Theoretische Physik: Mechanik

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1 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Probekausur - Lösung Technische Universität München Fakutät für Physik

2 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht Aufgabe [7 Punkte] Beantworten Sie die fogenden Fragen zu grundegenden Begriffen bzw. Sachverhaten der Mechanik durch präzise und voständige, aber knappe Ausführungen bzw. Abeitungen der Resutate:. Erkären Sie die fogenden Begriffe in jeweis einem Satz: [6 Punkte] Längenkontraktion skeronome Zwangsbedingung virtuee Verrückung Inertiasystem gaieisches Reativitätsprinzip kanonische Transformation. Nenen Sie die Kepergesetze. [3 Punkte] 3. Geben Sie an, ob die Aussage immer wahr ist. Ein einfaches Ja oder nein genügt. (Richtige Antworten geben zwei Punkte, fasche Antworten einen Punkt Abzug, keine Antwort keine Punkte.) [8 Punkte] Gegeben Sei ein Teichen der (konstanten) Masse m im konservativen Kraftfed F. F ässt sich agemein schreiben as Gradient eines zeitabhängigen Potentias F( r, t) = gradu( r, t). Gegeben Sei ein abgeschossenes System, bestehend aus n Punktteichen mit Massen m,..., m n, das durch ein expizit zeitabhängiges Potentia U( r,..., r n, t) beschrieben wird. Ist das Potentia invariant unter Drehungen, so ist der Gesamtdrehimpus L = ni= m i r i erhaten. Betrachten Sie System aus n Massenpunkten. m hoonome Zwangsbedingungen sei durch m unabhängige Geichungen der Form g i ( r,..., r n, t) = (für i {,..., m} ) Das System wird durch n m veragemeinerte Koordinaten beschrieben. Betrachten Sie die Bewegung eines starren Körpers, dessen Trägheitstensor I bezügich eines im Schwerpunkt des starren Körpers fest verankerten Koordinatensystems gegeben sei. Die kinetische Energie des starren Körpers setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie der Schwerpunktstransation und der Energie der Rotation um eine Achse durch den Schwerpunkt. Lösung:. Begrifferkäungen: Sie besagt, dass ein bewegter Beobachter eine kürzere Distanz zwischen zwei Punkten im Raum misst as ein ruhender. Zwangsbedingung die expizit von der Zeit abhängt. Infinitesimae Änderung der Lagen δx i, i =,..., n bei fester Zeit t weche mit Zwangsbedingungen verträgich ist. Technische Universität München Fakutät für Physik

3 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht Bezugssystem (und Zeitkoodrinate t) in denen ein kräftefreier Massepunkt durch r(t) = v(t) = const. [ r = ] beschrieben wird. Die Naturgesetze sind forminvariant gegenüber Gaieitransformationen, d. h. sie nehmen in aen Inertiasystemen diesebe Form an. Ist eine Transformation Q K = Q K (p, q, t) der Phasenraumkoordinaten die die Form der Hamitongeichungen unverändert ässt.. Kepersche Gesetze: Die Paneten bewegen sich auf eiptischen Bahnen, in deren einem gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht. Ein von der Sonne zum Paneten gezogener Fahrstrah überstreicht in geichen Zeiten geich große Fächen. Die Quadrate der Umaufzeiten zweier Paneten verhaten sich wie die Kuben der großen Bahnhabachsen. 3. Aussagen: Fasch. Per Definition ässt sich ein konservatives Kraftfed F schreiben as GRadient eines zeitunabhängigen Potentias F( r) = gradu( r). Wahr. Fasch. Insgesamt handet es sich um 3n Lagrange-Geichungen. Art für die 3n+m Unbekannten. Zusammen mit den m Zwangsbedinnngung i = erhät man in 3n + m Geichungen für 3n + m Unbekannte. Andererseits sind von den 3n Freiheitsgraden des Systems m durch Zwangsbedingungen g i = eingeschränkt, sodass nur 3n m Freiheitsgrade übrigbeiben, die durch 3n m generaisierte Koordinaten beschrieben werden können. Wahr. Aufgabe [ Punkte] Betrachten Sie die Streuung eines Teichens der Masse m an einer harten, undurchdringbaren (dreidimensionaen) Kuge mit Radius R, die sich im Ursprung des Koordiantensystems befindet. Gehen Sie im Fogenden davon aus, dass das Teichen aus dem Unendichen mit Energie E und Stoßparameter b (bezogen auf den Mittepunkt der Kuge) einäuft:. Geben Sie dsa Potentia U = U(r) sowie das effektive Potentia V = V(r) für das Probem an und skizzieren Sie beide. [ Punkt]. Weche physikaischen Situationen entsprechen den Fäen E > und < E <, mr mr wobei der Betrag des Drehimpuses des Systems ist? Geben Sie für beide Fäe den Umkehrpunkt r as Funktion der Energie E und des Stoßparameters b an. [ Punkte] 3. Berechnen Sie für beide Fäe den Streuwinke ϑ des Teichens und eräutern Sie Ihr Ergebnis geometrisch. [4 Punkte] 4. Bestimmen Sie für den Fa, dass das Teichen auf die Kuge stößt, sowoh differntieen as auch totaen Wirkungsquerschnitt. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse! [3 Punkte] Technische Universität München 3 Fakutät für Physik

