ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern

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1 ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuh für Technische Mechanik, TU Kaisersautern SS 2012, Aufgabe: (TM III: MV, BI) Eine Waze ist im Punkt A drehbar geagert und dreht sich mit einer konstanten Winkegeschwindigkeit ω 0. Im Punkt B ist eine Stange geenkig befestigt, die mit einem Kuissenstein im Punkt E geführt wird. Eine Winkestange ist im PunktD geenkig mit der StangeBE verbunden und wird im PunktC mit einem Kuissenstein horizonta geführt. Ermitten Sie graphisch die Momentanpoe der StangenBE undcd. Hinweis: Bearbeiten Sie diesen Aufgabentei auf dem Aufgabenbatt. Gegebene Punkte und Momentanpoe iegen auf Kreuzungspunkten des Gitters. d) ω BE = 1 ω 0, v E = 2ω v D = v B + 0 = ω 0 ω 0 ω BE 0 0 ω CD = 1 ω 0 Berechnen Sie den Betrag der Winkegeschwindigkeit ω BE der Stange BE und den Betrag der Geschwindigkeitv E im PunktE. Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor v D im Punkt D. d) Berechnen Sie den Betrag der Winkegeschwindigkeitω CD der Stange CD. e) a E = ω e) Berechnen Sie den Bescheunigungsvektor a E im PunktE. Gegeben:, ω 0

2 2. Aufgabe: (TM III: MV, BI) ϕ 2 = ẍ1 r, ϕ = ϕ 2 = ẍ1 r, ẍ 4 = 1 2 ẍ1. : m 1 ẍ 1 = m 1 g S I (1) : m 2 ẍ 1 = m 2 g +S I S II S III (2) 1 S 2 : 2 m 2r 2 ϕ 2 = rs II rs III () Das dargestete System besteht aus zwei homogenen Wazen mit den Massenm 2 undm, sowie aus den Massen m 1 und m 4. Das Sei ist undehnbar und ebenso wie die Aufhängung mit dem MittepunktS 4 masseos. Ae Wazen drehen sich um ihre Mittepunkte reibungsfrei. Ermitten Sie : 0 = S : 0 = m g +S III +S IV S y 1 S 2 : 2 m R 2 ϕ = RS III rs IV (4) die kinematischen Beziehungen vonϕ 2, ϕ und von 4 in Abhängigkeit von 1, die Bescheunigungẍ 1 der Massem 1. Fertigen Sie dabei ae benötigten Freikörperbider an, die erforderiche Massem 4 für den Fa, dass das System in Ruhe beibt. Dabei so geten m 1 = m 2 = m. : m 4 ẍ 4 = m 4 g +S IV +S V (5) S 4 : 0 = RS IV RS V (6) Gegeben: R = 2r, g, in und m 1, m 2, m, m 4, und in m 1 = m 2 = m m 1 +m 2 1 ẍ 1 = 2 m 4 m m 2 +2m + 1 g. (7) 4 m 4 m 4 = 4m (8)

3 . Aufgabe: (TM III: MV, BI) masseos 1 ω1 A 2m 2m B v ˆF ˆF D 2 C ω2 vs Stoßpunkt S v0 v 0 m Ein masseoser Baken ➀ (Länge ) ist im Punkt A drehbar geagert, im Punkt B befindet sich die Masse 2m. Der Baken ist anfangs in Ruhe. Ein zweiter homogener Baken ➁ (Masse m, Länge ) bewegt sich wie skizziert (reine Transation) mit der Geschwindigkeit v 0 auf den ersten Baken zu. Beim Stoß berühren sich die beiden Baken im Punkt C bzw. D. Die Stoßzah beträgt e. Ermitten Sie das MassenträgheitsmomentΘ A des Bakens➀bezügich des Punktes A. Ermitten Sie die Winkegeschwindigkeit des Bakens ➀ unmittebar nach dem Stoß. Wie groß sind die Schwerpunktsgeschwindigkeit und die Winkegeschwindigkeit des Bakens➁unmittebar nach dem Stoß. d) Berechnen Sie den mechanischen Energieverust während des Stoßes. e) Gibt es eine Stoßzahe, für die der mechanische Energieverust 50% beträgt? d) e) Θ 1B = 2m2 9, Θ 2S = m2 12 ω 1 = v 0 2 (1+e) ω 2 = v 0 (1+e), v S = v 0 6 (5 e) E = 1 12 mv2 0 (1 e2 ) E E vor = 1 2 e 2 = 2 Gegeben: m,, v 0, e d.h. 50% Energieverust ist nicht mögich.

