Einführung in die Modellierung: Statische und dynamische Bilanzgleichungen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Modellierung: Statische und dynamische Bilanzgleichungen"

Cathrin Vogt
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Einführung in die Modellierung: Statische und dynamische Bilanzgleichungen Mengenbilanzen: Beispiel 1: Kessel Wirkungsgraph Flussdiagramm Modellgleichungen Statische Mengenbilanz Deispiel 2: Chemische Reaktion: Wirkungsgraph Statische Mengenbilanz Dynamische Mengenbilanz Kräftebilanzen: Beispiel 3: Aufhängung eines Körpers Systemgrößen Kräftegleichgewicht Beispiel 4: Lok am Berg Kräfte statische Kräftebilanz dynamische Kräftebilanz

2 Beispiel 1 In einen zylindrischen Kessel fließt durch einen Zufluss Wasser. Am Boden des Kessels befindet sich ein enges Auslassrohr. Der Druck des im Kessel stehenden Wassers treibt das Wasser durch dieses Rohr. Zuflussmenge, Geometrie des Kessels, Widerstand des Abflussrohrs und physikalische Eigenschaften des Wassers seien bekannt. Lässt sich daraus der Wasserstand im Kessel berechnen?

3 Wirkungsdiagramm Welche Größen und Vorgänge gibt es im System? Wie beeinflussen sich die Größen gegenseitig? Widerstand des Abflussrohres Zufluss Wasservolumen im Kessel Abfluss Querschnitts- Fläche _ Wasserhöhe Druck

4 Flussdiagramm Welche Bestände gibt es im System? Welche Flüsse finden zwischen den Beständen statt? Was treibt die Flüsse an? Zufluss Wasservolumen im Kessel Widerstand des Abflussrohres _ Abfluss Querschnitts- Fläche _ Wasserhöhe Druck

5 Größen benennen und Einheiten bestimmen: *) bekannte Grösse Zufluss Q in * Wasservolumen V spezif. Gewicht g * Wasserstand h V... m3 h... m F... m 2 Q in, Q aus... m 3 /s p... N/m 2 g... N/m 3 R... Ns/m 3 Abfluss Q aus Druck am Boden p Querschnittsfläche F * Rohrwiderstand R *

6 Modellgleichungen elementare Physik und Hausverstand Zufluss Q in Wasservolumen V spezif. Gewicht g h p Q aus = V / F = h g = p / R Wasserstand h Q aus = phg / R = pvg / (FR) Abfluss Q aus Druck am Boden p Querschnittsfläche F Rohrwiderstand R

7 Statische Mengenbilanz Der Wasserstand im Kessel ändert sich nicht... Gleichgewichtslage Q in spezif. Gew. g Zufluss = Abfluss Q in = Q aus Wasserstand h Q in = g h / R Q aus h = Q in R / g Widerstand R

8 V(t) Wachstumsrate von V Was bedeutet die erste Ableitung? Zuwachs von V V t t t t t t

9 Dynamische Mengenbilanz Der Wasserstand im Kessel ändert sich mit der Zeit. Zuwachsrate = Zufluss Abfluss V (t) = Q in (t) Q aus (t) V (t) = Q in (t) V(t) p g / (F R) Wenn man einen Anfangswert kennt, z.b. V(0), kann man zumindest numerisch diese Differentialgleichung lösen.

10 Beispiel 2 In einer wässerigen Lösung reagiert gelöstes CO 2 reversibel mit dem umgebenden H 2 O und bildet HCO 3 und H - Ionen. Welches Gleichgewicht stellt sich ein? HCO 3 CO 2 H HCO 3 H 2 O H 2 O H H HCO 3 CO 2 HCO 3 CO 2 H HCO 3 CO 2 H H CO 2 H 2 O CO 2 HCO 3

11 Wirkungsdiagramm: CO 2 Konzentration Reaktion: CO 2 H 2 O H HCO 3 HCO 3 Konzentration Reaktion: H HCO 3 CO 2 H 2 O H Konzentration

12 Größen benennen: Konzentrationen ( mol / L ): [CO 2 ]... Konzentration gelöstes Kohlendioxid [H ]... Konzentration H-Ionen [HCO 3 ]... Konzentration Bicarbonat Häufigkeit der Reaktionen ( mol/(l sec) ) (umgesetzte Menge von CO 2 pro Zeit- und Volumseinheit) v vor... Häufigkeit der Reaktion CO 2 H 2 O H HCO 3 v rück... Häufigkeit der Reaktion H HCO 3 CO 2 H 2 O