4 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht Lösung:. Da es sich bei der Kuge mit Radius R um eine undurchdringbare Barriere handet, autet das Potentia: Für r > R: Für r < R: U(r) = () U(r) = + () Das effektive Potentia V = V(r) berücksichtigt noch den Beitrag Drehimpuses, aso: Für r > R: mr des erhatenen Für r < R: V(r) = mr (3) V(r) = + (4) Beide Potentiae sind in obenstehender Figur gezeichnet. Die Gesamtenergie des Systems ist: E = mṙ + V(r) (5). Wir wenden uns nun dem Streuprobem zu. Offenbar git E >. Wegen V(r) = r > R hat das Teichen im Unendichen nur kinetische Energie, aso: mr für E = mv (6) wobei v die Geschwindigkeit im Unendichen ist. Da der Drehimpus L = m r v im Zentrapotentia erhaten ist, git für seinen Betrag = L = mrvsinϕ = mrsinϕv = mbv, Technische Universität München 4 Fakutät für Physik

5 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht wobei ϕ der von r un der Geschwindigkeit v eingeschossene Winke ist. Setzt man dies in den Ausdruck für die Energie ein, so ist: E = mb (7) Das heißt, der Fa (i) E > ergibt für den Stoßparameter b die Bedingung b < R, der mr Fa (ii) < E < entsprechend b > R. Der erste Fa beschreibt demnach den Stoß mr an der Kuge, der zweite Fa die Streuung an der Kuge (ohne Zusammenpra mit der Kuge). Im Fa (i) ist der Umkehrpunkt r = R, wie man an der obigen Zeichnung sofort erkennt. Denn für r > R ist E > V(r), für r < R ist E < V(r) = +. Dies ist die Konsequenz aus der Undurchdringbarkeit der harten Kuge. Für den Fa des Stoßes an der harten Kuge ist demnach der Umkehrpunkt unabhängig von E und b. Im Fa (ii) erhät man r aus der Bedingung ṙ =, aso mit = meb (U(r) = fürr > R): r = me = b (8) Bewegt sich das Teichen an der Kuge vorbei, dann entspricht der Umkehrpunkt gerade dem Stoßparameter b. 3. Der Streuwinke ϑ ist gegeben durch ϑ = π α wobei α der Winke ist, den das aus dem Unendichen kommende Teichen bis zum Umkehrpunkt r durchäuft. Mit: ṙ = E V(r) (9) m (das Minuszeichen rührt daher, dass das Teichen aus r kommt und r entsprechend mit der Zeit abnimmt) und Drehimpuserhatung = mr ϕ = const. ergibt sich : α = α dϕ = ϕ ṙ dr = Für den Fa (i) des Stoßes an der Kuge ist: me r dr () r V(r) E α = me R wobei r = x und dr = x dx git. dr = r me mer R ( ) b dr = arcsin r R me x Man beachte, dass bei b < R tatsächich < git. Der Streuwinke ist dann: mer ϑ = π α = π arcsin ( ) b R () () Technische Universität München 5 Fakutät für Physik

