Kleine Regelsammlung zur 2. Woche Vorkurs Mathematik, Kai Ekhard

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1 Kleine Regelsammlung zur 2. Woche Vorkurs Mathematik, Kai Ekhard Hier findet ihr eine kleine Wiederholung, zu den Themen die wir in der 2. Kurswoche bearbeitet haben. Das waren Gleichungen, Funktionen und ein Einstieg in die Geometrie. 1. Gleichungen Motivation: Thomas hebt von seinem Bankkonto 75 e ab und kauft dann eine Flasche Wein für 4,50 e und 2 Kästen Bier. Danach hat er noch 48,50 e übrig. Wie teuer war ein Kasten Bier, wenn er vor dem Bankbesuch 0 e im Geldbeutel hatte? Lösung: Der Preis eines Kastens sei X e: 75e 4, 50e 2 Xe = 48, 50e 70, 50e 2 Xe = 48, 50e 70, 50e 2 Xe = 22e ( 2) Xe = 11e Also kostet ein Kasten genau 11 e. Wir haben also X isoliert und so die Aufgabe gelöst. Nun eine kleine Definition von Gleichungen: a) Gleichungen wie T 1 = T 2, sind durch Gleichheitszeichen verbundene Rechenausdrücke (Terme) T 1 und T 2. Beispiel: x + 1 = 4x, x 2 = 0, sin(x) = 1, e x + e x = 0 u.s.w. b) Bemerkung: 1) a = b b = a (Symmetrie), 2) a = b und b = c a = c (Transitivität). Ich kann eine Gleichung also in beide Richtung lesen und zwei Gleichungen gegebenenfalls zusammenfassen. c) Zum Lösen einer Gleichung, formt man solange um, bis die gesuchte Variable (Unbekannte) alleine auf einer Seite des =-Zeichens steht. Die Menge, die eine gegebene Gleichung lösen, wird Lösungsmenge genannt und meist mit L bezeichnet. Die Menge der Zahlen, die in die Gleichung oder die Terme eingesetzt, sinnvolle/definierte Ausdrücke ergeben, wird Definitionsbereich/-menge genannt und mit oft D bezeichnet. Sinnvoll/Definiert heißt, dass man nicht durch 0 teilt, keine negative Wurzel zieht, den Logarithmus nur für positive Zahlen berechnet u.s.w.. Dabei ist auf die Grundmenge zu achten, mit der man rechnet (meist R oder C). Umformungen, die sowohl Definitionsbereich, als auch die Lösungsmenge einer Gleichung erhalten (nicht vergrößern oder verkleinern), werden Äquivalenzumformungen genannt. d) Hat meine eine = Beziehung zwischen 2 Termen, so gibt es folgende Äquivalenzumformungen: 1. Addition/Subtraktion: a = b a + c = b + c, c R sowie a = b a c = b c, c R Beispiel: 3x + 1 = 1 1 3x = 0 haben beide D = R und L = {0}. Die Gleichung ist nämlich für alle x R definiert und gelöst wird sie nur von der Multiplikation/Division: a = b a c = b c, c R \ {0} sowie a = b a c = b c, c R \ {0} Beispiel: 2x = 12 2 x = 6 beide mit D = R und L = {±2}, denn man darf alles einsetzen und gelöst wird die Gleichung von ±2. (Warum?) e) Q: Wieso ist die Multiplikation/Division mit 0 keine Äquivalenzumformung? A: Das man nicht durch 0 teilen darf, ist jedem aus der Schule bekannt. Deswegen hier ein Beispiel zu der Multiplikation mit 0: x = 3 hat die Lösungsmenge L = {3}. Multipliziere ich beide Seiten mit 0, so erhalte ich 0 = 0, was auch verstanden werden kann als 0x = 0. Hier ist die Lösungsmenge L = R, denn die neue Gleichung ist für jedes x R erfüllt. Somit wurde die Lösungsmenge verändert und die Definition der