Herbst 2009 Seite 1/14. Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover Klausur Technische Mechanik III für Maschinenbau. Musterlösungen (ohne Gewähr)

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1 Seite 1/14 Frae 1 ( Punkte) Der skizzierte Mechanismus besteht aus drei Stäben, die über Drehelenke miteinander verbunden sind. Der Stab 1 wird mit der konstanten Winkeleschwindikeit ω 1 anetrieben. 3 3 C a) Zeichnen Sie den Momentalpol Q des Stabes in die Skizze ein! b) Ermitteln Sie das Übersetzunsverhältnis i = ω 1 /ω 3 in der skizzierten Stellun! 1 A Geeben: l, ω 1. i = ω 1 ω 3 = Q v C v 1 A i = ω 1 ω 3 = v 1 l 6l v 3 = 3 v 1 v 3 = 3 ω 3l ω 4l = 9 4 =,

2 Seite /14 Frae ( Punkte) Eine Kuel wird unter dem Winkel α mit der Anfanseschwindikeit v vom Boden über eine Mauer (Höhe h) eschossen. a) Geben Sie den Winkel α an, bei dem die Wurfbahn der Kuel erade in der Höhe h eine waaerechte Tanente aufweist! b) Welche Wurfweite w wird erreicht? v w h Geeben: h, v,. α = w = a) ż = v sin α t = t = v sin α z = h = v t sin α t h = v sin α h α = arcsin v b) w = v t cos α w = v sin α 3.8.9

3 Seite 3/14 Frae 3 ( Punkte) Eine Punktmasse besitzt bei x = die Geschwindikeit v. Sie wird für x emäß a(x) = kx mit k > abebremst. a) Geben Sie die Geschwindikeit v(x) an! b) Wie roß muss k = k ewählt werden, damit die Masse bei x = l zur Ruhe kommt? Geeben: l, v, k, a(x) = kx. vx ()= k* = xv a) a(x) = kx v(x) = a(x)dx + v = v kx oder a = dv dt = dv dx dx dt = dv v adx = vdv dx v(x) = v kx b) v(x = l) = k = ( v ) l x a( x)d x = 1 [ v (x) v] 1 kx = 1 [ v (x) v ] oder anschaulich über Ersatzsystem (Kinetik): x v reibunsfrei Feder entspannt bei x =. Impulssatz mẍ = cx ẍ = a(x) = cx m = kx mit k = c m Eneriesatz: 1 mv = 1 cl k = c m = v l 3.8.9

4 Seite 4/14 Frae 4 ( 4 Punkte) Zwei miteinander verbundene Zylinder (Radien R und r, esamtes Massenträheitsmoment J (A) ) sind in A reibunsfrei drehbar elaert. Auf ihnen können zwei Seile abrollen, an denen jeweils ein Turner hänt. In der statischen Gleichewichtslae beween sich beide Turner nicht. Der linke Turner (Masse m) klettert nun mit konstanter Absoluteschwindikeit v 1 an dem Seil hoch, der rechte Turner (Masse M) hält sich an seinem Seil fest. a) Wie roß ist der Drall L (A) der beiden Turner und des Zylinders bezülich des Punktes A in Abhänikeit der einezeichneten Geschwindikeiten v 1 bzw. v der Turner? b) Welchen Wert nimmt der Gesamtdrall L (A) es c) Mit welcher Absoluteschwindikeit v bewet sich der zweite Turner nach oben? Geeben: r, R = r, m, M = m, J (A), v 1,. an? A R v 1 m M r v L (A) Turner links (v 1) = L (A) Turner rechts (v ) = L (A) Zylinder (v ) = L (A) es = v = a) L (A) Turner links (v 1) = mrv 1 = mrv 1, L (A) Turner rechts (v ) = Mrv = mrv, b) L (A) Zylinder (v ) = J (A) v r, c) L (A) es =, da M (A) = d dt L(A) = und L (A) es, = d) = mrv 1 + mrv + J (A) v r v = mr mr + J (A) v

5 Seite 5/14 Frae 5 ( 3 Punkte) An einer Kreisscheibe A (Radius R, Masse M) ist einer weitere Kreisscheibe B (Radius r = R/3, Masse m = M/4) exzentrisch befestit. Kreisscheibe A wird von einem Seil umschlunen, an dessen Ende eine Masse M befestit ist. A B O r m R a) Bestimmen Sie das esamte Massenträheitsmoment J (O) der Kreisscheiben A und B bezülich O! b) Wie roß ist die Beschleuniun ẍ der Masse M in der darestellten Lae? M x M c) Wie roß ist die Seilkraft S? Geeben: R, r = R/3, M, m = M/4,. J (O) = ẍ = S = a) J (O) = 1 MR Mr + 1 M(R r) 4 J (O) = 5 8 MR b) : J (O) ϕ = RS : Mẍ = M S mit ẋ = R ϕ ẍ = R ϕ J (O) ẍ = M( ẍ) R ẍ = 8 13 c) S = M( ẍ) = M( 8 13 ) = 5 13 M 3.8.9

