Lineare Funktionen. Danach will er sich eine Tabelle anlegen, um einen Überblick der Kosten für mehrere Stunden zu erhalten:

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1 Lineare Funktionen Einleitung: Jan besitzt eine Playstation von der er weiß, dass sie einen Stromverbrauch von 00 Watt hat. Der Stromversorger seiner Stadt berechnet 0, pro Kilowattstunde (kwh). Jan überlegt nun, wie er die tatsächlichen Stromkosten berechnen kann. Kannst du ihm helfen? 00 Watt 0, Kilowatt Betriebsdauer Stunde : 0, kw h= 0, Kilowattstunden (kwh) kwh elektrische Energie kostet 0, 0, kwh kosten dann 0, 0, = 0,06 Wenn er also Stunde spielt kostet ihn das 0,06. Danach will er sich eine Tabelle anlegen, um einen Überblick der Kosten für mehrere Stunden zu erhalten: Zeit (h) Kosten ( ) 0,06 0,09 0,8 0,8 0, 0,6 0,9,8,76,68,60 Diese Zuordnung: Zeit (h) Kosten ( ) ist proportional (Begründung) Man erkennt: Jeder Zeit in Stunden ist genau ein Wert als Kosten zugeordnet. Es kann also nicht sein, dass eine Zeitdauer zwei oder mehr verschiedene Kosten besitzt. Eine solche eindeutige Zuordnung nennt man Funktion. Allgemeine Gleichung für die Stromkosten der Playstation: k(h) = 0, 06 h oder : y= 0,06 Beispiele : k(0) = 0,06 0= 0,6 k(5) = 0,06 5=,5 k(00) = 0,06 00= 9,0 y (Kosten) ; (Anzahl der Stunden) Darstellung im Koordinatensystem: Das Koordinatensystem besteht aus einer horizontalen, waagerechten Achse (-Achse) und einer vertikalen, senkrechten Achse (y-achse). Da die Wertetabelle aus Wertepaaren mit jeweils zwei Zahlen (Zeit; Kosten) besteht, kann man sie gut in ein Koordinatensystem übertragen. Die Zeitangaben sind dabei die -Werte, die zugeordneten Kosten die y-werte. Also erhält man folgende Punkte aus den jeweiligen Kombinationen: P (/0,06) P 0 (0/0,6) P 0 (0/0,9) P 0 (0/,8) P 60 (60/,76) P 80 (80/,68) P 00 (00/,6) Damit die Punkte gut sichtbar sind, sollte die Einteilung der Achsen wie folgt aussehen: -Achse (Anzahl der Stunden): cm 0 Stunden y-achse (Kosten in ): cm 0,50 Seite von 57

2 Damit ergibt sich folgende Darstellung im Koordinatensystem: Kosten in 5,00,50,00,50,00,50,00,50,00 0, Stunden MERKE: Bei einer eindeutigen Zuordnung wird jedem Ausgangswert () genau ein anderer Wert (y) zugeordnet. Eine solche eindeutige Zuordnung nennt man Funktion. Man kann eine Funktion in einer Wertetabelle und im Koordinatensystem darstellen. Aufgabe: Bestimme jeweils den Umfang eines Quadrates mit den Seitenlängen 0,5 cm, cm,,5 cm, cm,,5 cm, cm,,5 cm. Erstelle eine Wertetabelle, gib die Gleichung der Zuordnung an und zeichne die Zuordnung in ein Koordinatensystem ein. Die Zuordnung (Funktion) lautet: Seitenlänge (a) Umfang (u) Die Gleichung lautet: f(a) = a oder : y = Wertetabelle: Seitenlänge (a) cm 0,5,0,5,0,5,0,5 -Werte Umfang (u) cm,0,0 6,0 8,0 0,0,0,0 y-werte Seite von 57

3 Koordinatensystem: y 0 Umfang O Seitenlänge Zusatzaufgabe: Führe die gleichen Überlegungen für die Zuordnung: Seitenlänge eines Quadrates Flächeninhalt eines Quadrates durch. Welche Unterschiede zu vorhergehenden Zuordnungen sind zu erkennen? Aufgabe: Eindeutige Zuordnungen, Definitionsmenge (D), Wertemenge (W) Lege eine Wertetabelle und ein Pfeildiagramm für folgende Zuordnungen an und vergleiche: a.) Nachname eines Schülers Wohnort b.) Jahrgang eines Schülers Vorname des Schülers c.) Gewicht (g) Preis ( ) Wertetabellen: zu a.) zu b.) zu c.) Vorname Wohnort Jahrgang Vorname Gewicht (g) Preis ( ) Herrlich Fulda 996 Nadine 00,0 Mahr Künzell 997 Christian 00 0,70 Leitsch Petersberg 996 Karen 00,0 Wildner Künzell 996 Daniel 500,50 Schmitt Eichenzell 997 Robin 650,55 Rössler Fulda 996 Justus 750 5,5 Seite von 57

4 Pfeildiagramme: Herrlich Fulda Nadine 00 g,0 Mahr Künzell 996 Christian 00 g 0,70 Leitsch Petersberg Karen 00 g,0 Wildner 997 Daniel 500 g,50 Schmitt Eichenzell Robin 650 g,55 Rössler Justus 750 g 5,5 Definitions- Werte- Definitions- Werte- Definitions- Wertemenge (D) menge (W) menge (D) menge (W) menge (D) menge (W) -Werte y-werte -Werte y-werte -Werte y-werte von jedem -Wert geht von jedem -Wert gehen von jedem -Wert geht genau ein Pfeil aus. mehrere Pfeile aus. genau ein Pfeil aus. bei jedem y-wert endet bei jedem y-wert endet mindestens ein Pfeil. mindestens ein Pfeil. FUNKTION KEINE FUNKTION FUNKTION MERKE: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem Element aus der Definitionsmenge (-Werte) ist genau ein Element aus der Wertemenge (y-werte) zugeordnet. Für die Darstellung einer Funktion mit Hilfe eines Pfeildiagramms gilt also: Von jedem Element der Definitionsmenge (Ausgangsbereich, ) geht genau ein Pfeil aus. Bei jedem Element der Wertemenge (zugeordneter Bereich, y) endet mindestens ein Pfeil Überprüfe, ob es sich bei folgenden Zuordnungen um Funktionen handelt:.) Zeitpunkt Lufttemperatur (ja).) Gewicht einer Ware Preis einer Ware (ja).) Wasserstand Zeitpunkt (nein).) Paketgewicht Porto (ja) 5.) Porto Paketgewicht (nein) 6.) Euro-Betrag Dollar-Betrag (ja) 7.) Dollar-Betrag Euro-Betrag (ja) Seite von 57

5 Funktionsgleichung und Definitionsbereich (D) Aufgabe: Lege eine Zuordnungstabelle (Wertetabelle) für folgende Zuordnungen an: a.) Ordne jeder ganzen Zahl von -5 bis 5 ihr Doppeltes zu. b.) Ordne jeder ganzen Zahl von -5 bis 5 ihre Hälfte zu. c.) Ordne jeder rationalen Zahl von - bis ihr Dreifaches zu. d.) Ordne jeder rationalen Zahl von - bis ihren vierten Teil zu. Zeichne die Zuordnungen a.) und b.) in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Zeichne die Zuordnungen c.) und d.) in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. zu a.) und b.) zu c.) und d.) Man erkennt: a.) b.) -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 - -,8 - -0, - 0,6, c.) - -8, - -, - 0,8 6 9,6 d.) - -0,7-0,5-0, -0,5 0 0, 0,5 0,8 Alle Zuordnungen sind eindeutig, also Funktionen. Allerdings hat nur bei den rationalen Zahlen jede Zahl einen zugeordneten Wert. Das hat Auswirkungen auf die Darstellung der Zuordnungen im Koordinatensystem. Man sieht: Nur wenn man die rationalen Zahlen als Grundlage (Definitionsbereich = Q) nimmt, darf man eine Linie durch alle Punkte ziehen, bei den ganzen Zahlen (Definitionsbereich = Z) besteht die Darstellung im Koordinatensystem nur aus einzelnen Punkten. MERKE: Die Menge der für zugelassenen Werte (D) einer Funktion hat Auswirkungen auf ihre Darstellung im Koordinatensystem: D = N und D = Z: einzelne Punkte im KS D = Q: durchgehende Linie im KS. Die Funktionsgleichung: Aus der Zuordnungsvorschrift: Verdopple jede Zahl kann man eine Gleichung aufstellen, mit der man für jeden -Wert den zugehörigen y-wert berechnen kann. Diese Gleichung lautet: oder : f : y = f() = f von gleich mal f() = = f von gleich Eine solche Gleichung bezeichnet man als Funktionsgleichung. Die anderen Gleichungen lauten dementsprechend: b.) y = 0,5 oder : f() = 0,5 c.) y= oder : f() = d.) y = Seite 5 von 57

