Kleine Formelsammlung Technische Mechanik

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1 Keine Foesaung Technische Mechanik von Pete Wi, Bend Läe 1. ufage Keine Foesaung Technische Mechanik Wi / Läe schne und potofei ehätich bei beck-shop.de DIE FCHBUCHHNDLUNG Hanse München 007 eag C.H. Beck i Intenet: IBN Inhatsveeichnis: Keine Foesaung Technische Mechanik Wi / Läe

2 Pete Wi, Bend Läe Keine Foesaung Technische Mechanik IBN-10: IBN-13: Lesepobe Weitee Infoationen ode Besteungen unte sowie i Buchhande

3 3 Dynaik 3.1 chwepunkt-, Ipus- und Moentensat chwepunktsat Die Bewegungsgeichungen eines staen Köpes egeben sich aus de chwepunkt- ode Ipussat sowie de Moenten- ode Dasat unte Beachtung kineatische Zwangsfühungen. Estee chaakteisieen die tansatoische Bewegung des ysteschwepunktes, wähend de Moenten- bw. Dasat die Rotation des Köpes bewetet. d x = F dt x d y = F dt y d = F dt De chwepunkt eines Massenpunktsystes bw. eines Bauteis bewegt sich so, as ob die Gesatasse des Köpes in ih veeinigt wäe und die Resutieende (F x, F y, F ) ae äußeen Käfte an ih angeift. Ipussat d p dt = F Ipus p = v v Masse des staen Köpes Geschwindigkeitsvekto des chwepunktes Dasat, Moentensat Rotation eines staen Köpes it aufeste, köpeeigenen Beugspunkt Die eitiche Ändeung des Dehipusvektos (Das) ist geich de esutieenden Moentenvekto de äußeen Käfte. M d L dt = M ekto des äußeen Moents beügich

4 104 3 Dynaik Rotation eines staen Köpes it bewegte chwepunkt as Beugspunkt M d L dt = M ekto des äußeen Moents beügich chtung: chwepunkt- bw. Moentensat stae Köpe geten auch fü ehteiige, vebundene ystee. Die Bewegungsgeichungen fü jedes Teieeent des Gesatsystes assen sich aus den genannten äten unte Beücksichtigung von chnittkäften bw. chnittoenten sowie kineatischen Beiehungen fü die gekoppete Bewegung wischen den einenen Bauteien abeiten. Dasat (ebene Bewegung) ( ) M = && ϕ + && yx && x y M äußees Moent Massentägheitsoent des staen Köpes beügich des köpeeigenen Refeenpunktes ϕ&& Winkebescheunigung (&& x, && y) Bescheunigung des Beugspunktes ( x, y ) Diffeenkoodinaten wischen Beugspunkt und chwepunkt Dehipus (ebene Bewegung) Ebene Rotation eines staen Köpes u aufesten, köpeeigenen Beugspunkt L = ω ω Massentägheitsoent des staen Köpes u aufesten, köpeeigenen Refeenpunkt Winkegeschwindigkeit de Rotation u

5 3.1 chwepunkt-, Ipus- und Moentensat 105 Ebene Rotation eines staen Köpes u den bewegten chwepunkt L = ω ω Massentägheitsoent des staen Köpes beügich des chwepunktes Winkegeschwindigkeit de Rotation u Dehipus Refeenpunktveschiebung Fouieung d ( & & ) L = L + x y y x B B B Masse des Bauteis ( x B, y B ) Diffeenkoodinaten vo Beugspunkt B u x &, y& Geschwindigkeitskoodinaten des bewegten chwepunkts ( ) Massentägheitsoent beügich des chwepunktes s = ρ d ρ Dichte des Mateias Entfenung vo chwepunkt des Köpes ouen des Bauteis Keisscheibe R s = R Masse de Keisscheibe Radius des Keisqueschnitts

6 106 3 Dynaik Kuge (chwepunktachse) s = R 5 R Masse de Kuge Radius de Kuge chanke tab = 1 Masse des tabes Länge des schanken tabes at von teine (d) = + a a a bstand de paaeen chsen und Masse des Köpes Tägheitsadius i = De Tägheitsadius ist die Entfenung eines as Punktasse gedachten Esatköpes von de Dehachse, de das geiche axiae Massentägheitsoent hat wie ein oiginaes, ausgedehntes Bautei it de Gesatasse.