6 Seite 6/14 Frae 6 ( Punkte) Eine homoene Walze (Radius r, Masse m) rollt mit einer Anfanseschwindikeit v auf eine Rampe zu. Die Rampe führt auf eine um die Höhe h versetzte Ebene. Die Walze rollt ohne zu rutschen und hebt nicht vom Boden ab. a) Geben Sie die Anfanswinkeleschwindikeit ω der Walze an! b) Für welchen Wert v = v der Anfanseschwindikeit erreicht die Walze erade noch die obere Ebene? Geeben: r, h, v, m,. r v m h ω = v = a) ω = v r b) Eneriesatz: E p + E k = E p1 + E k1 E p = E k1 = E p1 = mh E k = 1 mv + 1 J wω mit J w = 1 mr und ω = v r 1 mv mv = mh v = h

7 Seite 7/14 Aufabe 7 ( 8 Punkte) Der skizzierte Mechanismus besteht aus drei Stäben der Länen l bzw. l. In der Lae ϕ = 45 erfährt der Stab 1 (Läne l) erade die Winkeleschwindikeit ω 1 und die Winkelbeschleuniun ω 1. a) Wie lauten die Koordinaten x Q und y Q des Momentanpols von Stab für die darestellte Lae? Geben Sie jeweils in vektorieller Schreibweise D 3 B 1 C ω 1, ω 1 A y z x b) die Winkeleschwindikeiten ω und ω 3 der Stäbe und 3, c) die Beschleuniun a B des Punktes B sowie d) die Winkelbeschleuniunen ω und ω 3 der Stäbe und 3 an! Geeben: l, ϕ = 45, ω 1, ω 1. a) B D v B 3 ω 3, ω 3 ω, ω 1 C ω 1, ω 1 v C Q A y z x x Q = ( 1)l, y Q = ( 1)l 3.8.9

8 Seite 8/14 b) v B = ω 1 r A,B! = ω r Q,B ω 1 ω 1 l ω 1 l l l = = ω l ω l v C,y = lω = lω 3 ω 3 = ω = ω 1 ω 3 = ω l l ω = ω 1 ω 1 c) a B = a A + ω 1 r A,B ω1 r A,B = + a B = ω 1 l(ω 1 ω 1 ) l(ω1 + ω 1 ) l l ω1 l l d) Ebene Kinematik: a C = ω 3 r DC ω3 r! DC = a B + ω r BC ω r BC l l ω3 = ω 3 ω l ω 3 l ω = ω 1 ( + )ω 1 ω 3 = ω 1 + ( )ω 1 = l(ω 1 ω 1 ) l(ω 1 + ω 1 ) + l(ω 1 ω 1 ) + ω l l(ω 1 + ω 1 ) + ω l ω l ω l 3.8.9

9 Seite 9/14 Aufabe 8 ( 8 Punkte) Eine homoene Walze (Masse m 1, Radius r) liet auf einem Brett (Masse m ). Das Brett kann sich auf einer latten Unterlae reibunsfrei beween. Ein auf die Walze aufewickeltes Seil ist über eine Umlenkrolle mit einer Masse m 3 verbunden. Seil und Umlenkrolle sind masselos. Das System befindet sich zu Beinn in Ruhe. Die Walze rollt auf dem Brett ohne zu rutschen. a) Zeichnen Sie die Freikörperbilder für die beteiliten massebehafteten Körper des Systems! x 1 M r m 1 ¹ m reibunsfrei x m 3 x 3 b) Stellen Sie die Geschwindikeiten ẋ 3 und ẋ als Funktionen von ẋ 1 und ϕ dar! c) Berechnen Sie die Beschleuniun ẍ 1 des Walzenschwerpunktes M! d) Wie roß muss der Reibkoeffizient µ zwischen Walze und Brett mindestens sein, damit erade noch kein Rutschen auftritt? Geeben: r, m, m 1 = m, m = m 3 = m,. a) Freikörperbilder: S Kinematischer Zusammenhan: M m 1 S x 1 x 3 R N N R m 3 x m N G 3.8.9

