ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV

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1 ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehstuh fü Technische Mechanik, TU Kaisesauten SS 2014, Aufgabe: (TMIII) Queschnitt de Waze, µ y 1 x 1 m µ x 2 ϕ g α oen ohne geiten Aus einem homogenen Zyinde (Radius 2, Länge, Dichte ) weden 3 Zyinde (Radius jeweis 1 = 3 ) ausgeboht. Die Mittepunkte de ausgebohten Zyinde bescheiben ein geichseitiges Deieck und besitzen jeweis den Abstand zum Mittepunkt des Vozyindes. Es entsteht eine Waze mit dem abgebideten Queschnitt (inke Abbidung). Diese Waze wid wie in de echten Abbidung skizziet duch einen nach unten utschenden Kei (Masse m) angetieben. De Reibungskoeffizient zwischen de um den Winke α geneigten Wand und dem Kei sowie zwischen de Waze und dem Kei betägt jeweisµ. Die Waze ot auf dem auhen Boden ohne zu geiten. a) Beechnen Sie die Masse M de Waze sowie das Massentägheitsmoment Θ de Waze bezügich ihes Massenmittepunktes. b) Steen Sie ae Geichungen auf, die nötig sind um die Bescheunigungen de Waze ( ϕ,ẍ 2 ) und des Keis (ẍ 1,ÿ 1 ) in de skizzieten Lage in Abhängigkeit de gegebenen Gößen zu beechnen. Hinweis: Es genügt die Geichungen aufzusteen. Das entstehende Geichungssystem so nicht nach den Unbekannten aufgeöst weden! Gegeben:,,, 1 = 3, α, µ, g, m

2 a) b) M = 3π 2 Θ = 41 6 π4 mẍ 1 = N 1 cosα R 1 sinα K mÿ 1 = N 1 sinα R 1 cosα+mg R 2 Mẍ 2 = K H Mÿ 2 = Mg +R 2 N 2 Θ ϕ = 2(H R 2 ) ẍ 1 = ẍ 2 ÿ 2 = 0 ẍ 2 = 2 ϕ tanα = ẍ1 ÿ 1 R 1 = µn 1 R 2 = µn 2

3 2. Aufgabe: (TMIII) y A z x C 3 v C,a C 60 B Die Skizze zeigt die beiden Stangen AB und BC, die im Punkt B dehba miteinande vebunden sind. De Punkt C bewegt sich in de skizzieten Lage mit de Geschwindigkeit v C in negative y- Richtung und efäht die Bescheunigunga C ebenfas in negativey-richtung. a) Skizzieen Sie den MomentanpoΠ BC de StangeBC in de Aufgabensteung. b) Geben Sie den Vekto CB von Punkt C zu Punkt B, sowie den Vekto AB von Punkt A zu PunktB bezügich des gegebenen Koodinatensytems an. c) Beechnen Sie die Winkegeschwindigkeiten ω AB und ω BC de beiden Stangen sowie die Geschwindigkeit v B des Punktes B fü die gezeichnete Lage. d) Geben Sie die Bescheunigung a B in Abhängigkeit de Winkegeschwindigkeit ω BC und de Winkebescheunigung ω BC an. e) Geben Sie die Bescheunigung a B des Punktes B in Abhängigkeit de Winkegeschwindigkeit ω AB und de Winkebescheunigung ω AB an. f) Beechnen Sie die Winkebescheunigungen ω AB und ω BC de Stangen in Abhängigkeit von a C, ω BC, ω AB und. Gegeben:v C,a C,

4 a) A C Π BC 3 v C,a C 60 B v B b) CB = e x e y AB = e x 3e y c) ω AB = v c ω CB = v c v B = v c d) a B = ( ω BC ω 2 BC ) e x + ( a c + ω BC +ω 2 BC ) e y e) f) a B = ( ) ( ) 3 ωab +ωab 2 e x + ω AB +ωab 2 3 e y 1 ( ac ( )) ω AB = 2ωBC 2 +ωab ( ac ( )) ω BC = 2ωBC ω2 AB 3 1 +ωab 2 +ω2 BC

