TU Dortmund. Fakultät Maschinenbau Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler. Frühjahr 2016

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1 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016

2 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Das dargestete Fachwerk ist in den Punkten A und B geagert und wird wie dargestet durch die zunächst nicht weiter spezifizierten Einzekräfte F 1 und F 2 beastet. Für den Winke α git 0 < α < π/2. B A 13 α F 2 α 17 y F 1 x a) Nennen Sie sämtiche Nustäbe, weche auf Grund gängiger Kriterien direkt as soche identifiziert werden können (keine Rechnung). (2,0 Punkte) Hinweis: Das Nennen fascher Stabnummern führt zu Punktabzug.

3 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) b) Berechnen Sie sämtiche Aufagerreaktionen in den Punkten A und B in Abhängigkeit der Größen F 1, F 2 und α bezügich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (3,0 Punkte) c) Es gete nun für die angreifenden Kräfte F 1 = F und F 2 = 2F, der Winke sei α = 0. Die Aufagerreaktionen ergeben sich dadurch gemäß der durch das Koordinatensystem vorgegebenen positiven Koordinatenrichtungen zu A x = 4F, A y = 2F und B x = 3F. Berechnen Sie die Kräfte in den Stäben 2, 3, 8, 10 und 16 in Abhängigkeit von F. (5,0 Punkte) Hinweis: Zugkräfte sind mit positivem Vorzeichen anzugeben.

4 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Das nebenstehende Bakensystem ist in den Punkten A und B wie dargestet geagert und in Punkt B durch eine Einzekraft F sowie im Bereich BC durch eine ineare Streckenast mit dem Maximawert q 0 beastet. Der System-Abschnitt DE ist in Punkt D mittes eines Vogeenks an das restiche System gekoppet, ferner sind beide Teisysteme über einen starren Stab verbunden. /2 /2 E D y A /2 C x B q 0 F a) Ergänzen Sie die fogende Abbidung zu voständigen Freikörperbidern unter eindeutiger Bezeichnung sämticher Reaktionskräfte. (1,0 Punkte)

5 Frühjahr 2016 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) Berechnen Sie die Aufagerreaktionen in den Punkten A und E sowie die Stabkraft S. (2,0 Punkte) b) Das nebenstehende Bakensystem ist in den Punkten A, B und D wie dargestet geagert und im Bereich BC durch eine konstante Streckenast q 0 beastet. Des Weiteren wird der Bereich CD durch eine ineare Streckenast (Maximawert q 0 ) beastet. Die beiden Teisysteme I und II sind in Punkt C mittes eines Vogeenks aneinander gekoppet. Die Aufagerreaktion in Punkt D wurde bereits gemäß des vorgegebenen gobaen x, y- Koordinatensystems zu D y = 1/6q 0 bestimmt. Die in Teisystem II wirkende Geenkkraft in Punkt C ist durch die beiden Komponenten C x = 0 und C y = 1/3q 0 gemäß des gobaen x, y-koordinatensystems vorgegeben. y D x A z 1 x 1 I z 3 x 3 C q 0 q 0 x 2 II B z 2

6 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Spezifizieren Sie die Funktionen der Schnittgrößen Normakraft, Querkraft und BiegemomentimBereich0 x 3 inabhängigkeit dergegebenengrößenundunter Verwendung des vorgegebenen x 3,z 3 Koordinatensystems. (3,0 Punkte) N(x 3 ) = Q(x 3 ) = M(x 3 ) = Steen Sie die Funktionen des Biegemomenten-Veraufs für die Bereiche 0 x 1 und 0 x 2 in fogender Vorage unter Nennung der Werte in den Punkten A, B und C grafisch dar. Nennen Sie für jeden Bereich den Poynomgrad p der jeweiigen Funktion. (4,0 Punkte) Hinweis: Zur Lösung dieser Teiaufgabe sind gegebenenfas Nebenrechnungen notwendig. M

7 Frühjahr 2016 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Das in der Abbidung dargestete System wird durch eine inear veraufende Streckenast (Maximawert q 0 ) beastet. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf und die Pendestütze eine Dehnsteifigkeit von EA. Die genauen Abmessungen sowie die zu verwendenen okaen Koordinatensysteme sind der Abbidung zu entnehmen. q 0 x 1 x 2 z 1 z 2 α x 3 Geben Sie sämtiche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie erforderich sind. Wähen Sie dazu geeignete Bezeichnungen zur eindeutigen Zuordnung der jeweiigen Größen.(2,5 Punkte) b) Für das in der nebenstehenden Abbidung gegebene System sind die Aufagerreaktionen entsprechend des x 2,z 2 -Koordinatensystems durch q 0 a M B = q 0a 2 3, A z 2 = q 0a 2 vorgegeben. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf. Die genauen Abmessungen sowie die zu verwendenen okaen Koordinatensysteme sind der Abbidung zu entnehmen. A x 1 x 2 z 1 I z 2 II B

8 Frühjahr 2016 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) Bestimmen Sie die Momentenveräufe M I (x 1 ) für 0 x 1 a und M II (x 2 ) für 0 x 2. (2,0 Punkte) M I (x 1 ) = M II (x 2 ) = Geben Sie sämtiche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur eindeutigen Bestimmung der Biegeinien benötigt werden. (1,0 Punkt) Bestimmen Sie voständig die Biegeinie w I (x 1 ) für 0 x 1 a sowie die Biegeinie w II (x 2 ) für 0 x 2. (2,0 Punkte) w I (x 1 ) = w II (x 2 ) =

9 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) c) Für das rechts dargestete System ist die Biegeinie aufgrund einer inearen Streckenast (Maximawert q 0 ) und eines Momentes q 0 ξ 2 durch w I (x) = 1 EI [ 5 12 q 0ξ 2 x q ξ x5 17 ] 40 q 0ξ 4 im ersten Abschnitt I, 0 x ξ, vorgegeben. Der Baken weist einen quadratischen Querschnitt mit der Kantenänge b auf. Die genauen Abmessungen sowie die zu verwendenen okaen Koordinatensysteme sind der Abbidung zu entnehmen. A z I x ξ B q 0 q 0 ξ 2 II C Bestimmen Sie die Normaspannungsfunktion σ(x, z) des Bereichs I. (1,5 Punkte) σ(x,z) = Bestimmen Sie die maximae Streckenast q 0,max, sodass die zuässige Vergeichsspannung σ zu nicht überschritten wird. (1,0 Punkt) q 0,max =