6 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht Um dieses Ergebnis geometrisch zu erkären, schreiben wir sinα = b R. Wie man aus fogender Zeichnung abiest, entspricht dies gerade dem Refexionsgesetz an einer Kugeoberfäche: Einfaswinke geich Ausfaswinke. Für den Fa (ii), in dem das Teichen die Kuge nicht berührt, ergibt sich mit r = b: α = me b wobei r = x und dr = x dx git. und damit der Streuwinke: dr = r me mer b r me x dr = arcsin = π (3) ϑ = π α = (4) Wie erwartet wird das Teichen von der Kuge dann gar nicht abgeenkt. 4. Um den differentieen Wirkungsquerschnitt dσ dω für den Fa (i) des Stoßes an der harten Kuge zu berechnen, verwenden wir fogende Forme: Geichung () aufgeöst nach b ergibt: dσ dω = b(ϑ) sinϑ ( ) ( ) π ϑ ϑ b(ϑ) = Rsin = Rcos Damit ist der differentiee Wirkungsquerschnitt: db dϑ (5) (6) dσ dω = b(ϑ) sinϑ db dϑ = R sin ( ϑ ) R sin ( ϑ ) = R 4 (7) wobei wir die Doppewinkeforme sin(x) = sinxcosx verwendet haben. Daraus ergibt sich der totae Wirkungsquerschnitt: Technische Universität München 6 Fakutät für Physik

7 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht σ = dσ dω = 4πR dω 4 = R π (8) Der totae Wirkungsquerschnitt entspricht der Querschnittsfäche der Kuge, aso derjenigen Fäche, die das Teichen sieht, wenn es sich aus großer Entfernung auf die Kuge zubewegt. Bemerkung: Den totaen Wirkungsquerschnitt für den Stoß erhät man auch wegen b max = R aus dσ = πbdb σ = πb max = R π. Aufgabe 3 [5 Punkte] Eine homogene Kuge und ein homogener Zyinder mit geicher Masse M und geichem Radius R roen ohne zu geiten im homogenen Schwerefed der Erde (g > ) eine schiefe Ebene mit Neigungswinke α hinab. Es wirken keine weiteren Kräfte.. Berechnen Sie die Trägheitsmomente I K und I Z von Kuge bwz. Zyinder bezügich der Rotationsachse der Robewegung (d. h. für die Kuge bezügich der Rotation um einen Durchmesser und für den Zyinder bezügich einer Rotation um seine Längsachse). Zeigen Sie, dass mit homogenen Massenverteiungen git: [6 Punkte] I K = 5 MR und I Z = MR (9). Steen Sie für beide Körper die jeweiige Lagrangefunktion in der generaisierten Koordiante ϕ auf. [6 Punkte] 3. Leiten Sie die Bewegungsgeichungen ab. Wecher Körper ist schener unten, wenn beide vom geichen Ort aus der Ruhe osgeassen werden? [3 Punkte] Lösung:. In dem angegebenen Koordinatensystem sind die Trägheitsmomente bezügich einer Achse parae zur z - Achse (aus Zeichenebene heraus) durch den Schwerpunkt gesucht. Für Technische Universität München 7 Fakutät für Physik

