Brückenkurs Mathematik

Transkript

1 BERUFSAKADEMIE SACHSEN Staatliche Studienakademie Leipzig Prof. Dr. Ingolf Brunner Studienrichtung Informatik Brückenkurs Mathematik September 2011 Sie möchten Informatik studieren? Dann ist Mathematik für Sie ein Grundlagenfach mit großem Gewicht. Fundierte mathematische Kenntnisse sind in den meisten Fächern Ihres Studiums erforderlich. Leider besteht häufig eine Diskrepanz zwischen mitgebrachtem Schulwissen in Mathematik und den Anforderungen, die an Studienanfänger der Informatik von Beginn an gestellt werden müssen. Vielleicht wollen Sie Ihr Wissen noch einmal auffrischen und die eine oder andere Wissenslücke rechtzeitig vor Studienbeginn schließen? Dann sollten Sie am Brückenkurs teilnehmen. Um Ihre Chancen für einen Studienerfolg von Anfang an zu erhöhen, bieten wir Ihnen einen Brückenkurs an. Dabei wird der erlernte Schulstoff studienfachbezogen aufgefrischt und ergänzt. Ihr Job beginnt nicht erst nach dem Studium, das Studium nicht erst mit der Immatrikulation sondern jetzt!

2 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 2 Inhaltsverzeichnis Einführung...3 Ziel des Brückenkurses...3 Gliederung des Brückenkurses...3 Aufgaben für die Teilnehmer...3 Zeitlicher Ablauf...4 Literatur...4 Teil I: Aufgaben zum Rechnen mit reellen Zahlen und Lösen von Bestimmungsgleichungen...5 Teil II: Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung...8 Teil III: Aufgaben zur Vektorrechnung...11 Teil IV: Aufgaben zu Komplexen Zahlen...13

3 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 3 Einführung Ziel des Brückenkurses Die Ihnen im Brückenkurs angebotenen Lektionen sollen helfen, eventuelle Lücken im Selbststudium zu schließen. Für die Klärung offener Fragen und die exemplarische Behandlung einzelner Themen werden Seminarveranstaltungen in den Räumen der Staatlichen Studienakademie Leipzig angeboten. Damit Sie nicht allein mit trockenen Zahlen operieren, wurden viele Aufgaben mit physikalischem Hintergrund gewählt. Und falls Sie als angehende Studenten der Informatik fragen, wozu denn beispielsweise das Snelliussche Brechungsgesetz (Teil II, Aufgabe 6.) für Sie nützlich sein könnte: Zur Datenübertragung benutzte Lichtwellenleiter beruhen meist auf dem Prinzip der Totalreflexion, welches sich aus dem Brechungsgesetz ableiten lässt. Die Teilnahme am Brückenkurs ist freiwillig. Wer nicht teilnehmen kann oder möchte sollte sich unbedingt eingehend mit den Aufgaben beschäftigen. Auch die Teilnehmer des Brückenkurses müssen sich intensiv vorbereiten - ohne Vorbereitung ist es vertane Zeit! Uns ist natürlich klar, dass Sie nicht für jede Aufgabe sofort die richtige und eleganteste Lösung finden werden. Vergessen Sie dabei nicht: Ein Ziel des Kurses ist auch die Ergänzung Ihres Schulwissens. Also bitte nicht in Panik verfallen, wenn Sie mit den Aufgaben nicht auf Anhieb zurechtkommen das ist auch anderen schon passiert. Es ist völlig normal, wenn Sie ein paar Tage zur Lösung der Aufgaben benötigen. Gliederung des Brückenkurses Im Verlauf des Brückenkurses werden folgende Themen behandelt: Teil I.1: Teil I.2: Teil II: Teil III: Teil IV: Aufgaben zum Rechnen mit reellen Zahlen (Einführung/Übungen) Aufgaben zum Lösen von Bestimmungsgleichungen (Einführung/Übungen) Differential- und Integralrechnung (Einführung/Übungen) Vektorrechnung (Einführung/Übungen) Komplexe Zahlen (Einführung/Übungen) Die Teile III und IV sind für viele der Teilnehmer wahrscheinlich Ergänzungen zum Schulstoff. Zu den Teilen I, II, III und IV wird im Brückenkurs eine Einführungsveranstaltung gehalten. Anschließend werden die Aufgaben gemeinsam durchgerechnet (soweit zeitlich möglich). Aufgaben für die Teilnehmer Die folgenden Teile erarbeiten Sie bitte bis zum Beginn des Brückenkurses im Selbststudium: Lösung der Aufgaben zu Teil I Lösung der Aufgaben zu Teil II (soweit als möglich) Lösung von Teil III, Aufgabe 6. mittels Ihnen bekannter Methoden (falls Sie noch keine Vektorrechnung kennen)

