A4 Potenzen und Potenzfunktionen

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1 A4 Potenzen und Potenzfunktionen A4 Potenzen und Potenzfunktionen Potenzen mit natürlichen Exponenten Für Potenzen mit natürlichen Exponenten gilt folgende Def.: Die Potenz a n mit a R, n N\ 1, ist durch folgende Gleichung erklärt: a n = a a a... a. (n Faktoren) Für n = 1 gilt: a 1 = a. a heißt Grundzahl oder Basis, n heißt Hochzahl oder Exponent = = 8 2. a 2 = a a 3. (-2) 2 = (-2) (-2) = = = -4 Aus der Definition der Potenz ergeen sich leicht die nachfolgenden Rechenregeln. Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichen Basen 1. a 3 a 2 = (a a a) (a a) = a a a a a = a 5 3 Faktoren 2 Faktoren 5 Faktoren 2. allg.: a m a n = (a a... a) (a... a) = a m+n m Faktoren n Faktoren (m+n) Faktoren Zusammenfassung: Für alle a R, m, n N gilt: a m a n = a m+n. Bei der Division von Potenzen ist zu eachten, dass die Basis nicht Null werden darf, und zu unterscheiden, welcher Exponent größer ist: a 1. 5 a 3 a 2. 3 a 3 3. a 2 a 6 aaaaa aaa aaa a a a 2 a 53 aaa 1 aa 1 aaaaaa aaaa 1 a 1 4 a 62 Es ist leicht einzusehen, dass die eschrieenen Beispiele verallgemeinert werden können, so dass sich der nachfolgende Satz als Zusammenfassung ergit: A4-1

2 Zusammenfassung: Für alle a R\ 0 ; m, n N, gilt: a a m a mn für m n. n 1 für m n 1 a für m n nm Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichen Exponenten = 4 9 = 36 = 6 2 = (2 3) 2 2. allg: a n n = (a a... a) (... ) = n Faktoren n Faktoren = (a ) (a )... (a ) = (a ) n n Faktoren 3. aer: (a ) n a n Zusammenfassung: Für alle a, R, n N gilt: a n n = (a ) n. Völlig analog lässt sich der nächste Satz eweisen: a n aa... a n... a a a a n... je n Faktoren n Faktoren Zu eachten ist allerdings, dass die Basis nicht Null werden darf! a n a n Zusammenfassung: Für alle a R, R\ 0, n N, gilt:. n Potenzieren von Potenzen mit natürlichen Exponenten 1. (x 3 ) 2 = x 3 x 3 = x x x x x x = x 6 = x allg.: (a m ) n = a m a m... a m = a a a... a = a m n n Faktoren a m (m n) Faktoren a Zusammenfassung: Für alle a R; m, n N, gilt: (a m ) n = a m n. Der Exponent Null Die folgenden Erweiterungen des Potenzegriffs verfolgen das Ziel, mit den isher gewonnenen Rechenregeln auch mit Potenzen mit negativen ganzzahligen und rationalen Exponenten rechnen zu können. a m a n Wdh.: Für mit m, n N ist zur Berechnung eine Fallunterscheidung nötig, je nachdem welche der natürlichen Zahlen m und n größer ist. Für m = n entfällt diese Unterscheidung, wenn man formal setzt: a m a m amm a 0. A4-2

3 a Andererseits gilt m a 1 m für elieiges m und a R\ 0. Damit liegt folgende Definition nahe: Def.: Für alle a R\ 0 gilt a 0 = = 1 2. (-8) 0 = 1 3. (a ) 0 = 1, (a <> 0). Anmerkung: a = 0 ist auszuschließen, da a 0 an a n 1 für a = 0 nicht erklärt ist! Negative ganzzahlige Exponenten Hinführung: a m a n amn soll nun auch für n < m gelten. Beispiel: a 2 a 1. 5 a 3 Eine formale Anwendung der oigen Beziehung liefert sofort a 2 a a 25 a 3, 5 also a 3 1 a. 3 Eine Verallgemeinerung legt die folgende Definition nahe: Def.: Für alle a R\ 0, m Z gilt: a m a 1 m. 1. x 2 1 x (5) Folgerung: Für alle a R\ 0, m, n Z gilt:. a n a m anm Ohne Beweis: Für diese und alle folgenden Definitionen lässt sich zeigen, dass die ursprünglichen Regeln für das Rechnen mit Potenzen weiterhin gelten! Daraus folgt die nachfolgende Zusammenfassung: Im Einzelnen gilt für a, R\ 0, p, q Z: a 0 = 1 a p 1 a p ap a q a pq a p a p p (a ) p ap p a p (a p ) q a pq. a q apq A4-3