Äquivalenzumformung (siehe 1.c) wurde verletzt. f) Lineare Gleichungen sind Gleichungen der Form ax + b = 0 mit a, b R b.z.w. Gleichungen, die sich in diese Form umformen lassen. In ihnen tritt die Unbekannte/Variable nur als Einserpotenz auf. Beispiele: 3x + 2 = 0, 4x = 4, 0.5x = 0, 4x + 3 x + 12x = 4 12 u.s.w. Allgemein gilt für die Gleichung ax + b = 0: für a 0 ist L = { b a } Beispiel: 3x + 3 = 0 3, 3 x = 3 3 = 1 für a = 0 und b = 0 ist L = R Beispiel: 3x + 1 = 3x + 1 (3x + 1) 0 = 0 für a = 0 und b 0 ist L = Beispiel: x + 3 = x x 3 = 0 g) Quadratische Gleichungen sind von der Form ax 2 + bx + c = 0 mit a, b, c R oder einer Form, die sich in erstere äquivalent überführen lässt. Beispiele: x 2 + x + 1 = 0, 2x 2 + 4x = 0, x 2 = 4x + 3, x = x 2 u.s.w. Für reinquadratische Gleichungen x 2 = a gilt: ist a > 0, so ist L = {± a} Beispiel: x 2 = 4 x 2 = x = 2 also L = {±2} ist a = 0, so ist L = {0} ist a < 0, so ist L = in R. In C wäre L = {±i a} mit imaginären Einheit i für die gilt 1 = i 1

2 h) Nicht alle quadratischen Gleichungen sind reinquadratisch. Zur Lösung einer solchen allgemeinen Gleichung, existieren 2 Formeln: 1. Die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0: x 1,2 = b± b 2 4ac 2a Beispiel: 2x 2 + 5x + 3 = 0 also x 1,2 = 5± = 5± = 5±1 4 x 1 = 6 4, x 2 = 1 2. Die PQ-Formel für (normierte) Gleichungen der Form x 2 + px + q = 0: x 1,2 = p 2 ( ± p 2 )2 q Beispiel: x 2 + 4x + 2 also x 1,2 = 4 2 ± ( 4 2 )2 2 = 2 ± 2 x 1 = 2 + 2, x 2 = 2 2 i) Anhand dieser Formeln kann man schon im Vorfeld die Anzahl der Lösungen ablesen. Ich zeige dies für die PQ-Formel. Für die Mitternachtsformel geht das analog: Setze D := ( p 2 )2 q und nenne dies die Diskriminante: ist D > 0, so existieren 2 Lösungen: x 1,2 = p 2 ± ( p 2 )2 q ist D = 0, so existiert 1 Lösung: x 1 = p 2 ± 0 = p 2 ist D < 0, so existiert keine Lösung in R, da wieder eine Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen wird. j) Gleichungen höherer Ordnung lassen sich nur mit weitaus mehr Aufwand lösen. Für Gleichungen der Form ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 und ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 existieren noch (ziemlich komplizierte) Formeln, darüber hinaus gibt es jedoch nichts allgemein gültiges, was sich nur mit den Grundrechenarten und dem Wurzelziehen ausdrücken lässt. Ein weiterer Lösungsansatz ist die Polynomdivision in 2.g. k) Bruchgleichungen sind Gleichungen, in denen, wie der Name schon vermuten lässt, Brüche vorkommen, deren Nenner von der gesuchten Variable abhängen. Bei der Umformung solcher Gleichungen, ist darauf zu achten, dass man jene Zahlen ausschließt, welche die Nenner 0 werden lassen. Man bestimmt 3 also den Definitionsbereich solcher Ausdrücke. Beispiel: x 1 = 4 4x 3. Man bestimmt nun für jeden Nenner, welcher x enthält, jeweils einen Definitionsbereich und schneidet am Ende alle diese Mengen. Also wann machen Brüche Probleme? Genau, wenn der Nenner 0 wird. Bestimme also die Lösungen für x 1 = 0 und 4x 3 = 0 1. x 1 = 0 +1 x = 1 also D 1 = R \ {1}. Ich darf im ersten Bruch die 1 nicht einsetzen. 