10 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016 Aufgabe 4 (Seite 1 von 2) Dargestet ist die Momentaufnahme eines kinematischen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt, in dem die Winkegeschwindigkeit ω 1 bekannt sei. Die beiden Stäbe 1 und 3 sind in Punkt B durch ein Geenk miteinander verbunden, an dem zusätzich die Roe 2 (Radius r) angebracht ist, weche schupffrei auf einem kreisförmigen Fundament (Radius R) abrot. Das untere Ende von Stab 3 ist in Punkt C mit dem Körper 4 geenkig verbunden, wecher reibungsfrei in einer vertikaen Führung geitet. Die weiteren Bezeichnungen und Abmessungen des Systems sind der nebenstehenden Skizze zu entnehmen. R e y A ϕ r ω 3 ϑ 1 e x ω 1 ω 2 2 B a) Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen den Winken ϕ und ϑ in der Form ϕ(ϑ). C (1,0 Punkte) ϕ(ϑ) = b) Bestimmen Sie die kinematischen Zusammenhänge v B (ω 1 ) = v Bx e x + v By e y, ω 2 (ω 1 ), ω 3 (ω 1 ) und v C (ω 1 ) = v Cx e x +v Cy e y unter der Voraussetzung, dass ϕ und ϑ gegeben sind. Hinweis: Der oben bestimmte Zusammenhang zwischen diesen Größen so hier NICHT berücksichtigt werden. (5,0 Punkte) v B (ω 1 ) = e x + e y ω 2 (ω 1 ) = ω 3 (ω 1 ) = v C (ω 1 ) = e x + e y

11 Frühjahr 2016 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 4 (Seite 2 von 2) b) Das nun gegebene System besteht aus zwei in Punkt C durch ein Geenk miteinander verbundenen starren Stäben und ist wie dargestet in den Punkten A und B geagert. Der Betrag der Geschwindigkeit des horizonta und reibungsfrei geführten Punktes B ist dabei in der dargesteten Konfiguration des Systems durch v B gegeben. Die Winkegeschwindigkeiten ω 1 und ω 2 sind as bekannt vorauszusetzen. C 2 ω 1, ω 1 1 ω 2, ω 2 B v B,a B e y e x A 2 3 Berechnen Sie die Winkebescheunigungen ω 1 und ω 2 der Stäbe 1 und 2 für die abgebidete Konfiguration des Systems in Abhängigkeit der gegebenen Größen für den Fa, dass die horizontae Komponente der Bescheunigung in Punkt B Nu ist, d.h. a B = 0. (4,0 Punkte) Hinweis: Die unbekannten Winkebescheunigungen sind gemäß des durch das gegebene Koordinatensystem definierten Drehsinns wie eingezeichnet positiv anzunehmen. ω 1 = ω 2 =

12 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016 Aufgabe 5 (Seite 1 von 3) Gegeben ist das unten dargestete System, dessen Bestandteie und Abmessungen der Zeichnung zu entnehmen sind. Die Scheiben roen schupffrei auf den jeweiigen Oberfächen (Haftreibungskoeffizient µ 0,1 undµ 0,2 ) ab. DasMassenträgheitsmoment der abgesetzten Roe bezügich des Schwerpunktes kann mit Θ 1 = 1/2M 1 R1 2 angenommen werden. Das System unteriegt dem Erdschwerefed g. x 1 g ϕ 1 R 1 M 1 µ 0,1 µ 0,2 r F α M 2,R 2 x 2 ϕ 2 a) Vervoständigen Sie das Freikörperbid für das statische Geichgewicht. (1,0 Punkte)

13 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016 Aufgabe 5 (Seite 2 von 3) b) Wie muss das Verhätnis der Massen M 2 /M 1 unter Verwendung der gegebenen Größen auten, damit statisches Geichgewicht voriegt? (1,5 Punkte) M 2 M 1 = c) Bestimmen Sie die Bedingung für den Haftreibungskoeffienten µ 0,1 unter Verwendung gegebener Größen, sodass statisches Geichgewicht voriegt. (1,5 Punkte) µ 0,1 Das Massenverhätnis M 2 /M 1 ist nun so gewäht, dass sich das System in positive x 2 - Richtung bewegt. Die Haftbedingung für schupffreies Abroen ist weiterhin erfüt. d) Das System wird aus der Ruhe heraus zum Zeitpunkt t 0 osgeassen. Spezifizieren Sie den Energieerhatungssatz des Systems für einen Zeitpunkt t 1 > t 0 in Abhängigkeit der gegebenen Koordinaten. (2,0 Punkte)

14 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2016 Aufgabe 5 (Seite 3 von 3) e) Geben Sie die Geschwindigkeiten ϕ 1, ẋ 1 und ϕ 2 as Funktion von ẋ 2 an. (2,0 Punkte) ϕ 1 (ẋ 2 ) = ẋ 1 (ẋ 2 ) = ϕ 2 (ẋ 2 ) = f) Für nicht näher spezifizierte Abmessungen und Massen ässt sich die Energiebianz zu ẋ 2 Ax = 0 bestimmen. Die Größe A ist hierbei eine nicht näher spezifizierte, positive Konstante. Bestimmen Sie die Zeit-Weg-Funktion t(x) für x > 0, wenn zum Zeitpunkt t 0 = 0 die Koordinate x den Wert x 0 = 0 aufweist. (2,0 Punkte)

15 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2015

16 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2015 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Das dargestete Fachwerk ist in den Punkten A und B geagert und wird wie gezeigt durch die Einzekräfte F 1, F 2 und F 3 beastet. F y x 7 8 F A 1 2 α B 45 F 3 a) Geben Sie die Nummern der Stäbe an, die auf Grundage gängiger Kriterien direkt as Nustäbe identifiziert werden können. (1,5 Punkte) Hinweis: Die Angabe fascher Antworten führt zu Punktabzug. b) Berechnen Sie die Aufagerreaktionen in den Punkten A und B in Abhängigkeit der Kräfte F 1, F 2 und F 3 bezügich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (4,5 Punkte) Hinweis: Die Richtung von A ergibt sich aus der Zeregung in die einzenen Komponenten entsprechend der positiven Richtungen des vorgegebenen Koordinatensystems. A = B x = B y =

17 Herbst 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) c) Die geiche Stabkonstruktion ist nun wie dargestet geagert. Die externe Beastung ist ebenfas verändert worden. Die Aufagerreaktionen sind bezügich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen as A x = 1 2 F 1 F 2, A y = 1 2 F F 3, B = 1 3 F 3 vorgegeben. 45 F y x B A 1 2 F 2 F 3 Berechnen Sie die Stabkräfte S 3, S 4, S 5 und S 6 sowie S 8, S 11, S 13 und S 14 unter der Vorraussetzung, dass Zugkräfte positiv sind. (4,0 Punkte) S 3 = S 8 = S 4 = S 11 = S 5 = S 13 = S 6 = S 14 =

18 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Der unten dargestete Baken(Massendichte ρ, Querschnittsfächeninhat A) ist inksseitig fest eingespannt und wird ausschießich durch sein Eigengewicht beastet. Die Abmessungen des Systems sind der Zeichnung zu entnehmen. Hinweis: Eine homogen verteite Masse verhät sich wie eine konstante Streckenast. g ỹ z1 x1 α P x 2 ρ, A x z 2 2 a) Berechnen Sie die Funktionen der Normakraft-, Querkraft- sowie Biegemomentenveräufe im gesamten System entsprechend der vorgegebenen okaen Koordinatensysteme {x i,z i } in Abhängigkeit der gegeben Größen. (6,0 Punkte) N 1 (x 1 ) = Q 1 (x 1 ) = M 1 (x 1 ) = N 2 (x 2 ) = Q 2 (x 2 ) = M 2 (x 2 ) =