4 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 4 Wir ermuntern Sie ausdrücklich, sich auch die restlichen Aufgaben im Vorfeld anzusehen. Weitere Aufgabenstellungen können Sie bei Bedarf der Literatur entnehmen. Zeitlicher Ablauf 12. September 2011: 08:00 Uhr 09:30 Uhr Einführungsveranstaltung zu Teil I.1 10:00 Uhr 11:30 Uhr Übungen zu Teil I.1 12:00 Uhr 13:30 Uhr Einführungsveranstaltung zu Teil I.2 14:00 Uhr 15:30 Uhr Übungen zu Teil I September 2011: 08:00 Uhr 09:30 Uhr Einführungsveranstaltung zu Teil II 10:00 Uhr 11:30 Uhr Übungen zu Teil II 12:00 Uhr 13:30 Uhr Übungen zu Teil II 14. September 2011: 08:00 Uhr 09:30 Uhr Einführungsveranstaltung zu Teil III 10:00 Uhr 11:30 Uhr Übungen zu Teil III 12:00 Uhr 13:30 Uhr Übungen zu Teil III 15. September 2011: 08:00 Uhr 09:30 Uhr Einführungsveranstaltung zu Teil IV 10:00 Uhr 11:30 Uhr Übungen zu Teil IV 12:00 Uhr 13:30 Uhr Übungen zu Teil IV Die Räume werden per Aushang im Eingangsbereich bekanntgegeben. Bei Hunger oder Durst können Sie in den Pausen unsere Mensa nutzen. Literatur Gerald Hofmann: Ingenieurmathematik für Studienanfänger. B. G. Teubner ISBN: Peter Stingl: Einstieg in die Mathematik für Fachhochschulen. C. Hanser ISBN: Karl Bosch: Brückenkurs Mathematik. R. Oldenbourg ISBN: Diese Bücher sind in unserer Bibliothek vorhanden. Den Online-Katalog finden Sie unter der URL Natürlich können Sie die Bibliothek auch jetzt schon nutzen, allerdings stehen einige Bücher nur zur Nutzung im Lesesaal zur Verfügung. Danksagung Die Aufgaben in diesem Brückenkurs habe ich nicht alle selbst erfunden. Viele Aufgaben zum Teil I wurden dem Buch Ingenieurmathematik für Studienanfänger von Gerald Hofmann entnommen, dessen Lektüre ich allen Studienanfängern empfehle. Viele Aufgaben zu den Teilen II, III und IV entstammen dem Brückenkurs, durch denn ich mich bei Studienbeginn im Jahr 1987 selbst mit viel Schweiß gearbeitet habe. Leider habe ich keine Notizen zu den Namen der Betreuer dieses Kurses, meine mich aber an Dr. B. Staudte, Dr. M. Staudte und Dr. B. Lippold zu erinnern. Herr L. Aschmann hat freundlicherweise intensiv bei der Korrektur der Unterlagen zum Brückenkurs mitgewirkt und einen Teil der Seminare übernommen. Die Veranstaltungen zum Teil I übernehmen meine Kollegen Frau Dr. Schneider und Herr Dr. Heller. Allen danke ich herzlich.