2. 4x 3 = 0 +3, 4 x = 3 4 also D 2 = R \ { 3 4 }. 3 4 darf im 2. Bruch nicht eingesetzt werden. Das heißt, damit bei beiden Brüchen nichts schief geht, muss beides gelten, also: D = D 1 D 2 = R \ {1, 3 4 } Danach darf man dem Hauptnenner (das Produkt aller Nenner in denen x auftritt) die Gleichung durchmultipliziert werden, denn wir setzen ja mit dem Definitionsbereich voraus, dass dieses Produkt nicht 0 ist: 3 x 1 = 4 4x 3 (x 1) (4x 3) 3 (4x 3) = 4 (x 1) ausmultiplizieren! 12x 9 = 4x 4 4x, +9 8x = 13 8 x = 13 8 Also ist L = { 13 8 } denn 13 8 liegt in D. l) Auch bei Wurzelgleichungen muss vorher der entsprechende Definitionsbereich bestimmt werden, denn in R ziehen wir keine negativen Wurzeln. Bei Wurzeln besteht das Problem nicht aus einer Zahl, sondern aus einer ganzen Menge an Zahlen, nämlich alle Zahlen kleiner als 0. Beispiel: 4x + 1 = 3. Wann ist also 4x + 1 kleiner als 0? 4x + 1 < 0 1 4x < 1 ( 4) x > 1 4 Multiplizieren einer Ungleichung mit c < 0 dreht die Relation um! Also müssen wir alle Zahlen rausschmeißen, die größer als 1 4 sind. Für diese Zahlen wird nämlich der Radikant 4x + 1 < 0. Dann gilt: D = R \ {x R : x > 1 4 } = {x R : x 1 4 }. Nun geht es ans Auflösen nach x. Dazu isoliert man im allgemeinen eine auftretende Wurzel (es können ja auch mal mehr als eine sein) und quadriert die Gleichung. Dies wiederholt man so oft, bis alle Wurzeln beseitigt sind: 4x + 1 = 3 2 (quadrieren) 4x = 4x + 1 = 4x + 1 = 9 1, ( 4) x = 2 Nun ist es wichtig zu überprüfen, ob die Lösung im Definitionsbereich liegt. In diesem Fall ist 2 1 4, also ist L = { 2} Achtung: Es kann auch passieren, dass errechnete Lösungen nicht mehr die Ausgangsgleichung lösen. Beispiel: x = 4 hat die die Lösung 4 und x 2 = 4 2 = 16 hat die Lösung ±4. m) Für Logarithmengleichungen geht man sehr ähnlich vor, wenn es darum geht den Definitionsbereich zu bestimmen. Denn in der 1. Woche hatten wir gesehen, dass der Logarithmus nicht für Zahlen kleiner oder gleich 0 definiert ist. Also wird aus < nun ein. 2

3 Ersteinmal ein simples Beispiel: ln(x) = 1, 5 x = e 1,5 4, 48 und allgemein: log a (x) = b mit a, b, x R, a, x > 0 x = a b. Wir nutzen also nur die Definition des Logarithmus aus. Treten mehrere Logarithmen in einer Gleichung auf, so fassen wir diese zu einem Logarithmus zusammen. Dazu bestimmen wir vorher den Definitionsbereich jedes einzelnen Logarithmus und gehen über zur sicheren Seite, um den entgültigen Definitionsbereich zu erhalten. Beispiel & Vorgehen: ln(x + 1) = 1 + ln(x) 1. Bestimme D: x x 1 also D 1 = {x R : x > 1} und direkt ablesen kann man D 2 = {x R : x > 0}. Damit nun in beiden Logarithmen nichts schief geht, nehmen wir x > 0 als Bedingung, denn dies impliziert x > 1. Also gilt: D = {x R : x > 0}. Nun können wir umformen: 2. Zusammenfassen, entlogarithmieren und nach x auflösen: ln(x + 1) = 1 + ln(x) ln(x) ln(x + 1) ln(x) = 1 Logarithmengesetze anwenden! ln( x+1 x ) = 1 Definition anwenden! e 1 = x+1 x x 0 e x = x + 1 x e x x = (e 1) x = 1 (e 1) x = 1 e 1 > 0 also in