19 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Das fogende Bakentragwerk ist wie dargestet geagert und beastet. Dessen Abmessungen sind ebenfas der Zeichnung zu entnehmen. Bezügich der vorgegebenen, okaen Koordinatensysteme wurden fogende Werte für externe und interne Reaktionskräfte und -momente berechnet: A x = 1/6q 0, Aỹ = 4q 0, B x = 1/3q 0, Bỹ = 8q 0, Q(x 1 = ) = 5q 0, M(x 1 = ) = 9/2q 0 2. ỹ x q 0 A x 1 z2 G z 1 x2 q 0 B 3 Zeichnen Sie für das gesamte System die Veräufe der Querkraft und des Biegemomentes in die auf der nächsten Seite gegebene Vorage ein. Geben Sie dabei den im jeweiigen Abschnitt gütigen Poynomgrad p sowie die Werte der Schnittgrößen an reevanten Steen an. (4,0 Punkte)

20 Herbst 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Q M

21 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) a) Der wie dargestet geagerte Baken wird durch eine inear veraufende Streckenast (Maximawert q 0 ) sowie durch eine Einzekraft F beastet. Die Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. x q 0 F 2 2 Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie w(x) erforderich sind. Geben Sie dabei eindeutige Zuweisungen hinsichtich der jeweiigen Bereiche unter Verwendung der vorgegebenen x-koordinate an. (3,0 Punkte) b) Für das nun gegebene System sind die Aufagerreaktionen gemäß des vorgegebenen x, ỹ- Koordinatensystems durch ỹ M A = q 0 2 6, Bỹ = q 0 2 x q 0 vorgegeben. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf. A x 1 x 2 B

22 Herbst 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) Bestimmen Sie die Biegeinie w I (x 1 ) für 0 x 1 sowie w II (x 2 ) für 0 x 2 ohne Berechnung der auftretenden Konstanten. (3,0 Punkte) w I (x 1 ) = w II (x 2 ) = Geben Sie sämtiche kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur Berechnung der oben aufgeführten Konstanten benötigt werden. (1,0 Punkte) Berechnen Sie abschießend die Werte der oben aufgeführten Konstanten. (3,0 Punkte)

23 Herbst 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 4 (Seite 1 von 3) a) Gegeben ist das fogende U-Profi mit den Abmessungen a und b sowie der Profidicke t. Die Lage des Profi-Schwerpunkts ist durch den Abstand z S vorgegeben. Die Profidicke t ist hier nicht zu vernachässigen. Berechnen Sie das Fächenträgheitsmoment I y bezügich des gegebenen Schwerpunktskoordinatensystems. Fassen Sie die einzenen Terme nicht zusammen. (2,0 Punkte) b z S y t z a S t t b I y = b) Der auf fogender Seite dargestete Baken der Länge 3 wird wie im inken Bid dargestet durch eine konstante Streckenast q 0 und eine Einzeast q 0 beastet. Der Baken weist den rechts im Schnitt A A gezeigten Querschnitt auf, wobei t b git. Die Lage des Schwerpunktes ist durch z s = 2/3b, das Fächenträgheitsmoment I y bezügich des gegebenen Schwerpunktkoordinatensystems durch I y = 4 3 b3 t vorgegeben.

24 Herbst 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 4 (Seite 2 von 3) Schnitt A A x b A q 0 t z s A q 0 y z S 2b 3 t Geben Sie den Wert des betragsmäßig größten Biegemomentes sowie die zugehörige Position bezügich der x-koordinate an. (2,0 Punkte) Bestimmen Sie den Verauf der Normaspannung σ xx (z) in dem Querschnitt, wecher das oben berechnete, betragsmäßig größte Biegemoment aufweist. (2,0 Punkte) σ xx (z) =

25 Herbst 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 4 (Seite 3 von 3) c) Die reevanten Werte der Schnittgrößen in obigem Querschnitt aus Aufgabentei b) sind nun durch M y = q 0 2 2, N x = 3q 0 vorgegeben. An wecher Stee P(y, z) des Bakenprofis befindet sich die betragsmäßig größte Spannung σ xx,max? Wechen Wert hat σ xx,max an dieser Stee P? (2,5 Punkte) P = σ xx,max = Wiegroßdarfq 0 höchstenssein,damitderbetragsmäßiggrößtewertfürσ xx denzuässigen Spannungswert σ zu an keiner Stee des Bakens überschreitet? (1,5 Punkte) q 0,max =

26 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2015 Aufgabe 5 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus einer Masse m 2, einer masseosen Umenkroe, einer schupffrei auf einer rauhen Ebene abroenden Stufenroe (Masse M), einem masseosen, abgeknickten Baken sowie einem daran starr verbundenen, dreieckförmigen Körper der Masse m 1. Die Abmessungen des Systems sind der Zeichnung zu entnehmen. ϕ x M g r R m 1 µ 0,µ m 2 a) Vervoständigen Sie die fogende Zeichnung unter der Annahme statischen Geichgewichtes zu einem Freikörperbid des Systems. (1,0 Punkte) y

27 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2015 Aufgabe 5 (Seite 2 von 3) Berechnen Sie die Reaktionskräfte des Systems, die an den Kontaktsteen zwischen System und Ebene auftreten. (3,0 Punkte) Nennen Sie die Bedingung für das Verhätnis zwischen den Massen m 1 und m 2, so dass an der Kontaktstee zwischen dem Dreieckskörper und der Ebene in vertikae Richtung eine Druckkraft übertragen wird. (1,0 Punkte) Nennen Sie die Bedingung für das Verhätnis zwischen den Massen m 1 und m 2, so dass Haftung besteht. (1,0 Punkte)

28 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2015 Aufgabe 5 (Seite 3 von 3) Im Fogenden git die Annahme, dass die Haftbedingung veretzt wird und sich das System somit in Bewegung setzt. Des Weiteren git die Annahme, dass zwischen dem Dreieckskörper und der Ebene stets Kontakt herrscht. Die Koordinaten x, y und ϕ soen zunächst as unabhängig angesehen werden. b) Steen Sie den Impussatz (Kräftesatz) für die Stufenroe auf. (0,5 Punkte) c) Steen Sie den Drehimpussatz (Drasatz) für die Stufenroe bezügich deren Schwerpunktes auf. Das auf diesen Punkt bezogene Massenträgheitsmoment der Roe ist durch Θ M gegeben. (1,0 Punkte) d) Geben Sie abschießend die Koordinaten x und y as Funktion von ϕ an. (1,0 Punkte) x(ϕ) = y(ϕ) = e) Berechnen Sie die vertikae Reaktionskraft an der Kontaktstee zwischen Dreieckskörper und Ebene. (1,5 Punkte)

