Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig. Prüfung in Dynamik 12. August 2015

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1 Institut fü Mechanik Pof. D.-Ing. habil. P. Betsch Pof. D.-Ing. habil. Th. Seelig Püfung in Dynaik 12. August 2015 Aufgabe 1 (ca. 18 % e Gesatpunkte) g l θ In e Abbilung ist ein otieenes Kaussell skizziet. Sitz un Fahgast können als Massenpunkt angesehen ween. Das Kaussell otiet it konstante Winkelgeschwinigkeit. Wie goß ist ie Geschwinigkeit e Fahgäste auf e Kaussell, wenn ie Halteseile (Länge l) u en Winkel θ gegen ie Senkechte geneigt sin? Gegeben: θ,, g,, l.

2 Institut fü Mechanik Pof. D.-Ing. habil. P. Betsch Pof. D.-Ing. habil. Th. Seelig Püfung in Dynaik 12. August 2015 Aufgabe 2 (ca. 25 % e Gesatpunkte) Ein assive Keiszyline ollt schlupffei auf eine hoizontalen Ebene un wi von eine Fee it e Feekonstanten c un eine Däpfe it e Däpfungskonstanten, ie i Abstan a vo Mittelpunkt angeifen, in e agestellten Mittellage gehalten. I abgebileten Zustan ist ie Fee entspannt. g ϕ c a S a) Schneien Sie as Syste fei un stellen Sie it Hilfe e synthetischen Methoe ie Bewegungsgleichungen fü kleine Auslenkungen aus e Gleichgewichtslage auf. b) Beechnen Sie en Däpfungsga D, ie Eigenfequenzen ω un ω es Systes bei kleinen Auslenkungen. c) Wie goß uss ie Däpfungskonstante gewählt ween, ait e apeioische Genzfall eintitt. Gegeben:, a,, c,, g

3 Institut fü Mechanik Pof. D.-Ing. habil. P. Betsch Pof. D.-Ing. habil. Th. Seelig Püfung in Dynaik 12. August 2015 Aufgabe 3 (ca. 22 % e Gesatpunkte) Zwei hoogene Walzen A un B sin eibungsfei gelaget un uch einen ünnen, asselosen Rieen schlupffei iteinane vebunen. Nach e Ausschalten es anteibenen Motos ist ie Winkelgeschwinigkeit e Walze A gleich ω 0. U ie Dehung abzubesen, wi ein Besklotz an e Walze A it eine konstanten Kaft N angepesst. De Gleiteibungskoeffizient zwischen e Walze un e Klotz sei µ. A ϕ A B R N ϕ B θ A µ θ B Bestien Sie wie viele Uehungen n ie Walze A von Beginn e Besung zu Zeitpunkt t 0 bis zu vollstänigen Anhalten vollzieht. Geg.: N,µ,θ A,θ B,R,, ϕ A (t 0 ) = ω 0,ϕ A (t 0 ) = 0

4 Institut fü Mechanik Pof. D.-Ing. habil. P. Betsch Pof. D.-Ing. habil. Th. Seelig Püfung in Dynaik 12. August 2015 Aufgabe 4 (ca. 35 % e Gesatpunkte) k k y ϕ L L L Ein stae, asselose Stab e Länge 3L ist an en Enen uch gleiche Feen e Steifigkeit k gelaget. I Abstan L von außen sin a Stab ie Massenpunkte befestigt. Duch entspechene Maßnahen finet keine Hoizontalbewegung statt. Die Bewegung es Systes wi ahe allein uch ie y-kooinate es Schwepunktes un en Winkel ϕ beschieben. De Einfluss es Schweefeles ist i folgenen nicht zu beücksichtigen. Es kann von kleinen Auslenkungen aus e Ruhelage ausgegangen ween. a) Beechnen Sie ie kinetische Enegie E k. b) Beechnen Sie ie potentielle Enegie E p e Feen. c) Eitteln Sie it Hilfe es Lagangeschen Foalisus ie Bewegungsgleichungen. ) Wie goß sin ie Eigenkeisfequenzen? e) Skizzieen Sie ie Eigenfoen! Gegeben:, k, L