6 Die Steigung einer Geraden Auf einem Verkehrsschild findet man die folgende Angabe: Was bedeutet diese Angabe? % Steigung bedeuten: 00 Straße um m an. Steigung auf einer Länge von 00 m steigt die Zeichnung im Maßstab :000 aus 00 m = cm werden 0 cm (eine Verkleinerung um das 000-fache) m (Höhe) 00 m (Grundseite) Die Steigung einer Geraden wird also gebildet, indem man die Höhe eines Steigungsdreieck ( m) durch die Grundseite dieses Steigungsdreiecks (00 m) dividiert. Steigung (m) = Höhe des Steigungsdreiecks Grundseite des Steigungsdreiecks Dabei besitzt das Steigungsdreieck immer einen 90 -Winkel, ist also rechtwinklig. Weitere Beispiele: Zeichne im Maßstab :000 Steigungsdreiecke, die folgende Steigungen wiedergeben: 5% 0% 50% 00% Seite 6 von 57

7 Die Steigung einer Geraden.) Wähle das passende Straßenschild aus: (Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu!) a.) b.) c.) 8 m 50 m 5 m 0 m m m % 8% 6% % 8% 0% 0% 0% 0%.) Zeichne in dein Heft maßstabsgetreue Steigungen von: a.) 0% b.) 6% c.) % d.) 9% Dabei soll die Länge der waagerechten Strecke: a.) 5 cm b.) 0 cm c.),5 cm d.) 0 cm betragen.) Welche Steigung (ausgedrückt in %) überwindest du beim Hochlaufen dieser Treppe?.) Es soll eine Treppe mit nebenstehendem Stufenmaß gebaut werden, um eine Höhe von,0 m zu überwinden. (Zeichnung ist nicht maßstabsgetreu!) a.) Wie viele Treppenstufen werden benötigt? b.) Wie weit vor dem Ziel muss mit dem Bau der Treppe begonnen werden? c.) Wie groß ist die Steigung der Treppe in Prozent?,5 cm 0 cm 5 cm cm 5.) Zeichne in ein Koordinatensystem mit Rahmen (-Achse cm; y-achse cm) Geraden durch den Punkt (0/0) (Koordinatenursprung) ein, die folgende Steigungen besitzen: Benutze unterschiedliche Farben! a.) 5% b.) 0% c.) 0% d.) 00% Seite 7 von 57

8 6.) Bestimme die Steigung (in %) der Geraden f() bis j(), die im folgenden Koordinatensystem dargestellt sind: Zeichne dazu entsprechende Steigungsdreiecke ein! y 7 f() g() h() i() 6 5 j() Seite 8 von 57

9 Die Steigung einer Geraden (Lösungen) zu.) a.) b.) c.) 8 6 = = 6% = = 8% = = 0% 0 00 zu.) a.) 0% 5 cm / cm b.) 6% 0 cm/,6 cm c. ) %, 5 cm / cm d.) 9% 0 cm / 0,9 cm zu.),5 5 60,5 m= = = = 60% oder : m= = 0,6 = 60%,5 5 00,5 zu.) a.) 0 cm : 5 cm= Treppenstufen b.),5 cm= 5 cm=,5 m c.) 0 m = = 0,6 66,7% 5 zu 6.) f() m= 50% g() m= 00% h() m= 50% i() m= 00% j() m= 5% Seite 9 von 57

10 Die Steigung.) Welche dieser Seilbahnen überwindet die größte Steigung? (a) (b) (c).) Gib die Steigung der folgenden Seilbahnen als Bruch, als Dezimalzahl (gerundet auf Zehntel) und als Prozentsatz (gerundet auf Zehntel) an: (a) (b) (c).) Ergänze jeweils die zwei Linien mit roter Farbe zu einem Dreieck. Nummeriere die entstandenen Dreiecke von bis 6 durch. Gib dann die Steigung der roten Linien als Bruch, als Dezimalzahl (gerundet auf Zehntel) und als Prozentsatz (gerundet auf Zehntel) an: ( Kästchenlängen entsprechen cm) Seite 0 von 57

11 Die Steigung (Lösung) zu.) a.) b.) c.) 70 m= = 87,5% m= = 8,% m= = 88,8% 90 zu.) a.) b.) c.) m 65 = 0,8 76,5% 85 = 7 = = m = 0 0,7 66,7% 5 = = = 90 m = = = 0,8 = 75% 0 zu.) () (),5 m= = = 0,5 = 50% m= = = 0,5 = 50% () () m= = 0, = 0% m= =, 0= 00% 5 (5) (6),5 5 0,5 m= = = 0, =,7% m= = = 0,= 9,% 6 5,5 (7) (8),5 5 m= = = 0,7 = 7,% m= = = 0,6 = 57,%,5 7,5 7 (9) (0) m= = 0, = 5% m= =, 5= 50% () (),5 5 m= = = 0, =,% m= = =,7 = 66,7%,5 9,5 () (),5,5 5 m= =,0 = 00% m= = =,5 = 50%,5 (5) (6),5,5 m= = 5,0 = 500% m= = = 0, =,% 0,5 7,5 Seite von 57

12 Die allgemeine Funktion y = m Aufgabe: Zeichne folgende proportionale Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein und benutze dazu unterschiedliche Farben: y = y = y = y = y5 = m= m= 0, 5 m= m= 0,5 m= Überprüfe die Geraden auf steilen oder flachen Verlauf ( auf ihre Steigung) y 7 y y y5 m= m= m= 6 5 0,5 y m=0,5 y 0,5 m=0, O Information: Die Steigung einer Geraden gibt an, um wie viel Einheiten sie bezogen auf eine Einheit nach oben ansteigt. Beispiel die Gerade y : Diese Gerade steigt um Einheiten bezogen auf Einheit an. Würde man Einheiten zu Grunde legen, würde sie um 8 Einheiten ansteigen. In diesem Steigungsdreieck erhält man die Steigung m, indem man den senkrechten Wert durch den waagerechten Wert dividiert: Seite von 57