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30 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Das unten dargestete Fachwerk ist in den Punkten A, B und C geagert und wird in den Knoten III und VIII durch Einzekräfte F 1 und F 2 beastet. Zudem ist das Fachwerk in den Punkten I und II mit einem Baken der Länge verbunden, wecher durch eine unter 45 geneigten Einzekraft F 3 in dessen Mitte beastet wird. /2 /2 I F 3 45 II y x F 1 III 8 IV 9 V C VI 1 VII 2 VIII A B F 2 a) Nennen Sie für den Fa F 2 = 0 sämtiche Nustäbe, weche auf Grund gängiger Kriterien direkt as soche identifiziert werden können (keine Rechnung). Dies git auch für Nustäbe, die sich eventue erst as Konsequenz anderer identifizierter Nustäbe ergeben. Hinweis: Das Nennen fascher Stabnummern führt zu Punktabzug. (2,5 Punkte)

31 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) b) Berechnen Sie für den agemeinen Fa F 2 0 die Aufagerreaktionen in den Punkten A, B und C bezügich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (1,5 Punkte) c) Für nicht näher spezifizierte Kräfte F 1 (F), F 2 (F) und F 3 (F) ergeben sich die Aufagerreaktionen gemäß des vorgegebenen Koordinatensystems zu A y = 2F, B y = 3 2 F, C x = 2F. Berechnen Sie die Stabkräfte S 10, S 11, S 12 sowie S 1, S 5, S 9 in Abhängigkeit der Größen F, F 1, F 2 und F 3 unter der Voraussetzung, dass Zugkräfte positiv sind. (6,0 Punkte)

32 Frühjahr 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 1 von 4) a) Das dargestete Bakentragwerk besteht aus zwei Teieementen (je ein Baken zwischen denpunktenaundc sowiedunde)undwirdimbereichbe miteinerkonstantensowie im Bereich AB mit einer inear veränderichen Streckenast beaufschagt. Das System ist wie dargestet in Punkt A geagert und die beiden Teieemente sind in Punkt B geenkig miteinander verbunden. Darüber hinaus ist in den Punkten C und D ein Stab geenkig an das jeweiige Bakeneement angeschossen. /2 C q 0 /2 D B q 0 E y A x

33 Frühjahr 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 2 von 4) Ergänzen Sie die fogende Abbidung zu einem voständigen Freikörperbid.(1,0 Punkte) Bestimmen Sie die in Punkt A wirkenden Aufagerreaktionen, die in Punkt B wirkenden inneren Reaktionskräfte sowie die im Stab CD wirkende Stabkraft S. (3,0 Punkte)

34 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 3 von 4) b) Der horizontae Baken des Tragwerks wird nun zusätzich zu der konstanten Streckenast in Punkt E durch eine Einzekraft F beastet. Die zuvor wirkende inear veränderiche Linienast zwischen den Punkten A und B ist in diesem Aufgabentei nicht mehr vorhanden. Die Abmessungen des Systems sind unverändert. /2 C q 0 /2 D x B E z F y A x Die Aufagerreaktionen in A sowie die Kraft S im Stab DC sind bezügich des vorgegebenen x, y-koordinantensystems und unter der Annahme, dass Zugkräfte in Stäben positiv sind, wie fogt vorgegeben: S = 3 2q 0, A x = 0, A y = 2q 0, M A = 3 2 q 0 2. Darüber hinaus git F = q 0. Bestimmen Sie die Biegemomentenfunktion für den horizontaen Baken im Bereich /2 x 3/2 bezügich des vorgegebenen okaen x,z- Koordinatensystems. (2,0 Punkte)

35 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 4 von 4) Zeichnen Sie quaitativ die Veräufe des Biegemomentes M(x) und der Querkraft Q(x) für den horizontaen Baken unter Angabe der jeweiigen Werte an den Punkten D, B und E bezügich der Koordinate x in die fogende Vorage. Nennen Sie zudem für jeden Bereich den Poynomgrad p der jeweiigen Funktion. (4,0 Punkte) M Q

36 Frühjahr 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete System besteht aus einem starren Baken der Länge 2, wecher mit einer konstanten Fächenast q 0 beaufschagt ist. Das rechte Ende des Bakens ist in Punkt D durch ein Losager gehaten, das inke Ende ruht wie dargestet auf dem Knoten C eines Fachwerks bestehend aus den Stäben 1, 2 und 3, weches in den Punkten A und B geagert ist. Sämtiche Fachwerkstäbe weisen die Dehnsteifigkeit EA auf. B A 3 y x 1 2 C q 0 2 D Berechnen Sie die Kräfte in den Stäben 1 und 2 unter der Voraussetzung, dass Zugkräfte positiv sind. (1,0 Punkte) S 1 = S 2 = Bestimmen Sie die Längenänderung der Stäbe 1 und 2. (1,0 Punkte) 1 = 2 = Bestimmen Sie die Komponenten der vektorieen Verschiebung u c = ue x + ve y des Punktes C. (2,0 Punkte) u = v =

37 Frühjahr 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Gegeben sei nun das nebenstehend abgebidete System bestehend aus einem mit einer Fächenast q(x) beaufschagten Biegebaken, wecher in Punkt A durch eine Schiebehüse und in Punkt B mittes eines Festagers gehaten wird. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf und ist as dehnstarr anzunehmen. Die Funktion der Fächenast ist durch q(x) = q 0 [ x +1 ] A x q(x) B vorgegeben, die zugehörige Funktion des Biegemoments autet [ q0 M(x) = 6 x3 + q 0 2 x2 2 ] 3 q 0 2. Nennen Sie ae kinematischen Randbedingungen, denen der Baken unteriegt. (1,0 Punkte) Bestimmen Sie die Biegeinie w(x) zunächst mit Angabe aber ohne Berechnung der Integrationskonstanten. (2,0 Punkte)

38 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Berechnen Sie nun die Integrationskonstanten zur eindeutigen Bestimmung der Biegeinie des Systems. (2,0 Punkte) Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Zusammenhang zwischen M(x) und q(x) für die angegebenen Funktionen gütig ist. Tragen Sie dazu die wesentichen Schritte der Rechnung in das nachfogende Kästchen ein. (1,0 Punkte)

39 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2015 Aufgabe 4 (Seite 1 von 3) a) Gegeben ist der unten dargestete, symmetrische Querschnitt eines Hohkastenprofis mit den angegebenen Abmessungen. Die Lage des Gesamtschwerpunktes S ist durch die Abmessungen z 1 und z 2 vorgegeben (Punkt S ist nicht maßstäbich eingetragen). Die strichpunktierten Linien steen Hifsinien dar, weche die Lösung der nachfogenden Aufgabe ereichtern soen. 9a 9/2a a 2a y S z a/2 z 1 z 2 a a a a a a BerechnenSiedasFächenträgheitsmomentI y bezügichdesangegebenenx,y-schwerpunkt- Koordinatensystems. Fassen Sie dazu die reevanten Terme nicht zusammen, sondern nennen Sie jeden Summanden einzen. (3,0 Punkte) I y =