13 [CO 2 ] Reaktion: vor CO 2 H 2 O H HCO 3 [HCO 3 ] Modellierung der Reaktionshäufigkeiten v vor = k vor [CO 2 ] v rück = k rück [H ] [HCO 3 ] Reaktion: rück H HCO 3 CO 2 H 2 O Reaktionskonstanten: k vor... 1 / s k rück... L / (mol s) [H ]

14 Statische Mengenbilanz Alle Konzentrationen im Gleichgewicht für CO 2 : für H : für HCO 3 : Gewinn = Verlust v rück = v vor k rück [H ] [HCO 3 ] = k vor [CO 2 ] v vor = v rück k vor [CO 2 ] = k rück [H ] [HCO 3 ] v vor = v rück k vor [CO 2 ] = k rück [H ] [HCO 3 ] Massenwirkungsgesetz: [H ] [HCO 3 ] / [CO 2 ] = k vor / k rück =: K

15 Dynamische Mengenbilanz für CO 2 : für H : Wachstum = Gewinn Verlust [CO 2 ] = v rück v vor [CO 2 ] = k rück [H ] [HCO 3 ] k vor [CO 2 ] [H ] = v vor v rück [H ] = k vor [CO 2 ] k rück [H ] [HCO 3 ] für HCO 3 : [HCO 3 ] = v vor v rück [HCO 3 ] = k vor [CO 2 ] k rück [H ] [HCO 3 ]

16 Beispiel 3 Um einen Gegenstand ohne Untergrund und Schatten zu fotografieren, wurde er an einer dünnen Nylonschnur zwischen der Wand und einem Stuhl aufgehängt. Damit er nicht kippen kann, wurde die Sitzfläche des Stuhles beschwert. Aber wenn eine Kraft von mehr als 20 Newton waagrecht am Stuhl zieht, wird die Haftreibung überwunden und der Stuhl beginnt zu gleiten. Der Gegenstand wiegt 1 kg. Worauf ist bei der Anordnung zu achten?

17 Systemgrößen: α w f m... Masse des Körpers (1 kg) g... Erdbeschleunigung (10 N/kg) α... Winkel, in dem Seil durchhängt (1) s... Betrag Schwerkraft Körper (N) f... Betrag Zugkraft am Seil (N) w... waagrechte Komp. Zugkraft (N) h... Betrag Haftreibung (20 N) s

18 Kräftegleichgewicht: Alle angreifenden Kraftvektoren summieren sich auf Null α f w f s w = 2 f sin( ) = f cos( ) s = m g f = m g / (2 sin( ) ) w = m g / (2 tan( ) ) s Die waagrechte Komponente darf nicht größer als h sein: h mg / (2 tan( ) ) tan ( ) mg / 2 h = 1/4

19 Beispiel 3: Eine Lok fährt einen Berghang aufwärts. Ächz! Modellieren Sie die angreifenden Kräfte in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit. 1.) Welche Antriebskraft muss die Lok aufbringen, damit die Geschwindigkeit beibehalten wird? 2.) Wie läuft die Bewegung ab, wenn die Lok eine bestimmte Antriebskraft entwickelt?

20 Systemgrößen und Kräfte: v Geschwindigkeit (m/s) Denkarbeit wegen Physik a Antriebskraft m.g Schwerkraft: m Masse Lok (kg) g Erdbeschleunigung (10 m/s 2 ) k.v Reibung (Luft und Rollen) k Reibungskonstante (N s /m) v Geschwindigkeit Steigungswinkel Alle Kräfte in N = kg / (m s 2 )

21 Resultierende Kraft und statische Kräftebilanz v Geschwindigkeit a Antriebskraft m.g Schwerkraft: k.v Reibung Steigungswinkel Komponente Schwerkraft in Hangrichtung m g sin( ) Kräftegleichgewicht: Alle Kräfte summieren sich zu Null. a k v m g sin( ) = 0

22 Dynamische Kräftebilanz: Die Newtonsche Bewegungsgleichung v Geschwindigkeit m Masse Resultierende Kraft a - k v - m g sin( ) Masse Beschleunigung m v (t) = Kraft = a k v(t) m g sin( ) Hängen die Kräfte auch von der Position u(t) ab, dann entsteht eine Differentialgleichung zweiter Ordnung für u(t).

Ähnliche Dokumente

Dynamik Lehre von den Kräften

Dynamik Lehre von den Kräften Physik Grundkurs Stephie Schmidt Kräfte im Gleichgewicht Kräfte erkennt man daran, dass sie Körper verformen und/oder ihren Bewegungszustand ändern. Es gibt Muskelkraft, magnetische