A2.2 Lineare Funktionen

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1 A2.2 Lineare Funktionen Funktionen Beispiel: Ein estiter Strotarif erechnet den Stropreis P aus der Zähleriete M und de Areitspreis aus Kosten K je kwh und Anzahl N der verrauchten Einheiten: P = K N + M (P: ahängige Variale; N: unahängige Variale; K, M: Konstanten) Astraktion zu ülichen Bezeichnungen: = + t Definition: Eine Zuordnung, die jede Eleent R genau eine Zahl R zuordnet, heißt reelle Funktion it der Definitionsenge D. Die Menge der zugeordneten Zahlen heißt Werteenge W R. I Zusaenhang it der Darstellung von Funktionen sind folgende Bezeichnungen und Schreiweisen ülich:. f : D W R (allgeein) 2. f : f(); R 3. f : f(); R (Funktionsgleichung) Die wesentlichen Möglichkeiten, eine Funktion darzustellen, sind:. eine Zuordnungsvorschrift, z. B. eine Funktionsgleichung 2. eine Wertetaelle 3. ein Funktionsgraph Beispiel:. Die Zuordnung Schüler -> Note ist eine eindeutige Zuordnung (jeder Schüler erhält genau eine Note) 2. Die Zuordnung Note -> Schüler ist i Allgeeinen keine eindeutige Zuordnung (einer Note können ehrere Schüler zugeordnet werden) Graphen Ein wesentliches Hilfsittel zur Darstellung von Funktionen sind Graphen. Daei werden die unahängige Variale () und die ahängige Variale () als Koordinaten von Punkten verstanden und diese in ein Koordinatensste eingezeichnet. Die Gesatheit der so entstandenen Punkte heißt Graph der Funktion. Beispiel: Eine Funktion sei gegeen durch die Funktionsvorschrift f: 2 it D = {; ; 2}. Dann folgt für die Werteenge W = {; ; 4}. A2-2-

2 Der zugehörige Graph enthält nur drei Punkte: Anerkung: Graphen, die eine Parallele zur -Achse öfter als einal schneiden, sind keine Funktionsgraphen, da dann eine -Wert ehrere -Werte zugeordnet sind, also keine eindeutige Zuordnung vorliegt. Definition, Grundeigenschaften der linearen Funktion Definition: Eine Funktion f: + t (D = R;, t R) heißt lineare Funktion. Die Funktionsgleichung heißt Geradengleichung, heißt Steigung, t heißt -Achsenaschnitt. Es ist leicht zu erkennen, dass für D = R auch W = R gilt, und dass der Graph der Funktion eine Gerade ist. Als Beispiel soll i Folgenden die Funktion f : 2 etrachtet werden. 2 = + t P2 t S S P D Q 2 D Zur eeplarischen Bestätigung der Geradeneigenschaft des Graphen dient ein Auszug aus der Wertetaelle: A2-2-2

3 =f() ,5 - -,5 2 3,5 -,5 -,25,5 -,75,5 -,25 Die Forvariale t ist der Funktionswert an der Stelle, d. h. f() = t; der Punkt S (; t) ist der Schnittpunkt des Graphen it der -Achse. In unsere Beispiel gilt S (; -) Den Schnittpunkt it der -Achse erhält an, inde an den Funktionswert gleich Null setzt: t t In unsere Beispiel gilt 2, also S 2; ). 2 Eine Stelle D it f() = heißt Nullstelle der Funktion f. Folgerung: In den Nullstellen von f hat G f Punkte it der -Achse geeinsa. Den Begriff Steigung kann an nach folgender Definition leicht verstehen: Definition: Unter der Steigung einer Geraden versteht an den Differenzenquotienten 2. f( 2 ) f( ) 2 2 Für elieige Punkte P ( ; ) und P 2 ( 2 ; 2 ) gilt: f( 2 ) f( ) 2 2 t t unahängig von der konkreten Wahl der Punkte P und P 2! Für unsere konkrete Funktion folgt daraus unittelar. 2 Die Steigung einer Geraden kann it de Steigungsdreieck leicht estit werden: Durch P und P 2 ist ein rechtwinkliges Dreieck it achsenparallelen Katheten [P Q]und [P 2 Q] sowie der Strecke [P P 2 ] als Hpotenuse estit. Hierei gilt P 2 Q P Q P 2 Q P 2 Q. Von eine elieigen Punkt P G f kann dann leicht ein zweiter Punkt so gefunden werden: Von P aus geht an ein elieiges Stück nach rechts und dann ein -faches Stück nach oen (für > ) zw. nach unten (für < ). Der Endpunkt dieser Strecke liefert dann einen zweiten Geradenpunkt P 2, so dass die Gerade gezeichnet werden kann. In unsere Beispiel sei P (5;,5). Mit = 7 folgt = 3,5 und daraus der Punkt P 2 (2; 5). Ein weiteres Beispiel soll das isher Üerlegte verdeutlichen: Es sei f: 2-6, D = R, gegeen. Die oigen Üerlegungen liefern sofort t = -6, = 2 und die Schnittpunkte S (; -6) und S (3; ) it den Koordinatenachsen. A2-2-3