40 Frühjahr 2015 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 4 (Seite 2 von 3) b) Gegeben ist nun der unten abgebidete, symmetrische Querschnitt eines Bakens. Das Fächenträgheitsmoment ist durch I y = 19 4 a4 bezügich des angegebenen Schwerpunkt-Koordinatensystems vorgegeben. P a y S z a a a 3a a Der dargestete Querschnitt ist durch eine Normakraft N sowie das Biegemoment M y beansprucht. Es git dabei der fogende Zusammenhang: N = 9 38a M y Berechnen Sie die in Punkt P vorhandene Spannung σ P in Abhängigkeit der Größen M y und a. (1,5 Punkte) σ P = Berechnen Sie die im Querschnitt voriegende betragsmäßig größte Spannung σ max in Abhängigkeit der Größen M y und a. (1,0 Punkte) σ max =

41 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2015 Aufgabe 4 (Seite 3 von 3) c) Gegeben ist das unten dargestete und aus den Stäben 1 bis 3 bestehende Fachwerk, weches durch eine Einzekraft F = 150 kn beastet wird. Sämtiche Stäbe weisen kreisrunde Querschnitte mit den jeweiigen Radien r 1, r 2 und r 3 auf. y A x F 3 60 B Geben Sie die Werte sämticher Stabkräfte in der Einheit kn an. (1,5 Punkte) S 1 = S 2 = S 3 = Die maxima zuässige Spannung σ zu des Materias aer drei Stäbe weist im Zugbereich 250 MN/m 2 und im Druckbereich 150 MN/m 2 auf. Berechnen Sie die Radien r 1, r 2 und r 3 der Stäbe derart, dass die jeweis vorhandene Spannung exakt dem jeweis zuässigen Wert entspricht. Geben Sie die Ergebnisse in der Einheit Meter (m) as Dezimazah mit vier Nachkommasteen an. (3,0 Punkte) r 1 = r 2 = r 3 =

42 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2015 Aufgabe 5 (Seite 1 von 2) Die dargestete Punktmasse (Punkt C, Masse m) geitet reibungsfrei in einer kreisförmigen Führung (Radius r). Die Punktmasse ist über zwei geenkig in Punkt B miteinander gekoppeten, masseosen Stäben 1 und 2 mit dem Lager in Punkt A verbunden. Stab 1 weist eine zeitich konstante Winkegeschwindigkeit ω 1 auf. Für den gezeigten Zustand des Systems git ϕ 3 = π/4. Das System steht nicht unter dem Einfuss des Erd-Schwerefeds. C ω 2, ω 2 2 B e t m r e r ϕ 3 ω 3, ω 3 1 ω 1 = const. a e y A e x b Hinweis: Sämtiche Lösungen zu dieser Aufgabe sind bezügich der in obiger Skizze vorgegebenen Koordinaten-Basisvektoren e x, e y oder e r, e t anzugeben. a) Berechnen Sie in Abhängigkeit von ω 1 die Winkegeschwindigkeiten ω 2 des Stabs 2 und ω 3 der Punktmasse um den Mittepunkt der Kreisbahnführung sowie die Komponenten der Geschwindigkeit v C = v Cr e r +v Ct e t in Punkt C bezügich des e r, e t -Koordinatensystems oder v C = v Cx e x + v Cy e y bezügich des e x, e y -Koordinatensystems für die dargestete Lage. (4,0 Punkte) Lösung in Kästchen auf der nächsten Seite eintragen!

43 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2015 Aufgabe 5 (Seite 2 von 2) ω 2 (ω 1 ) = ω 3 (ω 1 ) = v Cr = v Ct = oder v Cx = v Cy = b) Berechnen Sie die Winkebescheunigungen ω 2 des Stabs 2 und ω 3 der Punktmasse um den Mittepunkt der Kreisbahnführung. ω 2 und ω 3 sind nun in agemeiner Form vorgegeben. Verwenden Sie NICHT die in Aufgabentei a) berechneten Werte. (3,0 Punkte) ω 2 (ω 1,ω 2,ω 3 ) = ω 3 (ω 1,ω 2,ω 3 ) = c) Für andere geometrische Abmessungen des Systems git ω 3 = 2 2ω 1 und ω 3 = [8 2 2]ω1 2. Berechnen Sie basierend auf diesen Vorgaben den Betrag der Aufagerreaktion in Punkt C sowie die Stabkraft S 2 in Stab 2 für den dargesteten Zustand des Systems. (3,0 Punkte) C = S 2 =

44 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2014

45 Herbst 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) a) Gegeben ist das fogende, in den Punkten A und B geagerte und durch eine Kraft F wie dargestet beastete Fachwerk B A 4 5 F F Nennen Sie sämtiche Nustäbe, weche auf Grund gängiger Kriterien direkt as soche identifiziert werden können (keine Rechnung). Das Nennen fascher Stabnummern führt zu Punktabzug. (2,0 Punkte)

46 Herbst 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Dasuntendargestete Fachwerk ist indenpunkten AundBgeagertundwirdwie gezeigt durch Einzekräfte beastet. 2F F A y x B F F 3F Berechnen Sie die Aufagerreaktionen in den Punkten A und B bezügich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (3,0 Punkte) A y = B x = B y =

47 Herbst 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) c) An dem seben Fachwerk greifen nun die aus nachfogender Zeichnung zu entnehmenden Kräfte an. 1 2 F A y x B F 1 3 F Die Aufagerreaktionen sind dabei gemäß des vorgegebenen Koordinatensystems zu A y = 3 4 F, B x = 1 2 F, B y = 7 12 F vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S 1, S 13, und S 18 sowie S 11 und S 17 unter der Voraussetzung, dass Zugkräfte positiv sind. (5,0 Punkte) S 1 = S 13 = S 18 = S 11 = S 17 =

48 Herbst 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Die dargestete homogene Lochscheibe A (Gesamtmasse m, Radius r = a) ist auf der inken Seite fest geagert, während die rechte Seite reibungsfrei (µ 0 = 0) auf einem as masseos anzusehenden Kei B aufiegt. Der Kei sebst ruht auf einer reibungsbehafteten Ebene (Haftreibungskoeffizient µ 0 ). 3a g 4a y 2a r A µ 0 = 0 5a x a B 6a α µ 0 a) Bestimmen Sie die Koordinatenx S und y S des Schwerpunktes der abgebideten Lochscheibe A bezügich des angegebenen Koordinatensystems. (2,0 Punkte) x S = y S =

49 Herbst 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) b) Die Lochscheibe wird nun durch einen massiven, homogenen Körper (Gesamtmasse m) mit identischen Außenabmessungen ersetzt. Geichzeitig greift eine horizontae Kraft F in der unten dargesteten Weise an dem Kei an. Ergänzen Sie die unten gegebene Vorage zu einem voständigen Freikörperbid. (3,0 Punkte) F Bestimmen Sie die von Ihnen im Freikörperbid definierten Kraftkomponenten zwischen dem Körper und dem Kei sowie dem Kei und dem Fundament. (3,0 Punkte) Wie groß muss die Kraft F > 0 sein, sodass sich der Kei nach rechts zu bewegen beginnt? (2,0 Punkte) F