13 senkrechter Wert des Steigungsdreiecks m= waagerechter Wert des Steigungsdreiecks Bildlich gesprochen: Man stelle sich vor, dass man von links nach rechts auf einem Fahrrad die Geraden befährt. Dann hätte man für y die größte Steigung (m = ) und für y (m = 0,5) die kleinste Steigung zu bewältigen. Anhand der Steigung m kann man folgendes festhalten: MERKE: Der Faktor m in der Funktionsgleichung y = m gibt die Steigung der Geraden an..) Ist m>, dann steigt die Gerade steil an. ( y = ; y = ; y = 5 usw.).) Ist 0< m<, dann steigt die Gerade flach an. ( y = 0,5 ; y = 0,5 ; y = 0, usw.).) Ist m= 0, dann verläuft die Gerade waagerecht, sie besitzt keine Steigung. Dieser Sonderfall gibt die Gleichung der -Achse an: y = 0 oder y = 0..) Alle Geraden für die m> 0 steigen vom. Bereich des Koordinatensystems in den. Bereich des Koordinatensystems (gesehen von links nach rechts). Aufgabe: Zeichne folgende proportionale Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein und benutze dazu unterschiedliche Farben: y = y = y = y = y5 = m= m= 0,5 m= m= 0,5 m= Überprüfe die Geraden auf steilen oder flachen Verlauf ( auf ihr Gefälle) Information: Die Gefälle einer Geraden gibt an, um wie viel Einheiten sie bezogen auf eine Einheit nach unten abfällt. Beispiel die Gerade y : Diese Gerade fällt um Einheiten bezogen auf Einheit ab. Würde man Einheiten zu Grunde legen, würde sie um 8 Einheiten abfallen. In diesem Steigungsdreieck erhält man die Gefälle m, indem man den senkrechten Wert durch den waagerechten Wert dividiert: senkrechter Wert des Steigungsdreiecks m= waagerechter Wert des Steigungsdreiecks Bildlich gesprochen: Man stelle sich vor, dass man von links nach rechts auf einem Fahrrad die Geraden befährt. Dann hätte man für y das größte Gefälle (m = -) und für y (m = -0,5) das kleinste Gefälle zu bewältigen. Seite von 57

14 y5 y y m=- m=- m=- y y m=-0,5-0,5 y m=-0,5-0, O Information: In der Mathematik spricht man nicht von Gefälle, sondern von einer Steigung m, die negativ ist. Anhand der negativen Steigung m kann man folgendes festhalten: MERKE: Der Faktor m in der Funktionsgleichung y = m gibt die Steigung der Geraden an..) Ist m<, dann fällt die Gerade steil ab. ( y = - ; y = - ; y = -5 usw.).) Ist 0> m>, dann fällt die Gerade flach ab. ( y = -0,5 ; y = -0,5 ; y = -0, usw.).) Ist m= 0, dann verläuft die Gerade waagerecht, sie besitzt keine Steigung. Dieser Sonderfall gibt die Gleichung der -Achse an: y = 0 oder y = 0..) Alle Geraden für die m< 0 fallen vom. Bereich des Koordinatensystems in den. Bereich des Koordinatensystems (gesehen von links nach rechts). Seite von 57

15 Proportionale Funktionen.) Ein Radfahrer bewältigt in Stunden eine Strecke von 75 Kilometern. a.) b.) c.) d.) Notiere die Funktionsgleichung der Zuordnung. Wie lautet der Definitionsbereich der Zuordnung? Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung: I. Wie lange (Stunden und Minuten) braucht er durchschnittlich für 0 km, 60 km, 85 km? II. Wie viel Kilometer fährt er durchschnittlich in h 0min, h 5min, h 0min? III. Wie hoch ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit (km/h)?.) 5 Kilogramm Äpfel kosten,50. a.) Notiere die Funktionsgleichung der Zuordnung. b.) Wie lautet der Definitionsbereich der Zuordnung? c.) Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem ein. d.) Berechne Hilfe der Funktionsgleichung: I.) Wie teuer sind kg, 5½ kg, ¼ kg, 8¾ kg dieser Apfelsorte? II.) Wie viel Kilogramm Äpfel erhält man für 6,0, 8,55?.) In ein Bassin fließen in 6 Stunden 9000 Liter Wasser ein. a.) Notiere die Funktionsgleichung der Zuordnung. b.) Wie lautet der Definitionsbereich der Zuordnung? c.) Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem ein. d.) Berechne Hilfe der Funktionsgleichung: I. Wie viel Liter Wasser fließen in ½ Stunden, 7¼ Stunden, ¾ Stunden in das Bassin? II. III. Nach wie vielen Stunden befinden sich 7000 Liter, 0500 Liter, 500 Liter im Bassin? Das Bassin fasst 5000 Liter Wasser. Nach wie vielen Stunden ist das Bassin voll? Berechne und lies aus der Zeichnung ab. Proportionale Funktionen.) Ein Radfahrer bewältigt in Stunden eine Strecke von 75 Kilometern. a.) b.) c.) d.) Notiere die Funktionsgleichung der Zuordnung. Wie lautet der Definitionsbereich der Zuordnung? Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Berechne Hilfe der Funktionsgleichung: I. Wie lange (Stunden und Minuten) braucht er durchschnittlich für 0 km, 60 km, 85 km? II. Wie viel Kilometer fährt er durchschnittlich in h 0min, h 5min, h 0min? III. Wie hoch ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit (km/h)?.) 5 Kilogramm Äpfel kosten,50. a.) Notiere die Funktionsgleichung der Zuordnung. b.) Wie lautet der Definitionsbereich der Zuordnung? c.) Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem ein. d.) Berechne: I. Wie teuer sind kg, 5½ kg, ¼ kg, 8¾ kg dieser Apfelsorte? II. Wie viel Kilogramm Äpfel erhält man für 6,0, 8,55?.) In ein Bassin fließen in 6 Stunden 9000 Liter Wasser ein. a.) Notiere die Funktionsgleichung der Zuordnung. b.) Wie lautet der Definitionsbereich der Zuordnung? c.) Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem ein. d.) Berechne Hilfe der Funktionsgleichung: I. Wie viel Liter Wasser fließen in ½ Stunden, 7¼ Stunden, ¾ Stunden in das Bassin? II. III. Nach wie vielen Stunden befinden sich 7000 Liter, 0500 Liter, 500 Liter im Bassin? Das Bassin fasst 5000 Liter Wasser. Nach wie vielen Stunden ist das Bassin voll? Berechne und lies aus der Zeichnung ab. Seite 5 von 57

16 Proportionale Funktionen (Lösungen) zu.) a.) y = 5 b.) D = Q + c.) Koordinatensystem: -Achse (Zeit): cm entspricht 0 min y-achse (km): cm entspricht 0 km d.) I. 75 km 80 min 80 km min= min= min min s s 75 5 = = km min= min km min= min= h min km min= 0 min= h min 5 II. 80 min 75 km 75 5 min km= km = (0,6 km) h 0 min= 50 min km= 6,5 km 5 55 h 5 min= 55 min km= 06,5 km 5 70 h 0 min= 70 min km 9,7 km III. h 75 km h 5 km also : 5 km/h zu.) a.) y = 0,9 b.) D = Q + c.) Koordinatensystem: -Achse (Gewicht): cm entspricht kg y-achse (Preis): cm entspricht d.) I. 5 kg,50 kg 0,90 kg,70 5,5 kg,95,5 kg,5, 8,75 kg 7,875 7, 88 Seite 6 von 57

17 d.) II.,50 5 kg 5 0 kg= kg = (,km), , 6,0 kg= 7 kg 9 0 8,55 8,55 kg= 9, 5 kg 9 zu.) a.) y = 500 b.) D = Q + c.) Koordinatensystem: -Achse (Zeit): cm entspricht 0 min y-achse (Füllmenge): cm entspricht 000 l d.) I. 6 h 9000 Liter h 500 Liter min 5 Liter h= 0 min 550 Liter 7 h= 5 min Liter h= 65 min 5 Liter II. 5 Liter min 60 Liter s= s=, s Liter = s= s= 80 min= h 0 min Liter = s= 5.00 s= 0 min= 7 h Liter = s=.00 s= 50 min= 9 h 5 III Liter 6 h 9000 Liter 60 min 000 Liter 0 min Liter 0 min 5= 600 min= 0 h Seite 7 von 57