10 Seite 1/14 b) Kinematischer Zusammenhan: ẋ 3 = ẋ 1 + ϕr ẋ = ẋ 1 ϕr c) Impuls- und Drallsätze: m 1 ẍ 1 = S + R m ẍ = R m 3 ẍ 3 = m 3 S (i) (ii) (iii) J (M) ϕ = Sr Rr (iv) mit J (M) = 1 m 1r Eliminieren von S und R: (ii) nach R auflösen, (iii) nach S auflösen und in (i), bzw. (iv) einsetzen eribt m 1 ẍ 1 = m 3 m 3 ẍ 3 m ẍ 1 m 1r ϕ = (m ẍ + m 1 ẍ 1 )r ( m ẍ )r = (m ẍ + m 1 ẍ 1 )r Mit den kinematischen Zusammenhänen aus b) m 1 ẍ 1 = m 3 m 3 (ẍ 1 + ϕr) m (ẍ 1 ϕr) 1 m 1r ϕ = (m (ẍ 1 ϕr) + m 1 ẍ 1 )r Auflösen führt mit m 1 = m und m = m 3 = m auf ẍ 1 = 1 4 ϕ = 1 3 r d) Haftbedinun: R µn mit R = m ẍ = m(ẍ 1 ϕr) = m m1 3 r r = 1 1 m und N = m 1 = m folt 1 1 m µm µ

11 Seite 11/14 Aufabe 9 ( 7 Punkte) Eine homoene Rolle (Radius r, Masse m) liet auf einer schiefen Ebene (Neiunswinkel α) und wird im Mittelpunkt C über ein Seil ehalten. Über ein zweites Seil ist wie skizziert eine Masse M anebracht. Ihre Lae wird durch die Koordinate x beschrieben. Nachdem das System aus der Ruhe loslassen wird, tritt Gleitreibun zwischen Rolle und Ebene bzw. zwischen Masse und Ebene auf (Gleitreibkoeffizient jeweils µ). a) Wie roß ist die kinetische Enerie T (ẋ) des Systems? b) Wie roß ist die potentielle Enerie U(x)? c) Welche Arbeit W (x) wird an dem System verrichtet? d) Wie roß ist die Geschwindikeit ẋ(x) in Abhänikeit des Wees x? Geeben: r, α = 3, m, M = m, µ = 1 3,. C r m x M T R = 1 J (C) ϕ = 1 4 mẋ mit ẋ = r ϕ T M = 1 Mẋ = mẋ T = T R + T M = 5 4 mẋ U = Mxsin(α) = mx W 1 = W = x ϕ W 1 = W 1 + W F R ds = 3µmx M R dβ = ϕ µmcos(α)rdβ = µm 3 x T + U = U 1 + T 1 + W 1 ( 4 ẋ = 1 1 ) 3 x

12 Seite 1/14 alternativ mit Impuls- und Drallsatz: ẍ = ( 1 1 ) 3 5 x mit ẋ = ẍ t und t = ẍ ( 4 ẋ = 1 1 ) 3 x

13 Seite 13/14 Aufabe 1 ( 7 Punkte) Der homoene Stab 1 (Läne l, Masse m S ) dreht sich mit der Winkeleschwindikeit ω und stößt een die Punktmasse m P. Diese stößt anschließend wie skizziert een den Stab (Läne l, Masse m S ). Zu Beinn befinden sich die Punktmasse und der Stab in Ruhe. Der erste Stoß ist vollelastisch, der zweite vollplastisch. Reibun tritt nicht auf. a) Geben Sie die Geschwindikeit V an, mit der sich die Punktmasse nach dem ersten Stoß bewet! b) Bestimmen Sie die Winkeleschwindikeit Ω, mit der sich Stab nach dem zweiten Stoß bewet! Geeben: l, ω, m, m S = m, m P = 3m. m S m S Stab Stab 1 m P Stoß vollplastisch Stoß vollelastisch 3.8.9

14 Seite 14/14 a) J (O) (Ω ω) = F 1 l (alternativ: T 1 = 1 J S(ω Ω )) m P (V v) = F 1, v = (alternativ: T P 1 = 1 m P V ) 1/3m S l (Ω ω) = F 1 l m P V = F 1 e = Ωl V ωl = 1 Ωl = ωl + V 1/3m( ωl + V ) 1/3mlω = 3mV V = 1 5 ωl b) F = m P (Ω l V ) (da Stoß vollplastisch) F l = J (O) Ω V P = Ωl = 3Ω 3 V l Ω V l = 1 9 Ω Ω = 9 V 1 l = 9 5 ω 3.8.9