Besprechung am

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1 PN Einführung in die Physi für Chemier Prof. J. Lipfert WS 206/7 Übungsblatt 0 Übungsblatt 0 Besprechung am Aufgabe Ungedämpfter harmonischer Oszillator. Eine Masse m schwingt reibungsfrei an einer Feder mit der Federonstanten und der maximalen Auslenung A 0. Jetzt wird die Masse auf 2m verdoppelt und die Auslenung der Masse auf 5A 0 verfünffacht. Wie ändern sich: Für eine harmonische Federschwingung gelten folgende Gesetze: Newton II: F = ma = mẍ () Hooe sches Gesetz: F Feder = x (2) Bewegungsgleichung: mẍ + x = 0 ẍ + m x = 0 (3) a) die maximale Rücstellraft Die Rücstellraft F = x hängt nur von der Auslenung, nicht von der Masse ab. Für Oszillator I mit m und A 0 gilt: Für Oszillator II mit 2m und 5A 0 gilt: F F = A 0 (4) F F 2 = 5 A 0 (5) F F 2 F F = 5 A 0 A 0 (6) F F 2 = 5 F F (7) b) die maximale Geschwindigeit Eine mögliche Lösung der Bewegungsgleichung ist x(t) = Asin(ωt + φ). Die Geschwindigeit ergibt sich durch einfache Zeitableitung: Diese Funtion wird maximal, wenn cos(ωt + φ) =. Für Oszillator I: v = ẋ(t) = Aωcos(ωt + φ). (8) v,max = A 0 m (9)

2 Für Oszillator II: v 2,max = 5A 0 2m (0) v 2,max = 5A 0 v,max 2m A 0 m = 5 2 () v 2,max = 5 2 v,max (2) c) die Schwingungsfrequenz Die Schwingungsfrequenz ist gegeben durch ω 2 = m ω = m. Oszillator I: ω 2 = m Oszillator II: ω 2 2 = 2m ω2 2 ω 2 = 2m m = 2 d) die maximale inetische und potentielle Energie Kinetische Energie: E in = 2 mv 2. (3) ω2 2 = 2 ω2 (4) ω 2 = 2 ω (5) Oszillator I: Oszillator II: E in,max, = 2 m v 2,max (6) E in,max,2 = 2 2m v 2 2,max = 2 2m ( 5 2 v,max ) 2 (7) E in,max,2 E in,max, = 2 2m 25 2 v 2,max 2 m v 2,max = 25 (8) E in,max,2 = 25 E in,max, (9) 2

3 Potentielle Energie: E pot = 2 x 2. Oszillator I: Oszillator II: E pot,max, = 2 A2 0 (20) E pot,max,2 = 2 (5A 0) 2 (2) E pot,max,2 E pot,max, = 2 25 A2 0 2 A2 0 = 25 (22) E pot,max,2 = 25 E pot,max, (23) e) die Gesamtenergie, also die Summe aus inetischer und potentieller Energie E ges = E in + E pot = 2 A2 0 (24) Oszillator I: E ges, = 2 A2 0 (25) Oszillator II: E ges,2 = 2 (5A 0) 2 (26) E ges,2 = 25 E ges, (27) Applet: Aufgabe 2 Moleülschwingung. In sogenannten Moleulardynamisimulationen werden Atome als Puntmassen und chemische Bindungen als elastische Federn dargestellt. Wir betrachten hier ein Wasserstoffatom (m H =, g), das über eine Einfachbindung an ein wesentlich schwereres Moleül gebunden ist. Wir önnen hier die Bewegung des größeren Moleüls vernachlässigen und die Einfachbindung als harmonische Feder mit der Federonstanten (in den in Moleulardynamisimulationen üblichen Einheiten) H = 50 Å 2 cal mol annehmen. a) Geben Sie den Wert der Federonstante H in SI Einheiten an. H = 50 cal mol 487 J cal mol ( ) Å = 04, 7 N m m 05 N m (28) 3