18 Geraden vom Typ y = m.) Zeichne folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Benutze dazu Steigungsdreiecke oder berechne mindestens Punkte, die auf der jeweiligen Geraden liegen. 5 f() = g() = h() = 0,6 k() =,5 t() = 6.) Ergänze die fehlenden Felder in der folgenden Tabelle ohne die Funktionen zu zeichnen: Funktion (alle verlaufen durch (0/0)) Bereiche im KS die sie durchläuft Steigung oder Gefälle steil, flach oder normal Steigung oder Gefälle in Prozent Ergänze die richtige Koordinate Ergänze die richtige Koordinate f() = ( / ) ( / - 9 ) II und IV 50 % ( - / ) ( / 0 ) ( 0 /,5 ) ( -8 / ) f() = ( -6 / ) ( / - ) Gefälle 0 % ( 5 / ) ( / ) ( - / -6 ) ( / - ).) Wie lauten die Funktionsgleichungen der auf der Rückseite abgebildeten Geraden? f()= g()= h()= k()= t()= s()= Seite 8 von 57

19 Geraden vom Typ y = m g() h() k() f() t() s() Seite 9 von 57

20 zu.) k() Geraden vom Typ y = m (Lösungen) f() t() h() g() zu.) Funktion (alle verlaufen durch (0/0)) f() Bereiche im KS die sie durchläuft Steigung oder Gefälle steil, flach oder normal Steigung oder Gefälle in Prozent Ergänze die richtige Koordinate Ergänze die richtige Koordinate = II und IV Gefälle steil 00 % ( /-6) ( / - 9 ) f()= -0,5 II und IV Gefälle flach 50 % ( - /) (-0 / 0 ) f()= 0,5 I und III Steigung flach 5% ( 0 /,5 ) ( -8 / - ) f() = I und III Steigung flach 66,7% ( -6 / - ) ( -8 / - ) f()= -0, II und IV Gefälle flach 0 % ( 5 / - ) ( -0 / ) f()=,5 I und III Steigung steil 50% ( - / -6 ) ( - / - ) zu.) f() = 0,5 g() = h() = k() =,5 t() = 0, s() = 0,5 Seite 0 von 57

21 Geraden vom Typ y = m.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der rechts abgebildeten Geraden? y = y y y y = y y y = y =.) Gib zu jeder der Geraden drei Punkte an, durch die die Gerade verläuft..) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass der Punkt auf der angegebenen Geraden liegt: A(-/ ) B(-,5/ C(6,8/ D(,5/ auf y ) auf y ) auf y ) auf y O ) Wie lauten die Funktionsgleichungen der rechts abgebildeten Geraden? y = y y y y = y = y = O -.) Gib zu jeder der Geraden drei Punkte an, durch die die Gerade verläuft..) Ergänze die Koordinaten der folgenden Punkte so, dass der Punkt auf der angegebenen Geraden liegt: A(-8/ ) auf y B(-0/ ) auf y C(9/ ) auf y D(50/ ) auf y y y Seite von 57

22 Die lineare Funktion f() = m + n Aufgabe: Bei der Fahrt mit einem Tai ist pro km ein Fahrpreis von und außerdem eine Grundgebühr von zu zahlen. a.) a.) Lege eine Tabelle an für die Zuordnung Strecke Fahrpreis ohne und mit Grundgebühr für eine Entfernung von 0 bis 0 km an. b.) Wie heißt der Definitionsbereich (D) dieser Funktion? c.) Wie lautet die Funktionsgleichung ohne Beachtung der Grundgebühr? d.) Wie lautet die Funktionsgleichung mit Beachtung der Grundgebühr? e.) Zeichne beide Zuordnungen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Strecke (km) Fahrpreis ohne Grundgebühr ( ) y= prop. Fahrpreis mit Grundgebühr ( ) y=+ nicht p. b.) D = Q + c.) y = d.) y = + y O Man erkennt: Die beiden Geraden verlaufen parallel. Das liegt daran, dass ihre Steigung (m = ) gleich ist. Seite von 57

23 MERKE:.) Eine Funktion y = m + n heißt lineare Funktion (linear geradlinig Gerade)..) Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade mit der Steigung m..) Der Wert n in der Funktionsgleichung gibt an, wo die Gerade die y-achse schneidet. Beispiel: Funktionsgleichung: f() = + m n Steigung (m): m= Gerade fällt flach ab. (Steigungsdreiecke beachten) Abschnitt (n): n=+ Gerade schneidet die y-achse bei (0/). Punkte: (0/) ; (/) ; (/) ; (-/) ; (-/5) y O Seite von 57

24 Die Funktionsgleichung f() = m + n Aufgabe: Gegeben ist die Funktionsgleichung f() = Mit Hilfe einer Funktionsgleichung kann man folgende Sachverhalte berechnen:.) Bestimmen von Wertepaaren, die zu einer Funktion gehören: Beispiel: Bestimme Wertepaare, die zur Funktion f() = gehören. Dazu setzt man für beliebige Zahlen ein und berechnet danach mit Hilfe der Funktionsgleichung die dazugehörigen Funktionswerte:.) f() =.) f( ) = ( ) f() = f( ) = 8 f() = f( ) = 0 P (/ ) P ( / 0).) Überprüfen, ob ein Punkt (Wertepaar) zur Funktion gehört oder nicht: Beispiel: Überprüfe, ob der Punkt S(-0/9) zur Funktion f() = + gehört oder nicht. Dazu setzt man den Wert für in die Funktionsgleichung ein und überprüft das Ergebnis. f() = + f( 0) = ( 0) + f( 0) = 90+ f( 0) = 9 S( 0 / 9) wahr! Der Punkt S gehört zur Funktion!.) Fehlende Werte der Zuordnung berechnen: Beispiel: Ergänze die fehlenden Koordinaten der folgenden Punkte so, dass sie zur Funktion g() = + 5 gehören. R (0/?) R (-5/?) R (?/-) R (?/5) Dazu setzt man den gegebenen Wert in die Funktionsgleichung ein und berechnet dann den fehlenden Wert. R (0 /?) R ( 5 /?) R (?/ ) R (?/ 5) g() = + 5 g() = + 5 g( ) = + 5 g() = + 5 g(0) = 0+ 5 g( 5) = ( 5) + 5 = + 5 5= + 5 g( 0) = 0+ 5 g( 5) =,5+ 5 9= 0= g(0) = 5 g( 5) = 7,5 8= 0= R (0 / 5) R ( 5 / 7,5) R ( 8 / ) R ( 0 / 5) Seite von 57

25 Geraden vom Typ y = m + n.) Zeichne folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Benutze dazu Steigungsdreiecke oder berechne mindestens Punkte, die auf der jeweiligen Geraden liegen. 5 f() = g() = + h() = 0,6 + k() =,5 t() = 6 Weitere Fragen zur Aufgabe.) a.) Überprüfe mit Hilfe der Funktionsgleichung, ob folgende Punkte auf der angegebenen Geraden liegen: P (6/-0) auf g() ; Q (-80/-6) auf h() ; R (-0/-6) auf k() ; S (90/7) auf t() b.) Ergänze mit Hilfe der Funktionsgleichung die Koordinaten der angegebenen Punkte so, dass sie auf der jeweiligen Geraden liegen: P (50/? ) auf g() R (-0/? ) auf h() T (-0/? ) auf k() W (-/? ) auf t() Q (? /-5) auf g() S (? /-) auf h() V (? /-6) auf k() Z (? /-8) auf t().) Ergänze die fehlenden Felder in der folgenden Tabelle ohne die Funktionen zu zeichnen: Funktionsgleichung Steigung oder Gefälle (m) y-achsen- Abschnitt (n) Steigung oder Gefälle steil, flach oder normal Ergänze die richtige Koordinate Ergänze die richtige Koordinate f() = + ( / ) ( / - 8 ) 0,5 ( - / ) ( / 0 ) f() = + 5 ( 0 / ) ( -7 / ) f() ( -6 / ) ( / - ) = ( 5 / ) ( / ) - ( -5 / ) ( / 0 ).) Wie lauten die Funktionsgleichungen der auf der Rückseite abgebildeten Geraden? f()= g()= h()= k()= t()= s()= Seite 5 von 57