8 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht den Vozyinder ergibt sich bei einer Gesamtmasse M Z = ρ Z R πh (mit der homogenen Dichte ρ Z und der Höhe h des Zyinders) unter Verwendung von Zyinderkoordinaten: I Z = ρ z h π R R [x(ρ, ϕ, z) + y(ρ, ϕ, z) ]ρdρdϕdz = ρ Z πh ρ 3 dρ = () = R ρ Z R πh = MR Die Masse der Vokuge ist M K Kugekoordinaten ergibit sich: = ρ K 4π 3 R3, wobei ρ K die homogene Dichte angibt. In I K = ρ K π π R = ρ K π π R [x(r, ϑ, ϕ) + y(r, ϑ, ϕ) ]r sinϑdrdϑdϕ = r 4 sin 3 ϑdrdϑ = ρ K π R4 = 5 MR (). Um die Lagrangefunktion für die beiden Systeme herzueiten, bemerken wir zunächst, dass sich die kinetische Energie T jeweis zusammensetzt aus der kinetischen Energie der Transationsbewegung des Schwerpunkts und der Energie für Rotationen um den Schwerpunkt S. Wir beschreiben zunächst die Bewegung des Schwerpunkts. Nachdem sowoh Kuge as auch Zyinder ohne zu geiten die schiefe Ebene nach unten roen, git in dem angebebenen Koordinatensystem die Robedingung: x S = Rϕ () Diese Beziehung drückt gerade aus, dass der abgerote Mante der zurückgeegten Strecke auf der Ebene entspricht. Offenbar git weiter y S = R = const.. Damit bewegt sich der Schwerpunkt mit der Geschwindigkeit: V = ) (ẋs = ẏ S ( ) R ϕ Nachdem sich ae Punkte der Körper mit derseben Winkegeschwindigkeit um paraee Achsen bewegen, ist: ω = V R (3) = ϕ (4) Hier haben wir die Winkegeschwindigkeit bezügich der sogenannten momentanen Drehachse berechnet. Dabei handet es sich um die Achse, um die der starre Körper in einem festen Zeitpunkt eine reine Rotation ausführt. In dem voriegenden Beispie ist dies gerade die Berührungsachse von Körper und schiefer Ebene. Bemerkung: Die Wah der Berührungsache as momentane Drehachse ist äquivaent zur Robedingung; diese Wah stet sicher, dass der Körper in der Tat rot und nicht rutscht Technische Universität München 8 Fakutät für Physik

9 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht (reine Abroen um die Berührungsachse). Würde man eine ander Achse as momentane Drehachse wähen, so würde der Körper auf der schiefen Ebene zusätzich rutschen. Das kann man sich anhand von zwei Extremfäen karmachen: Ist die momentane Drehachse im Unendichen, so entspricht dies dem Fa des Rutschens ohne zu roen. Veräuft die momentane Drehachse durch das Zentrum des Körpers, so handet es sich um eine reine Rotation, ohne Bewegung des Schwerpunkts, geich einem durchdrehenden Reifen. Die Wah der Berührungsachse as momentane Drehachse ist aso in der Tat äquivaent zur Robedingung. Mit der kinetischen Energie der Schwerpunktsbewegung (M K = M Z = M, R K = R Z = R): und der Rotationsenergie um den Schwerpunkt: T trans = M V = MR ϕ (5) T rot,i = I iω i = I idotϕ (6) (i {K, Z}), autet die kinetische Energie für Kuge bzw. Zyinder: T K = T trans + T rot,k = MR ϕ + I K ϕ = 7 MR ϕ (7) T Z = T trans + T rot,z = MR ϕ + I Z ϕ = 3 4MR ϕ (8) Wir egen den Nupunkt der potentieen Energie in (, R) des angegebenen Koordinatensystems. Dann ist die Lageenergie für beide Körper jeweis gegeben durch: U = Mgx S sinα = MgRϕsinα (9) Die Lagrangefunktion füt Kuge bzw. Zyinder ist damit: L K = T K U = 7 MR ϕ + MgRϕsinα (3) L Z = T Z U = 3 4 MR ϕ + MgRϕsinα (3) 3. Die Euer-Lagrange-Geichungen ergeben für die Kuge: und für den Zyinder: ϕ = 5 gsinα 7 R ϕ = gsinα 3 R (3) (33) Offenbar ist die (konstante) Bescheunigung für die Kuge, a K = R ϕ = 5 gsinα, größer as die Bescheunigung für den Zyinder, a Z = R ϕ = 4 gsinα, sodass die Kuge schneer unten ankommen wird as der Zyinder. Technische Universität München 9 Fakutät für Physik

