Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 8 c 2016 A. Kersch

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1 Aufgaben Dynamik Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 8 c 6 A. Kersch. Ein D-Zug (Masse 4t) fährt mit einer Geschwindigkeit von 8km/h. Er wird auf einer Strecke von 36m mit konstanter Verzögerung zum Stehen gebracht. Welche Bremskraft zwischen Schiene und Rad ist erforderlich? Lösung: F = ma a = konstant s = v t at v = v at Beim Stillstand in t = τ ist v =, also v = aτ s = 36m = v τ aτ v = v a ( a v ) v = a a a = v s = ( ) 8 m 36s =.5 m 36m s F = ma = 4 kg.5 m s = 5. 5 N. Die Haftreibungszahl zwischen den Reifen eines Wagens und einer horizontalen Straße sei µ H =.53. (a) Wie großist die maximale Beschleunigung des Wagens? (b) Wie großist der Bremsweg aus einer Geschwindigkeit von 84km/h mindestens? Lösung: Die Maximalkraft mit Haftung beträgt daher ist die maximal mögliche Beschleunigung µ H F g = µ H mg a = µ H g Der Bremsvorgang mit maximaler Verzögerung wird beschrieben durch v(t) = v at x(t) = v t at v(t b ) = = v at b = t b = v a x(t b ) = v t b v at b = v a ( a v a ) v = v ( ) m s a = µ H g =.53 m = 5.36m s 3. Das Hochschalten beim Beschleunigen eines Autos bewirkt, dass die beschleunigende Kraft F B mit wachsender Geschwindigkeit immer geringer wird. Näherungsweise kann man ansetzen F B (v) = P/(v+ v k ), wobei die P Motorleistung bezeichnet und v k das Einkuppeln beim Anfahren modelliert. Gesucht sind a(t) und v(t). Lösung: ma = m v = mẍ = P v + v k (v + v k ) dv = P m dt P m t = P m t = [ ṽ + v k ṽ ] v v = v + v k v v + v k v P m t = v = v k ± (ṽ + v k ) dṽ v k + P m t

2 Die physikalisch sinnvolle Lösung ist mit +. Die Beschleunigung ist 4. Schleifstein v(t) = v k + a(t) = P/m v(t) + v k = v k + P m t P/m vk + P m t Ein Schleifstein (m = 6kg, R =.m) rotiert mit einer konstanten Drehzahl von 8 U/ min. Die Achsenreibung wird vernachlässigt. Der Motor wird zum Zeitpunkt t abgeschaltet und die Scheibe dreht sich zunächst mit konstanter Drehzahl weiter. Zum Zeitpunkt t wird ein Werkstück über einen Hebel der Länge l =.4m mit der konstanten Kraft F = 3N an die rotierende Scheibe in der Position l =.m gepresst. Der Reibungskoeffizient zwischen Werkstück und Scheibe betrage µ =.6. (a) Bestimmen Sie das auf der Scheibe wirkenden Drehmoment (b) Wie lange dauert es, bis die Scheibe zum Stillstand kommt? (c) Zeichnen Sie das θ t, θ t, θ t und a n t Diagramm (a n =Zentripetalbeschleunigung am Rand der Scheibe) Lösung: (a) (b) (c) F l = F l M = µrf = µr l F =.6.m.4m 3N = 7.Nm l.m J θ = M θ() =, θ() = ω = 8 π 6s = 83.77s θ(t) = t M J t θ(t) = ω M J t θ(t) = M J t = J t = M = ω mr M = s θ = 6kg(.m) 7.Nm = 4s 6kg (.m) 7.Nm =.349s J EW : t = M = kg (.m) =.53s s 5Nm

3 5. Kran Eine Rampe der Steigung 33 und eine Zugmasse von M = kg wird als Lastzug benutzt, um eine Last von m = kg auf eine Höhe von h = 3m zu heben. Der Gleitreibungskoeffi zient auf der Rampe beträgt µ G =.3. Die Rolle ist ein Vollzylinder vom Radius R =.m und Masse M = kg (J =.5M R ) und wird schlupffrei bewegt. (a) Formulieren Sie die Bewegungsgleichung für die Position y(t) der Last m (b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung mit der Anfangsbedingung y() =. (c) Wann ist die Last m in der Höhe y = h angekommen und welche Geschwindigkeit hat sie? (d) Wie großmußder Winkel θ sein, damit die Last m sich nach unten in Bewegung setzt? Lösung: in Bewegung versetzt : ẏ() = (a) Zugkraft F Z = M g sin θ, Normalkraft F N = M g cos θ Rolle: J = M R = (.) =. F R = D = Jα = J ÿ R (m + M ) ÿ = M g sin θ µ G M g cos θ mg J ÿ ÿ = a = a = R m + M + J/R (M g sin θ µ G M g cos θ mg) 9.8 sin 33π cos 33π / (.) =.7 m s