5 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 5 Teil I: Aufgaben zum Rechnen mit reellen Zahlen und Lösen von Bestimmungsgleichungen 1. Aufgabe: Wandeln Sie in Dezimalzahlen um: a) b) c) d) e) Aufgabe: Wandeln Sie die periodischen Dezimalzahlen in Brüche um: a) 0,33 b) 2, 171 c) 0, 2 3. Aufgabe: Berechnen Sie: [ 4 3, ,3 ] Aufgabe: Berechnen Sie: a) 2x 5 2 b) 2x 3y 2 c) x 2y 2 5. Aufgabe: Lösen Sie die Klammern auf (d.h., beseitigen Sie alle Klammern): a) 3a 5b 4a 5a 4b 3b 2b 6a 4a 3a 2b 2b b) 5x[3y 5x 2y ] 4y[5x 3y 7x 3x 9y x 2y ] 6. Aufgabe: Zerlegen Sie folgende Ausdrücke in Faktoren: a) x 4 1 z 2 b) ax 3ay bx 3by c) 1 x x 2 x 3 x 4 x 5 7. Aufgabe: Berechnen Sie ohne Hilfsmittel: Aufgabe: Vereinfachen Sie: a b b a a b b a 9. Aufgabe: Addieren bzw. subtrahieren Sie:

6 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 6 a) 1 m n 1 m n b) 3 x 2 3xy 6 y 2 6xy x y x y 10. Aufgabe: Vereinfachen Sie und geben Sie Existenzbedingungen für die auftretenden Terme an: a 1 a a 1 a Aufgabe: Führen Sie die Polynomdivision aus: a) x 3 6 x 2 9x 4 x 1 b) 24 x 4 26 x 3 76 x 2 32 x 4 x 2 7 x Aufgabe: Lösen Sie nach x auf: a) x 3 2 = x 9 x 1 b) a b a x a b a x = Aufgabe: Lösen Sie die folgende Gleichung nach R auf: 1 R = 1 R 1 1 R Aufgabe: Vereinfachen Sie: a) b) 4a x 3a 5 x 3a4 x 2 2 2ax Aufgabe: Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a) x y x y3 y 3 x b) 6 x 5 3 x 2 3 x 2 6 x 4 x 3 9 x 7 9 x 7 x 16. Aufgabe: Die Nenner der folgende Brüche sind rational zu machen, d.h., die Wurzeln im Nenner sollen durch geeignete Umformungen beseitigt werden. a) 1 2 b) Aufgabe: Zerlegen Sie unter Anwendung der Logarithmengesetze! Für welche Werte der Variablen (im Reellen) sind die Terme definiert?

7 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 7 a) lg 1 x 1 x b) ln a b 2 3 c d Aufgabe: Berechnen Sie ohne Hilfmittel: a) x = lg 2 b) x = lg 2 lg Aufgabe: Bestimmen Sie alle reellen Lösungen: a) x 2 2x 35 = 0 b) a x = 1 x 1 a 20. Aufgabe: Bestimmen Sie alle reellen Lösungen: x 4 10 x 2 9 = Aufgabe: Lösen Sie die Wurzelgleichungen: a) 4 x 2 3 x 1 = 0 b) 13 = x 11 x Aufgabe: Zeigen Sie, daß die folgende Wurzelgleichung keine reellen Lösungen haben können, ohne die Gleichung zu lösen: 1 x x 1 = Aufgabe: Für welche reellen x sind die folgenden Gleichungen erfüllt? a) 5 3x 5 = 25 2x 1 b) 3 3x 1 27 x 1 = Aufgabe: Lösen Sie: a) log 4 x log 4 x 2 = 2 b) log 5 x log 5 2x 1 = log 5 x Aufgabe: Vereinfachen Sie: cos x 1 tan 2 x 26. Aufgabe: Geben Sie alle Lösungen an: a) 4sin 2 x 3 cos x = 4,5 b) cot x = 2sin x

