Der Konstruktionsbericht

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1 Der Konstruktionsbericht Philipp Gressly Freimann 11. November 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitun 1 2 Grundkonstruktionen (G1, G2, G3) G1: Punkte wählen (leistift) G2: Geraden ziehen (Lineal) G3: Kreise (Zirkel) beleitete Konstruktionen : Strecken übertraen : Winkel übertraen : Die Mittelsenkrechte (MSR) : Die Winkelhalbierende : Lot : Parallele zu einer Geraden : Parallele zu einer Geraden im bstand einer Strecke eispiele und nwendunen : Dreieck aus drei eebenen Seiten : Tanente an einen Kreis Einleitun ls ich zur Schule in, konnte ich zwar mehr oder wenier ute Konstruktionsberichte schreiben, aber ich hatte immer ein unutes Gefühl dabei, weil ich nie exakt wusste, was mit einem Konstruktionsbericht emeint war. Dieser kleine rtikel soll enau uskunft eben, was im Konstruktionsbericht stehen soll und darf. Mit den Definitionen aus diesem rtikel sollen Schüler bzw. Lehrer in der Lae sein, zu entscheiden bzw. zu erklären, warum etwas in einem Konstruktionsbericht fehlt, oder allenfalls etwas zu viel ist. Falls eine ufabe mehrere Lösunen hat, werde ich das ledilich in den emerkunen erwähnen, damit ich die Definition des Konstruktionsberichtes übersichtlich estalten kann. 1

2 2 Grundkonstruktionen (G1, G2, G3) Der eriff Konstruktion steht kurz für eometrische Konstruktion in einer Ebene mit leistift, Lineal und Zirkel. Definition: Konstruktion Eine Konstruktion ist eine Fole, die aus den drei Grundkonstruktionsschritten a) Punkte bezeichnen, b) Geraden ziehen und c) Kreise zeichnen besteht. Dabei kann jede Grundkonstruktion mehrmals auftreten. Eine Konstruktion spielt sich immer in einer wohldefinierten (Zeichnuns-) Ebene ab. Definition: Konstruktionsbericht Ein Konstruktionsbericht ist das Protokoll der Grundkonstruktionen, die für die Konstruktion nöti sind. Wie im nächsten Kapitel (3 auf Seite 6) ezeit wird, dürfen häufi verwendete bfolen von Grundkonstruktionen im Konstruktionsbericht zusammenefasst werden. Später werden sehr häufi verwendete abeleiteten Konstruktionen auch im ericht stehen (wie z.. die Mittelsenkrechte). Die drei Grundkonstruktionen sind übriens einfach zu merken, denn zu jeder ehört ein Zeichnunserät: Zum Punkte wählen ehört der leistift, zum Ziehen von Geraden und Strecken ehört das Lineal und das Konstruieren von Kreisen eschieht mit dem Zirkel. 2

3 2.1 G1: Punkte wählen (leistift) Geeben: evtl. Kreise, Geraden Gesucht: Punkte Im ericht: wählen wählen C auf k wählen D auf wählen E,E := Schnittpunkte von und k E,E := k Sprich: Wähle einen Punkt. ezeichne einen Punkt. E k E D C emerkun 1 Punkte in der Ebene werden durch ein Kreuz () beziehunsweise einen mölichst kleinen Kreisrin darestellt (). Für Kreismittelpunkte wird oft der kleine Kreisrin verwendet, da die Einstichstelle des Zirkels enauer esehen werden kann. Punkte auf Linien (Geraden oder Kreislinien) werden durch kurze senkrechte Striche markiert (C und D). Schnittpunkte werden nur mit einem uchstaben versehen (E und E ). emerkun 2 lle Punkte werden mit Großbuchstaben ekennzeichnet. lle Linien (Kreise und Geraden) erhalten Kleinbuchstaben. 3