50 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Das dargestete Bakentragwerk besteht aus zwei Teieementen und wird durch eine Kraft F sowie eine inear veränderiche Streckenast im Bereich 0 x 2 L beastet. Die Teieemente 1 und 2 sind im Punkt B geenkig miteinander verbunden und im Punkt A und D wie dargestet geagert. Die Ecke im Punkt C ist as biegestarr anzusehen. 2q 0 L 2 A x 1 z 1 F 1 B z 2 x 2 q 0 2 C D L L L L a) Ergänzen Sie die fogende Abbidung zu einem voständigen Freikörperbid. Ersetzen Sie die Streckenast durch eine noch nicht näher zu spezifizierende Resutierende. (1,0 Punkte)

51 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Bestimmen Sie die aus der veränderichen Streckenast resutierende Gesamtkraft F res und geben Sie den Angriffspunkt x 2 der Resutierenden auf dem Baken an. (2,0 Punkte) F res = x 2 = c) Das zuvor gezeigte System ist nun hinsichtich Geometrie und Beastung geändert worden. Der abgewinkete Baken wird nun mit einer konstanten Linienast q 0 beastet wohingegen der horizontae Baken einer inear veränderichen Linienast ( q(x 2 ) = q 0 1 x ) 2 L ausgesetzt wird. z ȳ A x x 1 z 1 q 0 L I q 0 B z 2 x 2 L II C D L Die Aufagerreaktionen sind bezügich des { x, ȳ}-koordinantensystems wie fogt vorgegeben: A x = 1 6 q 0L, Aȳ = 1 6 q 0L, M A = q 0 L 2, D x = 7 6 q 0L, Dȳ = 4 3 q 0L Geben Sie die Funktion M II (x 2 ) für 0 x 2 L sowie die Werte der Schnittgrößen für die fogenden Positionen an. (4,0 Punkte) M II (x 2 ) = N I (x 1 = 0) = N II (x 2 = L) = Q I (x 1 = 0) = Q II (x 2 = 0) = Q I (x 1 = 2L) = Q II (x 2 = L) =

52 Herbst 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Zeichnen Sie quaitativ die Schnittgrößenveräufe unter Angabe der jeweiigen Werte an den Punkten A, B, C und D bezügich der Koordinaten x i,y i und unter Angabe des jeweiigen Poynomgrades p. (3,0 Punkte) N(x i ) Q(x i ) M(x i )

53 Herbst 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 4 (Seite 1 von 3) a) Der dargestete, in A und C geagerte Baken wird durch eine Streckenast q 0 sowie eine Einzekraft F beastet. Im Punkt B befindet sich ein Vogeenk. q 0 F A z x I B II C III Geben Sie die kinematischen (geometrischen) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie w(x) erforderich sind. Geben Sie dabei eindeutige Zuweisungen hinsichtich der jeweiigen Bereiche I, II und III unter Verwendung des vorgegebenen Koordinatensystems an. (3,0 Punkte)

54 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2014 Aufgabe 4 (Seite 2 von 3) b) Für das nun gegebene System sind die Aufagerreaktion gemäß der angegebenen x- und z-koordinate durch A x = 0, A z = q 0 24, B z = 5q 0 24 vorgegeben. Der Baken weist die Biegesteifigkeit EI auf. A z 1 x 1 I z 2 x 2 /2 /2 II q 0 B Bestimmen Sie die Funktionen des Biegemomentes M I (x 1 ) für 0 x 1 /2 sowie M II (x 2 ) für 0 x 2 /2. (2,0 Punkte) M I (x 1 ) = M II (x 2 ) = Geben Sie die sowoh die Verdrehung des Bakens w II (x 2) as auch die Biegeinie w II (x 2 ) für den Bereich II (0 x 2 /2) ohne Berechnung der Integrationskonstanten an. (2,0 Punkte) w II (x 2 ) = w II (x 2) =

55 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2014 Aufgabe 4 (Seite 3 von 3) c) Der dargestete, inksseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit EI) wird durch ein inienhaft verteites Moment m beastet. Das Biegemoment ergibt sich bei dieser Beastung zu M(x) = m( x). m A z x B Berechnen Sie sowoh die Verdrehung des Bakens w (x) as auch die Biegeinie w(x) für das System inkusive der Bestimmung aer Integrationskonstanten. (2,0 Punkte) w (x) = w(x) = Bestimmen Sie die Durchbiegung w B und die Verdrehung w B Punkte) des Bakenendes B. (1,0 w B = w B =

56 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2014 Aufgabe 5 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus homogenen, starren Körpern, weche durch dehnstarre Seie miteinander verbunden sind. Die jeweiigen Massen und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen, wobei das Massenträgheitsmoment der gesamten abgesetzten Roe 4 bezügich des zugehörigen Schwerpunktes D durch θ 4 gegeben ist und die Roe 2 as masseos angesehen werden so. Der Kreisring 1 rot dabei zu jedem Zeitpunkt schupffrei ab und die Seie sind stets gespannt. g 2 ϕ 3 m 3 C r 3 3 β m 4, θ 4 ϕ 4 D r 4 4 M 0 B R 4 ϕ 2 1 2r 2 ϕ 1 x 1 A m 1 r 1 α y x µ 0 Erweitern Sie die fogenden Skizzen der Teikörper 1, 3 und 4 zu voständigen Freikörperbidern (inkusive etwaiger Aufagerreaktionen). (2,0 Punkte)

57 Herbst 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 5 (Seite 2 von 3) a) Geben Sie die Impusbianz (Kräftesatz) des Kreisrings 1 bezügich der x 1 -Koordinate an. (1,0 Punkte) b) Geben Sie die Drehimpusbianz (Drasatz) des Kreisrings 1 bezügich des Schwerpunkts und der ϕ 1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das zu verwendende Massenträgheitsmoment mittes der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) c) Geben Sie die Impusbianz (Kräftesatz) der Roe 3 bezügich der y-koordinate an. (1,0 Punkte) d) Geben Sie die Drehimpusbianz (Drasatz) der Roe 4 bezügich des Schwerpunkts und der ϕ 4 -Koordinate an. (1,0 Punkte)

58 Herbst 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 5 (Seite 3 von 3) f) Geben Sie die fogenden kinematischen Bindungen zwischen den Geschwindigkeiten der einzenen Koordinaten und der Geschwindigkeit des Freiheitsgrades x 1 an. (2,0 Punkte) ϕ 1 (ẋ 1 ) = ϕ 2 (ẋ 1 ) = ϕ 3 (ẋ 1 ) = ϕ 4 (ẋ 1 ) = Berechnen Sie die von dem Moment M 0 vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Zeitpunkt t = t 1 verrichtete Arbeit W M0. Das System befindet sich anfängich in Ruhe (x 1 (t = 0) = 0, ẋ 1 (t = 0) = 0) und es git x 1 (t 1 ) = a. (2,0 Punkte) W M0 =

