Teil II: Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung Ohne Lösungsweg

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1 Staatliche Studienakademie Leipzi Brückenkurs Mathematik Studienrichtun Informatik September 11 Teil II: Aufaben zur Differential- und Interalrechnun Ohne Lösunswe 1. Aufabe: Bilden Sie die ersten Ableitunen folender Ausdrücke: a) y abx cdx Lösun a) bc ad cdx Lösun b) x x 1 Lösun c) x 1 x b) yarcsin x 1 x c) y1 x. Aufabe: Berechnen Sie die unbestimmten Interale: a) xsin x dx b) ln x dx c) 1 8 x dx Lösun a) xcos xsin xc Lösun b) xln x 1C Lösun c) arcsin x 8 C 3. Aufabe: Berechnen Sie die bestimmten Interale: a) axbcos x dx b) 1 e x cos xdx c) x dx

2 Lösun a) a 8 b Lösun b) cos x e x dx e x sin xcos x cos x e x dx [ e x sin xcos x ] 1 {e 1 e 1} 1,7 Lösun c) 1 1 x dx [ 1 ln x] 1475,88 4. Aufabe: Bilden Sie von der Funktion yx den Differenzenquotienten y x y x 1 y x x 1 x an der Stelle x 1 3. Dabei soll x die Werte ; 1; ;,9;,99; annehmen. Zeien Sie raphisch und arithmetisch, welchem Wert der Differenzenquotient zustrebt, wenn xx 1 x een Null strebt. An der Stelle x 1 3 ereben sich folende Funktionswerte: x 1,9,99 y / x ,9 5,99 y x xx 1 -x Aus der Darstellun lässt sich erkennen, dass der Differenzenquotient für x een Null der Zahl 6 zustrebt. Dabei ist zu beachten, dass der Differenzenquotient für x nicht definiert ist.

3 3 x lim 3 x 3 x lim x 1 x y x 1 yx x 1 x 3 x3 x lim 3 x 3 x x 1 3 lim 3 x 6 3 x 5. Aufabe: In ein Dreieck (b1, h6) ist ein Rechteck eineschrieben. a) Es ist die Fläche A dieses Rechtecks als Funktion von x auszudrücken. b) Bestimmen Sie den maximalen Wert von A. Die Fläche des Rechtecks als Funktion von x: A x h b x hx Nun werden die Extremwerte von A(x) esucht: x max b 5 LE Damit kann nun die maximale Fläche berechnet werden: A max 6 LE 1 LE 5 LE 5 LE 6 LE 15 LE 6. Aufabe: Die x-achse bedeutet die Grenze zweier Medien; in dem einen ist die Lichtquelle P(a,b). Ein Lichtstrahl, der sich in dem einen Medium (y>) mit der Geschwindikeit c 1 und in dem anderen Medium (y<) mit c fortbewet, durchläuft die Strecke PAQ in kürzester Zeit (Fermatsches Prinzip).

4 Berechnen Sie das Verhältnis sin sin. Zur Vereinfachun der Bezeichnun führen wir die Strecken s 1, e, s und f ein (siehe Abbildun). Die Laufzeiten des Lichtstrahles in den beiden Medien betraen: t 1 s 1 c 1 t s c t t 1 t Erebnis: c 1 c sin sin t s 1 c 1 s c 7. Aufabe: Die Gleichun für den Ausschla einer edämpften Schwinun sei se,3t sin3t, wobei t die Variable (Zeit) ist. Stellen Sie den Ausschla s und die Geschwindikeit v ds im Zeitbereich von t bis dt t5 rafisch dar und untersuchen Sie die Lae der Maxima und Minima. Die Geschwindikeit ist die erste Ableitun des Ausschlaes nach der Zeit: v d dt st 6e,3t{ 1 1 sin3tcos3t }

5 Gedämpfte Schwinun s v Zusammenfassun: Nullstellen k Z lokale Maxima k Z lokale Minima k Z t s, k 3 Ausschla s t v, 1 3 arcsin 1 11 k 3 t v, 1 3 arcsin k 3 Geschwindikeit v t v, 1 3 arcsin 1 11 k 3 t v, Max arcsin k 3 t v, Max arcsin 3 k 3 Die raphische Darstellun (vl. oben) zeit das typische Bild einer edämpften Schwinun - eine Sinuskurve mit sich ständi verrinernder Amplitude. Dabei stimmen die Nullstellen der Geschwindikeit mit den Extremstellen des Ausschlaes überein, jedoch lieen die Extremstellen der Geschwindikeit etwas vor den Nullstellen des Ausschlaes. Beides ist charakteristisch für eine edämpfte Schwinun. 8. Aufabe: Das von der Parabel yx, der x-achse und der Geraden x1 berenzte Flächenstück ist durch eine Senkrechte zur x-achse a) zu halbieren, b) im Verhältnis m:n zu teilen. Welche Gleichun hat die Senkrechte?

6 Die Gerade x teile den Flächeninhalt im Verhältnis m:n (Halbieren ist der Spezialfall mn1): A A 1 A 1 A x dx A 1 Allemeine 1 3 m nm Für den Spezialfall mn1 eribt sich: 1 x dx A x dx mn ,94 9. Aufabe: Es ist die Masse eines Stabes der Läne l1 m zu bestimmen, wenn die lineare Dichte des Stabes mit der Entfernun x von einem Ende des Stabes eeben ist durch x, x [ k m ] [k] 1. Aufabe: Es ist die Wärmemene Q zu berechnen, die durch einen Wechselstrom II sin t während einer Periode T in einem Leiter mit dem Ohmschen T Widerstand R entsteht.

7 Q T 1 R I T 11. Aufabe: Die Arbeit da, die von einem Gas eleistet wird, wenn es von dem Volumen V 1 bei konstanter Temperatur T auf das Volumen V 1 +dv ebracht wird, ist leich da R T dv, wobei R V die universelle Gaskonstante ist. Berechnen Sie die vom Gas eleistete Arbeit beim Überan vom Volumen V 1 zum Volumen V und diskutieren Sie das Erebnis für V 1 >V sowie für V 1 <V. A R T ln V V 1 Diskussion: V 1 >V eribt ln V V 1, damit folt A< Die eleistete Arbeit hat ein neatives Vorzeichen: Es wird vom Gas Arbeit eleistet. V >V 1 eribt ln V V 1, damit folt A> Die eleistete Arbeit hat ein positives Vorzeichen: Es wird am Gas Arbeit eleistet. 1. Aufabe: Ein Körper fällt im freien Fall aus der Höhe s 1 m auf den Erdboden. Welche Geschwindikeit besitzt der Körper zum Zeitpunkt des Aufschlaes, wenn er in der Höhe s ruhte? Nach welcher Zeit, emessen vom Zeitpunkt t des Loslassens des Körpers, schlät er auf dem Erdboden auf? Für ist der Wert 1 m s zu verwenden. Im Geensatz zur Aufabenstellun lassen wir die x-achse unseres Koordinatensystems nach unten zeien, damit haben wir s und s 1 1 m: s t v eeben: s 1 1 m 1 m s esucht: v 1, t 1 d s dv dt dt dv dt t 1 s Einsetzen in (1) liefert: v 1 s s

8 Einsetzen der Zahlen liefert: t 1 1 m 1m s s 1,41s v 1 1 m 1 m s 1 m s 1 14,1 m s 1 5 km h 1