Elementargeometrie. Kapitel 2: Ähnlichkeitsabbildungen, Vorlesung 2: Die Strahlensätze. Skript zur gleichnamigen Vorlesung im WS 2009/20010

Transkript

1 Kaitel 2: Ähnlichkeitsaildungen, Vorlesung 2: Die Strahlensätze Elementargeometrie Skrit zur gleichnamigen Vorlesung im WS 2009/20010 Vorlesung 2: Die Strahlensätze

2 Kaitel 2: Ähnlichkeitsaildungen, Vorlesung 2: Die Strahlensätze 1. Das Anliegen der Vorlesung Die Strahlensätze ilden die Grundlage der Ähnlichkeitsgeometrie. 2. Der Projektionssatz 2.1. Parallelrojektion Parallelrojektionen werden insesondere zur Generierung zweidimensionaler Bilder von dreidimensionalen Ojekten angewendet. Hierzu zeichnet man eine esondere Eene im Raum aus. Ferner wird durch eine Gerade, die nicht arallel zu ist, eine Richtung ausgewählt.1 Das Bild eines elieigen Punktes ei der Parallelrojektion mit der Richtung und der Bildeene ist der Schnittunkt des Reräsentanten aus, der durch P geht, mit der Bildeene. Auch eine Aildung einer Eene auf eine Gerade ist er Parallelrojektion möglich: Definition (Parallelrojektion einer Eene auf eine Gerade) Es sei eine Gerade in einer Eene. Ferner sei eine gerade aus die nicht arallel zu ist. Es sei ein elieiger Punkt aus. Ferner sei eine Gerade, die durch geht und arallel zu ist. Das Bild von P ei der Parallelrojektion mit der Bildgeraden und der durch eindeutig estimmten Richtung ist der Schnittunkt von mit der Bildgeraden. P P P' 2.2. Satz: (Projektionssatz) Es sei eine Parallelrojektion der Eene auf die Gerade. sei die Richtung von. Ferner seien Punkte einer Geraden, die zu aer nicht zu gehört. Wenn für alle mit gilt, dann gilt auch für alle mit. 1 Unter einer Richtung versteht man eine Äquivalenzklasse nach der Relation arallel auf der Menge der Geraden des Raumes.

3 Kaitel 2: Ähnlichkeitsaildungen, Vorlesung 2: Die Strahlensätze Beweis des Projektionssatzes Wir gehen aus von der Parallelrojektion mit der Bildgerade und der Projektionsrichtung. Ferner sei eine nicht zu gehörige Gerade mit den äquidistanten Punkten der Eene. Wir haen zu zeigen, dass auch die Bilder der Punkte äquidistant sind. ei der Parallelrojektion Fall1: Die Gerade ist zur Bildgeraden arallel. P 5 P 4 5 P 3 P 2 P P' 5 1 P' 4 P' 3 P' 2 P' 1 g Für alle i mit sind die Vierecke wegen und der Parallelität der Projektionsgeraden Parallelogramme. Nach dem ereits ewiesenen Satz üer die Kongruenz gegenüerliegender Seiten von Parallelogrammen gilt jetzt: Ergo: Die Bildunkte sind äquidistant. Fall 2: Die Gerade ist zur Bildgeraden nicht arallel.. Wegen der Kongruenz gilt damit auch. P 4 P 3 P2 P 1 g P' 4 P' 3 P' 2 P' 1

4 Kaitel 2: Ähnlichkeitsaildungen, Vorlesung 2: Die Strahlensätze Der Einfachheit haler zeigen wir nur den allgemeinen Fall üertragen.. Der eweis lässt sich dann analog auf P 4 P 3 P2 P 1 g P' 4 P' 3 P* 2 g 3 P* 1 P' 2 P' 1 g 2 Es sei die Parallele durch zu. sei der Schnittunkt von mit. Es sei die Parallele durch zu. sei der Schnittunkt von mit. Die Dreiecke und sind jetzt kongruent zueinander. (Der Leser üerzeuge sich davon.) 2.3. Anwendung des Projektionssatzes zur Streckenteilung Die Wahl der Bildgeraden war unter Wahrung der Tatsache, dass sie nicht arallel zur Projektionsrichtung sein darf, elieig. Der Projektionssatz kann damit zur Teilung einer elieigen Strecke in n kongruente Teilstrecken verwendet werden. Üungsaufgae: Teilen Sie eine elieige Strecke in 7 kongruente Teilstrecken. Begründen Sie Ihre Konstruktion. 3. Die Strahlensätze 3.1. Das Teilverhältnis Definition: (inneres Teilverhältnis einer Strecke) Es sei eine gerichtete Strecke mit dem inneren Punkt. Der Quotient aus der Länge der gerichteten Strecke durch die Länge der gerichteten Strecke heißt das innere Teilverhältnis des Punktes ezüglich der Punkte und. Bemerkung: Beachten Sie, dass wir von gerichteten Strecken ausgehen.

5 Kaitel 2: Ähnlichkeitsaildungen, Vorlesung 2: Die Strahlensätze Satz Üungsaufgae: Man eweise oigen Satz. Satz: (Das Teilverhältnis als Invariante ei Parallelrojektionen) Beweis Für jede Parallelrojektion und jede Strecke, die nicht auf einer zur Projektionsrichtung arallelen Geraden liegt, gilt. (Anders: Das Teilverhältnis auf Geraden, die nicht zur Projektionsrichtung arallel sind, ist eine Invariante ei Parallelrojektionen. Wir eweisen nur für den Fall, dass eine Eene auf eine Gerade rojiziert wird. (Der Satz gilt auch im räumlichen Fall.) Es sei eine Parallelrojektion der Eene auf die Gerade mit der Projektionsrichtung. Ferner sei eine Strecke mit dem inneren Punkt. Die Gerade möge nicht zur Projektionsrichtung gehören. zu zeigen: Fall 1: trivial, da jede Bildstrecke zu ihrem Original kongruent ist. (Der Leser eweise dieses.) Fall 2: Fall 2a: fällt mit zusammen: AT = 4,0 cm TB = 3,0 cm AT TB = 1,33 S A' A A'T' = 3,7 cm T'B' = 2,8 cm A'T' T'B' = 1,33 T' T B' B Teilen jetzt derart in äquidistante Teilstrecken, dass daei Anfangsunkt einer und Endunkt einer weiteren dieser Teilstrecken ist.

6 Kaitel 2: Ähnlichkeitsaildungen, Vorlesung 2: Die Strahlensätze AT = 4,0 cm TB = 3,0 cm AT TB = 1,33 S A' A A'T' = 3,7 cm T'B' = 2,8 cm A'T' T'B' = 1,33 T' T B' B