A. Parameter der Glasbestrahlungsanlage

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1 A. Parameter der Glasbestrahlunsanlae CO 2 -Laser Hersteller Synrad Typ (W Wellenläne 10,57-10,63 μm Leistun 25 W Leistunsstabilität (Leistunsreelun 48-CL ± 2% Mode Qualität TEM 00 -Äquivalent: 95 % Strahldurchmesser / Diverenz 3,5 mm / 4 mr Polarisation Linear-Vertikal 50:1 Extinktionsminimum Leistunsstabilität ± 2% Kühlun Umlaufkühler VWK 7/1 (Hyfra-Industriekühlanlaen GmbH Tabelle A.1.: Spezifikation des CO 2-Lasers Diodenlaser Hersteller Typ Wellenläne Leistun Modulation Strahldurchmesser / Diverenz LaserMax Inc. MDL nm 4,25 mw cw 3,3 mm / 0,2 mr Tabelle A.2.: Spezifikation des Justierlasers (Diodenlaser Optische Bauelemente Breadbord XYZ-Tisch Hersteller Melles Griot. OWIS GmbH Typ Ultra-Performance TM LM 60 und VT 45 Spieel Linse (f = 3,81 mm Strahlfalle Material Silizium ZnSe Graphit Abmessun 1,1 1,1 3x3x3cm 3 106

2 B. Optische Eienschaften von Glas im infraroten Spektralbereich - Literaturüberblick In der Tabelle B sind experimentell ermittelte Werte des Absorptionskoeffizienten ff = f( = 10; 6μm für unterschiedliche Gläser mit Zitatanabe zusammenfassend darestellt. Glas ff = f( =10; 6μm in cm 1 Zitat Kalk-Natron-Glas > 10 3 [Bue94] Floatlas > 10 4 [AD95] Borosilikatlas BK [Sah92] Borosilikatlas BK [Sah92] Zinklas ZKN [Sah92] Quarzlas 4126 [Sah92] Alkali-Zinn-Borosilikatlas 10 4 [Sah92] Tabelle B.1.: Literaturanaben von Absorptionskoeffizienten für verschiedene Gläser bei einer Wellenläne von =10; 6μm 107

3 C. Berechnun der laserstrahlinduzierten Temperaturverteilun C.0.1. Temperaturabhänikeit der Materialparameter Für die Berechnun der laserstrahl-induzierten Temperaturverteilun im Glas werden Materialparameter nach [Bue94] verwendet. Die Temperaturabhänikeit der Parameter wurde experimentell bestimmt. Reflexion R(T R(T=0; (0; T 4; T 2 (C.1 Emissionskoeffizient " (T " (T =0; 88 1; T 9; T 2 4; T 3 (C.2 Wärmeleitfähikeit k(t [ J m s K ] k (T =1; (0; (T 273; 15 2; (T 273; 15 2 (C.3 spezifische Wärmekapazität c p [ J k K ] c p = 0; 00146(T 273; 152 0; (T 273; 15 0; ; (C.4 (0; 00146(T 273; Wärmeüberanskoeffizient h a [ m K W ] nach [Nöl97] h a =3 (C.5 Dichte des Glases ρ [ k m 3 ] nach [Nöl97] ρ =2; 54 E3 (C.6 108

