MATHEMATIK 1 LINEARE FUNKTION

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1 PS - ATHEATIK P. Rendulić 009 LINEARE FUNKTION ATHEATIK LINEARE FUNKTION. Geradenleichun Eine Geradenleichun ist die atheatische Gleichun die eine Gerade i kartesischen Koordinatensste eindeuti beschreibt. O ist der Koordinatenursrun. Die horizontale Koordinatenachse bezeichnet an als -Achse. Die vertikale Koordinatenachse bezeichnet an als - Achse. Die nebenstehende Abbildun zeit eine Gerade die durch Punkte A und B eht. In der Geoetrie nach Euklid kann durch zwei unterschiedliche Punkte ier enau eine Gerade konstruiert werden. A O B. Zur -Achse arallele Geraden Geraden die arallel zur -Achse verlaufen ehorchen der alleeinen Gleichun c wobei c eine reale Zahl ist. Für c 0 ilt die Gleichun 0. Diese Gleichun beschreibt eine Gerade die auf der -Achse liet. Für c > 0 liet die Gerade rechts von der -Achse Beisiel: ). Für c < 0 liet die Gerade links von der -Achse Beisiel: ). - 0 O. Zur -Achse arallele Geraden Geraden die arallel zur -Achse verlaufen ehorchen der alleeinen Gleichun c wobei c eine reale Zahl ist. Für c 0 ilt die Gleichun 0. Diese Gleichun beschreibt eine Gerade die auf der -Achse liet. Für c > 0 liet die Gerade über der - Achse Beisiel: ). Für c < 0 liet die Gerade unter der - Achse Beisiel: ). 0 O -

2 PS - ATHEATIK P. Rendulić 009 LINEARE FUNKTION. Alleeine Geradenleichun I alleeinen Fall kann eine Gerade durch die lineare Funktion beschrieben werden: + und sind die Paraeter der Gerade. an bezeichnet sie folenderaßen: ist die Steiun der Gerade. Sie entsricht der senkrechten Kathete des Steiunsdreiecks dessen waaerechte Kathete ist. Wird die waaerechte Kathete u das -fache verrößert auf den Wert ) so verrößert sich auch die senkrechte Kathete u das -fache auf den Wert ). O ist die Verschiebun der Geraden entlan der -Achse relativ zu Koordinatenursrun O. wird auch als Achsenabschnitt bezeichnet. Ein Punkt R der auf der Gerade liet und dessen -Koordinate beträt besitzt als - Koordinate den Wert + siehe Fiur). und sind daher die Koordinaten aller Punkte welche die Geradenleichun erfüllen. Diese Punkte lieen soit auf der Geraden. 5 R).. Beisiel Die Steiun der Gerade beträt und der Achsenabschnitt. I Beisiel liet der Punkt R 5) auf der Geraden denn die Geradenleichun ist wahr: Einfluss der Paraeter der Gerade auf den Grahen > O 0<< 0 <0 >0 0 O <0 Einfluss der Steiun Einfluss des Achsenabschnitts Für > 0 steit die Gerade diaonal von links unten nach rechts oben). Für 0 ist die Gerade arallel zur -Achse. Für < 0 fällt die Gerade diaonal von links oben nach rechts unten).

3 PS - ATHEATIK P. Rendulić 009 LINEARE FUNKTION Für > 0 schneidet die Gerade die -Achse i ositiven Bereich. Für 0 ist die Gerade eine Ursrunserade sie eht durch den Koordinatenursrun). Für < 0 schneidet die Gerade die -Achse i neativen Bereich..6 Bestiun der Steiun einer Gerade -Punktethode) Die Steiun einer Geraden kann durch Bildun des Differenzquotienten bestit werden. Dazu wählt an beliebie verschiedene Punkte R ) und S ) der Geraden und berechnet den Quotienten I nebenstehenden Beisiel wurden die Punkte R - -) und S ) ewählt. Die Steiun der Gerade beträt deentsrechend ) 075 ) R ) O S) Anerkun: Für eine senkrechte Gerade arallel zur -Achse) tendiert die Steiun een Unendlich..7 Parallele Geraden Zwei Geraden und sind arallel zueinander wenn sie in eine beliebien kartesischen Koordinatensste die leiche Steiun besitzen..8 Schnittunkt von Geraden Zwei beliebie Geraden und die nicht arallel zueinander sind besitzen einen eeinsaen Schnittunkt..8. Bestiun der Koordinaten des Schnittunkts Die Koordinaten und des Schnittunkts können leicht bestit werden. Die Geraden und werden durch die folenden Funktionen beschrieben: a + a + Da der Schnittunkt ein Punkt beider Geraden ist können beide Funktionen leich esetzt werden. Es ilt für : O )