4 (b) y = at (c) t = h 3 a =.7 =.9s v = at =.7 m s.9s =.498m s (d) m + M (Mg sin θ µ GMg cos θ mg) M sin θ µ G M cos θ m 6. Atwood Fallmaschine mit Massenträgheitsmoment sin θ µ G cos θ m M ( m cos θ = M + µ G cos θ) x = (. +.3 x) θ = 8 arccos π = Bei der Atwood schen Fallmaschine wurde die Masse der Rolle vernachlässigt. Nun soll der Einfluss des Vollzylinders (M = kg, R =.m) berücksichtigt werden. In der Startposition hängen Masse und Masse (m = kg, m = 3kg) jeweils m über dem Boden. Das Hängeseil liegt ohne Schlupf auf der Rolle. Nach welcher Zeit berührt die Masse m den Boden, nachdem sie losgelassen wurden? (b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für den Fallvorgang auf ( (m + m ) R + J ) θ = R (m m ) g R (m m ) g θ = ( (m + m ) R + MR) = (m m ) ( g (m + m ) + M) = 39.4 s R (c) Wie lautet die Lösung dieser DGL mit den gegebenen Anfangsbedingungen? ( ) s = Rθ = R (m m ) ( g (m + m ) + M) t R t = ((m + m ) + M) (m m ) s g s = R a t Ersatz t Ersatz = s Ra

5 (d) Nach welcher Zeit berührt m den Boden? t = t Ersatz = ((m + m ) + M) (m m ) s θersatz R = s g = ((kg + 3kg) + m 5s.m =.6346 s kg) (3kg kg) m 9.8m/s =.739 s 7. Lösung der Bewegungsgleichung für eine Federschwingung Dazu wird gemäßdem. Newton schen Gesetz die M asse Beschleunigung gleich der Rückstellkraft gesetzt m d x dt = D x Mit der Abkürzung (diese Kreisfrequenz heisst auch Eigenfrequenz des Systems) ergibt sich die Bewegungsgleichung ω = D m d x dt + x = oder ẍ + ω x = Die Bewegungsgleichung lässt sich lösen, also die Bahnkurve der Bewegung finden, durch einen Ansatz x(t) = A sin( t + ϕ) (Der Ansatz x(t) = A cos( t + ϕ) wäre auch möglich). A bezeichnet die Amplitude der Schwingung, die Kreisfrequenz und ϕ die Phase. Die erste und die zweite Ableitung des Ansatzes sind ẋ(t) = A cos( t + ϕ) ẍ(t) = A ω sin( t + ϕ) Einsetzen in die Gleichung zeigt, dass der Ansatz tatsächlich eine Lösung ergibt A ω sin( t + ϕ) + ω (A sin( t + ϕ)) = Die Amplitude und die Phase sind jedoch noch nicht festgelegt. Wir suchen statt dieser allgemeinen Lösung nun die Lösung mit besonderen Anfangsbedingungen Stoß: der Oszillator erhält in der Ruhelage einen Stoßẋ(t = ) = v. Ruhelage heißt: x(t = ) = = A sin(ϕ) = ϕ = Stoßheißt ẋ(t = ) = v = A cos() = A = v Die spezielle Lösung mit Stoßlautet x(t) = v sin( t) Auslenkung: der Oszillator wird bei t = um x ausgelenkt und losgelassen. Seine Geschwindigkeit bei t = ist somit v(t = ) = ẋ(t = ) = = A cos(ϕ) ϕ = π Ausgelenkt heißt x(t = ) = x = A sin( π ) = A Die spezielle Lösung mit Auslenkung lautet x(t) = x sin( t + π ) = x cos( t)

6 Beispiel : Hänschen hat eine Steinschleuder, die er mit N um.5m auslenken kann. Der Stein hat eine Masse von g. (a) Wie schnell ist der Stein beim Nulldurchgang? (b) Wie hoch steigt der Stein unter Vernachlässigung von Luftreibung im Schwerefeld? Lösung: siehe Abbildung (a) Die Federkonstante beträgt D = F x = N.5m = N m Damit die Eigenfrequenz = D m = Nm =.kg s = 44.7 s Eingesetzt in die Lösung mit Auslenkung x(t null ) = x cos( t null ) = = t null = π ẋ(t null ) = x sin( t null ) = x =.5m s =.36m s (b) senkrechter Wurf nach oben z(t) = v t gt ż(t scheitel ) = v gt scheitel = = t scheitel = v g v z(t scheitel ) = v g ( ) g v = v g g = ( ). 36 m s 9.8ms = 5.485m Beispiel : Nun wird ein Fußball (m = 5g) an einer solchen Feder (D = N/m) befestigt und bekommt einen Elfmetertritt von km/h. Wie weit fliegt er an der Feder? Lösung: siehe Abbildung. Die Eigenfrequenz (andere Masse!) lautet D = m = Nm =.5kg s Die Lösung mit Stoßlautet Maximale Auslenkung heißt x(t) = v sin( t) ẋ(t max ) = v cos( t max ) = = t max = π x(t max ) = v sin( π ) = v = /3.6 ms s = m

7 Lösung mit x(t) = v sin( t) Lösung mit x(t) = x cos( t)