4 Foren der Geradengleichung. Fall: Ein Punkt P ( ; ) und die Steigung seien gegeen. Dann gilt für elieige Punkte P(; ) G f ( ), als Geradengleichung die Gleichung ( ) (Punkt-Steigungs-For der Geraden). 2. Fall: Zwei Punkte P ( ; ) und P 2 ( 2 ; 2 ) einer Geraden g seien gegeen. Dann gilt für elieige Punkte P(; ) g ( ), als Geradengleichung also die Gleichung 2 2 ( ) (Zwei-Punkte-For der Geraden). 3. Fall: Die eiden Achsenschnittpunkte A(a; ) und B(; ) einer Geraden g seien gegeen. Dann lassen sich die Koordinaten dieser Schnittpunkte unittelar in die Gleichung für den 2. Fall einsetzen: a ( a) a ( a) a. Daraus folgt it kleinen Uforungen a zw. a (Achsenaschnittsfor der Geraden). Beispielaufgaen:. Stellen Sie die Geradengleichung aus P(3; -2) und = 2 auf. Prüfen Sie dann, o Q(5; 2) und R(-2; 3) auf der Geraden liegen. 2. Stellen Sie die Geradengleichung aus P(4;-3) und Q(; 3) auf. 3. Üerlegen Sie, waru der Graph zu f: -2 Ursprungsgerade heißt. 4. Zeichnen Sie den Graphen zu f: -2 + i Intervall I = [-3; +3]. 5. Durch welche (Un-)Gleichung können Sie die Menge aller Punkte eschreien, die oerhal der Geraden it der Gleichung = - liegen? 6. Stellen Sie die Geradengleichung zur Funktion f: 2-3 in der For a + + c = (iplizite For) dar. 7. Eine Gerade g schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten A(3; ) und B(; -4). Berechnen Sie die Geradengleichung und geen Sie die Steigung an. 8. Eine Gerade hae die Schnittpunkte it den Koordinatenachsen A(a; ) und B(; ). Zeigen Sie, dass sich die zugehörige Gerade in der For a darstellen lässt. Sonderfälle. Fall: t =, d. h. f: In diese Fall ist der -Achsenaschnitt gleich Null, d. h. alle Graphen dieser Schar verlaufen durch den Koordinatenursprung. 2. Fall: t = =, d. h. f: In diese Fall ist die Gerade die Winkelhalierende des I. und III. Quadranten (Der Graph von g: - ist die Winkelhalierende des II. und IV. Quadranten). A2-2-4

5 3. Fall: =, d. h. f: t In diese Fall ist der Graph von f eine Parallele zur -Achse und verläuft durch den Punkt P(; t). 4. Fall: Parallele zur -Achse Dieser Fall kann it de isherigen Instruentariu nicht ehandelt werden, da eine Parallele zur -Achse kein Funktionsgraph ist (keine eindeutige Aildung von auf!). Es gilt allerdings für jeden Punkt einer derartigen Parallelen = n, so dass durch diese Gleichung eine Parallele zur -Achse eschrieen wird. Graphische Veranschaulichung: =3 = =6 = Weitere Aussagen üer Geraden Beispiele: h g2 h Q(q;q) g P(p;p) d Man erkennt sofort, dass h = g und h = - g ist. Dann gilt g h g g h h zw. g h = -. A2-2-5