5 3. Aufgabe: (TMIII) y W ϕ x Massem, Radius g h H Ω 0 R Eine Kuge (Masse m, Radius ) fät aus de Ruhe heaus aus de Höhehauf eine otieende Waze (Radius R). Die Waze otiet wähend de gesamten Zeit mit konstante WinkegeschwindigkeitΩ 0. Wähend des Stoßes haftet die Kuge auf de Waze. Die Stoßzah zwischen Kuge und Waze betägt e. Nach dem Stoß bescheibt die Kuge die skizziete Fugbahn (Fughöhe H, Fugweite W ). Wähend de Bewegung de Kuge kann die Lufteibung venachässigt weden. Hinweis: Vewenden Sie bei de Lösung de Aufgabe das skizziete Koodinatensystem. a) Emitten Sie den Geschwindigkeitszustand de Kuge (Schwepunktsgeschwindigkeit v x, v y und Winkegeschwindigkeitω) unmitteba vo dem Stoß. b) Emitten Sie fü gegebene Stoßzah e und Winkegeschwindigkeit Ω 0 den Geschwindigkeitszustand de Kuge (Schwepunktsgeschwindigkeit v x, v y und Winkegeschwindigkeit ω) unmitteba nach dem Stoß. c) Wie goß muss die Stoßzahesein, damit die Kuge die FughöheH = h 2 eeicht? d) Beechnen Sie die Stoßkäfte fü die Winkegeschwindigkeit Ω 0, sowie den in c) emitteten Wete de Stoßzah e. Gegeben: m, g,,h, R, H = h 2, Ω 0 fü b): e

6 a) v x = 0, v y = 2gh, ω = 0 b) v y = e 2gh v x = 2 7 RΩ 0 c) ω = 5 R 7 Ω 0 e = 2 2 d) ˆF x = 2 7 mrω 0 ( ˆF y = m 1+ 2) gh

7 4. Aufgabe: (TMIV) L 4 y 1 (x) y 2 (x) y L v 0 m c 1 c 2 v 0 a 0 a 0 x sinusfömig Eine Voichtung bewegt sich mit konstante Geschwindigkeit v 0 in positivex-richtung. In de Voichtung wid ein Massenpunkt m von zwei hoizontaen Feden unteschiediche Fedesteifigkeit gehaten. Die Fußpunkte de Feden duchaufen die skizzieten sinusfömigen Schienen (siehe Zeichnung). Die Feden weden duch die Bewegung ausgeenkt und beiben wähend de gesamten Bewegung hoizonta ausgeichtet. Die Lage de Endpunkte de Fede können mit y 1 (x) bzw. y 2 (x) beschieben weden. Fü x = L sind beide Feden entspannt (skizziete Lage), zum Anfangszeitpunkt 4 t = 0 befinden sich die Feden beix = 0, y 1 (0) = a 0 undy 2 (0) = a 0. Hinweis: Die Schwekaft wid venachässigt. a) Zeichnen Sie das Feiköpebid des Massenpunktes in ausgeenkte Lage. b) Beechnen Sie die Fedekäfte in Abhängigkeit von y 1 (x), y 2 (x) und de Position des Massenpunktes iny-richtung. c) Emitten Siex(t). Geben Siey 1 (t) undy 2 (t) an. Vewenden Sie die Ansätzey 1 = A 1 cos(b 1 t) bzw.y 2 = A 2 cos(b 2 t) und bestimmen SieA 1, B 1, A 2,B 2 mit Hife de Skizze. d) Steen Sie die Bewegungsgeichung des Massenpunktes in y-richtung auf und geben Sie die Eigenkeisfequenz des Systems an. e) Wie autet die Lösung de Bewegungsgeichung im eingeschwungenen Zustand? f) Beechnen Sie die Gesamtösung de Bewegungsgeichung fü c 1 =c 2 =c mit den Anfangsbedingungeny(t=0) = y 0,ẏ(t=0) = 0. Gegeben:a 0, c 1, c 2, L, m, v 0, y 0 fü f): c 1 =c 2 =c