10 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht Aufgabe 4 [5 Punkte] Drei Massenpunkte mit identischen Massen m bewegen sich reibungsfrei auf einem Kreisring mit Radius R. Sie sind durch drei identische, ideae Federn mit Federkonstanten k entang der Kreisbögen miteinander verbunden. Es wirken keine weiteren Kräfte.. Steen Sie die Lagrangefunktion in den Koordinaten ϕ i (i {,, 3}) auf, die as Ausenkun aus einer durch geiche Federspannung bestimmte Lage definiert sind. [4 Punkte]. Bestimmen Sie die Eigenfrequenzen und Eigenschwingungen des Systems, indem Sie das zugehörige Eigenwertprobem ösen. [6 Punkte] 3. Zeigen Sie, dass die Koordinate Φ = 3 (ϕ + ϕ + ϕ 3 ) zykisch ist. Wie groß ist ihre Eigenfrequenz? Bestimmen Sie die zugehörige Erhatungsgröße, ihre physikaische Bedeutung und die zugrundeiegende Symmetrie. [3 Punkte] 4. Geben Sie die voständige Lösung des Schwinungsprobems an. [ Punkte] Lösung:. Nachdem die Winke ϕ i (i {,, 3}) so gewäht sind, dass sie die Ausenkungen der Federn aus deren jeweiiger Geichgewichtsage angeben, sind die entsprechenden Ausenkungen gegeben durch s i = Rϕ i. Dann ist die kinetische Energie des Systems: und die potentiee Energie: T = m(ṡ + ṡ + ṡ 3 ) = mr ( ϕ + ϕ + ϕ 3 ) (34) U = k[(s s ) + (s s 3 ) + (s 3 s ) ] = = kr [ϕ + ϕ + ϕ 3 ϕ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ 3 ϕ ] (35) Die Lagrangefunktion ist damit: Technische Universität München Fakutät für Physik

11 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht L = T U = mr ( ϕ + ϕ + ϕ 3 ) kr (ϕ + ϕ + ϕ 3 ϕ ϕ ϕ ϕ 3 ϕ 3 ϕ ) (36). Bevor wir die Eigenfrequenzen und -schwingungen bestimmen, schreiben wir die Euer- Lagrange-Geichungen auf: ( ) d L L = mr ϕ + kr (ϕ ϕ ϕ 3 ) = (37) dt ϕ ϕ ( ) d L L = mr ϕ + kr ( ϕ + ϕ ϕ 3 ) = (38) dt ϕ ϕ ( ) d L L = mr ϕ 3 + kr ( ϕ ϕ + ϕ 3 ) = (39) dt ϕ 3 ϕ 3 In Matrixschreibweise mit der Abkürzung ϕ = (ϕ, ϕ, ϕ 3 ) T kann man schreiben: ϕ = k ϕ (4) m } {{ } =A Um nun die Eigenwerte und -schwingungen zu berechnen, diagonaisieren wir zunächst die symmetrische Matrix A; deren Eigenwerte λ sind gegeben durch: = det[a λ ] = ( λ) 3 3( λ) = λ(λ 3) (4) aso λ =, λ = λ 3 = 3. Nachdem die Matrix symmetrisch ist, aso A = A T, wissen wir bereits, dass A diagonaisierbar ist, und damit der Eigenraum E(λ = 3) zweidimensiona ist. Für die Eigenräume erhaten wir: 3 E(λ = ) = Kern[A ] = Kern = (4) E(λ = 3) = Kern[A 3 ] = Kern =, (43) Mit der Matrix: / 3 / / S = / 3 / / 3 / erhaten wir die Diagonamatrix: / 3 / 3 / 3 = S = /3 3/3 /3 /3 /3 /3 (44) Technische Universität München Fakutät für Physik

