Musterlösungen (ohne Gewähr)

Transkript

1 Hebst Seite /9 Fae ( Punkte) Ein Ball wid it de nfanseschwindikeit v abewofen. z a) Wie oß uss de bwufwinkel α sein, dait die axiale Reichweite w eeicht weden kann? b) Gleichzeiti wid ein. Ball unte de Winkel β = 3 abewofen. Wie oß uss die nfanseschwindikeit v des. Balles sein, dait sich die beiden Bälle in de Höhe h/ teffen, wenn Ball unte de Winkel α aus ufabenteil a) abewofen wid? v v h =3 w h x α = v = Geeben: h, v, β = 3,. Hebst.8.

2 Hebst Seite /9 a) w = v t cos α, t = v sin α w = v cos α v sin α w ax = sin α = = v sin α α = 9 α = 45 b) z = v t sin α t ; z = v t sin β t ; z = z sin α v = v sin β = v sin 45 sin 3 = v ode x = v t cos α ; x = v t cos β ; x = x cos α v = v cos β = v cos 45 cos 3 = 3 v Hebst.8.

3 Hebst Seite 3/9 Fae ( Punkt) Ein Fahzeu befindet sich zu Zeitpunkt t = bei s = s(t ) = in Ruhe (v = v(s = ) = ). Es wid eäß a(s) = k l + s beschleunit. Wie oß ist die Geschwindikeit v zu Zeitpunkt t it s = s(t ) = l? Geeben: a(s) = k, k, l. l + s t s t vs () v = a(s) = k l + s = dv dt = dv ds ds dt = dv ds v vdv = nach Inteation (siehe Foelsalun): ( ) v v k l + s ds [ = k ln(l + s l ) ln(l + s ] ) = k ln v = k ln ltenativ übe Foelsalun: v(s) = ± a(s)ds l v = ± k l + s ds = ± k [ln(l) ln(l)] = k ln Hebst.8.

4 Hebst Seite 4/9 Fae 3 ( Punkte) Die beiden Punkte und B von Köpe beween sich it den Geschwindikeiten v und v B. De Köpe ist i Punkt C dehba it de Stab vebunden. Geeben: v, v B = v,. a) Bestien Sie aphisch den Moentanpol Q des Stabes! C v v B B b) Bestien Sie den Beta de Winkeleschwindikeit des Stabes! ω = Hebst.8.

5 Hebst Seite 5/9 Q C Q v v B B a) b) v C = ω (4) + (4) = ω (3) + (3) ω = it ω = v ω = 3 v ode ω = v B 4 ω = 3 v B 3 8 ω = 4 3 ω Hebst.8.

6 Hebst Seite 6/9 Fae 4 ( Punkte) Ein Snowboade (Gesatasse ) it de nfanseschwindikeit v hält sich fü < t < t auf eade Stecke an eine Seilzu fest, u zu beschleunien. ( E wid it eine hoizontalen Kaft F (t) = F t ) ezoen. t a) Welche Geschwindikeit v hat de Snowboade bei t = t /? b) Welche Beschleuniun a(t) hat auf den Snowboade ewikt? ( Geeben: F (t) = F t ), F t, t, v,. Ft () = v = a(t) = a) t / F (t)dt = v v t / ( F t ) [ dt = F t t v = 3 F t 8 + v b) v (t) = F (t)dt + v a = dv dt = F (t) = F ltenativ: F = a a = F = F ( t ) t ( t ) t ( ) ] t / t t = 3 t 8 F t Hebst.8.

7 Hebst Seite 7/9 Fae 5 ( Punkte) Beechnen Sie das Massentäheitsoent J zz u die z-chse des Hohlzylindes it de Wanddicke R und de ötlich veändelichen Dichte ρ() = 3 R! Hinweis: Bei de Beechnun wid das Inteal übe d benötit. Geben Sie zunächst an, wie d zu esetzen ist, dait das Inteal beechnet weden kann! Geeben:, h, R. h z R R d = d J zz = J () zz = R R d d = ρ()dv, dv = d dϕ dz d = J zz = ( 3 R ) R h π R dϕ = π, ( 3 R dz = h R d dϕ dz = 3 dϕ dz d R ) dϕ dz d J zz = 3 R R π h d = 6πh R J zz = 9πhR [ ] R R = 6πh R ) (R R Hebst.8.

8 Hebst Seite 8/9 Fae 6 ( Punkte) Die Stäbe und sind wie skizziet i Punkt dehba iteinande vebunden. De Stab deht sich it de konstanten Winkeleschwindikeit ω. De Punkt B hat die einezeichnete Relativeschwindikeit v el zu Stab (in de einezeichneten Lae paallel zu ξ-chse). a) Beechnen Sie die Fühunseschwindikeit v F des Punktes B vektoiell in ξ-η-ζ-koodinaten! v el B b) Beechnen Sie die bsoluteschwindikeit v abs des Punktes B vektoiell in ξ-η-ζ-koodinaten! Geeben: v el = v, ω, l, l. v F = v abs = ωl cos ϕ ωl cos ϕ + ωl v F = ωl sin ϕ + l = ωl sin ϕ ω v v abs = v F = ωl cos ϕ + ωl v ωl sin ϕ Hebst.8.