5 Lösung zu Aufgabe 1 z θ l θ S R G y v e ϕ e R ϕ x ω = ϕ R = +lsin(θ) F = a a = ϕ 2 a ϕ = ϕ+2ṙ ϕ F S sin(θ) a R ϕ 2 F = F ϕ = F z 0 Scos(θ) G a = a ϕ = a z 0 0 Koponentenweise: Ssin(θ) = Rω 2 (1) Scos(θ) G = 0 (2) Aus (2): (3) in (1): S = g cos(θ) g sin(θ) = ( +lsin(θ))ω2 cos(θ) ω 2 g = tan(θ) +lsin(θ) g ω = tan(θ) +lsin(θ) it v = ωr = tan(θ)g(+lsin(θ)) (3)

6 Lösung zu Aufgabe 2 a) Feiköpebil: x ϕ F F c +a A Moentanpol Bewegungsgleichung (Dallsatz): θ A ϕ = F ( + a) F c ( + a) (4) Däpfungskaft un Feekaft: F = ẋ F c = cx Kineatik: x = ( + a)ϕ ẋ = ( + a) ϕ eingesetzt in ie Bewegungsgleichung: (5) (6) θ A ϕ + ( + a) 2 ϕ + c( + a) 2 ϕ = 0 (7) it θ A = θ S + 2 = = folgt: ϕ + 3 ( + a)2 ϕ c 3 ( + a)2 ϕ = 0 (8) 2 2

7 b) ie Eigenfequenz es ungeäpften Systes: e Däpfungsga: ω0 2 = c (9) ( ) 2c + a ω 0 = 3 (10) 2Dω 0 = (11) D = 3ω 0 ( + 2 a)2 (12) ie Eigenfequenz es geäpften Systes: ( ) + a ω = ω 0 1 D2 = 6 2 c 2 ( + a) c) De apeioische Genzfall titt ein wenn D = 1. Die Gleichung (12) folgt: = 3ω 0 2 ( + a) = 32 2c 2 ( + a) 2 3 ( ) + a = (13) ( ) 6c (14) +a

8 Lösung zu Aufgabe 3 Kineatik Abeitssatz 0 1 ϕ A R = ϕ B ϕ B = ϕ A R ϕ B = ϕ A R Dissipiete Besenenegie (E k ) 0 +W 01 = (E k ) θ A ϕ 2 A, θ B ϕ 2 B,0 +W 01 = 0 W 01 = x 1 x 0 Fx Eingesetzt in Abeitssatz it F = F R = µn x = R ϕ W 01 = ϕa,1 = µnrϕ 1 ϕ A,0 µnrϕ 1 2 θ A ϕ 2 A, θ B ϕ 2 B,0 µnrϕ 1 = θ Aω θ Bω 2 0 ϕ 1 = 1 µnr 1 2 (θ A + R2 2 θ B)ω 2 0 n = R 2 2 µnrϕ 1 = 0 (Kineatik eingesetzt) it ϕ 1 = 2πn 1 2µNR 2π (θ A + R2 2 θ B)ω 2 0

9 Lösung zu Aufgabe 4 a) Kinetische Enegie: E K = 1 2 (2)ẏ θ S ϕ 2 θ S = 2( L 2 )2 = 2 L2 b) Potentielle Enegie: E P = 1 2 k(y Lϕ) k(y 3 2 Lϕ)2 c) L = E K E P = ẏ θ S ϕ k(y Lϕ)2 1 2 k(y 3 2 Lϕ)2 Bewegungsgleichungen: Ufoen: t ( L ẏ ) = 2ÿ L y = k(y Lϕ) k(y 3 2 Lϕ) t ( L ϕ ) = θ S ϕ L ϕ = k(y Lϕ)3 2 L k(y 3 2 Lϕ)( 3 2 L) 2ÿ +k(y Lϕ)+k(y 3 2 Lϕ) = 0 θ S ϕ+k(y Lϕ)(3 2 L) k(y 3 2 Lϕ)(3 2 L) = 0 2ÿ+ 2ky = 0 ÿ + k y = 0 θ S ϕ+ 9 2 L2 kϕ = 0 ϕ+ 9L2 k 2θ S ϕ = 0 ) Die Bewegungsgleichungen sin entkoppelt. Die Eigenkeisfequenzen sin einfach: ω 1 = k k k k ω 2 = 3L = 3L 2θ S L = 3 2

10 e) 1EF ϕ 0 ω 2 1 = k 2EF y 0 ω 2 2 = 9 k