4 PS - ATHEATIK P. Rendulić 009 LINEARE FUNKTION + + ) Deentsrechend ist die -Koordinate des Schnittunkts bekannt. Die -Koordinate kann bestit werden inde in die Geradenleichun von einesetzt wird: + + ) + + Die Koordinaten des Schnittunkts sind daher:.8. Beisiel I ezeiten Beisiel werden die Geraden und durch diese Funktionen beschrieben: + a a Daher besitzt der Schnittunkt die Koordinaten: ) ) ) ) ) 8 ) Dies sind in der Tat die Koordinaten die aus der Grahik bestit werden können.

5 PS - ATHEATIK P. Rendulić 009 LINEARE FUNKTION 5.8. Praktische Anwendun: Wahl des richtien Telefonabonneents Ein obilanbieter hat die folenden zwei Abonneents i Anebot: Abonneent Abonneent Grundebühr keine 5 / onat Preis ro in. 0 / inute 007 / inute Während wievielen inuten uss an ro onat indestens telefonieren dait das Abonneent it Grundebühr ünstier wird als das Abonneent ohne Grundebühr? Das Proble kann leicht elöst werden inde an erkennt dass der Preis ro inute für die beiden Abonneents durch die folenden linearen Funktionen beschrieben werden kann: steht für die a onatsende zu zahlende Geldsue entsricht der Zeitdauer in inuten während derer telefoniert wurde. Für eine ewisse Zeitdauer kosten beide Abonneents leich viel. U diese zu bestien werden die Preise und leich esetzt und die resultierende Gleichun wird nach elöst: ) inuten 005 it de Abonneent it Grundebühr telefoniert an ünstier wenn an onatlich ehr als 00 inuten telefoniert. Darunter ist das Abonneent ohne Grundebühr ünstier. Die nebenstehende Grahik zeit den Preisverlauf der beiden Abonneents. Für 00 inuten schneiden sich beide Geraden. Preis in Euro) it Grundebühr 8 6 ohne Grundebühr Zeitdauer in inuten)

6 PS - ATHEATIK P. Rendulić 009 LINEARE FUNKTION 6.9 Aufaben.9. Geraden zeichnen Zeichne die eebenen Geraden in ein eeinetes Koordinatensste!

7 PS - ATHEATIK P. Rendulić 009 LINEARE FUNKTION 7.9. Bestiun der Steiun Die folende Grahik zeit den linearen Zusaenhan zwischen hsikalischen Größen. Bestie die Steiun der Geraden! Kühlschränke Bei Kühlschrankkauf bieten sich die folenden odelle an: Kühlschrank Enerieklasse Preis in ) Stroverbrauch in kwh / Jahr) odell 50l) A 95 0 odell 50l) A odell 50l) A Stroreis: 05 / kwh Berechne nach wie vielen Jahren sich der Kauf des teureren jedoch strosarenden Geräts in Bezu zu den billieren Geräten aortisiert hat!

8 PS - ATHEATIK P. Rendulić 009 LINEARE FUNKTION 8.9. Verschiedene Glühlaen U zu Hause in noralen Leuchten it E7-Gewinde) Licht zu erzeuen bieten sich verschiedene Techniken an: die konventionelle Glühlae die Haloen-Glühlae und die Koaktleuchtstofflae die soenannte Eneriesarlae). In einien Jahren wird auch die LED-Technik in roße Rahen verfübar sein. Glühlae Haloenlae Koaktleuchtstofflae Es soll untersucht werden welche Kosten bei Betrieb der unterschiedlichen Laen anfallen. Laent Leistun Anschaffunsreis Lebensdauer Lebensdauer * Glühlae 60 W h Jahr Haloenlae 5 W h Jahre Koakleuchtstofflae W h 8 Jahre * bei einer Einschaltdauer von unefähr Stunden a Ta Alle aneebenen Laen besitzen die leiche Lichtausbeute und leuchten deentsrechend leich hell. Der Stroreis beträt 05 / kwh. a. Berechne die Gesatkosten die anfallen wenn jede Lae während 000 Stunden betrieben wird! b. Bestie die Gesatkosten die anfallen wenn it jede Laent während Stunden Licht erzeut werden soll! Was stellst du fest? c. Stelle die anfallenden Kosten über einen Zeitrau von 8 Jahren rahisch dar! Nach welcher Betriebsdauer aortisiert sich der in der Anschaffun jeweils teurere Laent?