4 Darstellung kleiner Zahlen mit Hilfe von Zehnerpotenzen Die Zehnerpotenzen mit ganzzahligen Exponenten sind von größter Bedeutung für die Schreiweise großer und kleiner Zahlen in der sog. Gleitkommadarstellung, ei der nach der ersten von Null verschiedenen Ziffer das Komma gesetzt wird = 3, = 3, , 35 3, 5 3, , , 5 3, Man erkennt: Eine Zahl mit der Gleitkommadarstellung a 10 -n (1 a < 10; n N) hat in dezimaler Schreiweise auf der n-ten Stelle nach dem Komma die erste von Null verschiedene Ziffer stehen. Damit lassen sich z. B. wichtige physikalische Konstanten leicht angeen: 1. Atomradius: r A = 0, m = 1, m 2. Plancksches Wirkungsquantum: h = 6, Js Die n-te Wurzel Beispiel: Ein Häusleauer möchte in seinem Garten einen würfelförmigen Regensammelehälter mit dem Fassungsvermögen V = 2 m 3 eingraen. Welche (innere) Kantenlänge x muss ein solcher Würfel haen? Lösung: Die Kantenlänge x ist die Lösung der Gleichung x 3 = 2 m 3. Es ist leicht zu üerprüfen, dass ungefähr x = 1,26 m gilt, da (1,26 m) 3 2 m 3 ergit. Analog zur Definition der Quadratwurzel aus a als nichtnegative Lösung der Gleichung x 2 = a (a 0) wird definiert: Definition: Unter der n-ten Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a versteht man diejenige nichtnegative Zahl x, deren n-te Potenz die Zahl a ergit. Schreiweise: x n a (n N, a R 0 ) , weil 2 3 = , weil 3 4 = , 125 0, 5, weil 0,5 3 = 0, ist nicht erklärt, owohl (-2) 3 = 8, da -2 eine negative Zahl ist. Die Existenz und Eindeutigkeit der n-ten Wurzel verläuft analog zum Nachweis von Existenz und Eindeutigkeit der Quadratwurzel. Daraus folgt die folgende A4-4

5 Zusammenfassung: Jede nicht negative reelle Zahl a esitzt genau eine n-te Wurzel n a zw. die Gleichung x n = a (a hat genau eine nichtnegative Lsg. Die Potenzschreiweise der n-ten Wurzel Erinnerung: Für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten gilt (a n ) m = a n m. Unter der Vorgae, dass die Rechenregeln für Potenzen weitergelten sollen, liegt eine Potenzschreiweise für die n-te Wurzel nahe. Es gilt nämlich zum Beispiel: ( 3 2 ) 3 2. Eine formale Üernahme der oen erwähnten Regel liefert unmittelar Ein Vergleich legt nahe: Das Beispiel lässt sich sofort verallgemeinern und führt zu nachfolgender Definition: Für elieige a R o und n N soll gelten: a 1 n n a ,316 Die reine Gleichung x n = a 1. x 3 = 8 x = 2 2. x 3 = -8 x x 4 = 16 x 4 16 x x 4 = -16 L = { } Die Ergenisse aus den Beispielen lassen sich auf analoge Gleichungen mit elieigen Exponenten verallgemeinern, so dass gilt: Satz: Die reine Gleichung x n = a esitzt ei geradem n für a > 0 die Lösungsmenge L n a ; n a, für a = 0 die Lösung 0 und für a < 0 keine Lösung, ei ungeradem n für a > 0 die Lösung n a, für a = 0 keine Lösung und für a < 0 die Lösung n a. A4-5

6 Potenzen mit rationalen Exponenten Erinnerung: Eines der Potenzgesetze für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten lautet (a m ) n a mn, a R\ 0, m, n Z. Eine sinngemäße Erweiterung und Anwendung dieser Potenzgesetze auf n-te Wurzeln liefert z. B , d.h und , d.h Eine Verallgemeinerung lautet dann ohne Angae von Zahlenmengen, aus denen die Platzhalter genommen werden dürfen, a m n n a m. Vor dem Aufstellen einer allgemeinen Definition ist zu edenken: 1. Die n-te Wurzel a 1 n aus a ist nur für nichtnegative Radikanden a definiert. 2. Wegen der mit negativen Exponenten verknüpften Division ist auch der Basiswert 0 auszuschließen. Damit liegt die folgende Definition nahe: Definition: Für alle a R + und m, n N soll gelten: a m n n a m ; a m n 1 n a m Anwendungen: Anmerkung: Ein einfaches Beispiel zeigt, dass auch für höhere Wurzeln (ei positiven Radikanden) Potenzieren und Radizieren in der Reihenfolge vertauscht werden dürfen: Alternative: ( 3 8 ) Formänderung der Bruchexponenten Ein Bruch kann erweitert oder gekürzt werden, ohne dass sich sein Wert ändert. Beispiel: Dies gilt auch für eine Potenz, wenn der Bruch im Exponenten steht. Beispiel: ; Zu prüfen ist, o Beweis: a np nq a p q nq a np a np nq a np nq, a R\ 0, n, p, q Z nq a np gilt. A4-6