59 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2014

60 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das unten dargestete Fachwerk ist in den Punkten A und B geagert und wird wie gezeigt durch Einzekräfte F 1, F 2 und F 3 beastet. Die Länge der schrägen Stäbe beträgt jeweis. F y x 5 F F 2 1 A B a) Berechnen Sie die Aufagerreaktionen in den Punkten A und B bezügich der durch das vorgegebene Koordinatensystem positiv definierten Richtungen. (4 Punkte) A x = B x = A y = B y =

61 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die Nummern aer Stäbe an, die auf Grundage gängiger Kriterien direkt as Nustäbe identifiziert werden können (keine Rechnung). (2 Punkte) Hinweis: Die Angabe fascher Stäbe führt zu Punktabzug. c) An dem seben Fachwerk greifen nun die aus nachfogender Zeichnung zu entnehmenden Kräfte an. 9 F 10 8 y x 2F 5 B A 1 F

62 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Die Aufagerreaktionen sind dabei gemäß des vorgegebenen Koordinatensystems zu A x = 0, A y = 1 2 F, B x = F, B y = 3 2 F vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S 2, S 3, S 4 und S 8. (4 Punkte) S 2 = S 3 = S 4 = S 8 =

63 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) a) Das dargestete System besteht aus einem Baken (Masse m 1 ), wecher im Punkt C geenkig mit einem weiteren Stab (Masse m 2 ) verbunden ist und sich im Punkt A an einer reibungsbehafteten Wand (Haftreibungskoeffizient µ 0 ) abstützt. Des Weiteren ist am oberen Ende des Bakens eine dreieckförmige Scheibe (Masse m 3 ) starr mit diesem verbunden. g y m 1 x m 3 b a b BerechnenSiedieLager S = x S e x +y S e y des Massen-Schwerpunktes des Systems bezügich des vorgegebenen Koordinatensystems. (3,0 Punkte) A µ 0 C m 2 B b b b x S = y S = b) Das vorherige System ist nun dahingehend geändert worden, dass eine Kuge der Masse m 3 mittes einer Bohrung über das Ende des Bakens geschoben wurde. Die Lage des Massenschwerpunktes der Kuge kann dabei as identisch mit ihrem Mittepunkt angenommen werden. Die Masse m 2 ist in diesem Fa as vernachässigbar gegenüber m 1 und m 3 anzusehen (m 2 m 1,m 3 ). Erweitern Sie die nachfogende Zeichnung zu voständigen Freikörperbidern unter der Voraussetzung, dass sich das Bakenende an der Kontaktstee A bei Verust der Haftung nach oben bewegen würde. (1,0 Punkte) A µ 0 g b m 1 C b m 3 m 2 0 B y b b x

64 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) Berechnen Sie die von Ihnen angetragenen Reaktionskräfte. (3,0 Punkte) Geben Sie die Bedingung für die Masse m 3 an, so dass sich das Bakenende an der Kontaktstee A nicht nach oben bewegt. (2,0 Punkte) m 3 Lässt sich für diesen Fa eine Bedingung für Sebsthemmung abeiten und fas ja, wie autet diese? (1,0 Punkte) ja nein

65 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Der dargestete Rahmen ist in den Punkten A und B wie dargestet geagert und wird durch die veränderiche Fächenast mit der Funktion [ q(x 1 ) = q x ] 1 A y 1 z 1 x 1 q(x 1 ) C z 2 y2 x2 beastet. Die Rahmenecke im Punkt C ist biegestarr und der Winke α ist as α = 45 gegeben. α B /2 Die vertikae Komponente der Aufagerkraft im Punkt A ist bezügich des angegebenen Koordinatensystems durch A z1 = 11 q 9 0 gegeben. Berechnen Sie die Funktionen der Schnittgrößen Q(x 1 ) und M(x 1 ) im Bereich 0 x 1. (2,0 Punkte) Q(x 1 ) = M(x 1 ) = Berechnen Sie die Aufagerreaktion B z1 im Punkt B in Richtung der vorgegebenen z 1 - Koordinate. (1,0 Punkte) B z1 =

66 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Das rechts dargestete System besteht aus einem geraden und einem abgewinketen Baken, wobei die Ecke im Punkt D as biegestarr anzusehen ist. Das System ist in den Punkten A und B wie dargestet geagert und die beiden Baken sind im Punkt C geenking miteinander verbunden. Der gerade Baken wird mit einer konstanten Linienast q 0 beastet wohingegen der abgewinkete Baken einer inear veränderichen Linienast mit dem Maximawert q 0 ausgesetzt wird. y 1 z 1 A ȳ + x 1 x q 0 C /2 x 2 z 2 y 2 D q 0 B Die Aufagerreaktionen sind bezügich des { x, ȳ}-koordinantensystems wie fogt gegeben: y 1 x 1 A x z 1 C q 0 D q 0 A x = 5q 0 6 M A ȳ + x /2 B x x 2 z 2 y 2 M A = q B x = 1q 0 3 Bȳ Bȳ = q 0 Geben Sie die Randwerte der Schnittgrößen im Punkt D bezügich beider Bereiche an. (3,0 Punkte) N I (x 1 = 3/2) = N II (x 2 = ) = Q I (x 1 = 3/2) = Q II (x 2 = ) = M I (x 1 = 3/2) = M II (x 2 = ) =

67 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Zeichnen Sie quaitativ die Schnittgrößenveräufe unter Angabe der jeweiigen Werte an den Punkten A, B, C und D bezügich der Koordinaten x i,y i und unter Angabe des jeweiigen Poynomgrades p. (4,0 Punkte) N(x i ) Q(x i ) M(x i )

68 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 4 (Seite 1 von 3) a) Das dargestete Bakensystem (Biegesteifigkeit E I) ist in Punkt A mit einem Festager verknüpft und in Punkt C fest eingespannt. Die beiden Teisysteme sind in Punkt B geenkig miteinander verbunden. Zudem greift in Punkt B eine Einzekraft F in vertikae Richtung an. Die axiae Verformung der Baken sei im Fogenden vernachässigbar (dehnstarr EA ). z 1 x 1 A F B C x 2 z 2 2 Geben Sie sämtiche kinematische (geometrische) Rand- und Übergangsbedingungen an, die zur voständigen Bestimmung der Biegeinie w(x i ) erforderich sind. Tragen Sie zur eindeutigen Indizierung die Biegeinienbereiche in obige Skizze ein und verweisen Sie eindeutig auf diese. Verdeutichen Sie zudem, auf weches Koordinatensystem sich Ihre Angaben beziehen. (3,5 Punkte)

69 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Frühjahr 2014 Aufgabe 4 (Seite 2 von 3) b) Der dargestete, inksseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit E I) wird mit der inear veränderichen Streckenast q(x) = q 0 [2 x/] beastet. Das Biegemoment ergibt sich bei voriegender Beastung zu [ x 3 M(x) = q 0 6 x2 + 3x ] q 0 z x q 0 BerechnenSiesowohdieVerdrehungdesBakensw (x)asauchdiebiegeiniew(x)fürdas gegebene System inkusive der Bestimmung aer Integrationskonstanten. (2,0 Punkte) c) Der dargestete, inksseitig eingespannte Baken (Biegesteifigkeit E I) wird mit einer konstanten Streckenast q(x) = q 0 und einer Einzekraft F beastet. Die Biegeinie w(x) ergibt sich bei voriegender Beastung zu w(x) = 1 EI [q 0 x 4 24 q 0 ] x 3 6 +q x F x3 4 6 F x2 2. q 0 z x F