26 Geraden vom Typ y = m + n g() k() h() f() t() s() Seite 6 von 57

27 Geraden vom Typ y = m + n (Lösungen).) Zeichne folgende Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Benutze dazu Steigungsdreiecke oder berechne mindestens Punkte, die auf der jeweiligen Geraden liegen. 5 f() = g() = + h() = 0,6 + k() =,5 t() = 6 a.) Überprüfe mit Hilfe der Funktionsgleichung, ob folgende Punkte auf der angegebenen Geraden liegen: P (6/-0) auf g() (w) Q (-80/-6) auf h() (w) R (-0/-6) auf k() (f) S (90/7) auf t() (w) b.) Ergänze mit Hilfe der Funktionsgleichung die Koordinaten der angegebenen Punkte so, dass sie auf der jeweiligen Geraden liegen: P (50/-) auf g() R (-0/-0) auf h() T (-0/) auf k() W (-/-8) auf t() Q (6/-5) auf g() S (-5/-) auf h() V (8/-6) auf k() Z (-0/-8) auf t().) Ergänze die fehlenden Felder in der folgenden Tabelle ohne die Funktionen zu zeichnen: Funktionsgleichung Steigung oder Gefälle (m) y-achsen- Abschnitt (n) Steigung oder Gefälle steil, flach oder normal Ergänze die richtige Koordinate Ergänze die richtige Koordinate f() = + Steigung steil ( / 7 ) ( - / - 8 ) f() = 0,5 + 0,5 Gefälle flach ( - / 6 ) ( - / 0 ) f() = Gefälle steil ( 0 / -5 ) ( -7 / 6 ) f() = f() = Steigung flach ( -6 / -8,5 ) ( -/ - ) - Gefälle flach ( 5 / - ) ( -,5 / ) f() = + - Gefälle normal ( -5 / 7 ) ( -8 / 0 ).) Wie lauten die Funktionsgleichungen der auf der Rückseite abgebildeten Geraden? f( ) = + g() = + 5 h( ) = + k() = + t() = s( ) = Seite 7 von 57

28 Die lineare Funktion f() = m + n.) Wie lauten die Funktionsgleichungen der unten abgebildeten Geraden? Bestimme dazu aus der Zeichnung die Steigung (m) der Geraden (Steigungsdreieck) und ihren Schnittpunkt mit der y-achse (n). f() = g() = h() = k() = s() =.) Berechne zu jeder Geraden drei Punkte, durch die die Gerade verläuft..) Ergänze die Koordinaten der Punkte so, dass der Punkt auf der angegebenen Geraden liegt: A (-/ ) auf f() E ( /-) auf f() K (-8/ ) auf s() B (-0/ ) auf g() F ( /) auf g() L ( /) auf s() C (6,8/ ) auf h() G ( /-) auf h() D (8/ ) auf k() H ( /) auf k() f() y 7 h() k() s() g() O Seite 8 von 57

29 Die lineare Funktion y = m + n (Lösungen).) Wie lauten die Funktionsgleichungen der unten abgebildeten Geraden? Bestimme dazu aus der Zeichnung die Steigung (m) der Geraden (Steigungsdreieck) und ihren Schnittpunkt mit der y-achse (n). f() = - + g() = - 0,5 + h() = - k() = - s() = 0,5 +.) Berechne zu jeder Geraden drei Punkte, durch die die Gerade verläuft..) Ergänze die Koordinaten der Punkte so, dass der Punkt auf der angegebenen Geraden liegt: A (-/ 7 ) auf f() E (,5/-) auf f() K (-8/-) auf s() B (-0/ 9) auf g() F (/) auf g() L (-/) auf s() C (6,8/6,6)auf h() G (/-) auf h() D (8/9) auf k() H (0/) auf k() f() y 6 h() k() s() g() O Seite 9 von 57

30 Die Nullstelle einer linearen Funktion Aufgabe: Der Schaufelbagger eines Kieswerks verbraucht pro Betriebsstunde Liter Dieselkraftstoff. Sein Tankinhalt beträgt 80 Liter Diesel. Behandelt werden soll die Zuordnung Zeit (h) Tankinhalt (l) a.) Zeichne den Graphen der Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem. b.) Wie lautet die Funktionsgleichung? c.) Lies aus der Zeichnung ab: Nach wie vielen Stunden ist der Tank leer? d.) Wie könnte man mit Hilfe der Funktionsgleichung berechnen, wann der Tank leer ist? zu a.) Volumen (l) Betriebszeit (h) zu b.) f() = 80 zu c.) Der Tank ist nach 7,5 Stunden leer (Schnittpunkt mit der -Achse!) zu d.) Man muss in der Funktionsgleichung f() = 0 setzen, da jeder Punkt auf der -Achse die Bedingung f() = 0 erfüllt. Seite 0 von 57

31 f( ) = 80 0= 80 80= 7,5 = Die Gerade schneidet bei (7,5/0) die -Achse. Diese Stelle bezeichnet man als die Nullstelle der Funktion Aufgabe: Gegeben ist die lineare Funktion g() = +. Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem ein und lies die Koordinaten der Nullstelle (N) ab. y 6 5 N O Die Nullstelle besitzt die Koordinaten N (/0) Berechnung der Nullstelle N: Jeder Punkt auf der -Achse besitzt die Koordinate (/0), das heißt der y-wert ist immer 0. Man ersetzt jetzt in der Funktionsgleichung f() = y durch 0 und berechnet den -Wert: Seite von 57

32 f() = + 0= + = = N( / 0) MERKE: Man berechnet die Nullstelle einer Funktion, indem man in der Funktionsgleichung f() = y = 0 setzt und dann den -Wert berechnet. Aufgabe: Bestimme durch Rechnung die Nullstellen (N) der folgenden linearen Funktionen: f() = g() = + h() = k() = + s() = Lösungen: f() = 0= g() = + 0= + = = 6= 0,5 = N(6 / 0) N(0,5 / 0) h() = 0= k() = + 0= + = = = = N(/ 0) N(/ 0) s() = 0= = = N( / 0) Das waren die Funktionen, die in der vorherigen Stunde in das Koordinatensystem eingezeichnet worden waren. Die Schüler können dadurch ihre berechneten Ergebnisse an der Zeichnung kontrollieren und nachprüfen. Seite von 57

33 Bestimmen der Funktionsgleichung Aufgabe: Im Koordinatensystem hat ein Punkt A die Koordinaten (/) und ein Punkt B die Koordinaten (5/7). zu a.) a.) Zeichne die beiden Punkte in ein komplettes Koordinatensystem mit Rahmen ein und verbinde die beiden Punkte durch eine lineare Funktion. b.) Bestimme die Funktionsgleichung (Steigungsdreieck; Schnittpunkt mit der y-achse). c.) Kann man diese Funktionsgleichung nur mit Hilfe der gegebenen Koordinaten bestimmen? zu b.) Steigungsdreieck ergibt: y-achsenabschnitt ergibt: Gleichung: Höhe des Dreiecks m= = = Grundseite des Dreiecks n = - f() = Seite von 57

34 zu c.) A( / ) und B( 5/ 7) A( /y ) und B( /y ) y y = 7 = 6 = 5 = y y 7 6 m= = = 5 = Nun setzt man den errechneten Wert für die Steigung (m = ) und die Koordinaten eines gegebenen Punktes A(/) oder B(5/7) in die allgemeine Funktionsgleichung f() = m + n ein: f() = m+ n Einsetzen der berechneten Steigung m= f() = + n Einsetzen der Koordinaten von A( / ) f() = + n Einsetzen der Koordinaten von B( 5 / 7) = + n 7= 5 + n = + n 7= 0+ n = n = n Funktionsgleichung : f() = Seite von 57

