Diplomvorprüfung Technische Mechanik III

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1 INSTITUT FÜR MECHNIK Technische Universität Darmstadt Dipomvorprüfung Technische Mechanik III Prof. D. Gross Prof. P. Hagedorn Prof. W. Hauger am 01. März 2004 Prof. R. Markert (Name) (Vorname) (Matr.-Nr.) (Studiengang) (Patznummer) Einverständniserkärung: Ich stimme hiermit zu, daß meine Prüfungsergebnisse zusammen mit meiner Matrikenummer (ohne Namen) im Internet eingesehen werden können. Darmstadt, (Unterschrift) Die ufgaben sind nicht nach ihrem Schwierigkeitsgrad geordnet. Bitte beginnen Sie für jede ufgabe ein neues Batt und numerieren Sie die Bätter. Der Lösungsweg muß kar erkennbar sein, die Ergebnisse soen deutich hervorgehoben werden. Bei den durch K gekennzeichneten Kurzfragen sind edigich Ergebnisse einzutragen. Es ist eraubt, eine handgeschriebene Formesammung im Umfang eines beidseitig beschriebenen DIN 4-Battes zu benutzen. ndere Hifsmitte sind nicht eraubt. Es wird ausdrückich darauf hingewiesen, daß keinerei eektronische Hifsmitte benutzt werden dürfen. Hierzu zähen insbesondere Taschenrechner, Laptops und Hands. chtung: Die ufgaben 3 und 4 für die Studiengänge BI, Geo, Mathe unterscheiden sich von den ufgaben 3 und 4 für MB, WI/MB, CMPE, Mechanik. Vie Erfog! ufgabe K1 K2 K3 ma. Punkte Bonus- Note Kausur punkte gesamt erreichte Punkte

2 ufgabe 1 [ 22 Punkte ] Zwei homogene Roen und eine Kiste auf rauher, schiefer Ebene sind wie skizziert durch Seie verbunden. Infoge der Schwerkraft bescheunigt die Kiste 1 nach unten und die Waze 3 rot auf der horizontaen Ebene. Dabei wirkt im Lager der Winde 2 ein Bremsmoment M R. 3 ϕ 2 ϕ 3 M R m 3, Θ 3 Θ 2 3r r r Weche Bescheunigung ẍ 1 erfährt die Kiste? g 1 Gegeben: m 1, Θ 2, m 3, Θ 3, r, α, µ, M R, g (Die Massenträgheitsmomente sind auf die jeweiigen Schwerpunkte bezogen.) α µ m 1 ufgabe 2 [ 21 Punkte ] Eine homogene Waze hat die Winkegeschwindigkeit ω W und die Schwerpunktsgeschwindigkeit v W. Sie stößt pastisch auf ein mittig unterstütztes, homogenes Brett. Waze und Brett sind rauh und haben nach dem Stoß im Berührpunkt die geichen Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Stoßnormaen. z ω ω W m W v W r Berechnen Sie die Horizontageschwindigkeit v B und die Winkegeschwindigkeit ω B des Brettes unmittebar nach dem Stoß. m B 2a a a Gegeben: m W, m B, a, r, ω W, v W

3 ufgabe 3 [ 18 Punkte ] Bei einem Karusse sind auf einer horizontaen Scheibe (konstante Winkegeschwindigkeit ω) Gonden (Masse m) montiert, die sich in geraden, gatten Führungen mit ξ B (t) = û cos Ωt bewegen. 0 η F ξ (t) a) Geben Sie für die Position ξ B (t) der Gonde die Führungsbescheunigung a f, die Corioisbescheunigung a c und die Reativbescheunigung a re as Vektoren im scheibenfesten ξη-koordinatensstem an. b) Weche Kraft F ξ (t) übt der ntrieb in ξ-richtung auf die Gonde aus? Gegeben: a, b, ω, û, Ω, m ufgabe 4 [ 19 Punkte ] a B m ξ B b ωt ξ Eine dünne homogene Patte (Länge, Breite b, Masse m) ist in reibungsfrei drehbar um die 3-chse geagert. Die ntriebswee rotiert mit konstanter Winkegeschwindigkeit Ω. Die Patte ist mit einer Feder (Steifigkeit c) abgestützt, die stets horizonta beibt und in der Steung α=0 kräftefrei ist. a) Ermitten Sie die mögichen stationären Winkeagen α stat (Ω) in bhängigkeit von der ntriebsdrehzah Ω. b) In wechem Drehzahbereich eistieren nur die beiden triviaen stationären Zustände α=0 und α=π? c) Geben Sie die Bewegungsgeichung in der Form α=f(α) an. Gegeben: m,, b, g, c, Ω Hinweis: usschnitt aus einer Tabee für Massenträgheitsmomente: Dünne b Θ = 1 m 12 (b2 + c 2 ) rechteckige Patte Θ S = 1 m 12 c2 z c Θ z = 1 m 12 b2 c b 2 α m 3 Ω g 1