9 Hebst Seite 9/9 Fae 7 ( Punkte) Eine Punktasse wid aus de Ruhe heaus (v = ) it eine Seil eibunsfei von Position in die Position ezoen. Hiezu wid die asselose ntiebsolle (Radius a) it de konstanten Moent M anetieben. Zwischen Rolle und Seil titt kein Schlupf auf. 4a Seil M 3a a) Welche beit W veichtet das ntiebsoent von nach? b) Wie oß ist die Geschwindikeit v i Punkt? Geeben: a,, a,, M. = W = v = ϕ a) W = Mdϕ = M ϕ (auch übe F ds ölich) ϕ usansläne Seil: l = (3a) + (4a) = 5a Endläne Seil: l = 3a l = a ϕ = l W = a M b) W = T = am v v = Hebst.8.

10 Hebst Seite /9 Fae 8 ( Punkte) Eine Stane de Läne l = ist bis zu Schwepunkt eine Kuel in die Kuel esteckt und dot elenki it ih vebunden woden. Die Kuel (Masse, Radius ) ollt ohne zu utschen auf eine hoizontalen Ebene i Keis. Die oentane Winkeleschwindikeit de Kuel ist ω. a) Beechnen Sie die y-koponente des Dalls bezülich des Schwepunkts de Kuel! z O x y, L (S) y = Hinweis: Fü das Massentäheitsoent wid die Kuel ohne Loch anenoen. b) Bestien Sie die Schwepunktseschwindikeit de Kuel vektoiell! Schnitt duch die Kuel ( y-z-ebene) z `= y x v S = Geeben:,, ϕ = 3, ω. a) L (S) = 5 b) v S = ω OS = ω cos ϕ ω sin ϕ ω cos ϕ ω sin ϕ = ω 5 = 3 ω sin ϕ L (S) y = = ω 3 ω 5 Hebst.8.

11 Hebst Seite /9 ufabe 9 ( 7 Punkte) Eine Kuel (Masse, Radius ) wid i Punkt aus de Ruhe heaus loselassen und ollt eine Bahn heunte ohne zu utschen. b de Punkt B duchläuft die Kuel eine Keisbahn. De Radius de keisföien Bahnkuve betät R. a) Beechnen Sie die Geschwindikeit v B de Kuel i Punkt B! b) Wie oß ist die Geschwindikeit v C = v(ϕ) de Kuel in bhänikeit des Winkels ϕ in eine beliebien Punkt C auf de Keisbahn? c) Beechnen Sie die Noalkaft N C = N(ϕ) in bhänikeit des Winkels ϕ, die in eine beliebien Punkt C auf de Keisbahn von de Bahn auf die Kuel auseübt wid! d) Wie oß uss die Höhe h = h sein, dait N(ϕ) fü jeden Punkt auf de Keisbahn öße Null ist? Geeben:,, h, R,. h, R B C a) E = h E B = v B + Jω = v B + ( J vb J = 5 E B = v B + v 5 B = 7 v B E = E B h = 7 v B v B = 7 h b) U C = R( cos ϕ) T C = v C + Jω C = v C + ( J vc J = 5 T C = v C + v 5 C = 7 v C E C = T C + U C = 7 v C + R( cos ϕ) E C = E h = 7 v C + R( cos ϕ) v C = 7 ( h R( cos ϕ) ) ) ) Hebst.8.

12 Hebst Seite /9 c) Zeichnun a n N aus Zeichnun: a n = N(ϕ) cos ϕ N(ϕ) = ( cos ϕ + a n ) a n = v C R = (h R + R cos ϕ) 7 ( R N(ϕ) = cos ϕ + ) (h R + R cos ϕ) 7 R N(ϕ) = cos ϕ + h 7 R R 7 R + R 7 R cos ϕ N(ϕ) = 7 h cos ϕ R ) 7 N(ϕ) = 7 ( 7 cos ϕ + h R d) N(ϕ) = ( 7 7 cos ϕ + h R 7 cos ϕ + h R > 7 cos ϕ > h R Miniu de Kosinus-Funktion bei ϕ = π, 7 > h R 7 > h R 7 < h R h > 7 R ) uss fü ϕ π öße Null sein! cos(π) = Hebst.8.

13 Hebst Seite 3/9 ufabe ( 7 Punkte) n eine asselosen Faden (Läne a) ist wie skizziet ein hooene Stab (Läne a, Masse ) befestit. De Faden ist stets espannt. E otiet eeinsa it de Stab it zunächst konstante Winkeleschwindikeit ω u den Laepunkt O. In de Position ϕ = 9 tifft e auf eine zunächst in Ruhe befindliche Punktassse M, die sich i bstand zu Laepunkt befindet. Die Stoßziffe zwischen Stab und Punktasse betät e =, 5. M O a Faden a Stab Bestien Sie den bstand und die Masse M so, dass de Stab nach de Stoß vollständi in Ruhe ist! e Geeben: a, ω,, e =. O M F F Faden C F a a a : ufpallpunkt Dallsatz Stab: J (C) (Ω ω) = F ( a) it J (C) = (a) = 3 a () Ipulssatz Stab: (V C v C ) = F () Stab nach de Stoß vollständi in Ruhe: V C = Ω! = Hebst.8.