7 3.1 chwepunkt-, Ipus- und Moentensat 107 Reduiete Masse Dehipus (3d) = Die eduiete Masse ist die Masse eines i vogegebenen bstand von de Dehachse angebachten punkt- ode ingföigen Esatköpes, de das geiche axiae Massentägheitsoent hat wie das oiginae Bautei. Rotation eines staen Köpes it aufeste, köpeeigenen Beugspunkt L = xx xy x xy yy y x y ω xx, yy, axiae Massentägheitsoente beügich xy, x, y Deviationsoente beügich ω ekto de Winkegeschwindigkeit des Köpes Rotation eines staen Köpes it bewegte chwepunkt as Beugspunkt L = xx xy x xy yy y x y ω xx, yy, axiae Massentägheitsoente beügich xy, x, y Deviationsoente beügich ω ekto de Winkegeschwindigkeit des Köpes

8 108 3 Dynaik Dehipus Refeenpunktveschiebung Fouieung 3d L = L + v B B v B Masse des Bauteis ekto vo Beugspunkt B u Beugspunkt Geschwindigkeitsvekto des bewegten chwepunkts xiae Massentägheitsoente xx = ( y + ) ρd yy = ( + ) ( ) = x + y ρd x ρd ρ Dichte ouen des Bauteis Deviationsoente, Zentifugaoente xy = yx = xyρd y y = = y ρd = = x x xρd ρ x, y, Dichte ouen des Bauteis Koodinaten de oueneeente d des Köpes beügich des Refeenpunktes De Wet von indestens wei Deviationsoenten wid u Nu, wenn eine de Koodinatenachsen x, y ode it eine yetieachse des staen Köpes usaenfät.

9 3.1 chwepunkt-, Ipus- und Moentensat 109 Hoogene Quade xx = b + 1 ( h ) yy = + 1 ( h ) = + 1 ( b ) h x b y bh,, Masse des Quades bessungen des Quades Zyinde, xx = yy = + 1 = ( 3 ) Masse des Zyindes bessungen des Zyindes y x Keiskege 3 xx = yy = h = 10 ( 4 ) x y h h Masse des Keiskeges Höhe des Keiskeges Radius de Gundfäche

10 110 3 Dynaik at von teine (3d) y * y y* x* x * x * * xiae Moente ( ) * * = + y + xx xx ( ) * x * = + + yy yy ( ) * y * = + x + xx, yy, axiae Moente u chwepunkt Masse des Köpes * * * ( x, y, ) Diffeenkoodinaten wischen Beugspunkt und chwepunkt Deviationsoente = x y * * xy xy = y * * y y = x * * x x xy, y, x Deviationsoente u chwepunkt Masse des Köpes * * * ( x, y, ) Diffeenkoodinaten wischen Beugspunkt und chwepunkt

11 3. toßgesete 111 xiaes Massentägheitsoent fü chse in Rauichtung (φ,θ) θ φ y x ( xx yy xy ) ( y x ) = cos φ + sin φ + sin φ sin θ + cos θ + sinφ + cosφ sin θ xx, yy, axiae Massentägheitsoente xy, x, y Deviationsoente φ, θ Rauwinke 3. toßgesete toß eine Punktasse gegen dehba befestigten Köpe ω 1 v 1

12 11 3 Dynaik Geschwindigkeitsändeung Punktasse v = ( ω v )( 1+ ε ) Ändeung de Winkegeschwindigkeit des Köpes ω = ( v ω )( 1+ ε ) 1 + v 1 1 ω ε stoßende Punktasse Masse des dehba geageten Köpes Geschwindigkeit de Punktasse vo de toß Lot vo Dehpunkt auf die toßichtung Massentägheitsoent des dehba geageten Köpes beügich de Dehachse Winkegeschwindigkeit des dehba geageten Köpes vo de toß toßah toßittepunkt (Tägheitsittepunkt) Die dynaischen Lageeaktionen eines dehba geageten, staen Köpes veschwinden, wenn die toßnoae duch den toßittepunkt des staen Köpes veäuft und senkecht u ebindungsgeaden wischen de Dehpunkt und de chwepunkt des staen Köpes geichtet ist. De toßittepunkt iegt auf diese ebindungsgeaden in de Entfenung vo Dehpunkt. = Masse des gestoßenen, dehba geageten Köpes Entfenung des chwepunktes vo Dehpunkt Massentägheitsoent des gestoßenen Köpes beügich