D Also gilt: ln( 1 1 e 1 + 1) = 1 + ln( e 1 ). Fertig! n) Die letzte besprochene Gleichungsart, war die Exponentialgleichung. Dies sind Gleichungen, in denen x (für Lösbarkeit nur) im Exponenten auftreten: a x = b mit a, b, x R und a, b > 0 sowie a 1 x = log a (b). Wieder ein einfaches Beispiel zur Einführung: 3 x = 25 x = log 3 (25) = log 10(25 log10(3) 2, 93. Die Ausdrücke können jedoch komplizierter werden: 4 3 x 2 (3 x 1) = 10. Dazu fassen wir erstmal alles zusammen, da der Logarithmus mit Summen nicht anzufangen weiß: 4 3 x 2 (3 x 1) = 10 ausmultiplizieren und zusammenfassen! 2 3 x + 2 = 10 2, 2 3 x = 4 log auf beiden Seiten anwenden. log(3 x ) = x log(3) = log(4) log(3) x = log(4) log(3) 1, 26 Fertig! Ziel ist es also, den Logarithmus auf reine Produkte anzuwenden. Danach helfen uns die Logarithmengesetze beim Auflösen nach x. 2. Funktionen Im 2. Teil dieser Woche, haben wir uns mit Funktionen auseinander gesetzt. Hier eine einleitende Definition dazu: a) Eine Vorschrift die jedem x aus einer Definitionsmenge D R genau ein y (dies wird Funktionswert an der Stelle x genannt) aus einer Werte-/Bildmenge W R zuordnet, wird Funktion oder Abbildung von D in W genannt. Schreibe: f(x) = y oder f : D W, x f(x) = y. Achtung: Wichtig dabei, ist die Eindeutigkeit (genau ein). Beispiele für Funktionen und keine Funktionen: f(x) = 3x + 4 mit D = W = R ist eine Funktion. Die Zuordnung Mensch Schuhgröße ist eine Funktion. Die Zuordnung Schuhgröße Mensch ist keine Funktion, da es mehrere Menschen gibt mit der selben Schuhgröße. b) Bevor wir weitermachen, definieren wir vorher noch die sogenannten Intervalle. Sie helfen dabei, Definitionsbereiche und Bildmengen mathematisch korrekt und kurz aufzuschreiben: [a, b] = {x R : a x b} heißt abgeschlossenes Intervall. [a, b) = {x R : a x < b} heißt halb-offenes Intervall. (a, b] = {x R : a < x b} heißt halb-offenes Intervall. (a, b) = {x R : a < x < b} heißt offenes Intervall. Beispiel: {x R : x < 1} = (, 1) c) Lineare Funktionen sind Funktionen der Form: f(x) = mx + b. Der Graph der Funktion stellt eine Gerade dar mit Steigung m und y-achsenabschnitt b. Da ich hier jetzt keine Funktion darstelle/darstellen kann, schaut bitte jeder in seine Mitschrift und sieht, dass die Steigung definiert ist als m := δy δx = y P y Q x P x Q mit zwei Punkten P (x P, y P ) und Q(x Q, y Q ) im Koordinatensystem, die auf der Geraden f liegen. Sie wird also anhand eines Steigungsdreiecks an der Kurve bestimmt. Beispiel: Bestimmte die Gleichung für die Gerade, welche durch P (1, 2) und Q(2, 4) geht. 3

4 Lösung: 1. Bestimme m: m = δy δx = = 2 f(x) = mx + b = 2x + b. 2. Bestimme b: Setze einen der beiden gegebenen Punkte in die bisherige Funktion ein. Sie müssen ja nach Voraussetzung die Funktionsgleichung erfüllen: f(1) = 2 = b = 4 + b 4 2 = b f(x) = 2x 2. Fertig! d) Den Graph einer beliebigen Funktion zeichnet man, indem man eine Wertetabelle anlegt und einige Funktionswerte bestimmt und diese dann in ein Koordinatensystem einträgt und verbindet. Je mehr Funktionswerte ermittelt