70 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 4 (Seite 3 von 3) Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Verschiebung des Kraftangriffspunktes von F geich Nu ist? (1,0 Punkte) Wie groß muss die Kraft F sein, damit die Tangente der Biegeinie am Kraftangriffspunkt von F horizonta veräuft? (1,0 Punkte) Geben Sie für diese Kraft die Durchbiegung des Kraftangriffspunktes an. (1,0 Punkte) Anwecher Stee trittdiebetragsmäßiggrößtedurchbiegung fürf = q 0 auf undwechen Wert hat diese? (1,5 Punkte)

71 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 5 (Seite 1 von 3) Das dargestete System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre Seie miteinander verbunden sind und sich im Schwerefed der Erde (Erdbescheunigung g) befinden. Die jeweiigen Massen, Massenträgheitsmomente und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. Roe 2 wird von dem konstanten Drehmoment M 0 angetrieben. Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Roe 1 weche zu aen Zeitpunkten schupffrei abrot und der schiefen Ebene (Neigungswinke α) beträgt µ 0. Das Massenträgheitsmoment der gesamten abgesetzen Roe 3 ist durch θ 3 gegeben. x 1 ϕ 2 g 1 m 1 ϕ 1 r 2 m 2 2 α r 1 µ 0 M 0 r 3 m 3, θ 3 3 ϕ 3 R 3 x 3 4 m 4 x 4 a) Tragen Sie im nachfogenden Bid sämtiche fehenden Kräfte bzw. Momente ein. Die Aufagersymboe soen in der Zeichnung beibehaten und nicht freigeschnitten werden. (1,5 Punkte)

72 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 5 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die Impusbianz (Kräftesatz) der Roe 1 bezügich der der x 1 -Koordinate an. (1,0 Punkte) c) Geben Sie die Drehimpusbianz (Drasatz) der Roe 1 bezügich des zugehörigen Momentanpos und der ϕ 1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ 1 mittes der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) d) Geben Sie die Drehimpusbianz(Drasatz) der Roe 2 bezügich ihres Schwerpunktes und der ϕ 2 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ 2 mittes der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) e) Geben Sie die Impusbianz (Kräftesatz) der Roe 3 bezügich der x 3 -Koordinate an. (1,0 Punkte) f) Geben Sie die Drehimpusbianz (Drasatz) der Roe 3 bezügich ihres Schwerpunktes und der ϕ 3 -Koordinate an. (1,0 Punkte)

73 Frühjahr 2014 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 5 (Seite 3 von 3) g) GebenSie die Impusbianz (Kräftesatz) der Masse 4 bezügich der x 4 -Koordinatean. (1,0 Punkte) h) Geben Sie die (Winke-)Geschwindigkeiten ẋ 1, ϕ 1, ẋ 3, ϕ 3, ẋ 4 in Abhängigkeit von ϕ 2 an. (2,5 Punkte) ẋ 1 = ϕ 1 = ẋ 3 = ϕ 3 = ẋ 4 =

74 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Herbst 2013

75 Herbst 2013 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Das unten dargestete Fachwerk ist in den Punkten A und B geagert und wird wie gezeigt durch Einzekräfte F 1 bis F 2 beastet. Die vertikae und horizontae Einheitsänge des Fachwerks beträgt. 1 F 2 y x A B 45 F 1 a) Berechnen Sie die Aufagerreaktionen in den Punkten A und B für F 1 = F 2 = F bezügich des vorgegebenen Koordinatensystems. (4 Punkte) A x = A y = B x = B y =

76 Herbst 2013 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) b) Geben Sie die Nummern aer Stäbe an, die auf Grundage gängiger Kriterien direkt as Nustäbe identifiziert werden können (keine Rechnung). (2 Punkte) Hinweis: Die Angabe fascher Stäbe führt zu Punktabzug. c) Die äußeren Kräfte sind nun zu F 1 = F, F 2 = 2F sowie die daraus resutierenden Aufagerreaktionen zu A x = 1 2 F, A y = 1 2 F, B x = 3 2 F, B y = 3 2 F vorgegeben. Berechnen Sie die Stabkräfte S 5, S 6, S 9 und S 15. (4 Punkte) S 5 = S 6 = S 9 = S 15 =

77 Herbst 2013 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Die dargestete Lochscheibe mit den Radien r 1 = 0.2 cm and r 2 = 0.15 cm besteht aus zwei unterschiedichen, jeweis homogenen Werkstoffen A und B. Die Massen sind für Werkstoff A mit m und für Werkstoff B mit 2m angegeben. Die schiefe Ebene weist den Reibungskoeffizienten µ 0 auf, während die andere Ebene inks as reibungsfrei angesehen werden kann (µ 0 = 0). 0.5 cm 2 cm 2 cm 0.5 cm g 1 cm r cm r 1 A B r 1 µ 0 1 cm µ 0 = 0 y α x a) Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes S A von Teikörper A unter Verwendung des vorgegebenen Koordinatensystems (2 Punkte) x SA = y SA = Berechnen Sie die Lage des Schwerpunktes S des gesamten Körpers unter Verwendung des vorgegebenen Koordinatensystems. (2 Punkte) x S = y S =

78 Herbst 2013 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Die Lochscheibe wird nun durch einen massiven Körper (Gesamtmasse m) geicher Geometrie und homogener Masseverteiung ersetzt. Zudem agert dieser Körper zum einen reibungsfrei (µ 0 = 0) auf einem as masseos anzunehmenden Kotz, zum anderen befindet sich nun inks ein Festager. Der Kotz ruht auf einer um den Winke α geneigten, rauhen Ebene (Haftreibungskoeffizient µ 0 ) und wird wie gezeigt durch eine Einzekraft F beastet. 2 cm 2 cm g 1 cm m µ 0 = 0 1 cm y F x µ 0 α c) Ergänzen Sie die fogende Abbidung des Kotzes unter der Bedingung, dass dieser die schiefe Ebene hinauf zu geiten droht, zu einem voständigen Freikörperbid. Geben Sie des Weiteren sämtiche Reaktionskräfte dieses Teisystems rechts neben der Skizze an. (2 Punkte)

79 Herbst 2013 Fakutät Maschinenbau Prof. Dr.-Ing. A. Menze Prof. Dr.-Ing. J. Moser Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Geben Sie die Bedingung für die Kraft F in Abhängigkeit der Größen m, g, µ 0 und α an, damit das System im Geichgewicht verweit und der Kotz die schiefe Ebene nicht hinauf geitet. (2 Punkte) F Geben Sie die Bedingung für die Masse m in Abhängigkeit der Größen F, g, µ 0 und α an, damit das System im Geichgewicht verweit und der Kotz die schiefe Ebene nicht hinunter geitet. (2 Punkte) m