VIII Gleichungen & Ungleichungen

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1 Propädeutikum /6. September 018

2 Quadratische Gleichungen Logarithmengleichungen Gleichungen Äquivalente Umformungen Seien T 1 und T zwei mathematische Terme. Gleichungen (T 1 = T ) können durch äquivalente Umformungen (Ursprung: Geldtausch, bei dem der Wert gleich (aequus) ist (valere)) vereinfacht und gelöst werden. Das sind die Grundrechenarten der 1. und. Stufe. 1. T 1 + T 3 = T + T 3 Terme T 3. T 1 T 3 = T T 3 Terme T 3 0 Aufgabe in der VL Formen Sie die Gleichung äquivalent um. Worauf müssen Sie achten? 7 x 9 = 49 7x x

3 Quadratische Gleichungen Logarithmengleichungen Bemerkung Beim Potenzieren können Scheinlösungen auftauchen, deshalb ist eine PROBE notwendig. Beispiel: x = 1 x = 1 x 1, = ±1 Normalform Der Term eines Polynoms ist in Normalform, wenn vor der höchsten Potenz der Unbekannten der Koezient 1 steht. x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 Quadratische Normalform: x + px + q Kubische Normalform: x 3 + ax + bx + c

4 Quadratische Gleichungen lösen Quadratische Gleichungen Logarithmengleichungen Eine quadratische Gleichung in Normalform 0 = x + px + q hat die Lösung x 1, = p ± (p ) q Beweis: x + px + q = 0 ( x + p ) ( p ) + q = 0 ( x + p ) ( p ) p = q x + = x 1, + p = ± (p ) q (p ) q x 1, = p ± (p ) q

5 Quadratische Gleichungen Logarithmengleichungen Bemerkungen ( p ) 1 Eigenschaften: d = q ist die Diskriminante Ist d > 0, so existieren reelle Lösungen, ist d = 0, so existiert 1 reelle Lösung ( Lösungen fallen zusammen Doppelwurzel) und wenn d < 0 ist, so existieren komplexe Lösungen. Eine allgemeine quadratische Gleichung ax + bx + c = 0 kann in x + b a x + c a = 0 überführt werden. Somit ist p = b a und q = c a und es gilt die Mitternachtsformel x 1, = b a ± b 4ac 4a 3 Bei Gleichungen dritten Grades spaltet man einen Linearfaktor (x x s ) mittels Polynomdivision ab, sofern x s eine Nullstelle ist und erhält so wieder eine quadratische Gleichung.

6 Quadratische Gleichungen Logarithmengleichungen Aufgaben in der VL Lösen Sie folgende Gleichungen: 1 x (x ) = (x ) 4 (x + 1) x + x x + x 4 = 1 3 x 6 + x 5 3x 4 = 0 4 3x x 108 = 0 5 x 3 + x 4x + 4 = 8

7 Quadratische Gleichungen Logarithmengleichungen Bei tritt die Unbekannte mindestens einmal im Radikant einer Wurzel auf. Beispiel 3 x + 1 = 0 1. Schritt: Wurzel isolieren 3 x + 1 =. Schritt: Potenzieren x + 1 = 8 x = 7 Scheinlösungen können entstehen PROBE: = 0 w.a. Aufgabe in der VL Geben Sie die Lösungsmengen an: 4 x + 3 x + 1 = 0 x x 4 = 5

8 Quadratische Gleichungen Logarithmengleichungen Bei tritt die Unbekannte nur im Exponenten auf. Sie sind daher häug nicht lösbar, nur wenn die sie die folgende Form haben: a P 1(x) = b P (x) a, b, c R +, P 1 (x), P (x) sind Polynome. Fall 1: a = b, dann wende log a auf beiden Seiten an P 1 (x) = P (x) Fall : a b, beliebiger Logarithmus anwendbar P 1 (x) log c a = P (x) log c b P 1 (x) = P (x) log c b log c a P 1 (x) = P (x) log a b Aufgabe in der VL Bestimmen Sie die Lösungsmengen: 5 3x 5 = 5 x x 1 = 4 x+1 3 3x x+1 = 8

9 Logarithmengleichungen Gleichungen Quadratische Gleichungen Logarithmengleichungen Bei Logarithmengleichungen tritt die Unbekannte im Argument einer logarithmischen Funktion auf. Da die Lösung nur für positive Argumente deniert ist, muss der Denitionsbereich bestimmt werden. Anschlieÿend wird wieder die Probe des Ergebnisses gemacht. 1. Schritt: Logarithmusgesetze anwenden und Gleichung auf folgende Formen bringen: log a P 1 (x) = b a 1 oder log a P 1 (x) = log a P (x). Schritt: Potenziere P 1 (x) = a b P 1 (x) = P (x) 3. Schritt: PROBE Bemerkung: Bei log a P 1 (x) = log b P (x) versuchen Basen mit Logarithmusgesetzen umzuwandeln.

