Was sind Funktionen, warum gibt es sie und was machen sie?

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1 Was sind Funktionen, warum gibt es sie und was machen sie? Nimmt man eine bestimmte Menge an Menschen, z.b. eine Schulklasse mit 23 Schülern, kann man eine Liste aufstellen, in der jeder Schüler mit seiner Schuhgröße enthalten ist. Dabei ist klar, dass jeder Schüler nur eine Schuhgröße hat, jede Schuhgröße aber kann von mehreren Schülern getragen werden. Kann wohlgemerkt, nicht muss. Schüler Schuhgröße Alvin 37 Berta 38 Charlotte 38 Dieter Wenn diese Schüler jetzt z.b. ihre Schuhe auf einen Haufen werfen, und zwei Schüler mit der gleichen Schuhgröße auch noch die gleichen Schuhe haben, ist es vollkommen unklar, welche Schuhe zu welchem Schüler gehören. Also, jeder Schüler hat genau eine Schuhgröße, d.h. jedem Schüler kann genau eine Schuhgröße zugeordnet werden. Das ist es, um was es bei Funktionen geht: eindeutige Zuordnung. Jedem Element einer Menge wird genau ein Element einer anderen Menge zugeordnet. S D G W Jedem Schüler aus der Definitionsmenge wird eine Schuhgröße aus der Wertemenge zugeordnet. Im Prinzip kann man jedem alles Zuordnen: Schüler Schuhgröße Kind Lieblingskuscheltier BMW-Fahrer Intelligenzquotient Lehrer Gesichtsausdruck nach einer Klassenarbeit usw. In der Mathematik werden nicht spezielle Zuordnungen gemacht, denn das sind immer Einzelfälle. Es wird versucht, so eine Zuordnung zu verallgemeinern. Es werden Zahlen anderen Zahlen zugeordnet. So entstehen Zuordnungsvorschriften, die allgemein verwendet werden können und nicht an Spezialfälle gebunden sind.

2 Die Zuordnung Schüler Schuhgröße aus der oberen Tabelle ist sehr speziell. Die Zuordnung nach der folgenden Tabelle ist allgemein: D W Die Bedeutung der Zuordnung kann z.b. die aus der oberen Tabelle sein, aber auch z.b. die Zuordnung Schüler Körpertemperatur (Schüler 4 hat hohes Fieber und muss nach Hause), oder auch Lehrer Alter (Lehrer 1 ist 37 Jahre alt, Lehrer 2 38 Jahre usw.). Die Menge der aus dem Definitionsbereich sind die freien Variablen der Zuordnung, die Menge der aus dem Wertebereich sind die abhängigen Variablen. Von besonderem Interesse für die Mathematik ist nun das Verhalten der abhängigen Variablen, wenn sich die freie Variable verändert, also z.b. verdoppelt. Verdoppelt sich dann auch die abhängige Variable? Oder steigt für ansteigende? Oder fällt ab, wenn sich vergrößert? Oder steigt es mal an und fällt mal ab? Um das Verhalten der abhängigen Variablen darzustellen, werden beide Variablen grafisch in ein Koordinatensstem übertragen. Im kartesischen Koordinatensstem werden die freien Variablen auf der waagerechten -Achse (Abszisse) und die abhängigen Variablen auf der senkrechten - Achse (Ordinate) eingetragen. Betrachtet man jetzt das Verhalten von, wird die -Achse von links nach rechts abgegangen. Beispiel zur Illustration: steigendes steigendes

3 Hier beginnt der Berg, mit steigendem anzusteigen. Mit weiter steigendem steigt der Berg noch stärker an, bevor er später abfällt und erneut ansteigt, usw. Wenn in der Mathematik jetzt noch der Sprung von Einzelpunkten auf Intervalle aus den Definitions- und Wertebereichen gemacht wird, können Zuordnungen durch durchgehende Linien, Funktionsverläufe, deutlich gemacht werden. Intervall Wertebereich Intervall Definitionsbereich Die Mathematik kann nur Zuordnungen berechnen und bearbeiten, die nicht chaotisch oder Zufällig verlaufen. Die Zuordnung Schüler Schuhgröße macht deshalb keinen Sinn, weil man aus dem Wissen des Vorgängers keine Rückschlüsse über das Verhalten der Zuordnung machen kann. In der Mathematik soll aber für alle aus dem Definitionsbereich etwas über die aus dem Wertebereich ausgesagt werden können. Das kann nur geschehen, wenn es für alle eine einzige Zuordnungsvorschrift gibt, die berechnen kann. Diese Zuordnungsvorschrift sieht im Grunde immer so aus: = irgendetwas mit Das irgendetwas mit ist dann eine Regel, die für jedes ein herausgibt. Man kann sich das als black bo, als Maschine vorstellen, die jedes frisst und dann ein ausspuckt. rein raus Diese Maschine ist sehr gefrässig und absolut geistlos, denn es frisst alle aus dem Definitionsbereich, manchmal unendlich viele. Aber sie frisst wahllos und ohne Unterschied und ab und zu kann sie sich auch verschlucken, dann spuckt sie ihre Innereien/Zahnräder aus, z.b. wenn sie durch Null dividiert (Igitt)! Man muss also vorher bedenken, womit man die Maschine füttert...

4 Weiter oben wurde von eindeutigen Zuordnungen gesprochen. Eine eindeutige Zuordnung berechnet für jedes ein eindeutiges. Ein Beispiel wäre z.b. eine Fussgängerampel: Die Ampel leuchtet entweder rot oder grün (oder sie ist kaputt), aber nie rot und grün gleichzeitig. Die Autoampel wäre keine eindeutige Zuordnung, denn manchmal leuchten rot und gelb gleichzeitig, bevor grün leuchtet, manchmal leuchtet aber rot oder gelb alleine. Eindeutige Zuordnungen nennt man Funktionen. Funktionen erkennt man grafisch daran, dass sie niemals parallel zur -Achse verlaufen niemals zurück laufen niemals mehrere Punkte übereinander liegen haben Als (verbotene) Grafen: Etrem wichtig: Ein einzelner Punkt besteht immer aus zwei Koordinaten: Ein Punkt P (a b) liegt genau dann auf dem Grafen der Funktion f, wenn seine Koordinaten die Funktionsgleichung von f erfüllen: b = f(a). Alle Funktionen werden anhand ihrer Eigenschaften unterteilt. Als erstes gibt es die sogenannten linearen Funktionen, dann die quadratischen Funktionen, dann allgemeine Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen, Eponentialfunktionen, u.v.a.m. Ihre Eigenschaften machen sie tpisch, d.h. Man kann sie aufgrund ihres Erscheinungsbildes voneinander unterscheiden: Beispiele:

5 lineare Funktionen: quadratische Funktionen: Im folgenden werden die einzelnen Funktionetpen näher untersucht. Das geschieht in den Dokumenten über lineare, quadratische, Potenz- und andere Funktionen.