PN1 - Physik 1 für Chemiker und Biologen Prof. J. Lipfert

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1 PN1 - Physik 1 für Chemiker und Biologen Prof. J. Lipfert WS 2018/19 Übungsblatt 4 Lösung Übungsblatt 4 Lösung Aufgabe 1 Bungee-Jump revisited. Weil es einigen Menschen so gut gefällt von der Europabrücke zu springen, begeben sie sich mehrmals dort hin. Eine Frau mit 70 kg springt von der 190 m hohen Europabrücke. Wir wollen im folgenden Reibung (insbesondere Luftreibung) und die Masse des Bungee-Seils vernachlässigen. Beim Absprung lässt sich die Bungee-Jumperin einfach von der Brücke fallen, so dass ihre Anfangsgeschwindigkeit Null ist. a) Das (ungedehnte) Bungee-Seil habe eine Länge von 60 m, so dass die Springerin zunächst 60 m frei fällt. Was ist ihre Geschwindigkeit, wenn sich das Seil nach genau 60 m zu dehnen beginnt? Da wir die Reibung vernachlässigen, können wir die kinetische und die potentielle Energie gleichsetzen. Das Seil ist noch ungedehnt und hat daher keinen Effekt: E pot = E kin m g h 1 = 1 2 m v 2 v = 2 g h 1 = m s 2 60 m 34.3 m/s = 123,5 km/h b) Wie muss die Gummihärte (äquivalent zur Federkonstanten) des Seils gewählt werden, damit die Springerin genau über der Wasseroberfläche des unter der Brücke fließendes Flusses (190 m unterhalb der Brücke) zum Stillstand kommt? Hier gilt, dass die potentielle Höhenenergie komplett in potentielle Federenergie übergegangen ist. Es gibt keine kinetische Energie, da die Springerin sich am Umkehrpunkt befindet. E pot = E Feder m g h = 1 2 k x 2 wobei x die Dehnung des Bungeeseils ist. Ab 60 m unterhalb der Brücke wird das Bungeeseil gedehnt x = 190 m - 60 m = 130 m. Umstellen nach k ergibt: k = 2 m g h x 2 = 2 70 kg 9.81 m s m (130 m) 2 = N/m c) Wie groß ist die Beschleunigung, die auf die Springerin am tiefsten Punkt des Sprunges wirkt? Es wirken die Kräfte des Seils und der Erdanziehung und zwar in entgegengesetzte Richtungen: F = F g F Seil 1

2 m a = m g k x a = g k x m = 9.81 m N 130 m m = m s 2 70 kg s 2 Das Vorzeichen ist negativ, da die Beschleunigung nach oben stattfindet. d) Zeichnen sie eine (qualitative) Skizze der Geschwindigkeit der Springerin als Funktion der Zeit, vom Zeitpunkt des Absprungs bei t = 0 oben auf der Brücke bis zum Zeitpunkt, dass sie den tiefsten Punkt erreicht. Aufgabe 2 Beschleunigter Wagen auf Luftschiene. In der Vorlesung haben wir ein Experiment durchgeführt, bei dem sich ein Wagen der Masse M = 300 g auf einer reibungsfreien horizontalen Luftschiene befand, der über ein dünnes Seil und eine Umlenkrolle (beide als reibungs- und masselos genähert) mit einer senkrecht aufgehängten Masse m verbunden war, siehe Skizze unten. Der Versuch wurde für zwei Massen m 1 = 50 g und m 2 = 100 g durchgeführt. Beantworten Sie alle Teilfragen für beide Massen außer die letzte Teilfrage. 2

3 a) Der Wagen wird zur Zeit t = 0 aus der Ruhelage am Punkt x = 0 losgelassen. Wie groß ist die Beschleunigung, mit der er entlang der Luftschiene beschleunigt wird? Die auf den Wagen wirkende Kraft ist die Gewichtskraft der zweiten Masse. Die Indizes werden benutzt um die Massen m 1 und m 2 auseinander zu halten, wobei, falls möglich, allgemein gerechnet wird. F = M tot a i = (M + m i ) a i = m i g a = m i g M + m i a 1 = 50 g 9.81 m s g + 50 g = 1.40 m s 2 a 2 = 100 g 9.81 m s g100 g = 2.45 m s 2 b) Was ist seine Geschwindigkeit v nach t = 1 s? Da die Beschleunigung a i konstant ist, gilt v i = a i t und somit v 1 = a 1 t = 1.4 m s 2 1 s = 1.40 m/s v 2 = a 2 t = 2.45 m s 2 1 s = 2.45 m/s c) Was ist seine Position x nach t = 1 s? Es gilt x i = x 0 + v 0 t a t 2, da es sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung handelt. Wir wissen x 0 = 0 und v 0 = 0, also x 1 = 1 2 a 1 t 2 = m s 2 (1 s) 2 = 0.7 m x 2 = 1 2 a 2 t 2 = m s 2 (1 s) 2 = m Aufgabe 3 Englische Langbögen. Englische Langbogenschützen waren gefürchtete Einheiten auf den Schlachtfeldern des Spätmittelalters. Sie benutzten englische Langbögen, welche ungefähr so groß waren wie die Schützen selbst. Die Kraft eines Bogens wurde in britischen pounds (lb) angegeben, wobei 1 lb = 0,4536 kg. Sie wissen, dass ein Gewicht keine richtige Kraftangabe ist. Gemeint war die Gewichtskraft F = M g einer Masse. Starke englische Langbögen für geübte Schützen hatten circa 100 lb Zuggewicht. Sie können das Verhalten des Bogens mit einer Federkonstanten von ca 850 N/m nähern. a) Wie weit muss ein Schütze die Sehne des Bogens von der Ruheposition auslenken, damit der Bogen eine Federkraft äquivalent zur Gewichtskraft von 100 lb ausübt? 3