8 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 8 Teil II: Aufgaben zur Differential- und Integralrechnung 1. Aufgabe: Bilden Sie die ersten Ableitungen folgender Ausdrücke: a) y= a bx c dx b) y=arcsin x2 1 x 2 c) y= 1 x 2 2. Aufgabe: Berechnen Sie die unbestimmten Integrale: a) xsin x dx b) ln x dx c) 1 8 x 2 dx 3. Aufgabe: Berechnen Sie die bestimmten Integrale: 2 a) 0 ax b cos x dx b) 0 10 e x cos x dx c) 2 x dx 0 4. Aufgabe: Bilden Sie von der Funktion y=x 2 den Differenzenquotienten y x = y x 1 y x x 1 x an der Stelle x 1 =3. Dabei soll x die Werte 0; 1; 2; 2,9; 2,99; annehmen. Zeigen Sie graphisch und arithmetisch, welchem Wert der Differenzenquotient zustrebt, wenn x= x 1 x gegen Null strebt. 5. Aufgabe: In ein Dreieck (b=10, h=6) ist ein Rechteck eingeschrieben. a) Es ist die Fläche A dieses Rechtecks als Funktion von x auszudrücken. b) Bestimmen Sie den maximalen Wert von A. 6. Aufgabe: Die x-achse bedeutet die Grenze zweier Medien; in dem einen ist die Lichtquelle P(a,b). Ein Lichtstrahl, der sich in dem einen Medium (y>0) mit der Geschwindigkeit c 1 und in dem anderen Medium (y<0) mit c 2 fortbewegt, durchläuft die Strecke PAQ in kürzester Zeit

9 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 9 (Fermatsches Prinzip). Berechnen Sie das Verhältnis sin sin. 7. Aufgabe: Die Gleichung für den Ausschlag einer gedämpften Schwingung sei s=2e 0,3t sin 3t, wobei t die Variable (Zeit) ist. Stellen Sie den Ausschlag s und die Geschwindigkeit v= ds im Zeitbereich von t=0 bis dt t=5 grafisch dar und untersuchen Sie die Lage der Maxima und Minima. 8. Aufgabe: Das von der Parabel y=x 2, der x-achse und der Geraden x=10 begrenzte Flächenstück ist durch eine Senkrechte zur x-achse a) zu halbieren, b) im Verhältnis m:n zu teilen. Welche Gleichung hat die Senkrechte? 9. Aufgabe: Es ist die Masse eines Stabes der Länge l=1 m zu bestimmen, wenn die lineare Dichte des Stabes mit der Entfernung x von einem Ende des Stabes gegeben ist durch x =0,2 x [ 2 kg m]. 10. Aufgabe: Es ist die Wärmemenge Q zu berechnen, die durch einen Wechselstrom I=I 0 sin 2 t während einer Periode T in einem Leiter mit dem Ohmschen T Widerstand R entsteht. 11. Aufgabe: Die Arbeit da, die von einem Gas geleistet wird, wenn es von dem Volumen V 1 bei konstanter

10 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 10 Temperatur T auf das Volumen V 1 +dv gebracht wird, ist gleich da= R T V dv, wobei R die universelle Gaskonstante ist. Berechnen Sie die vom Gas geleistete Arbeit beim Übergang vom Volumen V 1 zum Volumen V 2 und diskutieren Sie das Ergebnis für V 1 >V 2 sowie für V 1 <V Aufgabe: Ein Körper fällt im freien Fall aus der Höhe s 0 =10 m auf den Erdboden. Welche Geschwindigkeit besitzt der Körper zum Zeitpunkt des Aufschlages, wenn er in der Höhe s 0 ruhte? Nach welcher Zeit, gemessen vom Zeitpunkt t 0 des Loslassens des Körpers, schlägt er auf dem Erdboden auf? Für g ist der Wert 10 m s 2 zu verwenden.