werden, umso genau wird die Zeichnung. Siehe dazu in deiner Mitschrift nach. Wir haben dies im Kurs gemacht. e) Mit linearen Funktionen hört es natürlich nicht auf. Die höchste auftretende x Potenz in einer Funktion, bekommt einen Namen. Sie wird Grad(f) genannt. Bei linearen Funktionen gilt: Grad(f)= 1. Der nächsthöhere Grad, wäre 2. Derartige Funktionen werden quadratische Funktionen genannt. Dies ist eine Funktion der Form ax 2 + bx + c = 0 mit a, b, c R und a 0. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Parabel. Sie treten beispielsweise bei Nullstellenberechnung auf. Siehe dazu quadratische Gleichungen. f) Allgemein werden solche Funktionen von Grad n definiert als: p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x 1 + a 0 mit a i R i {0, 1, 2,..., n 1, n} und a n 0. Solche Funktionen werden Polynome genannt. g) Ein Problem, mit dem man auch in der Schule oft konfrontiert wird, ist die Suche nach allen Nullstellen eines Polynoms von Grad n 3. Ein Beispiel: f(x) = x 3 5x 2 7x + 6. Wie bereits geschrieben, gibt es hierfür zwar eine Formel, die ist aber im Vergleich zur PQ- b.z.w. Mitternachtsformel um einiges komplizierter. Aus diesem Grund geht man einen anderen Weg und versucht den Grad der Funktion soweit zu reduzieren, bis man auf die Formeln für quadratische Funktionen zurückgreifen kann. Dieses Vorgehen nennt sich Polynomdivision. Bevor man dies macht, sucht man eine Nullstelle des gegebenen Polynoms, indem man alle Teiler des absoluten Glieds a 0 bestimmt. In diesem Fall ist dies T 6 = {±1, ±2, ±3, ±6}. Nun setzt man solange diese Zahlen in die Funktion ein, bis 0 herauskommt. Man kann davon ausgehen, dass die Funktion so gewählt ist, dass dies auch klappt. :-) Setzt man schließlich x = 6 ein so erhält man f(6) = 0. Was nun? Ein Satz der Mathematik besagt: Ist x 0 eine Nullstelle des Polynoms p, so lässt sich der Linearfaktor (x x 0 ) aus p ohne Rest herausfaktorisieren. Als Ergebnis hat man p(x) = (x x x ) q(x) mit Grad(q) = Grad(p) 1. Also teilen wir im Beispiel f durch (x 6): ( x 3 5x 2 7x + 6 ) : ( x 6 ) = x 2 + x 1 x 3 + 6x 2 x 2 7x x 2 + 6x x + 6 x 6 0 Also gilt: x 3 5x 2 7x + 6 = (x 6) (x 2 + x 1). Wenn wir das 0 setzen möchten, schauen wir wann die Faktoren (rechts von =) 0 werden. Bei x 6 passiert dies bei x 0 = 6. Diese Nullstellen kannten wir ja bereits. Nun schauen wir uns x 2 + x 1 an. Hier lässt sich die PQ-Formel anwenden und die Lösungen sind: x 1 = und x 2 = Merke: Ein Polynom n-ten Grades hat auch nur maximal n Nullstellen. h) Einige Eigenschaften von Funktionen sind erwähnenswert. Sei dazu f eine Funktion von Din W: 1. Monotonie: Monoton bedeutet, dass die Steigung einer Funktion immer das selbe Vorzeichen hat. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies: x 1, x 2 D mit x 1 x 2 : f(x 1 ) f(x 2 ) (monoton steigend), x 1, x 2 D mit x 1 x 2 : f(x 1 ) f(x 2 ) (monoton fallend). Beispiele für fallend: f(x) = x, g(x) = x 4, h(x) = 3 (konstante Funktionen). Beispiele für steigend: f(x) = x + 3, g(x) = 3, h(x) = x 3 Bemerkung: Von strenger Monotonie spricht man, wenn die Funktionswerte für unterschiedliche Argumente zusätzlich nie gleich sind. Beispiel: f(x) = x 3 2. Symmetrie: Wir unterscheiden im wesentlich zwischen zwei Arten von Symmetrie. Achsensymmetrie zur y-achse: Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-achse, wenn gilt: f( x) = f(x), x D. Beispiele: f(x) = x 2 + c mit c R, exp(x 2 ) = e x2, abs(x) = x (die Betragsfunkton) und alle gerade Funktionen. Dies sind Polynome mit ausschließlich gerade Exponenten, welche nicht auf der x-achse 4

5 verschoben sind. Punktsymmetrie im Ursprung: Eine Funktion heißt punktsymmetrisch zum Ursprung, falls gilt: f( x) = f(x), x D. Beispiele: f(x) = x 3, g(x) = c x, c R und alle ungeraden Funktionen, also Polynome mit ausschließlich ungeraden Exponenten, welche nicht auf der x-achse verschoben sind. Beachte: Es gibt nur eine Funktion, die sowohl punkt-, als auch achsensymmetrisch (im Ursprung und an der y-achse). Dies ist f(x) = Periodizität: Erfüllt eine Funktion die Bedingung: f(x) = f(x + np), n Z mit p R, so nenne f periodisch mit Periodenlänge p. Berühmte Beispiele dafür sind der Sinus und der Kosinus. Für sie gilt: sin(x) = sin(x + 2π n) und cos(x) = cos(x + 2π n), n Z. Also haben Kosinus und Sinus die Periodenlänge 2π. 4. Polstellen: Besitzt eine Funktion eine Nullstelle in einem ihrer Nenner (falls vorhanden), welche keine Nullstelle des Zählers ist, so spricht man von einer Nullstelle an entsprechender Nullstelle. Beispiel: f(x) = 1 x hat eine Polstelle bei x = Umkehrbarkeit: Rechnerisch ermittelt man eine Umkehrfunktion wie folgt. Beispiel: f(x) = 2x 1 1) Löse nach x auf: y = 2x 1 x = y+1 2 2) Vertausche die Rollen von x und y. Nenne den so erhaltenen Ausdruck f 1 (x) = x ) Kontrolle durch einsetzen: f(f 1 (x)) = f 1 (f(x)) = x Achtung: Der Ausdruck den man errechnet hat, muss keine Funktion sein. Denke immer an die Eindeutigkeit. Diese kann beim Umkehren verloren gehen. Zeichnerisch spiegelt man dafür einfach den Funktionsgraphen an der Funktion s(x) = x. Auch hier gilt: Der so erhaltene Graph, muss keine Funktion sein. Beispiel: f(x) = x 2 (Wieso?). 3. Rechnen am Dreieck Wie der Sinus und Kosinus hergeleitet wird, habe ich am Donnertag erklärt. Die Animation dazu findet ihr hier: Nun liste ich hier noch einige Formeln auf: a) Es gibt zwei Arten, Winkel zu beschreiben. Einmal im Gradmaß, so wie man es sich vorstellt mit der Einheit Grad und die zweite Variante wäre im Bogenmaß. Dies hat seinen Ursprung im Einheitskreis (Kreis im Ursprung mit Radius r = 1). Demnach entsprechen 360 (im Gradmaß) 2π im Bogenmaß. Zur Einheitenumrechnung existieren diese beiden Formeln: Bogenmaß Gradmaß: γ = β 180 π Gradmaß Bogenmaß: β = γ 180 wobei β ein gegebener Winkel im Bogen ist. wobei γ ein gegebener Winkel im Gradmaß ist. Daraus ergeben sich: 90 = π 2, 180 = π u.s.w. b) Nun noch die gängigsten Formeln für die Dreiecksrechnung: 5

6 sin(α) = Gegenkathete Ankathete Gegenkathete Hypotenuse, cos(α) = Hypotenuse, tan(α) = Ankathete, für α [0, π 2 ] im Bogenmaß b.z.w. α [0, 90 ] im Gradmaß. 6