4 4. Aufgabe: (TM IV: MV, BI) masseos, starr ϕ A d c Ωt e m m u Ωt F c F d S S m ϕ Ωt m u u Das skizzierte System, weches im Punkt A geenkig geagert ist, wird durch eine rotierende Umwucht angeregt. Der starre Baken der Länge ist masseos und das System befindet sich fürϕ = 0 in der statischen Ruheage. Ermitten Sie die Bewegungsgeichung für keine Winkeausenkungenϕ, die Eigenkreisfrequenz ω d der schwach gedämpften Schwingung in Abhängigkeit der Systemparameter, die Lösung ϕ(t) der Schwingungsdifferentiageichung im aperiodischen Grenzfa mit Ω = ω (Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems) für die Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ 0, ϕ(0) = 0. Umformen 9 2 (m+m u ) ϕ+d 2 ϕ+4c 2 ϕ = m u eω 2 cosωt ϕ+ 1 d 9M ϕ+ 4 c 9M ϕ = 1 m u e M Ω2 cosωt mit ω d = 2 c 1 d2 M 144Mc M = m+m u ϕ(t) = (ϕ 0 +(ϕ 0 1 m u e 6 M )Ωt)e Ωt + 1 m u e 6 M cos(ωt π 2 ) Gegeben: d, c, m, m u,, e

5 5. Aufgabe: (TM IV: MV, BI) 1 ϕ 2 c 1 ϕ c 2 /4 /4 / Π = 1 2 c 1( 4 ϕ) c 2(+ 2 ϕ)2 Ein starrer Baken der Masse m und der Länge wird wie abgebidet an zwei Federn mit den Federsteifigkeiten c 1 undc 2 aufgehängt. In der skizzierten Lage befindet sich der Baken in der statischen Ruheage. Anmerkung: Für die gesamte Aufgabe wird angenommen, dass der Winke ϕ kein ist. Ermitten Sie die potentiee und die kinetische Energie des Systems, die Bewegungsgeichungen, das charakteristische Poynom zur Ermittung der Eigenfrequenzen. Für die Wertem = kg, = 2 m, c 1 = 6 N/m, c 2 = 10N/m sind d) die Eigenkreisfrequenzen des Systems zu ermitten. d) T = 1 2 mẋ m2 ϕ 2 mẍ+c 1 ( 4 ϕ)+c 2(+ 2 ϕ) = m2 ϕ c 1 ( 4 ϕ) 4 +c 2(+ 2 ϕ) 2 = m2 2 ω 4 ( 7 48 c 1m c 2m 2 )ω c 1c 2 2 = 0 ω 1 = , ω 2 = Gegeben: m,, c 1, c 2

6 6. Aufgabe: (TM IV: MV, BI) Kreuzen Sie bei jeder Frage die richtige Antwort an. Frage 1: w() 2w0 w0 Eine unendich ange Saite wird zum Zeitpunkt t = 0 wie dargestet ausgeenkt und aus der Ruhe osgeassen. Weche der fogenden Skizzen stet eine Lösung der Saitenausenkung zu einem Zeitpunkt t > 0 dar? w() w() w() w() Frage 2: Weche der fogenden Eigenfunktionen W k () tritt im Lösungsansatz für eine beidseitig fest eingespannte Saite der Längeauf? ( ) kπ W k () = cos ( ) kπ W k () = sin ( ) k W k () = cos π ( ) k W k () = sin π Frage : Die Ausbreitungsgeschwindigkeitc von Longitudinaween in Stäben ist abhängig von: EastizitätsmoduE und Dichteρ SchubmoduGund Dichteρ Eastizitätsmodu E und Querkontraktionszah ν Massemund VoumenV Erdbescheunigungg und LängeL