4 ufgabe 3 [ 18 Punkte ] In einem horizontaen Kana verengt sich in der Umenkung (Umenkwinke β) p 1, v 1 der Strömungsquerschnitt von 1 auf 2. n der Umenkung tritt infoge von innerer Reibung der Druckverust p = ζ ρ 2 v2 1 auf. Wie groß sind 1 a) die bfußgeschwindigkeit v 2, β b) der Druck p 2 und ρ 2 p 2, v 2 c) die Komponenten F und F der Kraft, weche die Füssigkeit auf die Kanawand ausübt? Gegeben: v 1, p 1, 1, 2, β, ρ, ζ ufgabe 4 [ 19 Punkte ] Ein Punkt P bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v 0 in einer Ebene entang der im Bid skizzierten Bahn. In Poarkoordinaten wird die Bahn durch den Radius r(ϕ) beschrieben. Bei den nachfogenden Fragen beschränken Sie sich bitte auf die rechte Habebene ( 45 ϕ +45 ). a) Geben Sie die Formen für den Geschwindigkeitsvektor v in natürichen und in Poarkoordinaten an. b) Berechnen Sie die Winkegeschwindigkeit ϕ(ϕ) und die Winkebescheunigung ϕ(ϕ) durch Vergeich der Darsteungen der Geschwindigkeit. 0 r(ϕ) r(ϕ)=a 2 cos 2ϕ c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v und den Tangenteneinheitsvektor e t (ϕ) in bhängigkeit vom Winke ϕ und von den Einheitsvektoren e r und e ϕ des Poarkoordinatensstems. d) Wie groß sind die Tangentia- und die Normabescheunigung a t0 und a n0 beim Durchfahren des Koordinatenursprungs 0? e) n wecher Stee erfährt der Punkt P die größte Bescheunigung? v 0 ϕ P Gegeben: r(ϕ)=a 2 cos 2ϕ, ϕ, a, v 0

5 ufgabe K1 [ 7 Punkte ] Ein Hubsstem besteht aus mehreren Roen, die mit einem Sei verbunden sind. Gegeben seien die in der Skizze genannten Größen. a) Zeichnen Sie ae d embertschen Scheinkräfte und Scheinmomente (infoge der Trägheitswirkung) vorzeichenrichtig in das Hubsstem ein und geben Sie deren Größen an. b) Geben Sie den usdruck für die kinetische Energie des Hubsstems an. T = E kin = ϕ 1 ϕ 2 Θ 2 ϕ 3 Θ 1 m 3, Θ 3 g ufgabe K2 [ 6 Punkte ] Zwei geiche dünne Baken in der Ebene sind in B geenkig verbunden. Die Geschwindigkeiten v und v C der Endpunkte und C sind vorgegeben, und es git v =2v C. Kreuzen Sie die richtigen ussagen für den momentanen Bewegungszustand an. a) Der Punkt B bewegt sich nach inks, bewegt sich nach rechts, bewegt sich nach oben, bewegt sich nach unten, hat die Geschwindigkeit nu, hat eine undefinierte Geschwindigkeit. ω C B ω v b) Für die Winkegeschwindigkeit des Bakens git ω =ω C, ω =2ω C, ω =ω C /2, ω = ω C, ω =v /, ω =2v C /. v C C

6 ufgabe K3 [ 7 Punkte ] Eine Punktmasse m wird mit verändericher Geschwindigkeit eine rauhe schiefe Ebene hinaufgezogen. Die notwendige Zugkraft des ntriebs ist mit S bezeichnet. B Kreuzen Sie an. a) Die momentane ntriebseistung beträgt: richtig fasch P = () S d m mg S µ α P = S P = Sẋ P = µmg cos α ẋ P = m [ẍ + µg cos α + g sin α]ẋ b) Die Reibarbeit entang des Weges von nach B beträgt: richtig fasch WB = mẍ sin α d () WB = S d () WB = µmg cos α d W B () = µmg cos α WB = µmg WB = S c) Der Unterschied der potentieen Energien von B und beträgt: richtig fasch U = S U = mg cos α U = mg sin α U = µmg cos α