Lineare Funktionen systematisch erkunden. Arbeitsblatt 1

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1 Areitslatt 1 Vorereitung: Öffne die EXCEL-Taelle linfunk.xls und dort das erste Taellenlatt it de Naen x fest. Du siehst dort (vgl. A.1): Ein festes Koordinatensyste it einer Geraden Einen Schieeregler, it de du in Schritten variieren kannst A.1 Eine Wertetaelle für -14 x 14 und Angaen für die Schnittstellen der Geraden it der x-achse ( = Nullstelle) und der y-achse ( = y-achsenaschnitt) Aufgaen: 1. Welche Funktionsvorschrift gehört zu der dargestellten Geraden? Beschreie die Gerade! Wie verläuft sie? Achte auch auf die Wertetaelle! 2. Variiere it de Schieeregler den Wert für! Gehe daei systeatisch vor! Welche Änderungen des Wertes von haen welche Auswirkungen? Achte sowohl auf die Gerade als auch auf die Wertetaelle! Schreie deine Beoachtungen öglichst systeatisch auf! Der eigefügte Protokollogen hilft dir daei! Hinweise / Leitfragen zur Beareitung von Aufg.2: 1. Git es Werte für, so dass die Gerade auf der x-achse zw. auf der y-achse liegt? 2. Unterscheide ei systeatischen Variieren die Fälle > 0 und < 0! 3. Git es Eigenschaften, die alle Geraden geeinsa haen, egal, welchen Wert du für einstellst? 4. Die ursrünglich eingestellte Gerade heißt 1. Winkelhalierende. Waru? Welche Gerade könnte an analog als 2. Winkelhalierende ezeichnen? Welchen Wert hat das dazu gehörige? 5. Kannst du ei einer elieigen Geraden allein a Grahen alesen, welchen Wert gerade hat? Verwende zur Beantwortung dieser Frage auch das zweite Taellenlatt it de Naen x Bruch fest! Seite 1

2 Protokollogen zu Areitslatt 1 Fülle ei Beareiten der Aufgaen öglichst alle weißen Felder sinnvoll aus! Gerade Besonderheit / Beoachtung Die Gerade ist die ursrünglich dargestellte Gerade. Die Gerade liegt auf der x-achse Die Gerade liegt auf der y-achse Diese Gerade heißt: In der Wertetaelle sieht an: > 0 Je größer wird, Für x 0 ist der y Quotient x < 0 Je kleiner wird, Für x 0 ist der y Quotient x elieig Der Faktor git an, Der Faktor ist also ein Maß für Aus der Klasse 7 weißt du: Für > 0 heißt eine solche Zuordnung Man erhält diese Gerade, inde an die ursrünglich dargestellte Gerade Diese Gerade heißt 2. Winkelhalierende elieig elieig, 0, 0 Alle Geraden verlaufen durch denselen Punkt O( / ) ; jede Gerade geht durch den Punkt A( 1 / ) Der Punkt B( / ) Für 0 ist das rechtwinklige Dreieck OPA it den Eckunkten O( / ), P( / 0 ) und A( 1 / ) ein Steigungsdreieck der Geraden. Für das Dreieck OQB it Q( / 0) und B( / ) gilt: Auch dieses Dreieck ezeichnet an als denn Seite 2

