTL Steyr Ausflussvoräne Seite 9 von 10 Lösun mit Lösunsblock in Mathcad Vorabe A ( ht () H r) r ht () π d = dt ht () h0 ( ) = r h Sn Gdlösen( t 69) Als Endpunkt der numerischen Lösun können hier beliebie Werte verwendet werden. Allerdins zeien sich Artefakte bei Werten, die über der Ausflusszeit lieen! Beim Anfanswert würde im Nenner der Wert 0 entstehen (Fehlermeldun in MCD!), daher wird dieser erinfü um 0,01% reduziert. Darstellun der Erebnisse tt Kuel r 1 h Sn ( tt) r 3 Eine numerische Bestimmun der Zeit bis zur halben Entleerun ist nun mölich tt tn wurzel h Sn ( tn) tn Aufrund des senktrechten Verlaufs am Anfan bzw Ende ist eine exakte Bestimmun der Auslaufzeit nicht mölich. Die Entleerun bis 81% des Kuelradius kann berechnet werden, dann kommen Fehlermeldunen. Durch die Steilheit der Lösunskurve in diesem Bereich ist die auseebene Lösun unefähr korrekt. tn wurzel h Sn ( tn) r 0.81 tn Wie zu erwarten ist die Zeit zur Entleerun der zweiten Hälfte rößer als für die erste Hälfte. Ni 013

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