8 a) y mÿ F c1 F c2 b) F c1 = c 1 (y y 1 ) F c2 = c 2 ( y +y 2 ) c) d) ( ) 2πv0 t y 1 (t) = a 0 cos L ( ) 2πv0 t y 2 (t) = a 0 cos L ÿ + c 1 +c 2 y = (c 1 c 2 ) }{{ m } m cos 2πv 0t t }{{ L } ω 2 Ω a 0 ω = c1 +c 2 m e) y(t) = (c 1 c 2 )a 0 L 2 L 2 (c 1 +c 2 ) 4mπ 2 v 2 0 cos 2πv 0t L t f) y(t) = y 0 cosωt = y 0 cos 2c m t

9 5. Aufgabe: (TMIV) M, θ M y y ψ x g ψ S α R x m,θ m ϕ ϕ t = 0 t > 0 Ein im Schwepunkt S eibungsfei dehba geagete Hohzyinde (Radius R, Masse M, zentaes Massentägheitsmomentθ M ) otiet um den Winke ϕ. Im Hohzyinde befindet sich eine Waze (Radius, Masse m, zentaes Massentägheitsmoment θ m ). Die Waze ot ohne zu geiten auf de Mantefäche des Hohzyindes. Die Lage de Waze wid duch den Lagewinke α und den Dehwinke ψ beschieben. Zum Zeitpunkt t = 0 git α = ϕ = ψ = 0. Ae Winke weden wie skizziet gegenübe de Vetikaen gemessen. Hinweis: Ae Aufgabenteie sind unabhängig voneinande ösba. a) Beechnen Sie die potentiee EnegieE pot des Systems. Hinweis: Es bietet sich an, das Nuniveau beiy = 0 (α = ± π 2 ) anzunehmen. b) Beechnen Sie die kinetische Enegie E kin in Abhängigkeit von ϕ, α, ψ. Geben Sie ψ in Abhängigkeit von α und ϕ an, beechnen Sie ψ(α,ϕ) und emitten Sie die kinetische EnegieE kin ( α, ϕ) as Funktion von α und ϕ. c) Geben Sie fü den Fa E kin = 1 2 m2 ϕ 2 +m 2( α+ 3 2 ϕ)2 +2m 2 α 2 E pot = 2mg+mgα 2 die Bewegungsgeichungen des Systems fü die geneaisieten Koodinaten ϕ und α in Matixfom an. Beechnen Sie die Eigenfequenzen. Gegeben:m, M, g,,r, θ m, θ M

10 a) E pot = mg(r )cosα b) ψ = 1 (α(r )+ϕr) ψ = 1 ( α(r )+ ϕr) E kin = 1 2 θ M ϕ θ m 2 ( α(r )+ 2 ϕr) m(r )2 α 2 c) [ 11 3 ][ ] [ ][ ] [ ] 2 ϕ 0 0 ϕ 0 + = 3 6 α 0 2 g α 0 ω2 2 = 11 g 24

11 6. Aufgabe: (TMIV) 2 2 x h z sinusfömig Eine Saite mit fest eingespannten Ränden wid zum Zeitpunkt t = 0 wie skizziet sinusfömig ausgeenkt (siehe Zeichnung) und aus de Ruhe osgeassen (v 0 (x) 0). Die Saite ist so vogespannt, dass sich die Weenausbeitungsgeschwindigkeitc egibt. Die Anfangsausenkungw 0 (x) = hsin πx sei gegeben. a) Die Bewegungsgeichung de Saite autetẅ = c 2 w. Vewenden Sie den Lösungsansatzw(x,t) = W(x)T(t) mitw(x) = Acos ωx ωx +Bsin und c c T(t) = Ccosωt. Passen Sie W(x) an die Randbedingungen an und beechnen Sie so die Eigenfequenzen ω k und die EigenfomenW k (x) des Systems. b) Emitten Sie die Lösung w(x, t) de Bewegungsgeichung fü die gegebenen Anfangsbedingungen. Gegeben:c, h,, w 0 (x) = hsin πx

12 a) ω k = kπc ( ) kπx W(x) = B k sin k = 1,2,... k = 1,2,... b) w(x,t) = hsin πx cos πct