3 Intendierte Lösungseleente zu Areitslatt 1: Zu Aufgae 1: Diese Aufgae dient i Wesentlichen dazu, dass die Schüler(innen) sich in das Taellenlatt einlesen und erkennen: Die Zuordnungsvorschrift ist x *x, eingestellt ist 1, die Gerade gehört also zu der Zuordnung x 1*x = x. Sie verläuft durch alle Punkte it gleichen x- und y-koordinaten. Zu Aufgae 2: 1. Für 0 liegt die Gerade auf der x-achse. Es git aer kein, so dass die Gerade auf der y-achse liegt. Das würde auch der Funktionseigenschaft der Zuordnung widersrechen. 2. Lässt an eginnend ei 0 den Wert von ier größer werden, so steigt die Gerade ier stärker. Lässt an eginnend ei 0 den Wert von ier kleiner werden, so fällt die Gerade ier stärker. In diese Fall sricht an in der Matheatik von negativer Steigung. Der Faktor ist also ein Maß für die Steigung der Geraden. 3. Die ursrünglich eingestellte Gerade it der Steigung 1 heißt 1. Winkelhal ierende, weil sie den 90 -Winkel des Koordinatensystes i 1.Quadranten haliert. Die 2. Winkelhalierende üsste entsrechend den 90 -Winkel des Koordinatensystes i 2.Quadranten halieren. Sie verläuft durch alle Punkte, deren x- und y- Koordinaten zwar den gleichen Betrag, aer verschiedene Vorzeichen haen. Zu dieser Geraden gehört die Steigung Alle Geraden gehen durch den Koordinatenursrung, das heißt die Nullstelle und der y-achsenaschnitt ändern sich nicht. 5. Alle Geraden gehen durch den Punkt A( 1 / ), denn *1 =. Mit Hilfe dieser Eigenschaft kann an an jeder Geraden alesen, wie groß das zugehörige gerade ist: ist gleich der y-koordinate des Geradenunktes an der Stelle 1. Aus diese Grunde nennt an das Dreieck OPA aus Ursrung O( 0 / 0 ), P( 1 / 0 ) und A( 1 / ) ein Steigungsdreieck der Geraden. Vertiefung: Ist nicht ganzzahlig, so fällt das Alesen i Koordinatensyste schwer zw. ist nicht genau öglich. Es gilt aer (vergleiche das zweite Taellenlatt it de Naen x Bruch fest ): 6. Ist, so geht die Gerade durch den Punkt B( / ), denn =. 7. Das Dreieck OQB aus Ursrung O( 0 / 0 ), Q( / 0 ) und B( / ) ist eenfalls ein Steigungsdreieck der Geraden, denn wegen der Proortionalität gilt BQ : OQ = AP : OP =. 8. Man kann also auch andere Punkte der Geraden nutzen, u azulesen, insesondere solche it ganzzahligen Koordinaten. Liegt etwa der Punkt R( u / v ) v auf der Geraden und sind u und v ganzzahlig, so ist. u Dieser zentrale Sachverhalt sollte geeinsa it den Schüler(innen) anhand einer entsrechenden Zeichnung z.b. an der Tafel zw. auf OHP-Folie erareitet und anschließend it de EXCEL-Taellenlatt verifiziert werden. Seite 3

4 Areitslatt 2 Vorereitung: Öffne die EXCEL-Taelle linfunk.xls und dort das dritte Taellenlatt it de Naen x+ fest. Du siehst dort (vgl. A.2): Ein festes Koordinatensyste it einer Geraden 2 Schieeregler, it denen du und in Schritten variieren kannst A.2 Eine Wertetaelle für -14 x 14 und Angaen für die Schnittstellen der Geraden it der x-achse ( = Nullstelle) und der y-achse ( = y-achsenaschnitt) Aufgaen: ( Der eigefügte Protokollogen hilft dir wieder ei der Lösung! ) 1. Lasse zunächst unverändert und variiere it de Schieeregler nur den Wert für! Welche Änderungen des Wertes von haen welche Auswirkungen auf die Gerade und auf die Wertetaelle? Schreie deine Beoachtungen öglichst systeatisch auf! 2. Untersuche nun, welche Auswirkungen die Änderung eider Paraeter und hat! Schreie deine Beoachtungen wieder öglichst systeatisch auf! 3. Üerlege schließlich, wie du eine Gerade zu x *x+ leicht seler zeichnen kannst zw. wie du ei einer vorgelegten Geraden die Paraeter und leicht alesen zw. eritteln kannst! Verwende ei Bedarf auch das vierte Taellenlatt it de Naen x+ variael, ei de du die Werte für,, Schrittweite und linke Grenze als Brüche it is zu dreistelligen Zählern und Nennern zw. als Dezialzahlen it is zu zwei Nachkoastellen frei eingeen kannst. Hinweise / Leitfragen zur Beareitung der Aufgaen: 1. Achte ei den Aufgaen esonders darauf, wo jeweils die Koordinatenachsen geschnitten werden! 2. Gehe ei Aufg.2 systeatisch vor, d.h.: a) Stelle ein und variiere dann! ) Stelle ein und variiere dann! ( Solche Untersuchungen nennt an ceteris-arius-analysen ) Was assiert jeweils it den von den Geraden zu x *x (vgl. Areitslatt 1) ekannten Steigungsdreiecken? Seite 4