4 2.2 G2: Geraden ziehen (Lineal) Geeben: zwei Punkte ( und ) Gesucht: Gerade durch und Im ericht: und verbinden (oder verlänern) := Sprich: lee eine Gerade durch zwei eebene Punkte emerkun 1 bezeichnet die Gerade. bezeichnet die Strecke von bis. emerkun 2 In manchen Lehrbüchern wird auch das Wählen einer Geraden als Grundkonstruktion erwähnt. Wenn wir jedoch zwei Punkte frei wählen dürfen, kann die Wahl einer Geraden auch auf die Wahl von zwei Punkten (Grundkonstruktion 1) und das ziehen einer Geraden durch die eben ewählten Punkte(Grundkonstruktion 2) zurückeführt werden. 4

5 2.3 G3: Kreise (Zirkel) Geeben: M = Mittelpunkt = Radius Gesucht: Kreis k um M mit Radius Im ericht: k(m, ) Sprich: Zeichne einen Kreis um einen eeben Punkt durch einen zweiten eeben Punkt. k M emerkun k(m,) = k(m,). In einien Lehrbüchern sind die Voraussetzunen für das Zeichnen von Kreisen etwas anders. Dort ist der Mittelpunkt M und ein weiterer Punkt P eeben. Gesucht ist dann ein Kreis mit Mittelpunkt M, dessen Kreislinie (oder Peripherie) durch den Punkt P eht. us jener Voraussetzun kann unsere obie Grundkonstruktion G3 auch ewonnen werden. Das eht z.. mit Hilfe eines Parallelorammes, denn das Lot (vl. 3.5 auf Seite 10) kommt mit der Konstruktion k(,) aus. 5

6 3 beleitete Konstruktionen Die nun folenden abeleiteten Konstruktionen werden wir beim Konstruieren so häufi verwenden, dass sie alle einen eienen Namen bekommen. Wir dürfen dann jede der in diesem Kapitel abeleiteten Konstruktionen auch in unseren Konstruktionsberichten verwenden und müssen nicht immer die Grundkonstruktionen verwenden : Strecken übertraen Geeben: Strecke Gerade Gesucht: Strecke der Läne auf Im ericht: auf übertraen Sprich: Übertrae die Strecke auf. D C Im Geensatz zu den Grundkonstruktionenen haben die abeleiteten Konstruktionen einen Konstruktionsbericht. Konstruktionsbericht zu 1: 1. C auf wählen (G1) 2. k(c, ) (G3) 3. D := k (G1) emerkun Die Schritte zwei und drei können zusammenefasst werden: Konstruktionsbericht zu 1: 1. C auf wählen (G1) 2. k(c,) D (G3, G1) 6

7 3.2 2: Winkel übertraen Geeben: M Gerade Punkt P auf Gesucht: Gleich roßer Winkel mit Zentrum P und einem Schenkel auf Im ericht: M auf in P übertraen Sprich: Übertrae den Winkel M im Punkt P auf die Gerade. k 3 k 2 M P k 1 Konstruktionsbericht zu 2: 1. k 1 (P,M) (G3, G1) 2. k 2 (P,M) (G3) 3. k 3 (,), (G3, G1) 4. h := P bzw. h := P (G2) emerkun die ufabe hat zwei Lösunen: P und P. In der obien Zeichnun ist ween der Übersichtlichkeit nur eine Lösun abebildet. 7

8 3.3 3: Die Mittelsenkrechte (MSR) Geeben: = zu halbierende Strecke Gesucht: Gerade m die a) halbiert und b) senkrecht auf steht Im ericht: m := MSR auf Sprich: Konstruiere die Mittelsenkrechte auf die Strecke. X k 2 k 1 Y Konstruktionsbericht zu 3: 1. k 1 (,) (G3) 2. k 2 (,) X,Y (G3, G1) 3. m := XY (G2) 8

9 3.4 4: Die Winkelhalbierende Geeben: M Gesucht: Gerade, die M halbiert Im ericht: m := Winkelhalbierende zu M Sprich: Konstruiere die Winkelhalbierende zum Winkel M. k M m Konstruktionsbericht zu 4: 1. k(m,m) (G3, G1) 2. m := MSR auf (3) emerkun In diesem Konstruktionsbericht wird zum ersten mal ezeit, wie bereits durcheführte abeleitete Konstruktionen einesetzt werden. Die Winkelhalbierende kann einfacher und auch enauer durcheführt werden; dann ist der Konstruktionsbericht aber nicht mehr so eleant. 9