4 Anhan C. Berechnun der laserstrahlinduzierten Temperaturverteilun 109 C.0.2. Die verkürtzte Gaußelimination Die verkürzte Gaußelimination wird auch als Faktorisierunsmethode, schnelle Gaußelimination, double sweep method, passae method, Thomas-Alorithmus u. a. bezeichnet. Durch eine entsprechende Diskretisierun von Differentialleichunen zweiter Ordnun erhält man Differenzenleichunen zweiter Ordnun : A i y i 1 C i y i B i y i1 = F i ; i = 1; 2; ::: ; A i 6= 0; B i 6= 0 (C.7 Zur Lösun einer solchen Differenzenleichun sind noch zwei Zusatzbedinunen zu stellen. Sind der Wert der Funktion y und ihrer ersten Differenz y an einem Punkt voreeben, liet eine Anfanswertaufabe bzw. ein Cauchy-Problem vor. In diesem Fall können die y i nacheinander berechnet werden, die Aufabe ist eindeuti lösbar. Sind die Zusatzbedinunen an zwei nicht benachbarten Punkten eeben, liet ein wesentlich öfter auftretendes Randwertproblem vor. Dabei werden entweder die Werte von y (Randbedinun 1. Art, die Gradienten (Randbedinun 2. Art oder eine Kombination von beiden (Randbedinun 3. Art voreeben. Mit den Randbedinunen an den Punkten i = 0 bzw. i = N lautet die zu lösende Aufabe: A i y i 1 C i y i B i y i1 = F i ; i = 1; 2; ::: ; N 1; A i 6= 0; B i 6= 0 y 0 =» 1 y 1 μ 1 ; y N =» 2 y N 1 μ 2 (C.8 Die Koeffizientenmatrix dieses Gleichunssystems ist tridiaonal. Für solche Gleichunssysteme ist die verkürzte Gaußelimination ein effektives Lösunsverfahren. Die Herleitun dieses Lösunsverfahrens beruht auf der Idee, die Differenzenleichun zweiter Ordnun in drei Differenzenleichunen erster Ordnun, die zum Teil nichtlinear sind, zu überführen. Man nimmt an, daß die Rekursionsbeziehun y i = ff i1 y i1 fi i1 (C.9 mit den unbestimmten Koeffizienten ff i und fi i ilt. Durch folende Schritte elant man dann zu Formeln für ff i und fi i : 1. Einsetzen von y i 1 = ff i y i fi in die Differenzenleichun: (A i ff i C i y i A i fi i B i y i1 = F i (C Einsetzen von y i = ff i1 y i1 fi i1 : [(A i ff i C i ff i1 B i ] y i1 A i fi i (A i ff i C i fi i1 = F (C.11 Diese Gleichun ist mit (A i ff i C i ff i1 B i = 0; A i fi i (A i ff i C i fi i1 F i = 0 (C.12 für beliebie y i1 erfüllt. Daraus folen für ff i1 und fi i1 Rekursionsformeln:

5 Anhan C. Berechnun der laserstrahlinduzierten Temperaturverteilun 110 ff i1 = B i ; fi i1 = A ifi i F i ; i = 1; 2; ::: ; N 1 (C.13 Die Koeffizienten ff i und fi i können nun von links nach rechts (von kleineren zu rößeren i bestimmt und dann die y i von rechts nach links bestimmt werden. Die Gleichunen für ff i und fi i sind nichtlinear. Für jede der drei Funktionen für ff i, fi i1 und y i sind Anfanswertaufaben zu lösen. Die Anfansbedinunen ereben sich aus den Randbedinunen. Zusammenefaßt sieht der Alorithmus der (rechtsläufien verkürzten Gaußelimination folendermaßen aus: ff (! i1 = B i ; i = 1; 2; ::: ; N 1; ff 1 =» 1 fi (! i1 = A ifi i F i ; i = 1; 2; ::: ; N 1; fi i = μ 1 y (ψ N = μ 2» 2 fi N 1 ff N» 2 y i = ff i1 y i1 fi i1 ; i = N 1; N 2; ::: ; 1; 0 (C.14 Mit den Pfeilen soll die Rechenrichtun anedeutet werden. Für die beiden Summanden der Gleichun für y i läßt sich auch folende anschauliche Erläuterun finden: Der erste Term stellt das direkte Wirken der entsprechenden physikalischen Größe im Medium dar (z. B. Wärmeleitun. Der zweite Term entspricht zusätzlichen Änderunen der physikalischen Größe durch äußere Einwirkunen (z. B. Strahlunsaustausch. Die Formeln der verkürzten Gaußelimination sind unter folenden hinreichen Bedinunen sinnvoll: jc i j ja i j jb i j ; i =1; 2;::: ;N 1 j» ff j»1; ff =1; 2; j» 1 j j» 2 j < 2 (C.15 C Abeleitete Beziehunen für die Berechnun Für die Berechnun des laserstrahl-induzierten Temperaturverlaufes im Glas wurden folende Beziehunen aus der Problemstellun unter Nutzun der verkürtzten Gaußelimination abeleitet :

6 Anhan C. Berechnun der laserstrahlinduzierten Temperaturverteilun Berechnun T (r = konstant; z A i = B i = C i = 2 F i = w 2 w 2 2 w 2 h 2 h r ( h ρ 2 ff cp (T ρ T i;j 1;l h r T i 1;j;l c p (T ρ ( k (T T h 2 i1;j;l (C Berechnun T (r;z = konstant A l = B l h h 2 h C l = 2 2 w 2 h ( 2 k (T F l = T w 2 i;j;l1 ρ ff cp (T ρ T i;j 1;l h r ( k (T T w 2 i;j;l 1 c p (T ρ (C.17