11 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 11 Teil III: Aufgaben zur Vektorrechnung 1. Aufgabe: Gegeben sind die Vektoren: A= 1,2,3 B= 1,1,2 Bestimmen Sie die Vektoren: A B, A B, 3 A 2 B, A B, A B, B A 2. Aufgabe: Ein Flugzeug fliegt relativ zur Erdoberfläche mit einer Geschwindigkeit von 800 km/h genau nach Osten. Es weht ein Wind mit 50 km/h von Nord nach Süd. Mit welcher Geschwindigkeit und in welcher Richtung würde das Flugzeug fliegen, wenn der Wind plötzlich aufhört? 3. Aufgabe: Ein Schwimmer schwimmt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s genau rechtwinklig zur Strömung über einen 40 m breiten Fluss. Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses betrage konstant 2 m/s. a) Geben Sie den Vektor der Geschwindigkeit des Schwimmers bezogen auf das Ufer an. b) Kann der Schwimmer das andere Ufer erreichen? Wenn ja, wie viel Zeit benötigt er dafür? 4. Aufgabe: Ein Wagen der Masse m = 1000 kg bewegt sich entgegen dem Uhrzeigersinn längs einer kreisförmigen Rennstrecke vom Radius R = 5 km mit einer konstanten Geschwindigkeit v = 81 m/s. Man geben den Vektor der Bahngeschwindigkeit v und den der Zentrifugalkraft F im Punkt P(4 km, 3 km) auf der Bahn an. Der Mittelpunkt des Kreises liegt im Koordinatenursprung. 5. Aufgabe: Bilden Sie die zu den folgenden Vektoren gehörenden Einheitsvektoren! a) A= 11 15, , 2 b) B= 4 3, 8 3, Aufgabe: Welchen Winkel bildet der Vektor A= 1,2 2, 3 B= 1,2, 0 C= 2, 1,5 D= A B C mit den Koordinatenachsen? Gegeben ist: 7. Aufgabe: Die drei Punkte A(2, 1, 5), B(5, 2, 8) und C(4,8,2) bilden ein Dreieck. Es ist mittels der

12 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 12 Vektorrechnung die Fläche dieses Dreiecks zu ermitteln. 8. Aufgabe: Die acht Punkte A(1, 2, 3), B(5, 1, 4), C(6, 4, 4), D(2, 5, 3), E(2, 2, 6), F(6, 1, 7), G(7, 4, 7) und H(3,5,6) bilden ein Parallelepiped. Es ist mittels der Vektorrechnung das Volumen dieses Parallelepipeds zu ermitteln. 9. Aufgabe: Bestimmen Sie die Komponenten des Einheitsvektors n, der zu den Vektoren B jeweils senkrecht (orthogonal) ist. Es sei: A= 2, 3,1 B= 6, 1, 2 A und 10. Aufgabe: Die magnetische Induktion B wird durch die Lorentzbeziehung F=Q v B definiert. F ist die Kraft, die auf die Ladung Q wirkt, wenn sich diese mit der Geschwindigkeit v in der magnetischen Induktion B bewegt. Berechnen Sie B aus den Ergebnissen der drei Experimente: v 1 = 1,0,0 und F 1 =Q 0, 4, 2 v 2 = 0,1,0 und F 2 =Q 4,0, 1 v 3 = 0,0,1 und F 3 =Q 2,1,0

13 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik 13 Teil IV: Aufgaben zu Komplexen Zahlen 1. Aufgabe: Berechnen Sie: i) Z = Z 1 Z 2 (Addition) ii) Z = Z 1 Z 2 (Subtraktion) iii) Z = Z 1 Z 2 (Multiplikation) iv) Z = Z 1 Z 2 (Division) für folgende Zahlen: a) Z 1 = 2 2i Z 2 = 1 3i b) Z 1 = 1 3i Z 2 = 1 3i c) Z 1 = 3 i Z 2 = 1 i Hinweis: Die Berechnung der Division ist in der Polarform einfacher. 2. Aufgabe: Bestimmen Sie die Lösungen und stellen sie diese in der komplexen Ebene dar: a) 5 x x 60=0 b) 2 x2 2 x 4=0 3. Aufgabe: Berechnen Sie Z Z * und Z Z * für folgende Zahlen: a) 2 5i b) 5 3i c) a bi Diskutieren Sie die Ergebnisse! 4. Aufgabe: Berechnen Sie folgende Quotienten und vergleichen Sie die Ergebnisse: 2 3i 2 3i a) b) 1 i 1 i 5. Aufgabe: Vergleichen Sie e i und e i i 2 k für k Z. 6. Aufgabe: Berechnen Sie: a) 4 3i 3 b) 4 3i c) ln 4 3i 7. Aufgabe: Leiten Sie das Additionstheorem für sin her!

14 Staatliche Studienakademie Leipzig, Studienrichtung Informatik Aufgabe: Berechnen Sie und stellen Sie das Ergebnis in der komplexen Ebene dar: Aufgabe: Stellen Sie die beiden Zahlen Sie diese für A=6 3i. A bzw. A i in der komplexen Ebene dar und vergleichen