10 3.5 5: Lot Geeben: Gerade Punkt P Gesucht: Gerade durch P, die senkrecht schneidet Im ericht: m := Lot auf durch P Sprich: Konstruiere das Lot auf die Gerade durch den Punkt P. P m k Konstruktionsbericht zu 5: 1. auf wählen ( P) (G1) 2. k(p,p) (G3, G1) 3. m := MSR auf (3) emerkun diese Konstruktion funktioniert auch, wenn P auf liet. Die Konstruktion des Lots kann viel enauer mit dem GEO-Dreieck ezeichnet werden. 10

11 3.6 6: Parallele zu einer Geraden Geeben: Gerade Punkt P Gesucht: Parallele zu durch P Im ericht: h := Parallele zu durch P Sprich: Konstruiere die Parallele zur Geraden durch den Punkt P. P m h Konstruktionsbericht zu 6: 1. m := Lot auf durch P (5) 2. h := Lot auf m durch P (5) emerkun Die Parallele zu einer Geraden durch eine Punkt, darf wie das Lot mit dem GEO-Dreieck ezeichnet werden. 11

12 3.7 7: Parallele zu einer Geraden im bstand einer Strecke Geeben: Gerade Strecke Gesucht: Parallele zu im bstand von Im ericht: h := Parallele zu im bstand von Sprich: Konstruiere die Parallele zur Geraden im bstand der Strecke. h Q m k C Konstruktionsbericht zu 7: 1. wähle C auf (G1) 2. k(c, ) (G3) 3. m := Lot zu durch C (5) 4. Q(Q ) := m k (G1) 5. h := Parallele zu durch Q (6) emerkun Die ufabe hat zwei Lösunen. Falls die Strecke als Läne eeben ist (z..: = 3cm), so kann diese Konstruktion direkt mit dem GEO-Dreieck durcheführt werden. 12

13 4 eispiele und nwendunen emerkun Der Term Im ericht kommt in den eispielen nicht mehr vor. Diese eispiele dürfen nicht als einzelne Konstruktionsschritte verwendet werden : Dreieck aus drei eebenen Seiten Geeben: Strecken 1 1, 2 C 2 und 3 C 3 Gesucht: Dreieck C mit den eebenen Seiten Sprich: Konstruiere ein Dreieck aus drei eebenen Seiten C 2 3 C 3 C k 3 k 1 k 2 Konstruktionsbericht zu 1: 1. wähle (G1) 2. k 1 (, 2 C 2 ) (G3) 3. C auf k 1 wählen (G1) 4. k 2 (C, 3 C 3 ) (G3) 5. k 3 (, 1 1 ), (G3, G1) 6./7./8., C und C verbinden (3 G2) 13

14 4.2 2: Tanente an einen Kreis Geeben: Kreis k mit Mittelpunkt M Punkt P außerhalb von k Gesucht: Tanente t an k durch P Sprich: Konstruiere die Tanente(n) an k durch P. k T t M H P k 1 h Konstruktionsbericht zu 2: 1. := MP (G2) 2. h := MSR auf MP (3) 3. H := h (G1) 4. k 1 (H,MH) T(T ) (G3, G1) 5. t := PT (G2) emerkun Diese ufabe ist typisch. Es handelt sich nicht um eine abeleitete Konstruktion, die in eienen Konstruktionsberichten wieder verwendet werden darf. Selbst das GEO-Dreieck kann diese Konstruktion nicht vereinfachen oder enauer zeichnen. Eine zulässie bkürzun der Schritte 1 bis 4 ist k 1 := Thaleskreis auf M P, sofern der Thaleskreis im Unterricht bereits eineführt worden ist. Der Konstruktionsbericht liest sich dann: Konstruktionsbericht zu 2: 1. k 1 := Thaleskreis auf MP T(T ) (G3, G1) 2. t := PT (G2) emerkun Die ufabe hat zwei Lösunen. 14