Dr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit. = d

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1 Universität Regensurg WS 008/09 Kein Ansruch auf Vollständigkeit 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 3.. Quadratische Gleichungen 3... Definition Eine quadratische Gleichung wird durch die Form a + + c = 0 mit a 0 in der Varialen festgelegt Reinquadratische Gleichung Jede reinquadratische Gleichung lässt sich auf die Form = d ringen. a + c = 0 + c a = 0 = c a Für c a = d ergit sich: = d Lösung reinquadratischer Gleichung Wir können die Lösungen reinquadratischer Gleichungen der Form = d als Nullstellen der Funktion mit der Gleichung = d verstehen. Die Anzahl der Nullstellen und damit die Anzahl der Lösungen ist ahängig von d. Für d > 0 gilt: = d = d = d = d Kurzschreiweise: / = ± d L = { d ; d } 0 Für d = 0 fallen eide Lösungen zusammen: L = {0} Für d < 0 git es keine Lösung: L = 3... Gemischtquadratische Gleichungen Eine gemischtquadratische Gleichung wird durch die Form a + + c = 0 mit a 0 in der Varialen festgelegt Zeichnerisches Lösungsverfahren Die Lösungen der Gleichung a + + c = 0 sind die Nullstellen der Funktion f mit der Gleichung = a + + c. Sie können also zeichnerisch ermittelt werden. Man zeichnet die zur Gleichung gehörige Parael. Sofern gemeinsame Punkte der Parael mit der -Achse eistieren, estimmt man aus der Zeichnung deren Koordinaten. Die Aszissen dieser Punkte sind die gesuchten Lösungen der quadratischen Gleichung. Eistieren keine gemeinsamen Punkte der Parael mit der - Achse, so ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung leer. = 3 = Rechnerisches Lösungsverfahren Man ringt die Gleichung durch quadratische Ergänzung auf die Form ( + a) = d. Für d > = 0 erhält man durch Radizieren der eiden Seiten und entsrechendes Umformen die Lösungsmenge. Ist d < 0, ist die Lösungsmenge der Gleichung leer Lösungsformel für die Normalform einer quadratischen Gleichung Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ringen wir durch Division mit a 0 auf die Normalform.

2 Universität Regensurg WS 008/09 Kein Ansruch auf Vollständigkeit 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit a + + c = 0 + a + c a = 0 a,, c 0 Mit a = und c a = q ergit sich: + + q = 0 Gleichung: + + q = 0 Quadratische Ergänzung: + + ( ) Zusammenfassen: ( + ) = Radizieren für q = > 0: + = Lösung: = + ( ) q Kurzschreiweise: / = ± q = q q = q q mit q = > Lösungsformel für die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung Man verwendet die Lösungsformel für die Normalform einer quadratischen Gleichung und macht die Umenennung der Koeffizienten wieder rückgängig. Mit = a und q = c ergit sich: a = a + c a a = a a c a = a + a ac = a a ac Lösung: = + ac a = ac a mit ac = > 0 Es ist darauf hinzuweisen, dass letztlich nur für eine reinquadratische Gleichung eine Lösung angegeen werden kann. Liegt eine quadratische Gleichung nicht in dieser Form vor, muss sie durch quadratische Ergänzung auf die reinquadratische Form geracht werden Diskriminantenedingung In den Lösungsformeln für quadratische Gleichungen treten Wurzeln auf. Den Term unter der Wurzel nennt man Diskriminante. Wir unterscheiden drei Fälle: Gleichung Diskriminante Normalform Allgemeine Form + + q = 0 a + + c = 0 D = q D* = ac. Fall: D > 0 zw. D* > 0 Ist die Diskriminante größer null, so ergeen sich aus der allgemeinen Lösungsformel die zwei verschiedenen Lösungen und. Man schreit verkürzt: ± D * / = ± D / = L = { ; } a. Fall: D = 0 zw. D* = 0 Ist die Diskriminante gleich null, so ergit sich nur eine Lösung =. Man schreit verkürzt: = = ± 0 = = = ± 0 a = L = { a }