10 Quadratische Gleichungen Logarithmengleichungen Aufgaben in der VL Geben Sie die Lösungsmengen an. 1 log 4 x log 4 (x ) = log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (x + 4) 3 log 9 (x + 1) = log 3 (x + 1) Aufgaben aus der VL Bestimmen Sie die Lösungsmengen der nachfolgenden Gleichungen. 1 x + x 6 = x x 3 = x 3 x 4 6x 4x = 0 4 6x = 4 x x+1 5 x+ = 3 x+4 5 x+3 6 log 5 x + log 5 (x 1) = log 5 (x + 4)

11 Bruchungleichungen Quadratische Betragsungleichungen Umformungen von Seien T 1, T, T 3 mathematische Terme. haben die Form T 1 < T, T 1 T, T 1 > T oder T 1 T. Es gilt: 1. T 1 < T T > T 1. T 1 < T und T < T 3 T 1 < T 3 (Transitivität) 3. T 1 < T T 1 + T 3 < T + T 3 { < T T 3, falls T 3 > 0, 4. T 1 < T T 1 T 3 > T T 3, falls T 3 < 0. Analog für die anderen Relationszeichen. Aufgaben in der VL Geben Sie die Lösungsmengen der an. x + x + 3 x + 3 x 1 3 x 3 > x 1 3

12 Bruchungleichungen Quadratische Betragsungleichungen Bruchungleichungen Bruchungleichungen lösen am Beispiel: x + 1 1, x 1 Beide Seiten mit dem Hauptnennern der auftretenden Brüche multiplizieren. Pro Multiplikation entsteht eine Fallunterscheidung. Fall 1: x + 1 > 0 x > 1 I 1 = ( 1, ) x x x I = [1, ) Das erste Lösungsintervall ist L 1 = I 1 I = [1, ) = I Fall : x + 1 < 0 x < 1 I 3 = (, 1) x x x I 4 = (, 1] Das zweite Lösungsintervall ist L = I 3 I 4 = (, 1) = I 3 Damit ist die gesamte Lösungsmenge L = L 1 L = R \ [ 1, 1)

13 Bruchungleichungen Quadratische Betragsungleichungen Aufgaben in der VL Lösen Sie die folgenden : 1 3x 8 x 1 > 5, x 1 x x 1 x x +, x 1 Aufgaben aus der VL Lösen Sie die folgenden : 1 3x + 9 x 3 > 6, x 3 x + 1 x 1 3, x 1

14 Bruchungleichungen Quadratische Betragsungleichungen Quadratische Schrittfolge bei quadratischen am Beispiel: x 6x 5 1. Schritt: Ungleichung in Normalform umformen Parabel ist immer nach oben geönet. x 6x Schritt: Nullstellen bestimmen x 1, = 3 ± x 1 = 5 und x = 1 Die Lösungsmenge ist also L = [1, 5]

15 Bruchungleichungen Quadratische Betragsungleichungen Fallunterscheidung nach Nullstellen bei quadr. 1. P(x) hat verschiedene reelle Nullstellen x 1, x Falls P(x) 0 L = [x 1, x ], P(x) < 0 L = (x 1, x ) (innerhalb des Intervalls) Falls P(x) > 0 L = R \ [x 1, x ] P(x) 0 L = R \ (x 1, x ) (auÿerhalb des Intervalls). P(x) hat eine doppelte Nullstelle x 0 Falls P(x) 0 L = {x 0 } Falls P(x) < 0 L = Falls P(x) 0 L = R Falls P(x) > 0 L = R \ {x 0 } 3. P(x) hat keine reelle Nullstelle P(x) > 0 x R es gibt keine x R, so dass P(x) 0 oder P(x) < 0 gilt.

16 Bruchungleichungen Quadratische Betragsungleichungen Aufgaben in/aus der VL Geben Sie die Lösungsmengen an: 1 x + x > 3 x < x < 3x 6x x 6 < x 5 x 3x 6 x + 9 x 7 x 4x 4 8 x + 4 < x 11x 9

17 Bruchungleichungen Quadratische Betragsungleichungen Betragsungleichungen Betragsungleichungen am Beispiel 3 5x > 5 Fall 1: 3 5x < 0 3 ( ) 3 5 < x I 1 = 5, Dann wird die Betragsungleichung folgendermaÿen aufgelöst: (3 5x) > 5 x > 8 ( ) 8 5 I = 5, L 1 = I 1 I = I Fall : 3 5x x I 3 = 3 5x > 5 5 > x I 4 = (, 3 ] 5 (, ) 5 L = I 3 I 4 = I 4 L = L 1 L = R \ [ 5, 8 ] 5

18 Bruchungleichungen Quadratische Betragsungleichungen Aufgaben in/aus der VL Geben Sie die Lösungsmengen der folgenden an: 1 x + 7 x 5 > (x + 1) 3 x 5 < x x + + x + 3 > 1 5 x x x + x 1 > 0