14 Hebst Seite 4/9 aus (): F = vc = ωa in (): 3 a ω = ωa( a) 3 a = ( a) = 3 6 a (3) ( ) Ipulssatz Punktasse: M V M v M = F V M = F M = ωa M (4) Stoßesetz: e = = V V M v = V M V M = v v (5) v M (4) in (5): ωa M = v = ω = aω = aω M = 6 3 (6) ltenative swe J u Laepunkt O: J (O) = (a) + (a) = 3 3 a Dallsatz u O: J (O) (Ω ω) = F () Ipulssatz Stab: F = (V C v C ) () Rest wie oben. Hebst.8.

15 Hebst Seite 5/9 ufabe ( 8 Punkte) n einen Flaschenzu weden zwei Massen und ehänt. Die Seile sind stets espannt und nicht dehnba. Zwischen den Seilen und den assebehafteten Rollen titt kein Rutschen auf. a) Stellen Sie den kineatischen Zusaenhan zwischen x und x auf! x b) Bestien Sie so, dass sich die Masse it eine Beschleuniun von ẍ oben bewet! = 4 nach c) Wie oß ist die Kaft i Laepunkt in diese Fall? x Geeben:,,, = 5,. a) x = ϕ ϕ = ϕ x = ϕ = x = x b) ẍ = S S = ẍ () ẍ = + S 4 () J (Q ) ϕ = S S S = S J (Q ) ẍ J (Q ) ϕ = S S 4 S 4 = S J (Q ) (3) ẍ (4) J (Q ) = = J (Q ) = + = 3 Hebst.8.

16 Hebst Seite 6/9 Q x S S C S 3 Q S 4 x ẍ 5ẍ = 5 3 ( + ẍ ẍ ) 5ẍ = 6 3 ẍ + 4 ẍ 4ẍ = = 5ẍ ẍ + 4ẍ ; ẍ = 4ẍ 4 ( ) 8 = 69 ( ) 8 c) (3) aufspalten in (3a), (3b) (3a) J (C) ϕ = S S 3 ; J (C) = (3b) ẍ = S + S 3 S 4 S = ẍ S 3 + S 4 + S 4 = 5ẍ + 5 (4) und (3b) in (3a) ẍ = ẍ S 3 + 5ẍ + 5 S 3 + ẍ + ẍ + + 5ẍ + 5 = S 3 S 3 = ẍ + 6 = = 6 6 Hebst.8.

17 Hebst Seite 7/9 ufabe ( 8 Punkte) Ein Stab (Läne l, Masse ), an dessen Ende sich eine Punktasse befindet, wid duch ein Seil in eine waaeechten Lae ehalten. Das Seil wid duchtennt, so dass sich de Stab in Beweun setzt. ` a) Bestien Sie den Beta de Winkeleschwindikeit ω in bhänikeit des Winkels ϕ! b) Bestien Sie die Reaktionskäfte i uflae fü den sich dehenden Stab! Vewenden Sie dabei die in de Skizze definieten Koponenten und de uflaeeaktionen. Geeben:, l,. a) Schwepunkt S l s = l + l + = 3 l = 3 4 l `S Eneiesatz T =, U = U = ( + )l s sin ϕ `S T = J () ω J () = 3 l + l = 4 3 l = 3 4 l sin ϕ l ω Hebst.8.

18 Hebst Seite 8/9 ω = 9 ω = ± 4 3 sin ϕ = 3 l sin ϕ l 9 sin ϕ 4 l b) Ipulssatz `S a t a n a n = sin ϕ a n = l s ω = 3 4 l 9 4 Dallsatz sin ϕ l + sin ϕ = 43 sin ϕ 8 ( ode ϕ übe bleitun d ϕ J () ϕ = l s cos ϕ ϕ = 3 4 l cos ϕ Ipulssatz: 9 cos ϕ = 4 3 l 8 l dt = d ϕ dϕ dϕ dt = d ϕ ) dϕ ϕ a t = + cos ϕ a t = l S ϕ = cos ϕ 3 4 l9 cos ϕ 8 l = cos ϕ 7 6 cos ϕ = 5 cos ϕ 6 Hebst.8.

19 Hebst Seite 9/9 ltenative: Beweunsleichun übe Dallsatz J () ϕ = l s cos ϕ = 3 l cos ϕ `S Ode etennte Betachtun de Massen J () ϕ = l cos ϕ + l cos ϕ = 3 l cos ϕ `/ ` J () = 3 l + l = 4 3 l ϕ = 9 8 l cos ϕ ϕ aus ϕ übe bleitun ϕ = d ϕ dt = d ϕ dϕ ϕdϕ = ϕd ϕ ω = ϕ = 9 sin ϕ 4 l ϕdϕ = Punkte D bis H bleiben leich! dϕ dt = d ϕ dϕ ϕ ϕd ϕ 9 8 l sin ϕ = ϕ Hebst.8.