3 Universität Regensurg WS 008/09 Kein Ansruch auf Vollständigkeit 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 3. Fall: D < 0 zw. D* < 0 Ist die Diskriminante kleiner null, so ist der Term D zw. D* nicht definiert. Die Gleichung hat in IR keine Lösung: Geometrische Bedeutung der Diskriminantenedingung Die Anzahl der Schnittunkte einer Parael mit der Gleichung = a + + c mit der -Achse und die möglichen Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung stehen für a > 0 in folgendem Zusammenhang: geometrisch algeraisch s < 0 Schnittunkte D > 0 D* > 0 Lösungen s = 0 Schnittunkt D = 0 D* = 0 Lösung s > 0 kein Schnittunkt D < 0 D* < 0 keine Lösung L = s 3... Diskriminantenuntersuchung ei Gleichungen mit Formvarialen Tritt in einer quadratischen Gleichung neen der Hautvarialen auch eine Formvariale auf, so hängt die Lösarkeit der Gleichung von dieser Formvarialen a. Mit Hilfe der Diskriminantenedingung kann die Lösarkeit der Gleichung untersucht werden Zusammenhang zwischen Koeffizienten von quadratischen Gleichungen Für estimmte quadratische Gleichungen der Form + + q = 0 ist ein Zusammenhang zwischen den Koffizienten und q und den Lösungen und der Gleichung auffällig. Die Gleichung + + q = 0 soll die Lösungen und haen. Die Gleichung ( ) ( ) = 0 hat die gleichen Lösungen. Ausmultilizieren: + = 0 Ausklammern: ( + ) + = 0 Vergleich mit der Normalform: + + q = 0 Also gilt: = ( + ) q = Diesen Zusammenhang nennen wir Satz von Vieta Beisiel: Die Gleichung 3 0 = 0 hat die Lösungsmenge L = { ; 5}. Proe: ( + ) = ( + 5) = 3 = = ( ) 5 = 0 = q Eine quadratische Gleichung mit den Lösungen und kann also umgeschrieen werden in die Form ( ) ( ) = 0. Da die Variale in den Faktoren der linken Gleichungsseite nur in der ersten Potenz vorkommt, sricht man von einer Zerlegung des quadratischen Terms in Linearfaktoren.

4 Universität Regensurg WS 008/09 Kein Ansruch auf Vollständigkeit 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit Wurzelgleichungen der Form T = T + T 3 Beim Quadrieren leit auf der rechten Seite eine Wurzel. Diese wird isoliert und durch erneutes Quadrieren eseitigt. Wir zeigen die Vorgehensweise an einem Beisiel. Gegeen: + 3 = + DI = { = > 6} Gesucht: L Quadrieren: ( + 3 ) = ( + ) + 3 = Isolieren der Wurzel: + = Erneut Quadrieren: ( + ) = 8 8 = 0 D = + 8 = 6 Lösen der Gleichung: / = ± 6 = ± 8 = = Proe: = + 3 = + 5 = 5 (w) = + 3 = 8+ 3 = ( f ) Lösungsmenge der Wurzelgleichung: L = {} Es wird darauf hingewiesen, dass Radizieren und Potenzieren keine Äquivalenzumformungen sind. Kulturhistorische Informationen Smolik in der Algera Ülicherweise wurde in alten Zeiten die Mathematik in Form schwerfälliger Tete etrieen und war nur für wenige Sezialisten verständlich. Erste mathematische Smole finden sich zwar ereits im Altertum, trugen jedoch wenig zu einem esseren Verständnis der Mathematik ei. So waren eisielsweise die römischen Ziffern völlig ungeeignet, um etwa die Addition zweier Zahlen in eine einfache Form zu ringen. Im Mittelalter waren es vor allem die Rechenmeister, welche allgemeinverständliche Akürzungen und Smole in die Mathematik einführten. Besonders zu erwähnen ist hier der Deutsche ADAM RIES. Im 6. Jahrhundert emühten sich viele Mathematiker, die Schwerfälligkeit der mathematischen Srache durch die Entwicklung einer Platz sarenden und einrägsamen Smolik zu eheen. Besondere Verdienste hat sich hierei der Franzose FRANÇOIS VIÈTE erworen. So gehen auf VIÈTE das Pluszeichen, das Minuszeichen, der Bruchstrich und die Bezeichnung von Varialen mit Buchstaen zurück. Dennoch war seine Schreiweise für heutige Verhältnisse noch sehr komliziert. ADAM RIES Smolik ei Viète cind ain + ain aequale in h c f heutige Smolik a cd a + = h c f François Viète

5 Universität Regensurg WS 008/09 Kein Ansruch auf Vollständigkeit 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 3... Üungslatt: Quadratische Gleichungen. Für welche Belegungen der Formvarialen m ist 8 + m = 0 in IR nicht lösar?. Löse die Wurzelgleichung + = Zeichne den Grahen der Funktion f mit = + mit Hilfe der Paraelschalone..3 Taellarisiere die Funktion f mit = + 8 für [ ; 6] und =. Zeichne den Grahen.. Welche Bedeutung hat der Schnittunkt der Grahen für die Wurzelgleichung? 3.0 Die Ungleichung < = 0,5 ist gegeen. 3. Zeichne die Grahen mit = und g mit = 0,5 für [ ; ] mit Δ = in ein Koordinatensstem ein. 3. Berechne die Nullstellen des Grahen. 3.3 Zeichne den Grahen zu =. 3. Lies aus der Grafik dasjenige Intervall a, für das die Ungleichung aus 8.0 erfüllt ist. Zwei Pumen füllen einen Behälter in 3 Minuten. Wenn eide Pumen einzeln areiten, raucht eine Pume 5 Minuten mehr als die andere. Berechne die Füllzeiten, wenn jede Pume alleine areitet. Lösung. m <. = 3. vgl. Zeichnung 3. = 0 ( ) = 0 = 0 = 3.3 vgl. Zeichnung 3.,5 < = = <, Die Füllzeit eträgt 57,35 Minuten. - - O 3 - Zu 3