35 Weiteres Beispiel zur Berechnung der Funktionsgleichung: Im Koordinatensystem hat ein Punkt P die Koordinaten (-/7) und ein Punkt R die Koordinaten (/-5). ( /y ) ( /y ) a.) Zeichne die beiden Punkte in ein komplettes Koordinatensystem mit Rahmen ein und verbinde die beiden Punkte durch eine lineare Funktion. b.) Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung. zu a.) = ( ) = + = y y = 5 7= y y 5 7 m= = = ( ) = f() = m+ n Einsetzen der berechneten Steigung m= f() = + n Einsetzen der Koordinaten von P( / 7) 7= ( ) + n 7= + n = n Funktionsgleichung : f() = + Seite 5 von 57

36 Weitere Beispiele ohne Zeichnung: Berechne die Funktionsgleichung der linearen Funktion, die durch folgende Punkte verläuft: a.) A(/-6) und B(0/-) b.) C(9/) und D(-/0) c.) E(/6) und F(-/-8) d.) G(0/-9) und H(-5/-7,5) Berechne anschließend die Nullstellen der Funktionen. zu a.) Berechnen der Steigung m : Nullstelle : y y ( 6) m= = = = = f() = 0,5 8 0= 0,5 8 f() = m+ n Einsetzen der berechneten Steigung m= 0,5 8= 0,5 f() = 0,5 + n Einsetzen der Koordinaten von A( / 6) 6= 6= 0,5 + n N(6 / 0) 6= + n 8= n Funktionsgleichung : f() = 0, 5 8 zu b.) Berechnen der Steigung m : Nullstelle : y y m= = = = f() = + 6 0= + 6 f() = m+ n Einsetzen der berechneten Steigung m= 6= f() = + n Einsetzen der Koordinaten von C(9 / ) 8= = 9+ n N(8 / 0) = + n 6= n Funktionsgleichung : f() = + 6 zu c.) Berechnen der Steigung m : Nullstelle : y y 8 6 m= = = = 8 f() = 8 0= 8 f() = m+ n Einsetzen der berechneten Steigung m= 8 = 8 f() = 8+ n Einsetzen der Koordinaten von E(/ 6) 0,5 = 6= 8 + n N(0,5 / 0) 6= 8+ n = n Funktionsgleichung : f() = 8 Seite 6 von 57

37 zu d.) Berechnen der Steigung m : Nullstelle : y y 7,5 ( 9) 7,5+ 9, m= = = = = 0, f() = 0, 8 0= 0, 8 f() = m+ n Einsetzen der berechneten Steigung m= 0, 8= 0, f() = 0, + n Einsetzen der Koordinaten von G(0 / 9) 80= 9= 0, 0+ n N( 80 / 0) 9= + n 8= n Funktionsgleichun g : f() = 0, 8 Seite 7 von 57

38 Anwendungsbeispiel für Lineare Funktionen Der Airbus A0 ist mit sehr genauen Messinstrumenten ausgestattet. So können die Piloten im Cockpit ständig die geflogene Strecke oder die noch vorhandene Treibstoffmenge abrufen. Die computergesteuerte Messung der geflogenen Strecke und der Treibstoffmenge ergab die folgende Wertetabelle: geflogene Strecke in km Treibstoffmenge in Tonnen 00,0 00,5 00, , ,0 a.) Erkläre mit eigenen Worten: Warum handelt es sich bei der Zuordnung geflogene Strecke vorhandenetreibstoffmenge um eine Funktion? b.) Begründe schriftlich: Ist diese Zuordnung proportional? c.) Mit welcher Treibstoffmenge ist der Airbus gestartet? d.) Übertrage die Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem. (-Achse: cm 00 km; y-achse: cm 5 Tonnen) e.) Bestimme die Funktionsgleichung der Zuordnung. f.) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Funktion mit der y-achse. Welche Bedeutung hat dieser Punkt für die Zuordnung? g.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Treibstoffmenge in Tonnen nach einer Strecke von 750 km (85 km, 00 km) h.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Strecke in km, nach der die Treibstoffmenge 5,5 Tonnen (5,5 Tonnen,,5 Tonnen) beträgt. i.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung nach welcher Strecke der Tank leer sein wird. Klebe diesen Zettel in dein Merkheft ein! Anwendungsbeispiel für Lineare Funktionen Der Airbus A0 ist mit sehr genauen Messinstrumenten ausgestattet. So können die Piloten im Cockpit ständig die geflogene Strecke oder die noch vorhandene Treibstoffmenge abrufen. Die computergesteuerte Messung der geflogenen Strecke und der Treibstoffmenge ergab die folgende Wertetabelle: geflogene Strecke in km Treibstoffmenge in Tonnen 00,0 00,5 00, , ,0 a.) Erkläre mit eigenen Worten: Warum handelt es sich bei der Zuordnung geflogene Strecke vorhandenetreibstoffmenge um eine Funktion? b.) Begründe schriftlich: Ist diese Zuordnung proportional? c.) Mit welcher Treibstoffmenge ist der Airbus gestartet? d.) Übertrage die Funktion in ein geeignetes Koordinatensystem. (-Achse: cm 00 km; y-achse: cm 5 Tonnen) e.) Bestimme die Funktionsgleichung der Zuordnung. f.) Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes der Funktion mit der y-achse. Welche Bedeutung hat dieser Punkt für die Zuordnung? g.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Treibstoffmenge in Tonnen nach einer Strecke von 750 km (85 km, 00 km) h.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Strecke in km, nach der die Treibstoffmenge 5,5 Tonnen (5,5 Tonnen,,5 Tonnen) beträgt. i.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung nach welcher Strecke der Tank leer sein wird. Klebe diesen Zettel in dein Merkheft ein! Seite 8 von 57

39 Anwendungsbeispiel für Lineare Funktionen (Lösungen) zu a.) Die Zuordnung ist deshalb eine Funktion, weil sie eindeutig ist. Für eine bestimmte geflogene Strecke kann es nur eine zugehörige Treibstoffmenge geben. zu b.) Die Zuordnung ist nicht proportional. Das kann man sehr gut an den Tabellenwerten sehen. Verdoppelt man zum Beispiel die geflogene Strecke, so verdoppelt sich nicht die vorhandene Treibstoffmenge. Diese Zuordnung ist aber auch nicht antiproportional. zu c.) Auf Grund der Regelmäßigkeit der Tabelle (pro 00 km geflogene Strecke sinkt die Treibstoffmenge immer um 0,5 Tonnen) kann man einfach Schritte zurückrechnen. 00 km,0 Tonnen 00 km,5 Tonnen 0 km Tonnen zu d.) 70 Treibstoff (t) Strecke (km) Seite 9 von 57

40 Anwendungsbeispiel für Lineare Funktionen (Lösungen) zu e.) f () = 0,005 f( ) = 0,005 + zu f.) f() = 0,005 + f(0) = 0, f( 0) = S (0 / ) y zu g.) f() = 0,005 + f() = 0,005 + f() = 0,005 + f(750) = 0, f(85) = 0, f(00) = 0, f( 750) = 9,5 f(85) = 8,875 f(00) = 7,5 S (750 / 9,5) S (85 / 8,875) S (00 / 7, 5) Nach 750 km (85 km, 00 km) befinden sich noch 9,5 t (8,875 t, 7,5 t) Treibstoff im Tank. zu h.) f() = 0,005 + f() = 0,005 + f() = 0, ,5 = 0, ,5 = 0,005 +,5 = 0, ,75 = 0,005 7,5 = 0,005 0,75 = 0, = 500= 50= S (5550 / 5,5) S (500 /5,5) S (50 /,5) Es verbleiben noch 5,5 t (5,5 t,,5 t) Treibstoff bei einer geflogenen Strecke von 5550 km (500 km, 50 km). zu i.) f() = 0, = 0,005 + = 0, = S ( 6600 / 0) Nach 6600 km Flugstrecke ist der Tank leer. Seite 0 von 57