5 Protokollogen zu Areitslatt 2 Fülle ei Beareiten der Aufgaen öglichst alle weißen Felder sinnvoll aus! Gerade y-achsenaschnitt Nullstelle 1 variiert, > 0 Die ursrünglich dargestellte Gerade wird 1 variiert, < 0 Die ursrünglich dargestellte Gerade wird elieig, aer fest variiert, 0 ewirkt variiert 0 fest ewirkt elieig, 0 elieig, 0 elieig, 0 elieig, 0 Jede Gerade geht durch die drei Punkte S( 0 / ), A( 1 / ) und N( / 0 ). Sowohl das Dreieck it den Eckunkten S, P( 1 / ), A als auch das Dreieck it den Eckunkten O( 0 / 0 ), ( / ) und ( / ) sind Steigungsdreiecke der Geraden. Der Punkt B( / + ) Das Dreieck SQB it S( 0 / ), Q( / ) und B( / + ) ist Man zeichnet die zu x *x+ gehörige Gerade, inde an Man erittelt für eine gezeichnet vorliegende Gerade die Paraeter und, inde an Seite 5

6 Intendierte Lösungseleente zu Areitslatt 2: Zu Aufgae 1: Durch eine Änderung von wird die Gerade zu x x u Einheiten arallel verschoen, und zwar für > 0 nach oen und für < 0 nach unten. Entsrechend ändern sich der y-achsenaschnitt und die Nullstelle: Der neue y-achsenaschnitt ist und die neue Nullstelle ist, die Geraden gehen also durch die Punkte S( 0 / ) und N( / 0 ). Ferner gehen sie durch den Punkt A( 1 / +1 ). Zu Aufgae 2: a) Auch für jedes 0 ewirkt lediglich eine Parallelverschieung der Geraden zu x *x nach oen ( > 0 ) zw. nach unten ( < 0 ). Der neue y-achsenaschnitt ist ier, d.h. jede Gerade geht durch S( 0 / ). ) Lässt an 0 unverändert und variiert nur, so dreht sich die Gerade u ihren Schnittunkt S( 0 / ) it der y-achse. Für jede Variation it 0 und 0 gilt: Die Nullstelle ist, d.h. die Gerade geht durch N( / 0 ). Ferner geht die Gerade jeweils durch den Punkt A( 1 / + ). Ist schließlich, so geht die Gerade durch den Punkt B( / + ), denn + = +. Steigungsdreiecke sind nun zu Beisiel das Dreieck SPA it P( 1 / ) und das Dreieck SQB it Q( / ). Zu Aufgae 3: 1. Zeichnen der zu x *x + gehörigen Geraden: Will an die zu x *x + gehörige Gerade in eine Koordinatensyste zeichnen und ist ganzzahlig, so arkiert an je nach Eintragarkeit zwei der Punkte S( 0 / ), A( 1 / + ), N( / 0 ) und zeichnet die Verindungsgerade. Ist dagegen, so arkiert an je nach Eintragarkeit zwei der Punkte S( 0 / ), B( / + ), N( / 0 ) und zeichnet die Verindungsgerade. 2. Alesen der Funktionsvorschrift ei einer vorliegenden Geraden: Hat an ugekehrt in eine Koordinatensyste eine Gerade it y-achsenaschnitt und liegt der Punkt A( 1 / y ) auf der Geraden, so ist die Steigung y und die Zuordnungsvorschrift lautet x *x +. Kann an ei Punkt A( 1 / y ) die y-koordinate nicht genau alesen und findet an stattdessen auf der Geraden einen Punkt B( / + ) it alesaren Koordinaten, so ist die Steigung. Zusaenfassung: Zu jeder linearen Funktion x *x + gehört als Grah eine Gerade it der Steigung und de y-achsenaschnitt. Jede Gerade ist durch ihre Steigung und ihren y-achsenaschnitt eindeutig estit. Kennt an und, kann an die Gerade leicht zeichnen. Hat an die Gerade, kann an und leicht alesen zw. eritteln. Seite 6

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