7 a p q q a p (a p ) n a np a p q nq a np Wegen der Eindeutigkeit der n-ten Wurzel ist der geforderte Beweis erracht. Zusammenfassung: In Potenzen mit rationalen Exponenten dürfen die Exponenten erweitert oder gekürzt werden, ohne dass sich der Wert der Potenzen ändert. Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten Die quadratische Funktion f : x x 2 f n : x x n, n N. ist der Prototyp einer Potenzfunktion des Typs Die zugehörigen Graphen haen folgendes Aussehen: y x Die Graphen diese Potenzfunktionen heißen Paralen n-ter Ordnung; sie haen die folgenden unmittelar einsichtigen wesentlichen Eigenschaften: v Die Graphen sind für gerade Exponenten achsensymmetrisch zur y-achse, für ungerade Exponenten punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. v Die Wertemenge ist für gerade Exponenten W 0, für ungerade Exponenten W. v Für gerade Exponenten sind die Graphen für x streng monoton fallend und für x streng monoton steigend, für ungerade Exponenten sind die Graphen streng monoton steigend. A4-7

8 Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten Mit der Kenntnis der Potenzen mit rationalen Exponenten lassen sich auch die daraus folgenden Potenzfunktionen leicht untersuchen. Zunächst sollen exemplarisch die Funktionen f : x x 1 1 x und g : x x 2 1 x 2 etrachtet werden. Ihre zugehörigen Graphen haen das nachfolgende Aussehen, wie man etwa mit einer Wertetaelle einfach estätigen kann: 7 y 6 TuroPlot 5 Funktionsgraphen - Parameterkurven v3.7e 4 >> Nicht registrierte Shareware! << x Aus der Definition folgen unmittelar die wesentlichen Eigenschaften dieser so genannten Hypereln n-ter Ordnung: v D R\ 0 v Für gerade Exponenten gilt W, für ungerade Exponenten W \ 0. v Für gerade Exponenten sind die Graphen für x streng monoton steigend und für x streng monoton fallend, für ungerade Exponenten sind die Graphen sowohl für x als auch für x streng monoton fallend. A4-8

9 v Die Koordinatenachsen sind Asymptoten, d. h. Geraden, denen sich die Graphen für x 0 als auch für x elieig annähern. Ein Anwendungseispiel: Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ziehen sich zwei Massenpunkte mit den Massen m 1 und m 2 im Astand r mit der Kraft F G m1m 2 r an, woei G die Gravitati- 2 onskonstante mit dem Wert G 6, Nm 2 kg ist. Dies gilt auch für kugelförmige, 2 gleichmäßig mit Masse erfüllte Körper, deren Mittelpunkte voneinander den Astand r haen. a) Ein Körper der Masse m hat auf der Erdoerfläche (Erdmasse M 5, kg, Astand vom Erdmittelpunkt = Erdradius = R 6, m) das Gewicht F m 10 N kg ; der Faktor g 10 N kg ist auch als Ortsfaktor ekannt. ) In 6370 km (= Erdradius) Höhe üer der Erde, d. h. also ei doppeltem r, ist das Gewicht eines Körpers nur mehr ein Viertel des Gewichts auf der Erdoerfläche. Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten (Wurzelfunktionen) Es sollen nunmehr als Beispiele für Wurzelfunktionen die Funktionen f : x x x und g : x x 3 3 x etrachtet werden. Die zugehörigen Graphen sehen so aus: y x A4-9

10 Aus der Definition der Wurzelfunktion und den Graphen folgen wieder die wesentlichen Eigenschaften: v D 0, W 0 v Die Graphen sind streng monoton steigend. Die Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen, wie sich leicht nachweisen lässt, wenn man formal x und y vertauscht und dann wieder nach y auflöst: f : y x n x y n (y n ) 1 n y x 1 n f 1 : y x 1 n Von der Umkehrung linearer Funktionen ist folgendes ekannt: v D f 1 W f, W f 1 D f v Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion liegen symmetrisch zgl. des I. und III. Quadranten. Die skizzierten Eigenschaften lassen sich z. B. an den Graphen von f : y x 3 und g : y x x für x 0 zeigen: y x A4-10

11 Auch dazu soll noch ein Anwendungseispiel angegeen werden: Johannes Kepler ( ) entdeckte 1618, dass die Umlaufzeit eines Planeten um die Sonne mit seiner mittleren Entfernung E von der Sonne zusammenhängt. Es gilt: E 2,9 t 2 3, woei E die Entfernung in 10 6 km und t die Umlaufzeit in Tagen ist. a) Merkur hat eine Umlaufzeit von 88 Tagen. Wie groß ist seine Entfernung von der Sonne? ) wie groß ist die Entfernung Erde - Sonne? A4-11