41 Anwendungsaufgaben Lineare Funktionen.) Ein Energieversorgungsunternehmen bietet den Tarif Öko für einen Arbeitspreis von 5 Cent pro Kilowattstunde und einen Grundpreis von 9,50 pro Monat an. a.) Lege eine Tabelle an, die Auskunft über die Kosten von 0 Kilowattstunden (Kwh) bis 500 Kwh in 50 Kilowattstundenschritten gibt. b.) Übertrage die Tabelle in ein geeignetes Koordinatensystem. c.) Bestimme die Funktionsgleichung dieser Zuordnung für die monatlichen Gesamtkosten. d.) Berechne die mit Hilfe der Funktionsgleichung die monatlichen Gesamtkosten für einen Verbrauch von 0 Kwh, 0 Kwh und 680 Kwh. e.) Familie Wolf erhält im Oktober eine Stromrechnung über 6,50. Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung ihren Verbrauch für diesen Monat..) Für den Urlaub wollen Marcos Eltern ein Wohnmobil mieten. Typ Servicepauschale ( ) Tagespreis ( ) Adria Camp Van a.) Bestimme die Funktionsgleichungen der Mietkosten für jedes Wohnmobil. b.) Zeichne alle drei Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem ein. c.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichungen die Gesamtkosten für jedes Wohnmobil für eine Mietdauer von 7 Tagen. d.) Familie Fuchs zahlt für 5 Tage einen Gesamtpreis von 575. Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichungen, welches Wohnmobil sie gemietet haben..) In einer Klinik wird ein Patient an den Tropf gelegt, das heißt ihm wird aus einer Infusionsflasche eine Kochsalzlösung sehr langsam in die Blutbahn eingeträufelt. Die computergesteuerte Messung des Flascheninhalts zu verschiedenen Zeitpunkten ergab die folgende Wertetabelle: Zeit t in min Flascheninhalt l in cm a.) Übertrage die Werte in ein geeignetes Koordinatensystem. b.) Begründe mit Hilfe der Werte aus der Tabelle, dass der Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. c.) Bestimme den Steigungsfaktor dieser linearen Funktion. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt. d.) Bestimme den Schnittpunkt dieser linearen Funktion mit der y-achse. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt. e.) Gib die Funktionsgleichung dieser linearen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaare diese Gleichung erfüllen. f.) Berechne die Nullstelle dieser linearen Funktion. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Flascheninhalt. g.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung den Flascheninhalt nach einer Zeit von 75 Minuten. Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Graphen. h.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Zeit nach der der Flascheninhalt 0 cm beträgt. Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Graphen. Seite von 57

42 .) Ein quaderförmiger Tankbehälter wird mit Öl befüllt. Zu Beginn der Füllung befinden sich 50 Liter im Tank. Pro Minute laufen 50 Liter Öl dazu. Der Tank besitzt ein Volumen von Liter. a.) Wie lautet die Funktionsgleichung der Zuordnung? b.) Erläutere die Bedeutung des Steigungsfaktors m für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Ölstand in Tank. c.) Erläutere die Bedeutung des Wertes n für den Zusammenhang zwischen der Zeit und dem Ölstand im Tank. d.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung den Ölstand im Tank nach einer Zeit von Minuten. e.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Zeit nach der der Ölstand im Tank 65 Liter beträgt. f.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Zeit nach der der Tank vollständig gefüllt ist. 5.) Ein Fallschirmspringer öffnet seinen Fallschirm und misst mit Hilfe eines Höhenmeters zu verschiedenen Zeitpunkten nach dem Öffnen des Schirmes seine Höhe über dem Erdboden. Die Messung ergab die folgende Wertetabelle: Fallzeit t in s Höhe h in m,5 0 87,5 65,5 a.) Übertrage die Werte in ein geeignetes Koordinatensystem. b.) Begründe mit Hilfe der Werte aus der Tabelle, dass der Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. c.) Bestimme den Steigungsfaktor dieser linearen Funktion. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe. d.) Bestimme den Schnittpunkt dieser linearen Funktion mit der y-achse. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe. e.) Gib die Funktionsgleichung dieser linearen Funktion an. Überprüfe, ob die gemessenen Wertepaare diese Gleichung erfüllen. f.) Berechne die Nullstelle dieser linearen Funktion. Erläutere die Bedeutung dieses Wertes für den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe. g.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Höhe nach einer Zeit von Sekunden. Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Graphen. h.) Berechne mit Hilfe der Funktionsgleichung die Zeit nach der die Höhe des Springers 00 m beträgt. Überprüfe das Ergebnis mit Hilfe des Graphen. Seite von 57

43 Anwendungsaufgaben Lineare Funktionen (Lösungen) zu.) a.) 0 Kilowattstunden (Kwh) Kosten ( ) 9,50,5 7 59,5 7 8, ,5,5 b.) Kosten ( ) Kwh c.) f(kwh) = 0,5 + 9,50 d.) = 0 = 0 = 680 f(kwh) = 0,5 0+ 9,50 f(kwh) = 0,5 0+ 9,50 f(kwh) = 0, ,50 f(kwh) = 89,50 f(kwh) =,00 f(kwh) = 79,50 e.) f(kwh) = 6, 50 6,50 = 0,5 + 9,50 = 0 Kwh Seite von 57

44 zu.) a.) yadria = ycamp = yvan = b.) 00 Kosten ( ) Tage c.) y = y = y = Adria Camp Van y = y = y = Adria Camp Van y = 690 y = 765 y = 750 Adria Camp Van d.) y = y = y = Adria Camp Van 575= = = = Seite von 57

45 zu.) a.) Inhalt (cm ) Zeit (min) b.) Pro 0 Minuten Zeit sinkt der Wert regelmäßig um 00 cm. c.) Steigungsfaktor m pro Minute : m= m= = = Bedeutung von m: Pro Minute nimmt der Flascheninhalt um d.) 6 cm ab. Schnittpunkt n mit der y Achse : n= 0 0= = 50 S (0 /50) y Seite 5 von 57

46 e.) Funktionsgleichung : y = = 0 = 60 = 90 y = y = y = y = 950 y = 750 y = 550 = 0 = 50 y = y = y = 50 y = 50 f.) Nullstelle y = 0 : y = = = 6 = 7,5 Minuten = h 5 min 0 s Bedeutung: Nach 7,5 Minuten ist die Infusionsflasche leer. g.) = 75 : y = y = y = 650 cm Nach 75 Minuten sind noch 650 cm in der Infusionsflasche. h.) y = 0 : 0= = 6 =,5 Minuten = h min 0 s Nach h min 0 s beträgt der Flascheninhalt noch 0 cm. Seite 6 von 57

47 zu.) a.) y = b.) Bedeutung von m: Pro Minute laufen 50 Liter Öl dazu. c.) Bedeutung von n: Zu Beginn befinden sich 50 Liter Öl im Tank. d.) = Minuten y = y = y = 5650 Liter Nach Minuten befinden sich 5650 Liter im Tank. e.) y = 65 Liter y = = = 50 = 7, 5 Minuten Nach 7 Minuten 0 Sekunden befinden sich 65 Liter im Tank. f.) y = 0000 Liter y = = = 50 = Minuten = Minuten 0 Sekunden Nach Minuten 0 Sekunden ist der Tank voll. Seite 7 von 57

48 zu 5.) a.) Höhe (m) Fallzeit (s) b.) Pro 5 Sekunden Fallzeit sinkt der Springer regelmäßig um,5 m ab. c.) Steigungsfaktor m pro Sekunde : 0,5,5 m= m= =, Bedeutung von m: Pro Sekunde fällt der Springer um,5 Meter. d.) Schnittpunkt n mit der y Achse : n= 5 5= 0,5+,5 = 55 S (0 / 55) y Bedeutung von n: Beim Öffnen des Fallschirms war der Springer 55 Meter hoch. Seite 8 von 57