4 Zuerst rechnen wir 100 lb in eine echte Kraft um: 100 lb kg 1 lb = kg F g = m g = kg 9.81 m = N s 2 Nun setzen wir diese Gewichtskraft gleich mit der Federkraft des Bogens: F g = F B = k x B x B = F g k = N = cm 850N/m b) Nehmen Sie an, dass der Pfeil im Bogen konstant mit dem Viertel der Zug Kraft beschleunigt wird. Wie lange dauert der Beschleunigungsvorgang? Der Pfeil besitzt eine Masse von m = 50 g. Wir rechnen zuerst die Beschleunigung aus und benutzen dann x B gleichmäßig beschleunigte Bewegungen, um die Zeit auszurechnen: = x(t) für 1 F = m a 4 a = F B 4 m = N = m/s g x B = x(t) = 1 a t xb m t = = a m = s s 2 c) Mit welcher Geschwindigkeit verlässt der Pfeil den Bogen nach dem Beschleunigungsvorgang? v = a t = m s s= m/s = km/h Aufgabe 4 Englische Langbogenschützen im Gefecht. Ein englisches Dorf wird überraschend angegriffen und von Langbogenschützen verteidigt. Als sie abschussbereit sind, haben sich die Überfäller bereits auf 100 m dem Dorf genähert. Die Gegend um das Dorf ist eben, so dass Sie annehmen können, dass die Schützen sich auf selber Höhe mit den Überfällern befinden. Die Schützen spannen ihre Bögen maximal, so dass die Pfeile die in Aufgabe 3c.) errechnete Geschwindigkeit beim Abschuss haben. Die Schussrichtung des Bogens bildet einen variablen Winkel θ mit der Horizontalen. Sie können den Luftwiderstand vernachlässigen.(falls Sie die Aufgabe 3c) nicht lösen konnten, rechnen sie mit einer Abschussgeschwindigkeit des Pfeils von v 0 = 170 km/h) 4

5 a) Mit welchem Winkel θ müssen die Schützen schießen, um die Überfäller zu treffen? Wir zerlegen die Bewegung in ihre x und y Komponenten: a x = 0 v x (t) = v 0 cos θ = const x(t) = v 0 cos θ t a y = g v y = v 0,y + a y t = v 0 sin θ g t y(t) = y 0 + v 0,y t a y t 2 = v 0 sin θ t 1 2 g t 2 Da die Angreifer sich auf selber Höhe befinden wie die Schützen, endet der Flug bei y(t) = 0. 0 = y(t) = v 0 sin θ t 1 2 g t 2 Die triviale Lösung für t = 0 interessiert uns nicht und daher können wir die Gleichung durch t teilen. Umstellen ergibt: t = 2 v 0 sin θ g Nun setzen wir das in die Formel x(t) ein und nutzen unser Wissen, dass x(t) = 100 m= d. d = x(t) = v 0 cos θ t = 2 v 0 2 cos θ sin θ = v 0 2 sin 2 θ = x(θ), wobei wir die g g im Hinweis gegebene Identität benutzt haben. Umstellen nach θ ergibt: θ = 1 2 arcsin g d v 2 0 = 1 2 arcsin 9.81 m s m (48.26 m s )2 = (13.05 ) Das Ergebnis in Klammern bekommt man, falls man mit v 0 = 170 km/h = m/s rechnet. b) In welchem Abstand zu den Schützen müssten sich die Überfäller befinden, um genau außerhalb der Reichweite der Schützen zu bleiben? Wir wissen aus der Vorlesung und dem letzten Blatt, dass die Reichweite maximal wird für θ = 45, also brauchen wir nur x(θ = 45 ) auszurechnen: x(45 ) = (48.26 m s ) m s 2 sin m (227 m) Ergebnis in Klammern ist wieder das Ergebnis, falls man mit v 0 = m/s rechnet. = 170 km/h c) Wird der Sicherheitsabstand aus Teil b) größer oder kleiner wenn sich die Schützen etwas erhöht auf einem Turm oder einer Wehrmauer befinden? 5

6 Der Sicherheitsabstand wird größer, da die Pfeile nun erst bei negativen y Werten den Boden bzw. die Überfäller erreichen und folglich längere Zeit fliegen. Da v x während der Flugzeit aber konstant ist, bedeutet mehr Flugzeit auch mehr zurückgelegte Strecke in x- Richtung. Eine Skizze hilft hier, um die Frage grafisch zu veranschaulichen. Hinweise:Zerlegen Sie die Bewegung in x- und y- Komponenten. Rechnen Sie erst einen allgemeinen Ausdruck für die Flugzeit aus und setzen sie diesen dann in die Formel für x(t) ein. Die Identität sin(θ) cos(θ) = 0.5 sin(2θ) ist nützlich. Nutzen sie für Aufgabe b.) ihr Wissen aus der Vorlesung, wann die Reichweite eines beliebigen Schusses maximal wird 6