6 Außerde ist unittelar einsichtig, dass zwei Geraden genau dann parallel verlaufen, wenn ihre Steigungen gleich sind. Dies führt zu folgende Satz: Für zwei Geraden g : + t und g 2 : 2 + t 2 gilt:. g g 2 genau dann, wenn = 2 ; 2. g g 2 genau dann, wenn 2 = -. Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, in de die pthagoreische Beziehung a = c 2 (a, : Katheten; c: Hpotenuse) gilt. Sie kann zur Berechnung des Astandes zwischen zwei Punkten P und Q verwendet werden (vgl. Skizze): d 2 ( q p ) 2 ( q p ) 2 d ( q p ) 2 ( q p ) 2. Die Betragsfunktion Wdh.: Der Asolutetrag a einer reellen Zahl a ist so definiert: a für a a a für a Beispiele: 3 = 3, -5 = -(-5) = 5 Dait sind einfache Betragsfunktionen z. B. so erklärt: f: ; g: - ; h: - 2 Die zugehörigen Graphen haen dann folgendes Aussehen: Gf Gg Gh Geradenscharen Durch die Funktion f: + t wird nicht nur eine Funktion eschrieen, sondern eine Funktionenschar, aus der an eine einzige Funktion dadurch herausgreift, dass für die Forvarialen und t konkrete Werte genoen werden. Ein einfaches Beispiel ag den Sachverhalt verdeutlichen: Beispiel: Wie groß uss die Steigung gewählt werden, dait die Gerade it der Gleichung = + 2 den Punkt P(2; 5) enthält? Lösung: Die ausgewählte Gerade enthält den Punkt P, wenn dessen Koordinaten die Geradengleichung erfüllen. Daraus lässt sich dann die gesuchte Größe erechnen: A2-2-6

7 5 = = 5-2 = 3 =,5 Anerkungen:. Der Paraeter estit die Steigung der Geraden. 2. Der Paraeter t estit den -Achsenaschnitt. Ukehrfunktionen Wdh.: Eine Funktion ist eine Aildung, ei der jede aus der Definitionsenge eindeutig genau ein aus der Zielenge zugeordnet wird. Es lässt sich aer auch ei estiten Funktionen f jede aus der Werteenge eindeutig ein aus der Definitionsenge zuordnen. Die Menge der so entstehenden Paare (; ) ildet dann eine Funktion f - : = f(), deren Graph it de Graphen von f üereinstit. Wenn an in den Paaren einer Funktion lediglich die Reihenfolge der Koordinaten verändert, ohne inhaltliche Änderungen vorzunehen, sind Funktion f und Ukehrrelation f - nicht zu unterscheiden. Es werden deshal folgende Vereinarungen getroffen:. sei weiter die., die zweite Koordinate. 2. D und W werden vertauscht, d. h. D - = W, W - = D. 3. Die Funktionsvorschrift wird inhaltlich ugekehrt. Es ietet sich daher folgende Vorgangsweise ei Bilden der Ukehrfunktion an:. Auflösung der Funktionsgleichung nach 2. Vertauschen der Varialen 3. Anpassen von Definitions- und Werteenge. Beispiel: f: = 2 - ; D = r; W = R 2 = + f : Offenar sind die eiden Graphen setrisch zgl. der Winkelhalierenden des I. und III. Quadranten. Graphen: A2-2-7

8 Gf Gf- Der Zusaenhang zwischen den Definitions- und Werteengen wird erst erkennar, wenn die Definitionsenge eingeschränkt wird: 2. Beispiel: f : 2 2; D=[-2; +2]; W = [; 3] 2 2 = f - : = ; D - = W = [; 3]; W - = D=[-2; +2] Graphen: Gf Gf- Zusaenfassung:. Man erhält die Gleichung der Ukehrfunktion f -, inde an die Funktionsgleichung von f nach auflöst und zu Schluß die Varialen vertauscht. 2. Man erhält den Graphen von f - durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalierenden des I. und III. Quadranten. A2-2-8

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