12 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht D = S AS = diag(, 3, 3) (45) Damit können wir nun in Geichung (4) Normakoordinaten Φ = (Φ, Φ, Φ 3 ) T einführen und erhaten: = S ϕ ϕ = k m S DS ϕ Φ = k m D Φ (46) Da D diagona ist, haben wir das Geichungssystem mittes Einführung der Normakoordinaten Φ entkoppet: Φ = (47) Damit sind die beiden Eigenfrequenzen gegeben durch: Φ = 3k m Φ (48) Φ 3 = 3k m Φ 3 (49) ω = (5) ω = ω = ω 3 = 3k m (5) die Eigenmoden haben wir bereits in Geichung (4) und (43) berechnet: Diese entsprechen den Bewegungen (ω = ), (ω ) und (ω 3 ). 3. Aus Φ = S ϕ können wir zunächst die Normakoordinaten expizit angeben. Offenbar ist Φ = 3 (ϕ + ϕ + ϕ 3 ). Die Invertierung ergibt ϕ = 3 Φ + (Φ + Φ 3 ), ϕ = 3 Φ Φ, ϕ 3 = 3 Φ Φ 3. Wir zeigen nun, dass Φ eine zykische Koordinate ist. Dazu berechnen wir: L = L ϕ i = Φ ϕ i Φ = kr 3 [(ϕ ϕ ϕ 3 ) + (ϕ ϕ ϕ 3 ) + (ϕ 3 ϕ ϕ )] = (5) = aso ist Φ zykisch. Bemerkung: Da die Lagrangefunktion L agemein eine Funktion der (veragemeinerten) Ortskoordinaten, hier ϕ i, und der (veragemeinerten) Geschwindigkeiten, hier ϕ i, ist, müssten gemäß Kettenrege strenggenommen noch Terme L ϕ i ϕ i Φ berücksichtigt werden. Die Abeitungen ϕ i Φ sind aber in jedem Fa nu, da wegen Φ = S ϕ und daraus Φ = S ϕ Geschwindigkeiten und Orte nicht mischen. Technische Universität München Fakutät für Physik

13 Ferienkurs Merin Mitschek, Verena Wabrecht Nach Summation der Bewegungsgeichungen (37, 38, 39) fogt dann: [ d mr ] ( ϕ + ϕ + ϕ 3 ) = (53) dt 3 die dazugehörige Erhatungsgröße ist der Drehimpus L = mr ( ϕ + ϕ + ϕ 3 ) des gesamten Systems. Nachdem sich die Massen in einer Ebene auf dem Kreis bewegen, stehen Ortsvektor und Geschwindigkeitsvektor immer senkrecht aufeinander, sodass in der Tat git: L = 3 i= m r r i = mr ( ϕ + ϕ + ϕ 3 ) e z (54) Wir haben bereits gesehen, dass die Eigenmode der Normaschwingung Φ verschwindende Eigenfrequenz ω = besitzt. Das ist gerade Ausdruck für eine geichförmige Rotation aer Massen in diessebe Richtung (Eigenschwingung 3 (,, ) T ). Dies fogt, im Übrigen, auch aus der Lösung der Bewegungsgeichung (47, 48, 49, ) für die Normakoordinate Φ, nämich Φ (t) = α + β t. Offenbar schwingt bei dieser Bewegung nichts. 4. Um die voständige Schwingungsösung anzugeben, brauchen wir aso nur die Normamoden Φ und Φ 3 zu berücksichtigen. Die Bewegungsgeichungen (47, 48, 49, ) können sofort aufintegriert werden: Φ (t) = α i cos(ωt) + β i sin(ωt) i {, 3} (55) Die Ausenkungen ϕ sind dann (bei Vernachässigung der Transation): ϕ(t) = S (t) Φ(t) = [ α cos(ωt) + β sin(ωt)] + [ α 3cos(ωt) + β 3 sin(ωt)] (56) wobei die Faktoren in die Koeffizienten α i, β i definiert wurden. Technische Universität München 3 Fakutät für Physik