49 e.) Funktionsgleichung : y =,5+ 55 = 5 = 0 = 5 y =, y =, y =, y =,5 y = 0 y = 87,5 = 0 = 5 y =, y =, y = 65 y =, 5 f.) Nullstelle y = 0 : y =, =, =,5 = 56 Sekunden = 56,6 s Bedeutung: Nach 56,6 Sekunden ist der Springer am Boden. g.) = : y =,5+ 55 y =, y = 06,5 m Nach Sekunden ist der Springer noch 06,5 Meter über dem Boden. h.) y = 00 : 00=, =,5 Nach, Sekunden befindet sich der Springer in 00 Meter Höhe. = Sekunden 9 =, Sekunden Seite 9 von 57

50 Lineare Funktionen Versuche jeweils mit Hilfe der folgenden Angaben eine Funktionsgleichung aufzustellen. Wenn du die Funktionsgleichung ermittelt hast, zeichne sie in das unten eingezeichnete Koordinatensystem ein. Berechne danach ihre Nullstellen (N) und vergleiche sie mit der Zeichnung..) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(/5) und besitzt die Steigung m = - f() = N ( / ).) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(5/) und schneidet die y-achse bei (0/-9) g() = N ( / ).) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(-/5) und besitzt die Steigung m = - h() = N ( / ).) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(/) und schneidet die y-achse bei (0/-) k() = N ( / ) y O Seite 50 von 57

51 Lineare Funktionen (Lösungen) Versuche jeweils mit Hilfe der folgenden Angaben eine Funktionsgleichung aufzustellen. Wenn du die Funktionsgleichung ermittelt hast, zeichne sie in das unten eingezeichnete Koordinatensystem ein. Berechne danach ihre Nullstellen (N) und vergleiche sie mit der Zeichnung..) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(/5) und besitzt die Steigung m = - f() = - + N (5,5/0).) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(5/) und schneidet die y-achse bei (0/-9) g() = - 9 N (,5/0).) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(-/5) und besitzt die Steigung m = - h() = - + N (,5/0).) Eine lineare Funktion verläuft durch den Punkt P(/) und schneidet die y-achse bei (0/-) k() = - N (0,5/0) y O Seite 5 von 57

52 Lineare Funktionen (II).) Zeichne folgende lineare Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Benutze dazu unterschiedliche Farben. f() = + g() = h() = 5 k() = + t() = 5 s() = 0, +.) Die Höhe einer brennenden Kerze wird durch die Funktion y = - +7 beschrieben, wobei die Brenndauer in Stunden und y die Höhe der Kerze in Zentimetern angibt. a.) b.) c.) d.) e.) f.) Zeichne den Graphen der Funktion. Wie hoch ist die Kerze, bevor sie angezündet wird? Eine zweite Kerze wurde zur gleichen Zeit angezündet. Sie ist 8 cm hoch und brennt mit einer Geschwindigkeit von,5 cm pro Stunde ab. Bestimme ihre Funktionsgleichung. Zeichne in das gleiche Koordinatensystem den zu dieser Kerze gehörigen Graphen. Lies aus der Zeichnung ab, nach welcher Zeit die beiden Kerzen gleich hoch sind. Berechne: Nach welcher Zeit ist die erste Kerze abgebrannt? Wann die zweite?.) Bestimme die Funktionsgleichungen der unten abgebildeten linearen Funktionen: g() y 7 f() 6 5 h() t() k() O Seite 5 von 57

53 Lineare Funktionen (II) (Lösungen) zu.) y 7 y=* y5=0,*+ y=0,5*- y=(-/)* O y=-*+ Seite 5 von 57

54 Lineare Funktionen (II) (Lösungen) zu.) a.) und d.) zu b.) 8 cm 8 7 y zu c.) y = -,5+8 zu e.) nach Stunden (S) zu f.) y = + 7 y =, = + 7 0=, = 8=,5,5 =, = N(,5 / 0) N(,/ 0) 6 5 y S zu.) y = y = + y = 5 y = + y5 = Seite 5 von 57

55 Lineare Funktionen und Wiederholungsaufgaben Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein, und verbinde sie zu dem Dreieck ABC: A(-/-) ; B(6/-) ; C(0/) a.) Bestimme die Funktionsgleichung der Seite c des Dreiecks (Strecke AB). Bestimme die Funktionsgleichung der Seite a des Dreiecks (Strecke BC). Bestimme die Funktionsgleichung der Seite b des Dreiecks (Strecke AC). b.) Berechne die Nullstellen der drei Funktionsgleichungen. c.) Berechne den Flächeninhalt (A) des Dreiecks ABC mit Hilfe des Ergänzungsverfahrens. d.) Das Dreieck ABC sei die Grundfläche eines Prismas mit einer Höhe von 5 cm. Berechne das Volumen (V) dieses Prismas. e.) Messe die Seitenlängen des Dreiecks ABC und berechne dann die Oberfläche (O) des Prismas. f.) Messe die Größe der Winkel α, β und γ des Dreiecks ABC. g.) Spiegele den Punkt C an der Strecke AB des Dreiecks und nenne ihn C. Gib die Koordinaten von C an. h.) Die Seite c des Dreiecks schneidet die y-achse. Nenne diesen Schnittpunkt D und berechne dann den Flächeninhalt (A) des Dreiecks DBC. i.) Wie viel Prozent der Fläche des Dreiecks ABC beträgt die Fläche des Dreiecks DBC? Lineare Funktionen und Wiederholungsaufgaben Zeichne folgende Punkte in ein Koordinatensystem ein, und verbinde sie zu dem Dreieck ABC: A(-/-) ; B(6/-) ; C(0/) a.) Bestimme die Funktionsgleichung der Seite c des Dreiecks (Strecke AB). Bestimme die Funktionsgleichung der Seite a des Dreiecks (Strecke BC). Bestimme die Funktionsgleichung der Seite b des Dreiecks (Strecke AC). b.) Berechne die Nullstellen der drei Funktionsgleichungen. c.) Berechne den Flächeninhalt (A) des Dreiecks ABC mit Hilfe des Ergänzungsverfahrens. d.) Das Dreieck ABC sei die Grundfläche eines Prismas mit einer Höhe von 5 cm. Berechne das Volumen (V) dieses Prismas. e.) Messe die Seitenlängen des Dreiecks ABC und berechne dann die Oberfläche (O) des Prismas. f.) Messe die Größe der Winkel α, β und γ des Dreiecks ABC. g.) Spiegele den Punkt C an der Strecke AB des Dreiecks und nenne ihn C. Gib die Koordinaten von C an. h.) Die Seite c des Dreiecks schneidet die y-achse. Nenne diesen Schnittpunkt D und berechne dann den Flächeninhalt (A) des Dreiecks DBC. i.) Wie viel Prozent der Fläche des Dreiecks ABC beträgt die Fläche des Dreiecks DBC? Seite 55 von 57

56 Lineare Funktionen und Wiederholungsaufgaben (Lösungen) zu a.) f(c) = f(a) = + f(b) = + zu b.) f(c) = 0= = 9= N(9 / 0) f(a) = + 0= + = = N( / 0) f(b) = + 0= + = = N( / 0) y C 90 a B b 5-5 c - D - A C' zu c.) A = 9 6= 5 cm Rechteck Rechteck Dreiecke ADreiecke = + + =, =,5 cm A A = 5,5 =,5 cm zu d.) V = G h=,5 5= 7, 5 cm zu e.) c = 9,9 cm a= 6,7 cm b= 6,7 cm O= G+ M O=,5+ 9,5 5+ 6, , 7 5 O= 88,5 cm Seite 56 von 57