4 b) Stellen Sie die Differentialgleichung der Bewegung auf und lösen Sie diese. Da das Wasserstoffatom eine harmonische Schwingung durchführt, lautet die Bewegungsgleichung: Lösungsansatz: m H ẍ + H x = 0 ẍ + H m H x = 0 (29) x(t) = Asin(ωt + φ) (30) ẋ(t) = Aωcos(ωt + φ) (3) ẍ(t) = ω 2 Asin(ωt + φ) (32) Einsetzen in die Bewegungsgleichung liefert ω 2 = H m H. Die Anfangsbedingungen zum Zeitpunt t = 0 werden wie folgt gewählt: x 0 sei der Gleichgewichtsabstand zwischen den Moleül und dem Wasserstoffatom Die Anfangsgeschwindigeit sei 0 Eingesetzt in x(0) = x 0 (33) ẋ(0) = 0 (34) x(0) = Asin(φ) = x 0 (35) ẋ(0) = Aωcos(φ) = 0 φ = π 2 Die Lösung der Bewegungsgleichung lautet also: (36) x(0) = Asin(φ) = x 0 (37) ( π ) x 0 = Asin = A (38) 2 x(t) = x 0 sin(ωt + π 2 ) (39) c) Was ist die Periodendauer der Schwingung des Wasserstoffatoms? T H = 2π ω = H m H T H = 2π, g 04, 7 N m 4 und ω = 2π (40) T H mh H (4) = 2, s 25 fs (42)

5 d) In Moleulardynamisimulationen werden die Newton schen Bewegungsgleichungen numerisch gelöst, indem man die Zeit in leine Intervalle (sogenannte Zeitschritte) δt einteilt und für jeden Zeitschritt nacheinander die atuellen Positionen der Atome berechnet. Als Faustregel muss man δt dabei so wählen, dass der Integrationsschritt mindestens 0 mal leiner ist als die ürzeste Schwingungsperiode im simulierten System. Was für einen Integrationszeitschritt muss man nehmen, wenn wir davon ausgehen, dass die oben berechnete Wasserstoffschwingung die ürzeste Schwingungsperiode im simulierten System ist? Wieviele Integrationsschritte muss man berechnen, um insgesamt ns zu simulieren? Wieviele Schritte um s zu simulieren? δt soll maximal 0 der ürzesten Schwingungsperiode T H sein: Integrationsschritte für ns: δt = T H 0 = 2, s (43) N = ns δt = 0 9 s 2, s = 3, (44) Integrationsschritte für s: N = s δt = s 2, s = 3, (45) Aufgabe 3 Schwingende Wassersäule in einem U-Rohr. Es seien die zwei folgenden Situationen gegeben: a) In ein U-förmiges Rohr mit zwei offenen Enden wird Wasser und dann Öl (vermischen sich nicht) hineingegossen. Sie ommen in Gleichgewichtslage, wie in der Abbildung dargestellt. Wie groß ist die Dichte des Öls? Hinweis: Die Drucwerte an den Punten a und b sind gleich. 5

6 Für den Schweredruc einer Flüssigeitssäule gilt: p = ρ g h p a = p b (46) ρ Oel g h Oel = ρ W g h W (47) ρ Oel = ρ W g h W g h Oel = ρ W hw h Oel (48) = 000 g 250 mm 9 mm m3 250 mm b) Betrachten Sie nun folgende Situation: = 964 g m 3 (49) In einem U-Rohr mit einem Innendurchmesser von d = 7 mm befindet sich Wasser der Dichte ρ = 000 g, welches im rechten Teil des Rohres bis zur Höhe m 3 h über dem Ruhepegel steht und im linen bis zur Höhe h. Die gesamte Wassersäule hat die Länge L = 0, 5 m und die dynamische Visosität des Wassers ist η = 0 3 g. Bestimmen Sie die Masse m m s W der zu bewegenden Wasseräule und die vorhandene Rücstellraft bzw. Rücstellonstante mit Hilfe von p = 2ρgh. Rücstellonstante: m W = ρ W V W = ρ W A L (50) mit A = π r 2 = π 4 d 2 = 2, m 2 (5) m W = 000 g m 3 2, m 2 0, 5 m = 0, 3 g (52) F = x mit x = h (53) F = pa (54) h = pa (55) h = 2ρghA (56) = 2ρgA = g m 9, 8 m 3 s 2, m 2 = 4, 45 g s 2 (57) 6

7 c) Stellen Sie die allgemeine Bewegungsgleichung mit Dämpfung auf und bestimmen Sie die Eigenfrequenz. Hinweis: Nach dem Gesetz von Hagen-Poiseuille gilt für die Dämpfung γ = 8πηL. Die Bewegungsgleichung einer gedämpften harmonischen Schwingung lautet: Für die Eigenfrequenz gilt: mẍ + γẋ + x = 0 ω = 2π = 2π f und ω = T f = 2π m = 2π m (58) 4, 45 g s 2 0, 3 g = 0, 999 s Hz (59) d) Bestimmen Sie die Ablingonstante τ = δ = 2m γ γ = 8πηL = 8π 0 3 g g 0, 5 m, (60) m s s τ = 2m 2 0, 3 g = = 7, 98 s 8 s (6) γ, g s Applet: 7