3. Systeme von starren Körpern

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1 Systeme von starren Körpern lassen sich folgendermaßen berechnen: Die einzelnen starren Körper werden freigeschnitten. Für jeden einzelnen Körper werden die Bewegungsgleichungen aufgestellt. Die kinematischen und physikalischen Bindungsgleichungen werden aufgestellt. Die Gleichungen werden nach den interessierenden Größen aufgelöst. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.3-1

2 Beispiel: Beschleunigendes Fahrzeug Es wird berücksichtigt, dass die Räder eine Masse haben und sich drehen. L 1 L 2 m F S h m R, J R, r Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.3-2

3 Das Fahrzeug wird als starrer Körper der Masse m F angesehen. Jedes der vier Räder hat die Masse m R, das Massenträgheitsmoment J R um seinen Schwerpunkt und den Radius r. An den beiden Hinterrädern greift jeweils ein Antriebsmoment M an. Gesucht ist die Beschleunigung a des Fahrzeugs. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.3-3

4 Freigeschnittenes System: y A M A x S B B x A y B y x A y G F B y A x M B x G R H 1 H 2 G R N 1 N 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.3-4

5 Rollbedingung am Rad: v r=0 = v r ω v = a r r Impuls- und Drallsatz für das Fahrzeug: F x =m a x : 2 A x B x =m F a F y =0 : 2 A y B y G F =0 M S =0 : 2 M 2 h A x B x 2 L 1 A y 2 L 2 B y =0 Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.3-5

6 Impuls- und Drallsatz für das Hinterrad: F x =m a x : A x H 1 =m R a F y =0 : A y G R N 1 =0 M A =J A : M r H 1 =J R Impuls- und Drallsatz für das Vorderrad: F x =m a x : B x H 2 =m R a F y =0 : B y G R N 2 =0 M B =J B : r H 2 =J R Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.3-6

7 Addition der Impulssätze in x-richtung (Sätze für Räder mit 2 multipliziert) ergibt: 2 H 1 H 2 = m F 4 m R a Aus dem Drallsatz für das Hinterrad folgt: r H 1 =M J R =M J R a r H 1 = M r J R a Aus dem Drallsatz für das Vorderrad folgt: r H 2 = J R =J R a r H 2 =J R a Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.3-7

8 Einsetzen in den addierten Impulssatz führt auf 2 M r 4 J R a= m F 4 m R a m F 4 m R 4 J R a=2 M r Damit gilt für die Beschleunigung: 2 M /r a= m F 4 m R J R / Aus den restlichen Gleichungen können die Kräfte in den Radlagern ermittelt werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.3-8

9 Wenn das System nach Berücksichtigung der kinematischen Bindungen nur noch einen Freiheitsgrad hat, kann die Bewegungsgleichung für diesen Freiheitsgrad auch aus dem Arbeitssatz gewonnen werden. Lösungsweg: Definition der kinematischen Größen Aufstellen der kinematischen Bindungsgleichungen Ermittlung der Ausdrücke für die Energien und Arbeiten Ansetzen des Arbeitssatzes Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik 4.3-9

10 Beispiel: Schrägaufzug 3. Systeme von starren Körpern J 2, M J 1, r 1 m A m G α Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

11 Gegeben: 3. Systeme von starren Körpern Der Schrägaufzug mit der Gesamtmasse m A wird über eine Antriebstrommel mit dem Radius und dem Massenträgheitsmoment J 2 mit dem konstanten Moment M angetrieben. Die Massenträgheitsmomente der Laufräder können vernachlässigt werden. Die Umlenkrolle hat den Radius r 1 und das Massenträgheitsmoment J 1. Das Gegengewicht hat die Masse m G. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

12 Gesucht: 3. Systeme von starren Körpern Beschleunigung, mit der sich bewegt der Aufzug nach oben bewegt Lösungsweg: Zunächst wird mit dem Arbeitssatz die wegabhängige Geschwindigkeit des Schrägaufzugs ermittelt. Daraus kann dann die gesuchte Beschleunigung berechnet werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

13 Kinematische Größen: φ 2 s G φ 1 s A NN G NN A α s G Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

14 Kinematische Bindungen: v A =ṡ A, v G =ṡ G, v G =2 v A s G =2 s A 1 = 1 = v G 2 r 1 = v A r 1, 2 = 2 = v G =2 v A Lageenergie: Als Nullniveau für die Lageenergie des Aufzugs und des Gegengewichts wird jeweils die Ruhelage gewählt: E A G s A =m A g s A sin E G G s A = m G g s G = 2 m G g s A 2 =2 s A Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

15 Kinetische Energien: Schrägaufzug: E A K s A = 1 2 m A v A 2 Umlenkrolle: E 1 K s A = 1 2 J = 1 2 Antriebstrommel: J 1 r v 2 2 A 1 E K 2 s A = 1 2 J =2 J 2 r v 2 2 A 2 Gegengewicht: E G K s A = 1 2 m G v G 2 =2 m G v A 2 Arbeit des Antriebsmoments: W M s A =M 2 =2 M s A Arbeitssatz: E A K E G K E 1 K E 2 K E A G E G G =W M Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

16 1 2 m A 2 m G 1 2 J 1 r 2 J v 2 A m A gsin 2 m G g s A =2 M s r A 2 Geschwindigkeit: 1 2 m A 2 m G 1 2 J 1 r 2 J = v 2 2 M A 2 m r G g m A 2 gsin s A v A 2 =2 2 M 2 m G g m A gsin m A 4 m G J 1 r 4 J s A Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

17 Beschleunigung: 3. Systeme von starren Körpern a A =v A dv A ds A = 1 2 d ds A v A 2 a A = 2 M 2 m G g m A gsin m A 4 m G J 1 r 4 J Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik

18 Ausblick: Wenn das System nach Berücksichtigung der kinematischen Bindungen mehr als einen Freiheitsgrad hat, führt der Arbeitssatz nicht zum Ziel, da er nur eine Gleichung liefert. In diesem Fall ist der Lagrange-Formalismus eine elegante Möglichkeit, die Bewegungsgleichungen aufzustellen, ohne dass die einzelnen Körper des Systems freigeschnitten werden müssen. Prof. Dr. Wandinger 4. Kinetik des starren Körpers Dynamik